Fungsi Konveks
Fungsi konveks pertama kali diperkenalkan oleh Holder, Stolz dan Hadamard pada tahun 1889-1893 dan terus menerus mengalami perkembangan setelah munculnya penelitian Jensen pada tahun 1905 yang berjudul “Sur les functions convexes et les inegalites entre les valeurs moyennes”.
Suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu selang I disebut fungsi konveks pada selang tersebut apabila untuk sebarang dua titik x , y∈I untuk setiap t dalam [0,1] berlaku:
f(tx+(1−t)y)≤ tf(x)+ (1−t)f(y)
Secara grafik, fungsi konveks dapat diinterpretasikan sebagai suatu fungsi yang grafiknya berada di bawah ruas garis artinya ruas garis yang ditarik antara titik (y , f(y)) dan (x , f(x)) berada di atas grafik fungsi f . Dengan kata lain dapat juga dikatakan bahwa fungsi adalah fungsi konveks jika dan hanya jika epigraf (bagian di atas grafik) fungsi itu merupakan himpunan cembung. Sebaliknya, grafik fungsi konkaf berada di atas ruas garis yang menghubungkan titik (y , f (y)) dan
(x , f(x)) untuk sebarang dua titik x , y∈I
Suatu fungsi dikatakan fungsi konveks tegas (strictly convex) jika : f(x+t(y−x))−f(x)<t(f(y)−f(x)),∀x , y∈I
Teorema Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan dua kali adalah fungsi konveks pada I jika dan hanya jika :
f' '(x)≥0,∀x∈I
Dan Strictly convex jika memenuhi:
f' '(x)≥0,∀x∈I
Optimasi Konveks
Permasalahan optimasi dalam kelas program konveks (CP) merupakan permasalahan optimasi dengan karakteristik khusus, yaitu fungsi obyektif dan kendalanya terdefinisi pada daerah feasibel yang berupa himpunan konveks.
Pada bagian ini dibahas mengenai formulasi masalah optimisasi secara umum.
Pandang masalah optimisasi dalam bentuk standar berikut ini:
Minimumkan f0(x)
Dengan kendala : fi(x)≤0, i=1,2, …,m hi(x)=0, i=1,2,… , p
Dengan fi, hi:Rn→ R
Dengan x adalah variabel optimisasi; f0 adalah fungsi tujuan atau fungsi biaya, fi(x)≤0 adalah kendala ketaksamaan. Secara geometri, masalah ini berhubungan dengan meminimumkan f0 , atas suatu himpunan yang dideskripsikan sebagai irisan himpunan sublevel-0 dari fi,∀i dengan wilayah dideskripsikan oleh himpunan solusi-0 dari hi,∀i
Titik x adalah layak jika memenuhi kendala-kendala; himpunan layak C adalah himpunan semua titik layak; dan masalah adalah layak jika terdapat titik layak.
Masalah dikatakan tak terbatas jika m=p=0 . Nilai Optimal dinotasikan sebagai f¿=infx∈Cf0(x) dan f¿=+∞ jika masalah tak layak. Titik x∈C adalah titik optimal jika f(x)=f¿ dan himpunan optimal adalah Xopt={x∈C|f(x)=f¿} Secara implisit kendala dapat dinyatakan sebagai : x∈dom fi , x∈domhi yaitu x harus berada dalam himpunan
D=domf0∩… ∩ domfm∩ domh1∩… ∩dom hp yang disebut dengan domain masalah.
Suatu masalah layak adalah kasus khusus dari masalah standar, yang merupakan pencarian sebarang titik layak. Maka masalah sesungguhnya adalah
Mencari x∈C
Atau menentukan C=∅Secara ekuivalen, masalah layak adalah masalah yang menyelesaikan sistem persamaan atau ketaksamaan
fi(x)≤0, i=1,2, … ,m hi(x)=0, i=1,2,… , p
atau menentukan bahwa masalah tak konsisten.
Suatu masalah optimisasi dalam bentuk standar adalah masalah optimisasi konveks jika
f0, f1, … , fm semuanya konveks dan hi semuanya affine Meminimumkan f0(x)
Dengan kendala : fi(x)≤0, i=1,2, …,m
aiTx−bi=0, i=1,2, … , p
Referensi:
Gunawan.Hendra.(2016).Pengantar Analisis Real. Bandung:Penerbit ITB
Caturiyati,Himmawati Puji Lestari.(2011).Optimasi Konveks: Konsep-konsep.
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta ,Yogyakarta: 14 Mei 2011.Hal.367-374
