nim: 2305060034 aljabar linear
“bilangan real”
1) Definisi bilangan real
Operasi biner pada himpunan a adalah fungsi dari a x a ke a. Terdapat 2 operasi biner utama dalam sistem bilangan real. Yaitu penjumlahan (+) dan perkalian (x) himpunan bilangan real dinotasikan sebagai merupakan gabungan dari himpunan bilanganℝ rasional dan himpunan bilangan irasional. Bilangan rasional merupakan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
a b
dengan �, � ∈ (dibaca: ℤ �, � anggota himpunan bilangan bulat )ℤ
dan , � ≠ 0 dengan merupakan himpunan bilangan bulat yang terdiri dari bilangan bulatℤ positif, bilangan bulat negatif dan bilangan bulat nol. Himpunan bilangan bulat dinotasikan sebagai
= {0, ±1, ±2, ±3, … . }.
ℤ
Himpunan bilangan rasional dinotasikan sebagai
ℚ = {𝑟⎹ 𝑟 = a
b , dengan �, � ∈ , ℤ � ≠ 0}
Perhatikan bahwa setiap bilangan real dapat ditulis sebagai bentuk desimal dan bilangan rasional dapat ditulis sebagai bentuk desimal yang berhenti atau berulang, sebagai contoh
2 = 2,0000 … 1
4 = 0,2500 … 1
3 = 0,3333 … 1
12 = 0,0833 …
Bentuk-bentuk seperti 2 = 2,0000 … dan 1
4 = 0,2500 … merupakan bentuk desimal yang berhenti. Sedangkan, 1
3 = 0,3333 … dan 1
12 = 0,00833 … merupakan bentuk desimal yang
berulang. Jadi, bilangan rasional bisa berbentuk bilangan bulat, pecahan dan campurannya.
Pecahan didefinisikan sebagai bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a
b , �, � ∈ , ℤ � ≠ 0 dan
� ≠ 𝑘� untuk setiap 𝑘 ∈ . Pada pecahan yang berbentuk ℤ a
b , disini � disebut sebagai pembilang
dan � disebut sebagai penyebut.bentuk desimal yang tidak berhenti atau tidak berulang disebut sebagai bilangan irasional misalnya √2 = 1,4142 …. , � = 3,14159
2) Sifat-sifat bilangan real
Terhadap operasi penjumlahan (+) 1) sifat tertutup
Untuk setiap �, � ∈ berlaku ℝ � + � ∈ .ℝ 2) sifat komutatif
Untuk setiap �, � ∈ berlaku ℝ � + � = � + � 3) sifat asosiatif (pengelompokan)
Untuk setiap �, �, � ∈ berlaku (ℝ � + �) + � = � + (� + �)
4) terdapat 0 ∈ sehingga untuk setiap ℝ � ∈ berlaku ℝ � + 0 = � 5) setiap � ∈ terdapat −ℝ � ∈ sehingga ℝ � + (−�)=0
Notasi
1). Untuk setiap �, � ∈ ℝ⇒ � + (-�) = � - �. (pengurangan) 2). Untuk setiap �, � ∈ , ℝ � ≠ 0 ⇒ a
b = � ∶ � (pembagian) 3). Untuk setiap �, � ∈ ℝ⇒ � × � = �. � (perkalian)
Terhadap operasi perkalian (×) 1) sifat tertutup
untuk setiap �, � ∈ ℝberlaku � × � ∈ ℝ.
2) sifat komutatif
untuk setiap �, � ∈ ℝberlaku � × � = � × � 3) sifat asosiatif (pengelompokan)
untuk setiap �, �, � ∈ ℝberlaku (� × �) × � = � × (� × �)
4) terdapat 1 ∈ ℝsehingga untuk setiap � ∈ ℝberlaku � × 1 = � 5) setiap � ∈ ℝ, � ≠ 0 terdapat 1
a ∈ ℝsehingga � × ( 1 a ) =1
Sifat distributif:
untuk setiap �, �, � ∈ ℝberlaku:
1). � × (� + �) = (� × �) + (� × �).
2). � × (� - �) = (� × �) - (� × �).
Untuk setiap �, �, �, � ∈ , berlaku:ℝ 1) (-�) × (-�) = � × �.
2) (-�) × (� ) = (�) × (-�) = -(� × �).
3) (-1) × (�) = -�.
4) untuk � ≠ 0 dan � ≠ 0 berlaku a
b = c
d ⇔ (�) × (�) = (�) × (�).
5) untuk � ≠ 0 dan � ≠ 0 berlaku a
b + c d =
axd+(bxc)
¿¿
¿ 6) untuk � ≠ 0 dan � ≠ 0 berlaku a
b - c
d = (axd)−(bxc) (bxd) 7) untuk � ≠ 0 dan � ≠ 0 berlaku (a
b) x (c
d) = (axc) (bxd) 8) untuk � ≠ 0 dan � ≠ 0 berlaku ( a
b ) : ( c
d¿ = (a
b) x (d c)
3) Nilai mutlak Definisi
untuk a ∈R harga mutlak dari a, dinotasikan dengan |a| didefinisikan sebagai :
a; a ≥ 0
|a| = -a; a < 0 Sebagai contoh, |3 | = 3 dan |-2 |= 2.
Dari definisi ini disimpulkan bahwa |a| ≥0,∀a∈R Teorema 3.1
(i) |a | jika dan hanya jika a = 0 (ii) |-a |= |a|, ∀a∈R
(iii) |ab |= |a || b| ∀a , b∈R
(iv) Jika c ≥ 0, maka |a| ≤ c jika dan hanya jika –c ≤ a ≤ c (v) -| a| ≤ a ≤ |a|, ∀a , b∈R
Misalkan a ∈R dan −ε dari a persekitaran a didefinisikan sebagai himpunan Vϵ(a) = (a) = { x ∈R: |x-a| ¿ε }.
Untuk a pernyataan bahwa (a) ekuivalen x ∈Vε (a) dengan pernyataan:
ε - < x – a < ε ↔ a−ε < x < a + ε
Contoh soal:
1. Carilah bentuk sederhana dari
√
5+2√62
√
2+2√3Jawab:
√
2+√3¿¿
√
5+2√62
√
2+2√3=¿2. 27
24 = 27−4 = 23 = 8.
3. Buktikan jika a,b ∈R , a+b=0,jika b=a Bukti:
a+b=0, dengan menambahkan pada kedua ruas diperoleh:
( -a)+ (a+b )= (-a )+ 0 Pada ruas kiri:
(-a)+ (a+b )= (-a+a )+b=0+b=b Pada ruas kanan:
(-a)+0=-a
jadi dapat disimpulkan bahwa b= -a
4. Misalkan diberikan sebarang a , b∈R , maka:
(a) persamaan a+x = b mempunyai penyelesaian tunggal x= (-a )+ b
Bukti:
misalkan x=(-a )+ b , maka
a+x=a+((-a)+b)=(a+(-a)+b=0+b=b
mengakibatkan bahwa x=(-a)+b merupakan penyelesaian dari persamaan a+x=b.
Misalkan x1 adalah penyelesaian lain dari persamaan tersebut, maka a+x1=b dan jika pada kedua ruas ditambahkan –a, maka diperoleh:
(-a)+(a+x1)=(-a)+b ruas kiri:
(-a)+(a+x1)=(-a+a)+x1=0+x1=x1
jadi dapat disimpulkan bahwa x1=(-a)+b
5. Bu rina memiliki 150 pot bunga. Pada musim hujan, beberapa pot bunganya mati karena terserang hama. Jika 24 pot bunga mati, berapakah persen pot bunga bu rina yang mati?
Penyelesaian:
Hitunglah perbandingan pot bunga yang mati dengan total pot bunga:
24 pot bunga / 150 pot bunga = 4/25
Kalikan perbandingan tersebut dengan 100% untuk mendapatkan persentase:
4/25 x 100% = 16%
Jawaban:
Sebanyak 16% pot bunga bu rina yang mati.
6. Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk desimal:
A. √2 = 1,41421356237...
B. Π = 3,14159265358...
C. 3/7 = 0,42857142857...
7. 2x33 = 23x33 = 8 × 27 = 216
Daftar pustaka
1.Djadir, i. (2017). Sumber belajar penunjang plpg 2017 mata pelajaran/paket keahlian
matematika bab vii program linear. Kementerian pendidikan dan kebudayaan. Direktorat jenderal guru dan tenaga kependidikan.
2.Agustina, r. (2015). Bahan ajar analisis real 1. Pendidikan matematika. Fakultas keguruan dan ilmu pendidikan. Universitas muhammadiyah metro.