DIVERGENSI DAN TEOREMA DIVERGENSI

Tri Rahajoeningroem, MT T. Elektro - UNIKOM

1

DIVERGENSI DAN

TEOREMA DIVERGENSI

ISI MATERI

2

Pembahasan materi akan meliputi hubungan muatan

listrik dan garis gaya elektrik, hukum Gauss dan teorema divergensi .

Aplikasi dari hukum Gauss dan divergensi, selain

digunakan dalam menyelesaikan masalah muatan dan medan listrik terpa -kai pula dalam hidrodinamika .

PENDAHULUAN

Ada 2 karakteristik yang mengungkapkan bagaimana medan vektor berubah dari satu titik ke titik lain dalam ruang :

1. Divergensi

Divergensi vektor kerapatan fluks A adalah aliran keluar per satuan volume garis-garis fluks meninggalkan sebuah permukaan tertutup yang berukuran sangat kecil, dimana volume yang dilingkupi permukaan ini menjadikan

mendekati nol (mendekati besarnya titik) 2. Curl (rotasi)

3

Gradien, Divergensi & Curl

Operator Del

z k y j

x i 

 



 



 



z k y j

x i z k

y j

x i 

 



 



 



 







 



 



 

    

Gradien

Divergensi

 

z A y

A x

A

k A j

A i

A z k

y j x i

A



 



 



 









 







 



 



 





3 2

1

3 2

1

 

y k A x

j A x A z

i A z A y

A

A A

Ax y z k j

i

k A j A i A z k

y j xi

A



 







 



 



 







 



 



 







 



 











 









 







 



 



 





1 3 2

1 3 2

3 2

1

3 2

1

Curl

6

1. Flux listrik ,Ψ[C] (merupakan besa- ran skalar)

Menurut experimen Faraday:

Ψ = Q [C] ...(01) Flux listrik yang menembus setiap permu- kaan tertutup akan sama dengan total

muatan yang dilingkupi oleh permukaan tersebut.

Apabila pada permukaan bola dengan

jejari r terdapat muatan Q yang terdistri- busi secara merata pada permukaan bola maka kerapatan flux listrik pada permu- kaan bola, D (besaran vektor) adalah:

7

ar

r D Q ₂

4



ar

r D ^



_4dQ²

...(02) atau dalam bentuk integral :

...(2a) sedangkan , E :

sehingga D menjadi ,

D = ε₀ E ...(03)

r ar

E Q ₂

40



8

2. Hukum Gauss

Hukum Gauss menyatakan bahwa integral bidang tertutup kerapatan flux

elektrik sama dengan jumlah muatan yang dilingkupinya

Tinjau elemen luas dS , banyaknya flux listrik yang melaluinya adalah dΨ :

dΨ = D dS

dΨ = D dS cos θ

dΨ = D • dS

S = bidang tertutup dS

Q

a_N θ D

9

z k y j

x i 

 



 



 



3. Divergensi

Operator , “ del “ = 

…………(05)

Divergensi dalam sistem koordinat : a. Kartesian :

...(5a)

b. Silindris :

...(5b)

V dS A A

A

div    V 





lim .

0

z A y

A x

A A

div ^{x y z}



 



 



 

 

z A A

rA r r

A r

div _r ^z



 



 



 

 1 

1

10

c. Bola :

(5c)

Penerapan divergensi :

sehingga

div D =   D = ρ ...(06)

V Q V

dS A D

div _V ^enc

 

 

lim^{ 0 .}

V Q V

dS

D _enc

 



 .

 

_{ } ^  ^{ } _ _^

 



 



  A

A r A r

r r A r

div _r

sin sin 1

sin 1

1 ₂

2

Koordinat Kartesian

11

 

_{ } ^  ^{ } _ _^

 



 



  A

A r A r

r r A r

div _r

sin sin 1

sin 1

1 ₂

2

 

z

A A rA r

r A r

div _r ^z



 



 



 

 1 

1

z A y

A x

A A

div ^{x y z}



 



 



 

Koordinat Silindris

Koordinat Bola

12

4. Teorema Divergensi

∫_C.S D.dS = Q_enc = ∫_vol ρ dV

∫_C,S D.dS = ∫_vol (div D) dV ………..(07)

13

Contoh 1 Dalam daerah 0≤ r≤ 3m , D = (10r³/4) a_r dan D = 810/4r a_r untuk r >3m.

Tentukan rapat muatan dalam daerah- daerah tersebut.

Jawaban :

Untuk 0 ≤ r ≤ 3m , D = (10r³/4) a_r .

ρ = div D = = 10 r² C/m³ .

Untuk r >3m , D = 810/4r a_r

ρ = div D = = 0 C/m³ .

















4 10

1 r⁴

r r



 







 r r r

r 4

810 1

14

Contoh 2

Dengan teorema divergensi tentukan ruas kanan dan kirinya dari D = 10 sin θ a_r

+ 2 cos θ a_ untuk volum yang dicakup oleh bola yang berjejari r = 2 .

Jawaban :

∫_C.S D.dS = ∫_vol (div D)dV Ruas kiri :

∫_C.S D.dS = ∫_C.S (10 sin θ a_r + 2 cos θ a_ ) • r² sin θ dθ dφ a_r

15

= ∫ ∫ (10 sin θ r² sin θ dθ dφ

∫_C.S D.dS = ∫₀^∫_o^2(40 sin² θ dθ dφ = 40 ² Ruas kanan :

∫_vol (div D) dV =

div D = +

= 10 x + cos(2θ)/sin θ ∫_vol (div D)dV =

= ∫_vol 20 sinθ r sinθ dr dθ dφ …

+ ∫_vol (cos(2θ)/sinθ) r² sinθ dr dθ dφ



^10sin



1 ₂

2 r

r r 





^{ }





 ^{2cos sin} sin

1



 r

r

 sin 2

16

= ∫ 20r dr ∫ sin2θ dθ ∫ dφ ………

+ ∫r² dr ∫cos2θ dθ ∫dφ = 40² + 0 = 40²

Jadi ruas kanan = ruas kiri

17

Rangkuman :

1. Menurut experimen Faraday jumlah flux elektrik . ,  , sama dengan jumlah muatan , Q :

 = Q [C]

2. Kerapatan flux elektrik , D :

dan D = ε₀ E

3. Hukum Gauss :

 ^{ }



S

kupi yangdiling

Q dS

 D

18

4. Divergensi :

- Operator ’ del ’ ,  :

- Divergensi vektor A :

* Dalam koordinat Kartesian

* Dalam koordinat silindris

z A y

A x

A A

div ^{x y z}



 



 



 

 

z A A

rA r r

A r

div _r ^z



 



 



 

 1 

1

z az y ay

x ax 

 



 



 



19

* Dalam koordinat bola :

* Penerapan divergensi : ^{div D =}   D = ρ

5. Teorema divergensi :

∫_C.S D.dS = ∫_vol (div D) dV

 

_{ } ^  ^{ } _ _^

 



 



  A

A r A r

r r A r

div _r

sin sin 1

sin 1

1 ₂

2

LATIHAN

Diberikan D=(10x³)/3 ax (C/m²). Hitung kedua sisi ruas dari teorema Divergensi bagi suatu kubus yang bersisi 4 m, yang berpusat di titik asal.

20