KED
FUNGSI PERIODIK
Suatu fungsi 𝑓 𝑥 dikatakan suatu fungsi periodik dengan periode T, jika untuk setiap x berlaku 𝑓 𝑥 + 𝑇 = 𝑓 𝑥 , dimana T konstanta positif. T adalah nilai positif terkecil dari periode yang disingkat periode 𝑓 𝑥 .
Contoh
Fungsi sin 𝑥 mempunyai perioda 2𝜋, 4𝜋, 6𝜋, . . . karena sin 𝑥 + 2𝜋 , sin 𝑥 + 4𝜋 , sin 𝑥 + 6𝜋 , . . . = sin 𝑥 dan 2𝜋 adalah nilai positif terkecil maka 2𝜋 adalah periode sin 𝑥.
DERET FOURIER
Deret fourier merupakan himpunan bagian suatu fungsi yang periodik.
Misalkan 𝑓 𝑥 didefinisikan pada selang – 𝐿, 𝐿 dan diluar selang ini oleh 𝑓 𝑥 + 2𝐿 = 𝑓 𝑥 yaitu diandaikan bahwa 𝑓 𝑥 mempunyai periode 2L. Deret fourier yang bersesuaian dengan 𝑓 𝑥 yaitu
𝑓 𝑥 =𝑎0
2 + 𝑎𝑛cos𝑛𝜋𝑥
𝐿 + 𝑏𝑛sin𝑛𝜋𝑥 𝐿
∞
𝑛=1
Dengan
Maka jika suatu fungsi 𝑓 𝑥 dengan periode 2𝜋 maka deret fouriernya
𝑓 𝑥 =𝑎0
2 + 𝑎𝑛cos 𝑛𝑥 + 𝑏𝑛sin 𝑛𝑥
∞
𝑛=1
Dengan
𝑎
𝑛= 1
𝐿 𝑓 𝑥 cos 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
, dengan 𝑛 = 0, 1, 2, 3, …
𝑏
𝑛= 1
𝐿 𝑓 𝑥 sin 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
, dengan 𝑛 = 0, 1, 2, 3, …
𝑎
0= 1
𝜋 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
𝑏
𝑛= 1
𝜋 𝑓 𝑥 sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
, dengan 𝑛 = 1, 2, 3, … 𝑎
𝑛= 1
𝜋 𝑓 𝑥 cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
, dengan 𝑛 = 1, 2, 3, …
KED
Batasan integral dapat berubah tetapi harus tetap dalam selang 2𝜋. Misal … 𝑑𝑥02𝜋 atau −5𝜋 4… 𝑑𝑥
−𝜋 4
Contoh
Tentukan deret fourier fungsi berperiode 2𝜋 berikut
𝑓 𝑡 = −1, jika – 𝜋 < 𝑡 < 01, jika 0 < 𝑡 < 𝜋
Jawab:
Deret fourier : Menentukan 𝑎0, 𝑎𝑛, 𝑏𝑛
Karena
Maka
Maka deret fourier untuk fungsi 𝑓 𝑡 adalah
𝑓 𝑡 =4 𝜋
sin 2𝑛 − 1 𝑡 2𝑛 − 1
∞ 𝑛=1
𝑓 𝑡 =𝑎0
2 + 𝑎𝑛cos 𝑛𝑡 + 𝑏𝑛sin 𝑛𝑡
∞ 𝑛=1
𝑏𝑛 =1
𝜋 𝑓 𝑡 sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡
𝜋
−𝜋
=1
𝜋 − sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡
0
−𝜋
+ sin 𝑛𝑡 𝑑𝑡
𝜋
0
= 2
𝑛𝜋 1 − cos 𝑛𝜋 𝑎0=1
𝜋 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝜋
−𝜋
= 1
𝜋 −1𝑑𝑡
0
−𝜋
+ 1𝑑𝑡
𝜋
0
= 0
𝑎𝑛 = 1
𝜋 𝑓 𝑡 cos 𝑛𝑡 𝑑𝑡
𝜋
−𝜋
= 1
𝜋 − cos 𝑛𝑡 𝑑𝑡
0
−𝜋
+ cos 𝑛𝑡 𝑑𝑡
𝜋
0
= 0
cos 𝑛𝜋 = 𝑛 ganjil = −1
𝑛 genap = 1 = −1 𝑛
𝑏𝑛 = 2
𝑛𝜋 1 − −1 𝑛 = 4
𝑛𝜋, 𝑛 ganjil 0, 𝑛 genap
KED
Tugas
Tentukan deret fourier dr fungsi-fungsi berikut yang masing-masing berperioda 2𝜋 1.
2.
3.
𝑓 𝑡 = 3, −𝜋 < 𝑡 < 0
−2, 0 < 𝑡 < 𝜋 𝑓 𝑡 = 0, −𝜋 < 𝑡 < 0 𝑡2, 0 < 𝑡 < 𝜋 𝑓 𝑡 = 𝑡, 0 < 𝑡 < 2𝜋
