Himpunan
Sumber: www.shutterstockcom
Apabila kalian dapat
menyebutkan atau menghitung anggota suatu himpunan, maka himpunan tersebut disebut
himpunan berhingga, contohnya adalah himpunan binatang
buas. Jika banyak anggota suatu himpunan tidak dapat dihitung, maka himpunan tersebut
disebut himpunan tak hingga, contohnya adalah kumpulan bintang di langit yang dapat kalian lihat di malam hari.
Cobalah kalian sebutkan contoh lain untuk himpunan tak hingga!
Sumber : Alexas_Fotos, pixabay.com
2.1.1 Pengertian Himpunan
Istilah kelompok, kumpulan, kelas, maupun gugus dalam matematika dikenal dengan istilah himpunan. Konsep tentang himpunan pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan
berkebangsaanJerman, yaitu Georg Cantor yang hidup antara tahun 1845−1918 Himpunan adalah kumpulan benda-benda yang didefinisikan
(diberi batasan) dengan jelas.
•Dalam hal ini, yang dimaksud didefinisikan dengan jelas adalah dapat ditentukan dengan tegas, benda apa saja yang termasuk dan yang tidak termasuk dalam suatu himpunan yang diketahui.
•Benda-benda yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota, elemen, atau unsur dari suatu himpunan. Untuk selanjutnya dipergunakan istilah
anggota atau elemen.
2.1 PENGERTIAN DAN KEANGGOTAAN SUATU HIMPUNAN
2.1 PENGERTIAN DAN KEANGGOTAAN SUATU
HIMPUNAN
Contoh:
1. Kumpulan hewan berkaki empat.
Yang merupakan anggota, misalnya: kerbau, kuda, sapi.
Yang bukan anggota, misalnya: ayam, itik.
Jadi, kumpulan di atas adalah himpunan, karena jelas batasannya.
2. Kelompok bilangan yang merupakan faktor dari 12.
Yang merupakan anggota adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.
Yang bukan anggota, misalnya: 5, 7, 8, 9, 10, 11.
Jadi, kelompok di atas adalah himpunan, karena jelas batasannya.
3. Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.
Pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasannya.
Karena tidak jelas batasannya, maka kumpulan tersebut bukan himpunan.
• Contoh 1 dan 2 merupakan himpunan, sebab dapat disebutkan dengan tegas benda yang merupakan anggota dan yang bukan anggota kelompok
tersebut.
• Pada contoh 3, batasannya tidak jelas. Oleh karena itu, contoh tersebut bukan merupakan himpunan.
Jadi, kumpulan atau kelompok tidak dapat disebut himpunan jika batasannya tidak jelas.
• Contoh 1 dan 2 merupakan himpunan, sebab dapat disebutkan dengan tegas benda yang merupakan anggota dan yang bukan anggota kelompok
tersebut.
• Pada contoh 3, batasannya tidak jelas. Oleh karena itu, contoh tersebut bukan merupakan himpunan.
Jadi, kumpulan atau kelompok tidak dapat disebut
himpunan jika batasannya tidak jelas.
Himpunan dapat dinyatakan dengan menggunakan tanda kurung kurawal dan biasanya diberi nama dengan
menggunakan huruf kapital, misalnya A, B, C, D, dan
seterusnya sampai Z.
Misalkan himpunan buah- buahan di atas piring pada Gambar di samping diberi nama B, maka: B = {pisang, apel, mangga, belimbing}.
Himpunan dapat dinyatakan dengan menggunakan tanda kurung kurawal dan biasanya diberi nama dengan
menggunakan huruf kapital, misalnya A, B, C, D, dan
seterusnya sampai Z.
Misalkan himpunan buah- buahan di atas piring pada Gambar di samping diberi nama B, maka: B = {pisang, apel, mangga, belimbing}.
Sumber : RitaE, pixabay.com
2.1.2 ANGGOTA HIMPUNAN DAN LAMBANGNYA
2.1.2 ANGGOTA HIMPUNAN DAN LAMBANGNYA
2.1.2 ANGGOTA HIMPUNAN DAN LAMBANGNYA
2.1.2 ANGGOTA HIMPUNAN DAN LAMBANGNYA
• Banyak anggota suatu himpunan, misalnya anggota himpunan A dapat dinyatakan dengannotasi n(A).
• Jadi, notasi n(B) artinya banyak anggota pada
himpunan B dan n(C) artinya banyak anggota pada himpunan C.
• Banyak anggota suatu himpunan, misalnya anggota himpunan A dapat dinyatakan dengannotasi n(A).
• Jadi, notasi n(B) artinya banyak anggota pada
himpunan B dan n(C) artinya banyak anggota pada
himpunan C.
Contoh :
1. Diketahui himpunan bilangan asli genap yang kurang dari 9.
Misalkan himpunan tersebut diberi nama A, maka dapat ditulis:
A = {bilangan asli genap yang kurang dari 9}.
2. Diketahui P = {huruf-huruf pembentuk kata “siswa”}.
•Pada himpunan tersebut, kata siswa terdiri atas 5 huruf, yaitu s, i, s, w, dan a.
Karena terdapat anggota yang sama, yaitu s dan hanya boleh ditulis satu kali, : P = {s, i, w, a}.
•s anggota P, ditulis s ∈ P.
i anggota P, ditulis i ∈ P.
w anggota P, ditulis w ∈ P.
u bukan anggota P, ditulis u ∉ P.
•Banyak anggota himpunan P adalah 4 buah, ditulis: n(P) = 4.
3. R = {huruf-huruf yang membentuk kata “konsonan”}, maka:
• R = {k, o, n, s, a}.
k anggota R, ditulis k ∈ R.
l bukan anggota R, ditulis l ∉ R.
n anggota R, ditulis n ∈ R.
• Banyak anggota himpunan R adalah 5 buah, ditulis: n(R)
= 5.
LANJUTAN CONTOH :
LANJUTAN CONTOH :
1. Himpunan bilangan bulat, biasanya diberi nama B;
B = {. . . , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}.
2. Himpunan bilangan asli, biasanya diberi nama A;
A = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}.
3. Himpunan bilangan cacah, biasanya diberi nama C;
C = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}.
4. Himpunan bilangan cacah ganjil, yaitu {1, 3, 5, 7, 9, . . .}.
5. Himpunan bilangan cacah genap, yaitu {2, 4, 6, 8, 10, . . .}.
6. Himpunan bilangan prima, yaitu {2, 3, 5, 7, 11, . . .}. Bilangan prima adalah
bilangan yang mempunyai tepat dua faktor yang berbeda, atau bilangan yang hanya habis dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri (kecuali 1).
7. Himpunan bilangan cacah kuadrat, yaitu {0, 1, 4, 9, 16, . . .}.
8. Himpunan bilangan cacah pangkat 3, yaitu {0, 1, 8, 27, 64, . . .}.
9. Himpunan bilangan komposit, yaitu {4, 6, 8, 9, 10, . . .}. Bilangan komposit (tersusun) adalah bilangan cacah yang mempunyai lebih dari dua faktor.
2.1.3 MENGENAL BEBERAPA HIMPUNAN BILANGAN
2.1.3 MENGENAL BEBERAPA HIMPUNAN BILANGAN
Kamu bisa menguji pemahaman dengan mengerjakan soal
Latihan 1 dan 2 pada halaman 77 dan 79
2.2.1 Menyatakan Himpunan dengan Kata-kata atau Sifat Keanggotaan
Contoh :
1. A = {Senin, Selasa, Sabtu}.
Penulisan dengan kata-kata atau sifat keanggotaan himpunan adalah:
A = {nama hari dalam seminggu yang dimulai dengan huruf S}.
2. C = {23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.
Penulisan dengan kata-kata atau sifat keanggotaan himpunan adalah:
C = {bilangan prima antara 20 dan 50}.
2.2 MENYATAKAN SUATU HIMPUNAN
2.2 MENYATAKAN SUATU HIMPUNAN
2.2.2 MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN NOTASI PEMBENTUK HIMPUNAN
2.2.2 MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN NOTASI PEMBENTUK HIMPUNAN
1. Nyatakan himpunan A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} dengan notasi pembentuk himpunan!
Jawab: A = {x | x bilangan cacah kurang dari 6} atau A = {x | x <
6, x bilangan cacah}.
A = {x | x < 6, x bilangan cacah} dibaca:
“A adalah himpunan x, dengan x kurang dari 6 dan x adalah bilangan cacah.”
3. Nyatakan himpunan C = {a, b, c, d} dengan notasi pembentuk himpunan!
Jawab:
C = { p | p empat huruf pertama dalam abjad}.
1. Nyatakan himpunan A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} dengan notasi pembentuk himpunan!
Jawab: A = {x | x bilangan cacah kurang dari 6} atau A = {x | x <
6, x bilangan cacah}.
A = {x | x < 6, x bilangan cacah} dibaca:
“A adalah himpunan x, dengan x kurang dari 6 dan x adalah bilangan cacah.”
3. Nyatakan himpunan C = {a, b, c, d} dengan notasi pembentuk himpunan!
Jawab:
C = { p | p empat huruf pertama dalam abjad}.
penulisan himpunan dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, jika semua anggota dapat ditulis, maka urutan penulisan boleh diabaikan.
1. P = {nama bulan dalam setahun yang diawali dengan huruf J}.
Penulisan dengan mendaftar anggota-anggotanya adalah sebagai berikut.
P = {Januari, Juni, Juli} atau P = {Juni, Januari, Juli}.
2. Q = {x | x < 5, x A}, dengan A adalah himpunan bilangan asli.∈ Dengan mendaftar anggota-anggotanya, himpunan itu ditulis sebagai berikut.
Q = {1, 2, 3, 4} atau Q = {3, 1, 4, 2}.
penulisan himpunan dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, jika semua anggota dapat ditulis, maka urutan penulisan boleh diabaikan.
1. P = {nama bulan dalam setahun yang diawali dengan huruf J}.
Penulisan dengan mendaftar anggota-anggotanya adalah sebagai berikut.
P = {Januari, Juni, Juli} atau P = {Juni, Januari, Juli}.
2. Q = {x | x < 5, x A}, dengan A adalah himpunan bilangan asli.∈ Dengan mendaftar anggota-anggotanya, himpunan itu ditulis sebagai berikut.
Q = {1, 2, 3, 4} atau Q = {3, 1, 4, 2}.
2.2.3 MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN MENDAFTAR ANGGOTA-ANGGOTANYA
2.2.3 MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN MENDAFTAR
ANGGOTA-ANGGOTANYA
2.2.3 MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN MENDAFTAR ANGGOTA-ANGGOTANYA
2.2.3 MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN MENDAFTAR ANGGOTA-ANGGOTANYA
Jika suatu himpunan mempunyai anggota sangat banyak, dan
memiliki pola tertentu, maka penulisannya dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah titik, dibaca “dan seterusnya”.
1. A = {bilangan asli}, dapat kita tuliskan sebagai:
A = {1, 2, 3, 4, . . .}. himpunan tak berhingga.
2. J = {bilangan cacah ganjil kurang dari 100}, maka:
J = {1, 3, 5, 7, 9, . . . , 99}. himpunan berhingga.
Jika suatu himpunan mempunyai anggota sangat banyak, dan
memiliki pola tertentu, maka penulisannya dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah titik, dibaca “dan seterusnya”.
1. A = {bilangan asli}, dapat kita tuliskan sebagai:
A = {1, 2, 3, 4, . . .}. himpunan tak berhingga.
2. J = {bilangan cacah ganjil kurang dari 100}, maka:
J = {1, 3, 5, 7, 9, . . . , 99}. himpunan berhingga.
Kamu bisa menguji pemahaman dengan
mengerjakan soal Latihan 3 pada
halaman 82
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak
mempunyai anggota, dapat ditulis dengan notasi atau simbol { } atau ∅
Perhatikan!
{ } adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dan {0} adalah himpunan yang mempunyai anggota. Banyak anggotanya adalah 1, yaitu 0.
Jadi, { } berbeda dengan {0}, atau { } ≠ {0}.
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak
mempunyai anggota, dapat ditulis dengan notasi atau simbol { } atau ∅
Perhatikan!
{ } adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dan {0} adalah himpunan yang mempunyai anggota. Banyak anggotanya adalah 1, yaitu 0.
Jadi, { } berbeda dengan {0}, atau { } ≠ {0}.
2.3 HIMPUNAN KOSONG
2.3 HIMPUNAN KOSONG
2.3 HIMPUNAN KOSONG 2.3 HIMPUNAN KOSONG
Contoh:
1.Himpunan bilangan kuadrat antara 50 dan 60 adalah himpunan kosong, karena antara 50 dan 60 tidak
terdapat bilangan kuadrat.
2.Himpunan nama hari dalam seminggu yang dimulai
dengan huruf J bukan himpunan kosong karena ada nama hari yang dimulai dengan huruf J, yaitu Jumat.
Contoh:
1.Himpunan bilangan kuadrat antara 50 dan 60 adalah himpunan kosong, karena antara 50 dan 60 tidak
terdapat bilangan kuadrat.
2.Himpunan nama hari dalam seminggu yang dimulai
dengan huruf J bukan himpunan kosong karena ada nama
hari yang dimulai dengan huruf J, yaitu Jumat.
• Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan.
• Himpunan semesta disebut juga semesta pembicaraan atau himpunan universum. Lambang himpunan
semesta adalah S.
• Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan.
• Himpunan semesta disebut juga semesta pembicaraan atau himpunan universum. Lambang himpunan
semesta adalah S.
Contoh: 1.
S = {murid-murid di sekolahmu}, A = {murid-murid di kelasmu}.
Ternyata himpunan S memuat semua anggota himpunan A sehingga
himpunan S merupakan himpunan semesta dari himpunan A.
Contoh: 1.
S = {murid-murid di sekolahmu}, A = {murid-murid di kelasmu}.
Ternyata himpunan S memuat semua anggota himpunan A sehingga
himpunan S merupakan himpunan semesta dari himpunan A.
2.4 HIMPUNAN SEMESTA
2.4 HIMPUNAN SEMESTA
2.4 HIMPUNAN SEMESTA 2.4 HIMPUNAN SEMESTA
3. C = {3, 5, 7}.
Himpunan-himpunan yang dapat memuat semua anggota himpunan C di antaranya
adalah {bilangan ganjil}, {bilangan prima}, atau {bilangan asli}.
Dengan demikian:
{bilangan ganjil}, {bilangan prima}, dan {bilangan asli}
merupakan himpunan semesta dari himpunan C.
3. C = {3, 5, 7}.
Himpunan-himpunan yang dapat memuat semua anggota himpunan C di antaranya
adalah {bilangan ganjil}, {bilangan prima}, atau {bilangan asli}.
Dengan demikian:
{bilangan ganjil}, {bilangan prima}, dan {bilangan asli}
merupakan himpunan semesta dari himpunan C.
2.5.1 Membuat Diagram Venn
•Cara lain untuk menyatakansuatu himpunan, yaitu dengan gambar atau diagram yang disebut diagram Venn.
•Diagram ini diperkenalkan pertama kali oleh John Venn, ahli matematika
berkebangsaan Inggris yang hidup pada tahun 1834−1923.
Sumber : upload.wikimedia.org
2.5 DIAGRAM VENN
2.5 DIAGRAM VENN
Ketentuan dalam membuat diagram Venn adalah sebagai berikut.
a. Himpunan semesta digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan di pojok kiri atas diberi simbol S.
b. Setiap anggota himpunan semesta ditunjukkan dengan sebuah noktah di dalam persegi panjang itu dan nama anggotanya
ditulis berdekatan dengan noktahnya. Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
c. Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tertutup sederhana. Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {2, 4, 6, 8}. Karena semua anggota himpunan A termuat di dalam himpunan S, maka himpunan A berada di dalam himpunanS
d. Untuk himpunan-himpunan yang mempunyai anggota sangat banyak, pada diagram Venn anggota-anggota tersebut tidak
digambarkan dengan noktah karena tidak praktis pengerjaannya.
Misal: S = {siswa di sekolahmu}, D = {siswa di kelasmu}.
Ketentuan dalam membuat diagram Venn adalah sebagai berikut.
a. Himpunan semesta digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan di pojok kiri atas diberi simbol S.
b. Setiap anggota himpunan semesta ditunjukkan dengan sebuah noktah di dalam persegi panjang itu dan nama anggotanya
ditulis berdekatan dengan noktahnya. Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
c. Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tertutup sederhana. Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {2, 4, 6, 8}. Karena semua anggota himpunan A termuat di dalam himpunan S, maka himpunan A berada di dalam himpunanS
d. Untuk himpunan-himpunan yang mempunyai anggota sangat banyak, pada diagram Venn anggota-anggota tersebut tidak
digambarkan dengan noktah karena tidak praktis pengerjaannya.
Misal: S = {siswa di sekolahmu}, D = {siswa di kelasmu}.
Contoh:
1.Buatlah diagram Venn dari himpunan- himpunan berikut!
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, P = {1, 3, 5, 7},
Q = {6, 7, 8}.
Contoh:
1.Buatlah diagram Venn dari himpunan- himpunan berikut!
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, P = {1, 3, 5, 7},
Q = {6, 7, 8}.
2. Buatlah diagram Venn himpunan-himpunan berikut!
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
A = {bilangan asli genap kurang dari 10}, K = {bilangan asli genap antara 1 dan 5}.
Jawab:Untuk membuat diagram Venn,
daftarlah terlebih dahulu anggota A dan K.
A = {2, 4, 6, 8}, K = {2, 4}.
Ternyata semua anggota K termuat dalam A,
2. Buatlah diagram Venn himpunan-himpunan berikut!
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
A = {bilangan asli genap kurang dari 10}, K = {bilangan asli genap antara 1 dan 5}.
Jawab:Untuk membuat diagram Venn,
daftarlah terlebih dahulu anggota A dan K.
A = {2, 4, 6, 8}, K = {2, 4}.
Ternyata semua anggota K termuat dalam A,
LANJUTAN CONTOH : LANJUTAN CONTOH :
3. Buatlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut!
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, E = {1, 3, 5}, F = {6, 8}.
Jawab: Perhatikan anggota-anggota E dan F!
Ternyata anggota-anggota E dan F tidak ada yang sama,
sehingga diagramnya seperti pada gambar di samping.
3. Buatlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut!
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, E = {1, 3, 5}, F = {6, 8}.
Jawab: Perhatikan anggota-anggota E dan F!
Ternyata anggota-anggota E dan F tidak ada yang sama,
sehingga diagramnya seperti pada
gambar di samping.
Kamu bisa menguji pemahaman dengan
mengerjakan soal
Latihan 4 - 6 pada
halaman 84 , 86, dan 88
2.6.1 Pengertian Himpunan Bagian
Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B, bila setiap anggota A menjadi
anggota B, ditulis dengan notasi A B⊂ Pada diagram Venn di samping, ternyata himpunan A termuat di dalam B. setiap
anggota A, yaitu a, b, dan c menjadianggota B. Dalam hal ini, dikatakan bahwa A adalah himpunan bagian dari B
Dari diagram Venn pada Gambar di samping, dapat juga dikatakan bahwa himpunan B
memuat A, ditulis dengan notasi B A.⊃ A B dibaca “A himpunan bagian dari B”.⊂ B A dibaca “himpunan B memuat A”.⊃
2.6 HIMPUNAN BAGIAN
2.6 HIMPUNAN BAGIAN
Contoh:
1. Diketahui himpunan-himpunan berikut.
A = {1, 2, 3, 4, 5}.
B = {anggota A yang genap}.
C = {anggota A yang lebih dari 3}.
Tentukan hubungan himpunan B dan C terhadap A!
Jawab:
• B = {2, 4}, maka {2, 4} {1, 2, 3, 4, 5} ⊂ atau B ⊂A.
• C = {4, 5}, maka {4, 5} {1, 2, 3, 4, 5} ⊂ atau C ⊂ A.
2. Untuk himpunan H = {a, b, c, d}, tulislah himpunan-himpunan bagian dari himpunan H
a. Mempunyai 2 anggota. b. Mempunyai 3 anggota.
Jawab:
a. Himpunan bagian dari H yang mempunyai 2 anggota adalah:
{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d},
{c, d}.
b. Himpunan bagian dari H yang mempunyai 3 anggota adalah:
{a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}.
Setiap himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan itu sendiri.
Jadi, untuk sembarang himpunan A, selalu berlaku A A. ⊂
Untuk setiap himpunan, misalnya himpunan A dan B berlaku:
Jika himpunan A B dan B A, maka himpunan A = B. ⊂ ⊂
A. HIMPUNAN A SEBAGAI HIMPUNAN BAGIAN DARI A
A. HIMPUNAN A SEBAGAI HIMPUNAN BAGIAN DARI A
A. HIMPUNAN A SEBAGAI HIMPUNAN BAGIAN DARI A A. HIMPUNAN A SEBAGAI HIMPUNAN BAGIAN DARI A
Contoh :Diketahui himpunan P = {m, a, r, g, i, n} dan Q = {m, i, g, r, a, n}.
a. Apakah P ⊂ Q?
b. Apakah Q ⊂ P?
c. Kesimpulan apa yang dapat ditemukan dari kedua himpunan tersebut?
Jawab:
a. Semua anggota himpunan P, yaitu m, a, r, g, i, dan n menjadi anggota Q, maka P ⊂ Q.
b. Semua anggota himpunan Q, yaitu m, i, g, r, a, dan n menjadi anggota P, maka Q ⊂ P.
c. Karena P ⊂ Q dan Q ⊂ P, maka terdapat hubungan satu-satu antara P dan Q. Dengan demikian, himpunan P
dan Q merupakan himpunan yang sama.
Contoh :Diketahui himpunan P = {m, a, r, g, i, n} dan Q = {m, i, g, r, a, n}.
a. Apakah P ⊂ Q?
b. Apakah Q ⊂ P?
c. Kesimpulan apa yang dapat ditemukan dari kedua himpunan tersebut?
Jawab:
a. Semua anggota himpunan P, yaitu m, a, r, g, i, dan n menjadi anggota Q, maka P ⊂ Q.
b. Semua anggota himpunan Q, yaitu m, i, g, r, a, dan n menjadi anggota P, maka Q ⊂ P.
c. Karena P ⊂ Q dan Q ⊂ P, maka terdapat hubungan satu-satu antara P dan Q. Dengan demikian, himpunan P
dan Q merupakan himpunan yang sama.
B. HIMPUNAN KOSONG SEBAGAI HIMPUNAN BAGIAN
B. HIMPUNAN KOSONG SEBAGAI HIMPUNAN BAGIAN
KEGIATAN SISWA
HALAMAN 91
2.6.2 MENENTUKAN SEMUA HIMPUNAN BAGIAN DARI SUATU HIMPUNAN
2.6.2 MENENTUKAN SEMUA HIMPUNAN BAGIAN DARI
SUATU HIMPUNAN
Dalam pola bilangan segitiga Pascal terdapat hubungan antara suatu bilangan dengan jumlah dua bilangan berdekatan yang terdapat
pada baris yang berada tepat di atasnya
Dalam pola bilangan segitiga Pascal terdapat hubungan antara suatu bilangan dengan jumlah dua bilangan berdekatan yang terdapat
pada baris yang berada tepat di atasnya
Pola bilangan segitiga Pascal pada Gambar di atas dapat digunakan untuk
menentukan banyak
himpunan bagian dari suatu himpunan
Pola bilangan segitiga Pascal pada Gambar di atas dapat digunakan untuk
menentukan banyak
himpunan bagian dari suatu himpunan
2.6.3 HIMPUNAN BAGIAN DAN POLA BILANGAN SEGITIGA PASCAL
2.6.3 HIMPUNAN BAGIAN DAN POLA BILANGAN
SEGITIGA PASCAL
Contoh:
Tentukan banyak himpunan bagian dari W = {a, b, c, d, e, f} yang mempunyai:a. satu anggota, b. tiga anggota, c. empat anggota.
Contoh:
Tentukan banyak himpunan bagian dari W = {a, b, c, d, e, f} yang mempunyai:a. satu anggota, b. tiga anggota, c. empat anggota.
Perhatikan keterangan pada pola bilangan segitiga Pascal di atas untuk himpunan dengan enam anggota, yaitu 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
a. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 1 anggota adalah 6.
b. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 3 anggota adalah 20.
c. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 4 anggota adalah 15.
Perhatikan keterangan pada pola bilangan segitiga Pascal di atas untuk himpunan dengan enam anggota, yaitu 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
a. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 1 anggota adalah 6.
b. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 3 anggota adalah 20.
c. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 4 anggota adalah 15.
Himpunan kuasa dari himpunan H adalah himpunan yang memuat semua himpunan bagian dari H.
Himpunan kuasa dari himpunan H ditulis dengan notasi P(H).
Himpunan kuasa dari himpunan H adalah himpunan yang memuat semua himpunan bagian dari H.
Himpunan kuasa dari himpunan H ditulis dengan notasi P(H).
Himpunan kuasa dari himpunan H dapat dinyatakan dengan notasi P(H) dan banyak
anggota dari himpunan kuasa P(H) dinyatakan dengan n(P(H)).
Dengan demikian, untukhimpunan H = {u, m, y} dapat dinyatakan sebagai berikut:
1. Himpunan kuasa dari himpunan H adalah:
P(H) = { , { ∅ u }, { m }, { y }, {u, m}, {u, y}, {m, y}, {u, m, y}}.
2. Banyak anggota dari himpunan kuasa H adalah:
n(P(H)) = 8.
Himpunan kuasa dari himpunan H dapat dinyatakan dengan notasi P(H) dan banyak
anggota dari himpunan kuasa P(H) dinyatakan dengan n(P(H)).
Dengan demikian, untukhimpunan H = {u, m, y} dapat dinyatakan sebagai berikut:
1. Himpunan kuasa dari himpunan H adalah:
P(H) = { , { ∅ u }, { m }, { y }, {u, m}, {u, y}, {m, y}, {u, m, y}}.
2. Banyak anggota dari himpunan kuasa H adalah:
n(P(H)) = 8.
2.6.4 HIMPUNAN KUASA
2.6.4 HIMPUNAN KUASA
Kamu bisa menguji pemahaman dengan
mengerjakan soal Latihan 7 dan 8 pada
halaman 91 dan 95
2.7.1 Irisan Himpunan
Irisan himpunan A dan B atau A ∩ B adalah suatu himpunan yang
anggota anggotanya merupakan
anggota himpunan A yang sekaligus menjadi anggota himpunan B juga.
Dengan notasi pembentuk himpunan, irisan A dan B
didefinisikan sebagai: A ∩ B = {x | x A dan x B}.
∈ ∈
2.7 OPERASI HIMPUNAN
2.7 OPERASI HIMPUNAN
1. Diketahui: K = {bilangan prima kurang dari 12}, L = {bilangan ganjil antara 2 dan 8}.
a. Tentukan K ∩ L dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah yang menyatakan K ∩ L!
Jawab:
a. K = {2, 3, 5, 7, 11} L = {3, 5, 7} b.
Anggota K yang sekaligus menjadi anggota L adalah 3, 5, dan 7, maka:
K ∩ L = {3, 5, 7}.
2. Diketahui: P = {1, 2, 3, 4, 5}, Q = {2, 4, 6, 8}.
a. Tentukan P ∩ Q dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah yang menyatakan P ∩ Q!
Jawab:
a. P = {1, 2, 3, 4, 5} b.
Q = {2, 4, 6, 8}
Anggota P yang sekaligus menjadi
anggota Q adalah 2 dan 4, maka:P ∩ Q = {2, 4}.
3. Diketahui: G = {1, 3, 5, 7}, H = {2, 4, 6}.
a. Tentukan G ∩ H dengan mendaftar anggota- anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah yang menyatakan G ∩ H!
Jawab:
a. G = {1, 3, 5, 7}
b. H = {2, 4, 6} H G ∩ H = ∅
Oleh karena G ∩ H tidak mempunyai
anggota,maka tidak ada daerah yang diarsir.
a. Pengertian Gabungan Himpunan
Gabungan himpunan A dan B atau A B adalah suatu ∪ himpunan yang anggota-anggotanya merupakan
anggota A, atau anggota B, atau anggota persekutuan A dan B. Dengan notasi pembentuk himpunan,
gabungan A dan B didefinisikan sebagai:
A B = { x | x A atau x B }. ∪ ∈ ∈
2.7.2 GABUNGAN (UNION) HIMPUNAN
2.7.2 GABUNGAN (UNION) HIMPUNAN
2.7.2 GABUNGAN (UNION) HIMPUNAN 2.7.2 GABUNGAN (UNION) HIMPUNAN Contoh:
1. Diketahui: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5}.
a. Nyatakan A ∪ B dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah A ∪ B!
Jawab:
a. A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {3, 5} b.
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
Contoh:
1. Diketahui: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5}.
a. Nyatakan A ∪ B dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah A ∪ B!
Jawab:
a. A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {3, 5} b.
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
2. Diketahui: E = {bilangan asli genap kurang dari 10}, F = {bilangan asli ganjil kurang dari 10}.
a. Nyatakan E ∪ F dengan mendaftar anggota- anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah E ∪ F!
Jawab:
a. E = {2, 4, 6, 8} b.
F = {1, 3, 5, 7, 9}
E ∪ F = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
2. Diketahui: E = {bilangan asli genap kurang dari 10}, F = {bilangan asli ganjil kurang dari 10}.
a. Nyatakan E ∪ F dengan mendaftar anggota- anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah E ∪ F!
Jawab:
a. E = {2, 4, 6, 8} b.
F = {1, 3, 5, 7, 9}
E ∪ F = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
3. Diketahui: K = {bilangan asli kurang dari 7},
L = {lima bilangan prima yang pertama}.
a. Nyatakan K ∪ L dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah K ∪ L!
Jawab:
a. K = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b. S
L = {2, 3, 5, 7, 11}
K ∪ L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11}
3. Diketahui: K = {bilangan asli kurang dari 7},
L = {lima bilangan prima yang pertama}.
a. Nyatakan K ∪ L dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah K ∪ L!
Jawab:
a. K = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b. S
L = {2, 3, 5, 7, 11}
K ∪ L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11}
Perhatikan Gambar di samping!
Banyak anggota himpunan P, yaitu n(P) = (a + b).
Banyak anggota himpunan Q, yaitu n(Q) = (b + c).
Banyak anggota irisan P dan Q, yaitu n(P ∩ Q) = b.
n(P ∪ Q) = a + b + c
= a + b + c + b – b setelah ditambah b, di-
= (a + b) + (b + c) – b kurang lagi dengan b, n(P ∪ Q) = n(P) + n(Q) – n(P ∩ Q)
Perhatikan Gambar di samping!
Banyak anggota himpunan P, yaitu n(P) = (a + b).
Banyak anggota himpunan Q, yaitu n(Q) = (b + c).
Banyak anggota irisan P dan Q, yaitu n(P ∩ Q) = b.
n(P ∪ Q) = a + b + c
= a + b + c + b – b setelah ditambah b, di-
= (a + b) + (b + c) – b kurang lagi dengan b,
n(P ∪ Q) = n(P) + n(Q) – n(P ∩ Q)
KEGIATAN SISWA HALAMAN 99
B. BANYAK ANGGOTA DARI GABUNGAN HIMPUNAN
B. BANYAK ANGGOTA DARI GABUNGAN HIMPUNAN
Contoh:
1. Diketahui: A = {semua faktor dari 24}, dan B = {bilangan cacah genap yang kurang dari 15}.
a. Tentukan A ∪ B dengan mendaftar anggota-anggotanya, kemudian tulislah n(A ∪ B)!
b. Tentukan n(A ∪ B) dengan menggunakan rumus!
Jawab:
a. A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.
A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 24}.
Jadi, n(A ∪ B) = 11.
b. A ∩ B = {2, 4, 6, 8, 12}, maka n(A ∩ B) = 5.
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 8 + 8 – 5 = 11.
Contoh:
1. Diketahui: A = {semua faktor dari 24}, dan B = {bilangan cacah genap yang kurang dari 15}.
a. Tentukan A ∪ B dengan mendaftar anggota-anggotanya, kemudian tulislah n(A ∪ B)!
b. Tentukan n(A ∪ B) dengan menggunakan rumus!
Jawab:
a. A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}.
A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 24}.
Jadi, n(A ∪ B) = 11.
b. A ∩ B = {2, 4, 6, 8, 12}, maka n(A ∩ B) = 5.
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 8 + 8 – 5 = 11.
2. Diketahui himpunan P dan Q dengan n(P) = 21 dan n(Q) = 17. Jika n(P ∪ Q) = 30,
tentukan n(P ∩ Q)!
Jawab:
n(P ∪ Q) = n(P) + n(Q) – n(P ∩ Q) 30 = 21 + 17 – n(P ∩ Q)
30 = 38 – n(P ∩ Q) n(P ∩ Q) = 38 – 30
= 8.
Selisih himpunan A dan B atau A – B adalah himpunan semua
anggota A yang tidak menjadi anggota B.
Dengan notasi pembentuk himpunan, selisih himpunan A dan B
didefinisikan sebagai:
A – B = { x | x A dan x B }. ∈ ∉
Selisih himpunan A dan B atau A – B adalah himpunan semua
anggota A yang tidak menjadi anggota B.
Dengan notasi pembentuk himpunan, selisih himpunan A dan B
didefinisikan sebagai:
A – B = { x | x A dan x B }. ∈ ∉
2.7.3 SELISIH DUA HIMPUNAN
2.7.3 SELISIH DUA HIMPUNAN
2.7.3 SELISIH DUA HIMPUNAN 2.7.3 SELISIH DUA HIMPUNAN Contoh
Diketahui: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 3, 4, 7}, dan B = {2, 3, 5, 6, 7}.
Tentukan selisih himpunan berikut!
a. A – B b. B – A
Jawab:
a. Anggota A yang tidak menjadi anggota B adalah 1 dan 4, maka:
A – B = {1, 4}.
b. Anggota B yang tidak menjadi anggota A adalah 2, 5, dan 6, maka:
B – A = {2, 5, 6}.
Contoh
Diketahui: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 3, 4, 7}, dan B = {2, 3, 5, 6, 7}.
Tentukan selisih himpunan berikut!
a. A – B b. B – A
Jawab:
a. Anggota A yang tidak menjadi anggota B adalah 1 dan 4, maka:
A – B = {1, 4}.
b. Anggota B yang tidak menjadi anggota A adalah 2, 5, dan 6, maka:
B – A = {2, 5, 6}.
2. Diketahui: P = {semua faktor dari 15}, dan
Q = {bilangan asli kelipatan 4 yang kurang dari 20}.
Dengan mendaftar anggota-anggotanya, tentukan himpunan berikut:
a. P ∩ Q c. Q – P b. P – Q
Jawab:
P = {1, 3, 5, 15} dan Q = {4, 8, 12, 16}.
a. P ∩ Q = { }
b. P – Q = {1, 3, 5, 15} = P c. Q – P = {4, 8, 12, 16} = Q
2. Diketahui: P = {semua faktor dari 15}, dan
Q = {bilangan asli kelipatan 4 yang kurang dari 20}.
Dengan mendaftar anggota-anggotanya, tentukan himpunan berikut:
a. P ∩ Q c. Q – P b. P – Q
Jawab:
P = {1, 3, 5, 15} dan Q = {4, 8, 12, 16}.
a. P ∩ Q = { }
b. P – Q = {1, 3, 5, 15} = P
c. Q – P = {4, 8, 12, 16} = Q
Dari diagram Venn di samping, tentukan
selisih himpunan berikut!
a. S – (P ∩ Q) c. (P ∪ Q) – (P ∩ Q) b. S – (P ∪ Q)
Jawab: a. S – (P ∩ Q) = S – {c, d} c. (P ∪ Q) – (P ∩ Q)
= {a, b, e, f, g, h, i, j}. = {a, b, e, c, d, f, g} – {c, d}
= {a, b, e, f, g}.
b. S – (P ∪ Q) = S – {a, b, e, c, d, f, g}
= {h, i, j}.
Dari diagram Venn di samping, tentukan
selisih himpunan berikut!
a. S – (P ∩ Q) c. (P ∪ Q) – (P ∩ Q) b. S – (P ∪ Q)
Jawab: a. S – (P ∩ Q) = S – {c, d} c. (P ∪ Q) – (P ∩ Q)
= {a, b, e, f, g, h, i, j}. = {a, b, e, c, d, f, g} – {c, d}
= {a, b, e, f, g}.
b. S – (P ∪ Q) = S – {a, b, e, c, d, f, g}
= {h, i, j}.
Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggotaanggotanya
merupakan anggota S yang bukan anggota A.
Dengan notasi pembentuk himpunan dapat ditulis:
A’ = {x | x ∉ A dan x ∈ S}.
Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggotaanggotanya
merupakan anggota S yang bukan anggota A.
Dengan notasi pembentuk himpunan dapat ditulis:
A’ = {x | x ∉ A dan x ∈ S}.
2.7.4 KOMPLEMEN HIMPUNAN
2.7.4 KOMPLEMEN HIMPUNAN
Contoh: Diketahui: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 6}.
a. Nyatakan A ∪ (A ∩ B) dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dengan memberi arsiran!
Contoh: Diketahui: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 6}.
a. Nyatakan A ∪ (A ∩ B) dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dengan memberi arsiran!
Jawab: a. A ∪ (A ∩ B) = {2, 4, 6, 8, 10} {1, 3}∪ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}.
b. Langkah-langkah membuat diagram Venn A ’ ∪ (A ∩ B) adalah:
A ‘ A ∩ B A ’ ∪ (A ∩ B)
Kamu bisa menguji pemahaman dengan
mengerjakan soal
Latihan 9, 10, 11, 12 pada
halaman 97, 100, 103, 105
1. Setelah diadakan pencatatan terhadap 50 anak tentang jenis olahraga yang digemari, terdapat 32 anak gemar voli, 40 anak gemar bulu tangkis, dan 25 anak gemar kedua-duanya.
a. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas!
b. Berapa anak yang tidak gemar voli maupun bulu tangkis?
1. Setelah diadakan pencatatan terhadap 50 anak tentang jenis olahraga yang digemari, terdapat 32 anak gemar voli, 40 anak gemar bulu tangkis, dan 25 anak gemar kedua-duanya.
a. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas!
b. Berapa anak yang tidak gemar voli maupun bulu tangkis?
2.8 PENGGUNAAN DIAGRAM VENN UNTUK IRISAN DAN GABUNGAN HIMPUNAN
2.8 PENGGUNAAN DIAGRAM VENN UNTUK IRISAN DAN
GABUNGAN HIMPUNAN
Jawab:
a. V = {anak yang gemar voli}
B = {anak yang gemar bulu tangkis}
Yang hanya gemar voli : 32 – 25 = 7 anak.
yang hanya gemar bulu tangkis 40 – 25 = 15 anak.
b. Banyak anak yang tidak gemar voli maupun bulu tangkis adalah 3 anak. Yang tidak gemar voli maupun bulu tangkis, yaitu:
50 – (7 + 25 + 15) = 50 – 47 = 3 anak.
2. Dalam sebuah kelas terdapat 40 orang siswa, 25 orang gemar
minum es buah, 35 orang gemar minum es krim, dan yang gemar kedua minuman tersebut sebanyak x orang.
a. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas!
b. Berapa orang siswa yang gemar kedua jenis minuman tersebut?
2. Dalam sebuah kelas terdapat 40 orang siswa, 25 orang gemar
minum es buah, 35 orang gemar minum es krim, dan yang gemar kedua minuman tersebut sebanyak x orang.
a. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas!
b. Berapa orang siswa yang gemar kedua jenis minuman tersebut?
Jawab :
a.
Jawab :
a. b. 25 – x + x + 35 – x = 40
60 – x = 40 x = 20
Jadi, yang gemar kedua jenis minuman tersebut adalah 20 orang siswa.
