Grup Lie dan Teori Untingan

Grup Lie Grup Lie

Definisi:

Sebuah manifold diferensiabel 𝐺 yang juga merupakan sebuah grup dikatakan sebagai sebuah grup Lie jika pemetaan di bawah ini bersifat diferensiabel:

𝐺 × 𝐺 → 𝐺 (𝑔₁, 𝑔₂) ↦ 𝑔₁∙ 𝑔₂ dan

𝐺 → 𝐺 𝑔 ↦ 𝑔⁻¹ Contoh:

a) Sebuah grup 𝐺 = ℝ^𝑛 dengan operasi penjumlahan merupakan grup Lie.

b) Grup 𝐺 = GL(𝑛; ℝ) = {𝐴 ∈ Mat(𝑛 × 𝑛; ℝ)| det(𝐴) ≠ 0} ⊂ Mat(𝑛 × 𝑛; ℝ) merupakan sub himpunan buka karena det: Mat(𝑛 × 𝑛; ℝ) → ℝ bersifat kontinyu.

Pemetaan perkalian (𝐴, 𝐵) ↦ 𝐴 ∙ 𝐵 diferensiabel karena koefesien matriks 𝐴 ∙ 𝐵 berupa polinomial pada koefesien matrik 𝐴 dan 𝐵. Pemetaan invers 𝐴 → 𝐴⁻¹ diferensiabel karena koefesien matriks 𝐴⁻¹ berupa fungsi rasional pada koefesien matriks 𝐴.

c) Grup GL(𝑛; ℂ) ⊂ Mat(𝑛 × 𝑛; ℂ) = ℂ^𝑛2 = ℝ^(2𝑛)2 merupakan grup Lie.

Teorema:

Misalkan 𝐺 merupakan grup Lie dan 𝐻 ⊂ 𝐺 merupakan sub grup yang tertutup sebagai sebuah sub himpunan. Maka 𝐻 ⊂ 𝐺 adalah sebuah sub manifold dan menjadi grup Lie dengan sendirinya.

Contoh:

a) Grup 𝐻 = O(𝑛) ≔ {𝐴 ∈ GL(𝑛; ℝ)|𝐴^𝑡∙ 𝐴 = 𝕀_𝑛} disebut grup orthogonal. Grup O(𝑛) merupakan sebuah sub grup, untuk 𝐴, 𝐵 ∈ O(𝑛) diperoleh:

(𝐴𝐵)^𝑡∙ (𝐴𝐵) = 𝐵^𝑡𝐴^𝑡𝐴𝐵 = 𝐵^𝑡𝕀_𝑛𝐵 = 𝐵^𝑡𝐵 = 𝕀_𝑛

Sehingga 𝐴𝐵 ∈ O(𝑛). Hal yang sama juga untuk 𝐴 ∈ O(𝑛) diperoleh 𝐴⁻¹ = 𝐴^𝑡 sehingga 𝕀_𝑛 = 𝐴 ∙ 𝐴⁻¹= (𝐴⁻¹)^𝑡∙ 𝐴⁻¹. Oleh karena itu, 𝐴⁻¹∈ O(𝑛). Grup O(𝑛) ⊂ GL(𝑛; ℝ) merupakan sub himpunan tertutup karena pemetaan 𝐴 → 𝐴^𝑡𝐴 bersifat kontinyu yakni 𝐴^𝑡∙ 𝐴 = 𝕀_𝑛 berupa kondisi tertutup.

b) Grup 𝐻 = SL(𝑛; ℝ) ≔ {𝐴 ∈ Mat(𝑛 × 𝑛; ℝ| det(𝐴) = 1} disebut grup linier spesial.

c) Grup 𝐻 = SO(𝑛) ≔ O(𝑛) ∩ SL(𝑛; ℝ) disebut grup orthogonal spesial.

d) Grup 𝐻 = U(𝑛) ≔ {𝐴 ∈ Mat(𝑛 × 𝑛; ℂ)|𝐴^∗∙ 𝐴 = 1} disebut grup unitari dimana 𝐴^∗ ≔ (𝐴̅)^𝑡.

e) Grup 𝐻 = SL(𝑛; ℝ) ≔ {𝐴 ∈ Mat(𝑛 × 𝑛; ℂ)| det(𝐴) = 1} disebut grup linier khusus.

f) Grup 𝐻 = SU(𝑛) ≔ U(𝑛) ∩ SL(𝑛; ℂ) disebut grup unitari spesial.

Contoh:

Misalkan 𝐺 dan 𝐺^′ merupakan grup Lie. Maka 𝐺 × 𝐺^′ merupakan grup Lie dengan struktur grup diperoleh sebagai berikut:

(𝑔₁, 𝑔₁^′) ∙ (𝑔₂∙ 𝑔₂^′) ≔ (𝑔₁∙ 𝑔₂, 𝑔₁^′ ∙ 𝑔₂^′) (𝑔, 𝑔^′)⁻¹≔ (𝑔⁻¹, (𝑔^′)⁻¹)

Definisi:

Misalkan 𝐺. 𝐻 merupakan grup Lie. Sebuah homomorfisma grup diferensiabel 𝜑: 𝐺 → 𝐻 disebut homomorfisma pada grup Lie. Sebuah homomorfisma grup Lie 𝜑: 𝐺 → 𝐻 disebut isomorfisma pada grup Lie jika pemetaan tersebut invertibel dan inversnya juga merupakan homomorfisma grup Lie. Pada kasus ini, 𝐺 dan 𝐻 dikatakan isomorfik sebagai grup Lie.

Contoh:

Untuk setiap 𝐴 ∈ 𝐺 = SO(2), 𝐴 = (𝑎 𝑐

𝑏 𝑑) sehingga kondisi di bawah in 1 = 𝐴^𝑡∙ 𝐴 = (𝑎 𝑏

𝑐 𝑑) ∙ (𝑎 𝑐

𝑏 𝑑) = (𝑎²+ 𝑏² 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 𝑐²+ 𝑑²) menghasilkan persamaan

𝑎²+ 𝑏² = 1 𝑐²+ 𝑑² = 1 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 = 0.

Selanjutnya diperoleh kondisi

1 = det(𝐴) = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐.

Persamaan di atas, masing-masing dikali dengan 𝑐 dan 𝑑 diperoleh 𝑐 = 𝑎𝑐𝑑 − 𝑏𝑐² = −𝑏(𝑐²+ 𝑑²) = −𝑏

𝑑 = 𝑎𝑑²− 𝑏𝑐𝑑 = 𝑎(𝑐²+ 𝑑²) = 𝑎 Sehingga setiap 𝐴 ∈ SO(2) mempunyai bentuk 𝐴 = (𝑎 −𝑏

𝑏 𝑎 ) dengan 𝑎²+ 𝑏² = 1. Oleh karena itu, terdapat 𝜑 ∈ ℝ sedemikian sehingga (𝑎

𝑏) = (cos 𝜑

sin 𝜑) dan diperoleh:

SO(2) = {(cos 𝜑 − sin 𝜑

sin 𝜑 cos 𝜑 )| 𝜑 ∈ ℝ}.

Untuk 𝐻 = U(1), diperoleh:

U(1) = {(𝑧) ∈ GL(1; ℂ)|𝑧̅ ∙ 𝑧 = 1}

U(1) = {(𝑧)||𝑧| = 1}

U(1) = {(𝑒^𝑖𝜑)|𝜑 ∈ ℝ}.

Sehingga pemetaan di bawah ini

SO(2) → U(1), (cos 𝜑 − sin 𝜑

sin 𝜑 cos 𝜑 ) ↦ (𝑒^𝑖𝜑),

Merupakan sebuah isomorfisma dari grup Lie. Untuk melihat bawah pemetaan di atas merupakan homomorfisma grup, gunakan teorema penjumlahan untuk fungsi sin dan cos.

Untuk memerikasa sifat invertibel digunakan rumus Euler. Sehingga U(1) ≅ SO(2).

Keduanya isomorfik terhadap lingkaran satuan 𝑆¹.

Aljabar Lie Definisi:

Sebuah ruang vektor 𝑉 dengan pemetaanya [∙,∙]: → 𝑉 × 𝑉 → 𝑉 dikatakan sebagai sebuah grup Lie jika memenuhi beberapa kondisi di bawah ini:

1) Pemetaan [∙,∙] bersifat bilinier.

2) Pemetaan [∙,∙] bersifat antisimetrik yakni untuk setiap 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉: [𝑣, 𝑤] = −[𝑣, 𝑤].

3) Pemetaan [∙,∙] memenuhi identitas Jakobi yakni untuk setiap 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉 berlaku [[𝑢, 𝑣], 𝑤] + [[𝑣, 𝑤], 𝑢] + [[𝑤, 𝑢], 𝑣] = 0.

Pemetaan [∙,∙] disebut kurung Lie.C Contoh:

a) Setiap ruang vektor dengan pemetaannya [∙,∙] ≡ 0 merupakan aljabar Lie. Sebuah aljabar Lie dengan kurung trivial [∙,∙] ≡ 0 disebut abelan.

b) Ruang 𝑉 = Mat(𝑛 × 𝑛; 𝕂) dimana 𝕂 = ℝ atau ℂ, dengan komutator [𝐴, 𝐵] ≔ 𝐴 ∙ 𝐵 − 𝐵 ∙ 𝐴 merupakan aljabar Lie. Identitas Jakobi diperoleh dengan cara berikut

[[𝐴, 𝐵], 𝐶] + [[𝐵, 𝐶], 𝐴] + [[𝐶, 𝐴], 𝐵]

= (𝐴𝐵 − 𝐵𝐴)𝐶 − 𝐶(𝐴𝐵 − 𝐵𝐴) + (𝐵𝐶 − 𝐶𝐵)𝐴 − 𝐴(𝐵𝐶 − 𝐶𝐵) + (𝐶𝐴 − 𝐴𝐶)𝐵 − 𝐵(𝐶𝐴 − 𝐴𝐶)

[[𝐴, 𝐵], 𝐶] + [[𝐵, 𝐶], 𝐴] + [[𝐶, 𝐴], 𝐵] = 0

Perhitungan di atas menunjukan bahwa identitas Jakobi merupakan konsekuensi dari asosiasi perkalian matriks. Pada kasus umum, identitas Jakobi dapat dipandang sebagai pengganti asosiatif.

c) Ruang 𝑉 = ℝ dengan pemetaan [∙,∙] = (∙) × (∙) didefinisikan sebagai produk vektor dan merupakan aljabar Lie.

d) Misalkan 𝑀 merupakan manifold diferensiabel dan 𝑉 = 𝔛(𝑀) merupakan ruang medan vektor diferensiabel di 𝑀. Misalkan [∙,∙] merupakan kurung Lie pada medan vektor 𝑉 maka (𝑉, [∙,∙]) merupakan aljabar Lie berdimensi berhingga.

Definisi:

Misalkan (𝑉, [∙,∙]) merupakan sebuah aljabar Lie. Sebuah sub ruang vektor 𝑊 ⊂ 𝑉 dengan pemetaanya [∙,∙]|_𝑊×𝑊 disebut sub aljabar Lie 𝑉 jika untuk setiap 𝑤. 𝑤^′∈ 𝑊, [𝑤, 𝑤^′] ∈ 𝑊.

Jelas bahwa, sebuah sub aljabar Lie juga merupakan aljabar Lie dengan sendirinya.

Selanjutnya akan diasosiasikan secara alami ke setiap grup Lie aljabar Lie. Misalkan 𝐺 merupakan grup Lie yang tetap. Untuk sebuah 𝑔 ∈ 𝐺 diperoleh pemetaan

𝐿_𝑔: 𝐺 → 𝐺, 𝐿_𝑔(ℎ) ≔ 𝑔 ∙ ℎ, (𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒊𝒔𝒊 𝒌𝒊𝒓𝒊 𝒐𝒍𝒆𝒉 𝒈) 𝑅_𝑔: 𝐺 → 𝐺, 𝑅_𝑔(ℎ) ≔ ℎ ∙ 𝑔, (𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒊𝒔𝒊 𝒌𝒂𝒏𝒂𝒏 𝒐𝒍𝒆𝒉 𝒈)

𝛼_𝑔(ℎ): 𝐺 → 𝐺, 𝛼_𝑔(ℎ) ≔ (𝐿_𝑔∘ 𝑅_𝑔⁻¹)(ℎ) = 𝑔 ∙ ℎ ∙ 𝑔⁻¹, (𝒌𝒐𝒏𝒋𝒖𝒈𝒂𝒔𝒊 𝒐𝒍𝒆𝒉 𝒈).

Perhatikan bahwa konjugasi merupakan sebuah isomorfisma grup Lie dengankan transisi kanan dan kiri merupakan difeomorsima namun semuanya buka homomorfisma grup.

Catatan:

Misalkan 𝑀 dan pemetaan 𝐹: 𝑀 → 𝑁 berturut-turut merupakan manifold diferensiabel dan difeomorfisma. Untuk sebuah medan vektor diferensiabel 𝑋 di 𝑀, diatur

𝑑𝐹(𝑋)(𝑝) ≔ 𝑑_𝐹⁻¹_(𝑝)𝐹 (𝑋(𝐹⁻¹(𝑝))).

Maka 𝑑𝐹(𝑋) merupakan sebuah medan vektor diferensiabel di 𝑀 sehingga diagram komut berikut berlaku:

Selanjutnya untuk setiap 𝑋, 𝑌 ∈ 𝔛(𝑀) diperoleh

𝑑𝐹([𝑋, 𝑌]) = [𝑑𝐹(𝑋), 𝑑𝐹(𝑌)].

Definisi:

Misalkan 𝑀 = 𝐺 merupakan grup Lie. Sebuah medan vektor 𝑋 ∈ 𝔛(𝐺) disebut invarian kiri jika untuk setiap 𝑔 ∈ 𝐺 berlaku 𝑑𝐿_𝑔(𝑋) = 𝑋.

Berdasarkan bentuk 𝑑𝐹([𝑋, 𝑌]) = [𝑑𝐹(𝑋), 𝑑𝐹(𝑌)], jika 𝑋, 𝑌 ∈ 𝔛(𝐺) bersifat invarian kiri maka 𝑑𝐿_𝑔([𝑋, 𝑌]) = [𝑑𝐿_𝑔(𝑋), 𝑑𝐿_𝑔(𝑌)] = [𝑋, 𝑌] akibatnya [𝑋, 𝑌] juga merupakan invarian kiri. Oleh karena itu, ruang vektor

𝔤 ≔ {𝑋 ∈ 𝔛(𝐺)|𝑋 𝑖𝑛𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛 𝑘𝑖𝑟𝑖}

pada medan vektor diferensiabel invarian kiri di 𝐺 merupakan sebuah sub aljabar Lie pada 𝔛(𝐺).

Definisi:

Ruang vektor 𝔤 disebut sebagai aljabar Lie pada 𝐺.

Untuk 𝑔 ∈ 𝐺 dan 𝑋 ∈ 𝔤 diperoleh:

𝑋(𝑔) = 𝑑𝐿_𝑔(𝑋)(𝑔) = 𝑑

(𝐿_𝑔−1(𝑔))𝐿_𝑔(𝑋 (𝐿_𝑔⁻¹(𝑔))) = 𝑑_𝑒𝐿_𝑔(𝑋(𝑒)),

dimana 𝑒 merupakan elemen netral di 𝐺. Sebaliknya, diberikan 𝑋₀ ∈ 𝑇_𝑒𝐺, maka 𝑋(𝑔) ≔ 𝑑_𝑒𝐿_𝑔(𝑋₀) menghasilkan sebuah medan vektor inviarin kiri 𝑋 ∈ 𝔤. Didapatkan isomorfisma linier 𝑇_𝑒𝐺 → 𝔤. Khususnya, dim 𝔤 sebagai ruang vektor rill setara dengan dim 𝐺 sebagai menifold diferensiabel.

Contoh:

a) Untuk 𝐺 = GL(𝑛; ℝ), 𝔤 = 𝑇_𝕀𝑛GL(𝑛; ℝ) = Mat(𝑛 × 𝑛; ℝ) dan kurung Lie [∙,∙]

merupakan komutator.

b) Untuk 𝐺 = O(𝑛),

𝔤 =: 𝔬(𝑛) = 𝑇_𝕀𝑛O(𝑛) = {𝑐̇(0)|𝑐: (−𝜖, 𝜖) → O(𝑛) 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙, 𝑐(0) = 𝕀_𝑛}.

dapat dihitung 𝑐(𝑠) ∈ O(𝑛) 𝕀_𝑛 = 𝑐(𝑠)^𝑡∙ 𝑐(𝑠)

0 = 𝑑 𝑑𝑠|

𝑠=0

(𝑐(𝑠)^𝑡∙ 𝑐(𝑠)) = 𝑐̇(0)^𝑡∙ 𝑐(0) + 𝑐(0)^𝑡∙ 𝑐̇(0) 0 = 𝑐̇(0) ∙ 𝕀_𝑛+ 𝕀_𝑛∙ 𝑐̇(0) = 𝑐̇(0)^𝑡+ 𝑐̇(0).

Sehingga 𝔬(𝑛) ⊂ {𝐴 ∈ Mat(𝑛 × 𝑛; ℝ)|𝐴^𝑡+ 𝐴 = 0}. Lebih jauhnya untuk dim 𝔬(𝑛) = dim 𝑂(𝑛) =𝑛(𝑛 − 1)

2 = dim{𝐴 ∈ Mat(𝑛 × 𝑛; ℝ)|𝐴^𝑡+ 𝐴 = 0}

Sehingga didapatkan

𝔬(𝑛) = {𝐴 ∈ Mat(𝑛 × 𝑛; ℝ)|𝐴^𝑡+ 𝐴 = 0}.

c) Hal yang sama untuk 𝐺 = SL(𝑛; ℝ), didapatkan:

𝔤 =: 𝔰𝔩(𝑛; ℝ) = 𝑇_𝕀𝑛SL(𝑛; ℝ)

= {𝑐̇(0)|𝑐: (−𝜖, 𝜖) → SL(𝑛; ℝ) 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙, 𝑐(0) = 𝕀_𝑛} Sehingga menghasilkan

𝑐(𝑠) ∈ SL(𝑛; ℝ) 1 = det 𝑐(𝑠) 0 = 𝑑

𝑑𝑠|

𝑠=0

(det 𝑐(𝑠)) = tr(𝑐̇(0)).

Seperti pada bagian sebelumnya, pernyataan dari dimensinya menghasilkan 𝔰𝔩(𝑛; ℝ) = {𝐴 ∈ Mat(𝑛 × 𝑛; ℝ)|tr(𝐴) = 0}

d) Untuk 𝐺 = SO(𝑛), didapatkan

𝔤 =: 𝔰𝔬(𝑛) = 𝔬(𝑛) ∩ 𝔰𝔩(𝑛; ℝ) = 𝔬 sehingga 𝔬(𝑛) ⊂ 𝔰𝔩(𝑛; ℝ).

e) Untuk 𝐺 = U(𝑛), akan dihitung 𝑐(𝑠) ∈ U(𝑛)

𝕀_𝑛 = 𝑐(𝑠)^∗∙ 𝑐(𝑠) 0 = 𝑑

𝑑𝑠|

𝑠=0

(𝑐(𝑠)^∗∙ 𝑐(𝑠)) 0 = 𝑐̇(0)^∗∙ 𝑐(0) + 𝑐(0) ∙ 𝑐̇(0) 0 = 𝑐̇(0)^∗+ 𝑐̇(0).

Oleh karena itu, 𝔤 =: 𝔲(𝑛) = {𝐴 ∈ Mat(𝑛 × 𝑛; ℂ)|𝐴^∗ = −𝐴}.

f) Untuk 𝐺 = SL(𝑛; ℂ), didapatkan 𝔤 =: 𝔰𝔩(𝑛; ℂ) = {𝐴 ∈ Mat(𝑛 × 𝑛; ℂ)|tr(𝐴) = 0}

g) Untuk 𝐺 = SU(𝑛), didapatkan 𝔤 = 𝔰

Representasi Definisi:

Sebuah representasi dari grup Lie 𝐺 merupakan homomorfisma grup Lie 𝜚: 𝐺 → Aut(𝑉) untuk sebuah ruang 𝕂-vektor berdimensi berhingga. Jika 𝕂 = ℝ maka 𝜚 disebut representasi riil, sebaliknya jika 𝕂 = ℂ maka 𝜚 disebut representasi kompleks.

Catatan:

Berdasarkan pilihan basis 𝑉 = 𝕂^𝑛 dan Aut(𝑉) ≅ GL(𝑛; 𝕂).

Definisi:

Sebuah representasi 𝜚 dikatakan setia jika dan hanya jika 𝜚 bersifat injektif.

Contoh:

a) Representasi trivial didefinisikan sebagai 𝜚(𝑔) ≔ id_𝑉 untuk setiap 𝑔 ∈ 𝐺, representasi tersebut setia hanya untuk grup Lie trivial 𝐺 = {𝑒}.

b) Misalkan 𝐺 dan 𝔤 berturut-turut merupakan grup Lie dan aljabar Lie. Representasi adjoin didefinisikan sebagai berikut

Ad: 𝐺 → Aut(𝔤).

Untuk setiap 𝑔 ∈ 𝐺, diperoleh 𝛼_𝑔(𝑒) = 𝑔 ∙ 𝑒 ∙ 𝑔⁻¹ = 𝑒. Turunan 𝛼_𝑔 terhadap 𝑒 didapatkan pemetaan linier yakni

Ad_𝑔 ≔ 𝑑_𝑒𝛼_𝑔: 𝔤 ≅ 𝑇_𝑒𝐺 → 𝑇_𝑒𝐺 ≅ 𝔤.

Selanjutnya perlu dibuktikan bahwa Ad merupakan homomorfisma grup yakni Ad_{𝑔1∙𝑔2} = Ad_𝑔1∘ Ad_𝑔2. Pilih 𝑋 ∈ 𝔤 dan misalkan 𝑐: (−𝜖, 𝜖) → 𝐺 merupakan kurva diferensiabel sedemikian sehingga 𝑐(0) = 𝑒 dan 𝑐̇(0) = 𝑝 sehingga diperoleh Ad_{𝑔1∙𝑔2}(𝑋) = 𝑑_𝑒𝛼_{𝑔1∙𝑔2}(𝑋)

Ad_{𝑔1∙𝑔2}(𝑋) = 𝑑 𝑑𝑠|

𝑠=0

(𝛼_{𝑔1∙𝑔2}(𝑐(𝑠))) Ad_{𝑔1∙𝑔2}(𝑋) = 𝑑

𝑑𝑠|

𝑠=0

((𝛼_𝑔1 ∘ 𝛼_𝑔2)(𝑐(𝑠))) Ad_{𝑔1∙𝑔2}(𝑋) = 𝑑_𝑒𝛼_𝑔1(𝑑_𝑒𝛼_𝑔2(𝑋))

Ad_{𝑔1∙𝑔2}(𝑋) = Ad_𝑔1(Ad_𝑔2(𝑋)) Ad_{𝑔1∙𝑔2}(𝑋) = Ad_𝑔1∘ Ad_𝑔2(𝑋).

Definisi:

Misalkan 𝜚: 𝐺 → Aut(𝑉) dan 𝜚_𝑗: 𝐺 → Aut(𝑉_𝑗) merupakan representasi dari sebuah grup Lie G untuk 𝑗 = 1,2.

1. Representasi jumlahan langsung didefinisikan sebagai:

𝜚₁⊕ 𝜚₂: 𝐺 → Aut(𝑉₁⊕ 𝑉₂)

(𝜚₁⊕ 𝜚₂)(𝑔)(𝑣₁⊕ 𝑣₂) ≔ 𝜚₁(𝑔)(𝑣₁) ⊕ 𝜚₂(𝑔)(𝑣₂)

Berdasarkan basis pada 𝑉₁⊕ 𝑉₂ yang diinduksi dari masing-masing basis 𝑉₁ dan 𝑉₂, 𝜚₁ ⊕ 𝜚₂ mempunya forma diagonal blok:

(𝜚₁⊕ 𝜚₂)(𝑔) = (𝜚₁(𝑔) 0 0 𝜚₂(𝑔))

2. Representasi produk tensor 𝜚₁⊗ 𝜚₂: 𝐺 → Aut(𝑉₁⊗ 𝑉₂) didefinisikan sebagai elemen homogeneus 𝜚₁⊗ 𝜚₂ oleh

(𝜚₁⊗ 𝜚₂)(𝑔)(𝑣₁⊗ 𝑣₂) ≔ 𝜚₁(𝑔)(𝑣₁) ⊗ 𝜚₂(𝑔)(𝑣₂) dan diekspansi secara linier untuk semua 𝑉₁⊗ 𝑉₂.

3. Representasi produk tensor antisimetrik didefinsikan sebagai:

∧^𝑘𝜚: 𝐺 → Aut(∧^𝑘𝑉)

(∧^𝑘𝜚)(𝑔)(𝑣₁∧ … ∧ 𝑣_𝑘) ≔ 𝜚(𝑔)𝑣₁∧ … ∧ 𝜚(𝑔)𝑣_𝑘. 4. Representasi produk tensor simetrik didefinisikan sebagai:

⊙^𝑘𝜚: 𝐺 → Aut(⊙^𝑘𝑉)

(⊙^𝑘𝜚)(𝑔)(𝑣₁⊙ … ⊙ 𝑣_𝑘) ≔ 𝜚(𝑔)𝑣₁⊙ … ⊙ 𝜚(𝑔)𝑣_𝑘

5. Asosiasikan untuk setiap ruang 𝕂-vektor 𝑉 yang merupakan ruang vektor dual 𝑉^∗ untuk setiap pemetaan linier dari 𝑉 ke 𝕂. Jadi diharapkan asosiasi dengan setiap representasi 𝜚: 𝐺 → Aut(𝑉) dan representasi dual 𝜚^∗: 𝐺 → Aut(𝑉^∗). Selanjutnya akan didefinisikan 𝜚^∗: karena untuk 𝑔 ∈ 𝐺, representasi 𝜚(𝑔) merupakan sebuah automorfisma linier 𝑉 dan automorfisma dualnya yakni 𝜚(𝑔)^∗: 𝑉^∗ → 𝑉^∗ yang didefinisikan sebagai 𝜚(𝑔)^∗(𝜆) ≔ 𝜆 ∘ 𝜚(𝑔) sebagai perwakilan dari representasi dual. Selanjutnya akan diperiksa apakah pemetaan 𝑔 ↦ 𝜚(𝑔)^∗ merupakan sebuah homomorfisma grup 𝐺 → Aut(𝑉):

𝑔₁∙ 𝑔₂ ↦ 𝜚(𝑔₁ ∙ 𝑔₂)^∗

𝜚(𝑔₁∙ 𝑔₂)^∗ = (𝜚(𝑔₁) ∙ 𝜚(𝑔₂))^∗ 𝜚(𝑔₁∙ 𝑔₂)^∗ = 𝜚(𝑔₂)^∗∙ 𝜚(𝑔₁)^∗

𝜚(𝑔₁∙ 𝑔₂)^∗ ≠ 𝜚(𝑔₂)^∗∙ 𝜚(𝑔₂)^∗ pada kasus umum.

Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, akan didefinisikan representasi dual yakni:

𝜚^∗: 𝐺 → Aut(𝑉^∗) 𝜚^∗(𝑔) ≔ 𝜚(𝑔⁻¹)^∗ Sekarang akan dihitung:

𝜚^∗(𝑔₁∙ 𝑔₂) = (𝜚((𝑔₁∙ 𝑔₂)⁻¹))^∗ 𝜚^∗(𝑔₁∙ 𝑔₂) = (𝜚(𝑔₂⁻¹∙ 𝑔₁⁻¹))^∗ 𝜚^∗(𝑔₁∙ 𝑔₂) = (𝜚(𝑔₂⁻¹) ∙ 𝜚(𝑔₁⁻¹))^∗ 𝜚^∗(𝑔₁∙ 𝑔₂) = 𝜚(𝑔₁⁻¹)^∗∙ 𝜚(𝑔₂⁻¹)^∗ 𝜚^∗(𝑔₁∙ 𝑔₂) = 𝜚^∗(𝑔₁) ∙ 𝜚^∗(𝑔₂)

Sedemikian sehingga 𝜚^∗: 𝐺 → Aut(𝑉) jelas merupakan sebuah homomorfisma grup.

6. Misalkan representasi 𝜚: 𝐺 → Aut(𝑉) bersifat rill, dapat dibuat sebuah ruang vektor kompleks dari 𝑉 dengan mengatur 𝑉_ℂ≔ 𝑉 ⊗_ℝℂ. Kompleksifikasi 𝜚 adalah representasi kompleks

𝜚_ℂ: 𝐺 → Aut(𝑉_ℂ), 𝜚_𝐶 ≔ 𝜚 ⊗ id_ℂ.

Dalam kaitannya dengan matriks, yang berarti representasi 𝜚 diberikan oleh matriks rill. Jika dianggapnya matriks kompleks maka didapatkan kompleksifikasi.

Definisi:

Misalkan 𝐺 merupakan sebuah grup Lie, 𝜚: 𝐺 → Aut(𝑉) dan 𝜚̃: 𝐺 → Aut( 𝑉̃) merupakan representasi. Maka 𝜚 dan 𝜚̅ dikatakan ekivalen jika dan hanya jika terdapat sebuah isomorfisma 𝑇: 𝑉 → 𝑉̃ sedemikian sehingga untuk 𝑔 ∈ 𝐺 diagram berikut ini komutatif:

𝑉 →^𝑇 𝑉̅

𝜚(𝑔) ↓ ↓ 𝜚̃(𝑔)

𝑉 →^𝑇 𝑉̅

Definisi:

Sebuah representasi pada aljabar Lie 𝔤 merupakan sebuah homomorfisma aljabar Lie 𝜆: 𝔤 → End(𝑉) dimana 𝑉 merupakan ruang 𝕂-vektor berdimensi berhingga. Jika 𝕂 = ℝ maka 𝜆 disebut representasi rill dan jika 𝕂 = ℂ maka 𝜆 disebut representasi kompleks.

Diberikan sebuah representasi 𝜆: 𝔤 → End(𝑉), 𝜆̃: 𝔤̃ → End(𝑉̃), sebuah isomorfisma linier 𝑇: 𝑉 → 𝑉̃ disebut ekivalensi dari 𝜆 dan 𝜆̃ jika dan hanya jika untuk 𝑋 ∈ 𝔤 memenuhi diagram berikut:

𝑉 →^𝑇 𝑉̅

𝜆(𝑋) ↓ ↓ 𝜆̃(𝑋)

𝑉 →^𝑇 𝑉̅

Pada kasus ini, representasi 𝜆 dan 𝜆̃ dikatakan ekivalen.

Pemetaan Eksponensial Lemma:

Misalkan 𝐺 merupakan sebuah grup Lie dan 𝛾: ℝ → 𝐺 merupakan kurva diferensiabel dengan 𝛾(0) = 𝑒. Maka 𝛾 merupakan sebuah homomorfisma grup yakni untuk 𝑠, 𝑡 ∈ ℝ, 𝛾(𝑠 + 𝑡) = 𝛾(𝑠) ∙ 𝛾(𝑡) jika dan hanya jika 𝛾 merupakan sebuah kurva integral dari anggota aljabar Lie pada 𝐺.

Bukti:

Anggap bahwa untuk semua 𝑠, 𝑡 ∈ ℝ berlaku 𝛾(𝑠 + 𝑡) = 𝛾(𝑠) ∙ 𝛾(𝑡), maka diperoleh:

𝛾̇(𝑡) = 𝑑 𝑑𝑠|

𝑠=0

𝛾(𝑠 + 𝑡) = 𝑑 𝑑𝑠|

𝑠=0

(𝛾(𝑡) ∙ 𝛾(𝑠)) = 𝑑𝐿_𝛾(𝑡)𝛾̇(0).

Misalkan 𝑋 merupakan medan vektor invarian kiri yang unik pada 𝐺 dengan 𝑋(𝑒) = 𝛾̇(0), sehingga

𝛾̇(𝑡) = 𝑑𝐿_𝛾(𝑡)𝑋(𝑒) = 𝑋(𝛾(𝑡)) Oleh karena itu, 𝛾 merupakan sebuah kurva integral pada 𝑋.

Misalkan 𝐺 merupakan sebuah grup Lie dan 𝔤 merupakan aljabar Lie. Untuk 𝑋 ∈ 𝔤, misalkan 𝛾_𝑋: ℝ → 𝐺 dinotasikan sebagai kurva integal pada 𝑋 dengan 𝛾_𝑋(0) = 𝑒

Definisi:

Sebuah pemetaan exp: 𝔤 → 𝐺, exp(𝑋) ≔ 𝛾_𝑋(1) disebut pemetaan eksponensial pada 𝐺.

Berdasarkan teori umum pada persamaan diferensial biasa maka pemetaan eksponensial exp: 𝔤 → 𝐺 merupakan pemetaan yang bersifat diferensial.

Untuk sebuah titik 𝛼 ∈ ℝ dan 𝑋 ∈ 𝔤 dapat dibentuk 𝛾̃(𝑡) ≔ 𝛾_𝑋(𝛼 ∙ 𝑡). Maka 𝛾̃ merupakan sebuah homomorfisma grup Lie 𝛾̃: ℝ → 𝐺 sehingga kurva integral ke medan vektor invarian kiri pada 𝐺. Selanjutnya, 𝛾̃(0) = 𝛾_𝑋(0) = 𝑒 dan 𝛾̃̇ = 𝛼 ∙ 𝛾̇_𝑋(𝑡) = 𝛼 ∙ 𝑋(𝛾̃(𝑡)). Karena 𝛾̃

ditentukan secara unik sebagai sebuah kurva integral ke medan vektor invarian kiri pada 𝐺 𝛾̃ = 𝛾_𝛼𝑋. Dengan demikian didapatkan

𝛾_𝑋(𝛼) = 𝛾̃(1) = 𝛾_𝛼𝑋(1) = exp(𝛼𝑋).

Berikutnya 𝛼 akan diganti dengan 𝑡 sehingga didapatkan relasi:

𝛾_𝑋(𝑡) = exp(𝑡𝑋).

Karena kurva 𝑡 → exp (𝑡𝑋) bertepatan dengan kurva integral 𝛾_𝑋 ke medan vektor invarin kiri 𝑋 ∈ 𝔤. Berdasarkan Lemma 1.4.2, didapatkan exp((𝑠 + 𝑡)𝑋) = exp(𝑠𝑋) ∙ exp(𝑡𝑋) sehingga pada exp(0) = 𝑒 dan exp(−𝑋) = (exp(𝑋))⁻¹.

Lemma:

Turunan pemetaan exponensial di titik 0 merupakan pemetaan identitas yakni:

𝑑₀exp = id_𝔤: 𝔤 → 𝔤.

Bukti:

Berdasarkan definisi di atas, diperoleh:

𝑑₀exp(𝑋) = 𝑑 𝑑𝑠|

𝑠=0

exp(𝑠𝑋) = 𝑋.

Korolari:

Misalkan 𝐺 merupakan sebuah grup Lie dan 𝔤 merupakan aljabar Lie. Terdapat sebuah persekitaran buka 𝑈 ⊂ 𝔤 di sekitar titik 0 pada 𝔤 dan 𝑉 ⊂ 𝐺 di sekitar 𝑒 sedemikian sehingga exp|_𝑈: 𝑈 → 𝑉 merupakan sebuah difeomorfisma.

Korolari:

Misalkan pemetaan inv: 𝐺 → 𝐺, 𝑔 ↦ 𝑔⁻¹ merupakan pemetaan inversi pada grup Lie 𝐺. Maka berlaku

𝑑_𝑒𝑖𝑛𝑣 = −id_𝔤: 𝔤 → 𝔤.

Korolari:

Untuk setiap homorfisma grup Lie 𝜑: 𝐺 → 𝐻 memenuhi diagram berikut:

𝔤 ^𝑑→ ^𝑒𝜑 𝔤

↓ exp ↓ exp

𝐺 →^𝜑 𝐻

Lemma:

Jika 𝜑: 𝐺 → 𝐻 merupakan sebuah homomorfisma grup Lie, maka 𝜑_∗ ≔ 𝑑_𝑒𝜑: 𝔤 → 𝔥 merupakan sebuah homomorfisma aljabar Lie.

Korolari:

Jika 𝜑: 𝐺 → Aut(𝑉) merupakan sebuah representasi grup Lie, maka 𝜑_∗: 𝔤 → End(𝑉) merupakan sebuah representasi aljabar Lie.

AKSI GRUP Definisi:

Misalkan 𝐺 merupakan sebuah grup Lie dan 𝑀 merupakan manifold diferensiabel. Sebuah pemetaan diferensiabel 𝐺 × 𝑀 → 𝑀, (𝑔, 𝑥) ↦ 𝑔 ∙ 𝑥 disebut aksi kiri dari 𝐺 pada 𝑀 jika dan hanya jika memenuhi keadaan berikut:

1) Untuk semua 𝑥 ∈ 𝑀 dan 𝑔, ℎ ∈ 𝐺 berlaku (𝑔 ∙ ℎ) ∙ 𝑥 = 𝑔 ∙ (ℎ ∙ 𝑥).

2) Untuk semua 𝑥 ∈ 𝑀 berlaku 𝑒 ∙ 𝑥 = 𝑥.

Catatan:

Berdasarkan keadaan 1) dan 2) dapat disimpulkan bahwa untuk setiap 𝑔 ∈ 𝐺 berlaku:

𝑥 = 𝑒 ∙ 𝑥 = (𝑔 ∙ 𝑔⁻¹) ∙ 𝑥 = 𝑔 ∙ (𝑔⁻¹∙ 𝑥) = 𝐿_𝑔(𝐿_𝑔⁻¹(𝑥)) = (𝑔⁻¹∙ 𝑔) ∙ 𝑥 = 𝑔⁻¹∙ (𝑔 ∙ 𝑥) = 𝐿_𝑔⁻¹(𝐿_𝑔(𝑥))

Karena untuk 𝑔 ∈ 𝐺, pemetaan 𝐿_𝑔: 𝑀 → 𝑀, 𝐿_𝑔(𝑥) ≔ 𝑔 ∙ 𝑥 merupakan sebuah difeomorfisma dengan inversnya (𝐿_𝑔)⁻¹ = 𝐿_𝑔⁻¹.

Keadaan 1) menghasilkan bentuk 𝐿_𝑔∘ 𝐿_ℎ = 𝐿_𝑔∙ℎ. Maka pemetaan 𝑔 ↦ 𝐿_𝑔 merupakan sebuah homomorfisma grup 𝐺 → Diff(𝑀).

Contoh:

1. Setiap grup Lie yang berkasi pada setiap manifold 𝑀 dengan cara yang tidak menarik, yakni 𝑔 ∙ 𝑥 ≔ 𝑥 dimana ini disebut aksi trivial.

2. Aksi gruo yang dikaitkan dengan setiap representasi 𝜚: 𝐺 → Aut(𝑉) merupakan sebuah aksi 𝐺 pada 𝑉 sebagai 𝑔 ∙ 𝑣 ≔ 𝜚(𝑔)(𝑣).

3. Setiap grup Lie yang beraksi pada dirinya sendiri memenuhi aksi alami yakni 𝐺 × 𝐺 → 𝐺, (𝑔 ∙ ℎ) ↦ 𝑔 ∗ ℎ.

4. Melalui perkalian grup 𝑔 ∗ ℎ ≔ 𝑔 ∙ ℎ. Pada kasus ini, keadaan pertama pada aksi grup ekuivalen dengan asosiatif perkalian grup ∙, sedangkan keadaan keduanya merupakan definisi dari elemen netral 𝑒 ∈ 𝐺.

5. Aksi grup melalui konjugasi 𝑔 ∗ ℎ ≔ 𝛼_𝑔(ℎ).

Definisi:

Sebuah aksi kiri dari 𝐺 pada 𝑀 dikatakan efektif jika dan hanya berlaku

∀𝑔 ∈ 𝐺: ((∀𝑥 ∈ 𝑀: 𝑔 ∙ 𝑥 = 𝑥) ⟹ 𝑔 = 𝑒

⇔ ∀𝑔 ∈ 𝐺: (𝐿_𝑔 = id_𝑀 ⟹ 𝑔 = 𝑒)

⇔ Homomorfisma grup 𝐺 → Diff(𝑀) bersifat injektif.

disebut bebas jika dan hanya jika untuk 𝑔 ∈ 𝐺: ((terdapat 𝑥 ∈ 𝑀: 𝑔 ∙ 𝑥 = 𝑥) ⟹ 𝑔 = 𝑒).

disebut transitif jika dan hanya jika untuk 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀: terdapat 𝑔 ∈ 𝐺: 𝑔 ∙ 𝑥 = 𝑦.

Catatan:

Setiap aksi bebas bersifat efektif kecuali untuk 𝑀 = ∅.

Contoh:

1. Aksi trivial merupekann efektif ⇔ 𝐺 = {𝑒} ⇔ Aksi trivial disebut gratis.

2. Aksi yang diberikan oleh sebuah representasi 𝜚 pada 𝑉 tidak akan pernah bersifat transitif kecuali 𝑉 = {0}, karena untuk 𝑔 ∈ 𝐺: 𝜚(𝑔) ∙ 0 = 0.

3. Untuk aksi natural pada grup Lie 𝐺 ke dirinya sendiri, diperoleh:

• Aksi oleh perkalian kiri bersifat bebas sehingga juga akan bersifat transitif, karena 𝑔 ∙ 𝑔^′ = 𝑔^′ sehingga mengimplikasikan 𝑔 = 𝑒 melalui perkalian kanan dengan (𝑔^′)⁻¹. Aksi yang diperoleh tersebut bersifat transitif karena untuk 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺, dapat dibentuk persamaan 𝑔 ∙ 𝑥 = 𝑦 yang diselesaikan dengan 𝑔 = 𝑦 ∙ 𝑥⁻¹.

• Untuk aksi grup oleh konjugasi, diperoleh:

∀𝑥 ∈ 𝐺: 𝑔𝑥𝑔⁻¹ = 𝑥 ⇔ ∀𝑥 ∈ 𝐺: 𝑥𝑦 = 𝑔𝑥 ⇔ 𝑔 ∈ 𝑍(𝐺),

dimana 𝑍(𝐺) ≔ {𝑔 ∈ 𝐺|∀ℎ ∈ 𝐺: 𝑔ℎ = ℎ𝑔} merupakan pusat dari 𝐺. Oleh karena itu, aksi yang diperoleh melalui konjugasi tidak bersifat efektif jika dan hanya jika 𝑍(𝐺) ≠ {𝑒}. Secara umum, aksinya tidak transitif kecuali grup tersebut hanya memiliki satu kelas konjugasi.

Contoh:

a) Misalkan 𝐺 = SO(2) beraksi pada 𝑀 = 𝑆² melalui rotasi di sekitar sumbu 𝑧 yakni:

𝑔 ∙ 𝑥 ≔ (

0

𝑔 0

0 0 1

) ∙ 𝑥.

Aksi bersifat efektif jika dan hanya jika untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑆²: 𝑔 ∙ 𝑥 = 𝑥, maka 𝑔 = 𝕝₂. Aksinya tidak bebas karena untuk setiap 𝑔 ∈ SO(2): 𝑔 ∙ (

1 0 0

) = ( 1 0 0

) dan 𝑔 ∙ ( 0 0 1

) =

( 0 0 1

) dan aksi tidak transitif karena lingkaran garis lintang tidak berubah dalam rotasi terhadap sumbu 𝑧.

b) Misalkan 𝐺 = U(1) beraksi pada 𝑀 = 𝑆^2𝑛−1⊂ ℝ^2𝑛≅ ℂ^𝑛 melalui perkalian skalar pada koordinat kompleks yakni (𝑧, 𝑥) ↦ 𝑧 ∙ 𝑥.

Aksi bersifat bebas karena untuk 𝑤 ≠ 0, 𝑧 ∙ 𝑤 = 𝑤 mengimplikasikan bahwa 𝑧 = 1.

Aksi tidak transitif kecuali untuk 𝑛 = 1. Pada kasus ini, aksinya hanya merupakan perkalian kiri pada grup Lie U(1), dan untuk setiap kasus 𝑧 ∙ 𝑥 = 𝑦 untuk 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆^2𝑛−1 ⊂ ℂ^𝑛 mengimplikasikan bahwa 𝑥, 𝑦 berrgantung secara linier pada ruang vektor kompleks ℂ^𝑛. Oleh karena itu, aksi tidak transiitf jika dan hanya jika 𝑛 > 1.

Definisi:

Misalkan 𝐺 beraksi pada 𝑀. Maka untuk 𝑥 ∈ 𝑀, dapat dibentuk 𝐺 ∙ 𝑥 ≔ {𝑔 ∙ 𝑥|𝑔 ∈ 𝐺}

yang disebut orbit 𝑥 pada aksi tersebut, grup 𝐺 bertindak transitif pada 𝑀 jika dan hanya jika 𝐺 ∙ 𝑥 = 𝑀. Himpunan berikut ini

𝐺\𝑀 ≔ {𝐺 ∙ 𝑥|𝑥 ∈ 𝑀}

disebut ruang orbit pada aksi.

Contoh:

Untuk aksi rotasi 𝐺 = U(1) pada 𝑀 = 𝑆², orbitnya merupakan lingkaran garis lintang termasuk kutub utara dan selatan, sehingga orbitnya secara alami diparametrisasi oleh koordinat 𝑧 dan ruang orbitnya diidentifikasi dengan interval tertutup [−1,1].

Contoh:

Tinjau aksi 𝐺 = U(1) pada 𝑀 = 𝑆³ ⊂ ℂ² melalui perkalian skalar. Diberikan 𝑤 = (𝑤₁, 𝑤₂) dan 𝑤^′= (𝑤₁^′, 𝑤₂^′) dimana keduanya terletak pada orbit yang sama jika dan hanya jika ^𝑤1

𝑤2 =

𝑤₁^′

𝑤₂^′ ∈ ℂ ∪ ∞ =: ℂ̂. Oleh karena itu, ruang orbit U(1)\𝑆³ secara alami diidentifikasi dengan bola Rieamann ℂ̂.

Berdasarkan pemetaan stereografik

𝑢 ↦ 1

4 + |𝑢|²∙ (4𝑢, 4 − |𝑢|²), sehingga untuk 𝑢 =^𝑤1

𝑤2, diperoleh:

1 4 + |𝑤₁

𝑤₂|²

∙ (4𝑤₁

𝑤₂, 4 − |𝑤₁ 𝑤₂|

2

) = |𝑤₂|²

4|𝑤₂|²+ |𝑤₁|²∙ (4𝑤₁

𝑤₂, 4 − |𝑤₁ 𝑤₂|

2

) 1

4 + |𝑤₁ 𝑤₂|²

∙ (4𝑤₁

𝑤₂, 4 − |𝑤₁ 𝑤₂|

2

) = 1

4|𝑤₂|²+ |𝑤₁|²∙ (4𝑤₁𝑤̅₂, 4|𝑤₂|²− |𝑤₁|²).

Dimana hal yang didapatkan adalah pemetaan Hopf yang ditulis sebagai Hopf: 𝑆³ → 𝑆²

𝑤 ↦ 1

4|𝑤₂|²+ |𝑤₁|²∙ (4𝑤₁𝑤̅₂, 4|𝑤₂|²− |𝑤₁|²).

Pemetaan ini merupakan pemetaan diferensiabel dan pra bayangannya Hopf⁻¹(𝑝) merupakan orbit pada U(1)-aksi di 𝑆³. U(1)-orbit dapat divisualisasikan dengan memetakan 𝑆³ dikurangi satu titik menuju ℝ³ melalui pemetaan stereografik hanya untuk 𝑆². Kemudian ℝ³ menjadi gabungan lingkaran dan garis lurus yang berhubungan dengan orbit yang melalui titik luar 𝑆³.

Tiga lingkaran Hopf terdekat setelah proyeksi stereografik ke ℝ³

Lingkaran Hopf biasa dan luar biasa

Ternyata setiap dua lingkaran Hopf di ℝ³ saling terhubung membentuk link Hopf.

Teorema:

Misalkan 𝐺 merupakan kompok grup Lie yang bertindak bebas pada manifold 𝑀. Maka 𝐺\𝑀 membawa struktur manifold diferensiabel sedemikian sehingga

1. Sebuah pemetaan

𝑀 → 𝐺\𝑀 𝑥 ↦ 𝐺 ∙ 𝑥

bersifat diferensiabel dan diferensialnya memiliki pangkat pada setiap titik.

2. Dimensi 𝐺\𝑀 sebagai berikut:

dim(𝐺\𝑀) = dim(𝑀) − dim(𝐺).

3. Bentuk 𝐺\𝑀 memiliki properti umum sebagai berikut:

Untuk setiap manifold diferensiabel manifold 𝑁 dan setiap pemetaan diferensiabel 𝑓: 𝑀 → 𝑁 yang konstan di sepanjang orbit pada aksi dimana terdapat sebuah pemetaan diferensiabel yang unik yakni 𝑓: 𝐺\𝑀 → 𝑁 sedemikian sehingga memenuhi diagram berikut:

Bukti:

Untuk 𝑥 ∈ 𝑀, pilih sebuah cakram kecil 𝐷 berdimensi maksimum yang berpotongan 𝐺 ∙ 𝑥 transversal di 𝑥. Maka untuk setiap 𝑦 di cakram, terdapat orbit 𝐺 ∙ 𝑦 di dekat orbit 𝐺 ∙ 𝑥 melalui 𝑥. Periksa pemetaan 𝐺 × 𝐷 → 𝑀, (𝑔, 𝑦) ↦ 𝑔 ∙ 𝑦 merupakan sebuah difeomorfisma menuju bayangannya, sehingga menghasilkan sebuah peta lokal pada ruang orbit. Kekompakkan 𝐺 diperlukan untuk memastikan bahwa titik-titik pada cakram yang cukup kecil berkorespondensi 1: 1 dengan orbit dan topologi kousien bersifat hausdorff.

Contoh:

Tinjau aksi grup U(1) pada 𝑆^2𝑛−1⊂ ℂ^𝑛 melalui perkalian skalar kompleks. Karena aksinya bebas, U(1)\𝑆^2𝑛−1 merupakan manifold diferensiabel. Dua titik 𝑤, 𝑤^′∈ 𝑆^2𝑛−1 berada pada orbit yang sama jika dan hanya jika untuk 𝑍 ∈ ℂ dengan |𝑧| = 1: 𝑤^′ = 𝑧 ∙ 𝑤, yakni jika dan hanya jika 𝑤, 𝑤^′ bergantung secara linier, yakni garis kompleks yang digeser oleh 𝑤, 𝑤^′ bertepatan: ℂ ∙ 𝑤 = ℂ ∙ 𝑤^′ sehingga ruang orbit diidentifikasi dengan

ℂ𝑃^𝑛−1 ≔ U(1)\𝑆^2𝑛−1≅ {1 − dim_ℂsubruang vektor ℂ^𝑛}.

Definisi:

Ruang ℂ𝑃^𝑛−1 disebut (𝑛 − 1)-dimensi ruang projeksi kompleks.

Catatan:

dim_ℝ(ℂ𝑃^𝑛−1) = dim_ℝ(𝑆^2𝑛−1) − dim_ℝ(U(1)) = (2𝑛 − 1) − 1 = 2(𝑛 − 1).

Ruang ℂ𝑃^𝑛−1 bersifat kompak dan terkoneksi karena itu merupakan bayangan di bawah peta kontinyu. Untuk 𝑛 = 2, diperoleh

Pemetaan Hopf̃ : ℂ𝑃¹ → 𝑆² bersifat diferensiabel dan bijektif. Akan ditentukan turunan pemetaan Hopf memiliki rank maksimum dimana pun. Oleh karena itu, sifat komutatif diagram juga berlaku untuk Hopf̃. Sehingga Hopf̃ : ℂ𝑃¹ → 𝑆² merupakan sebuah difeomorfisma.

Definisi:

Misalkan 𝐺 merupakan grup Lie yang beraksi pada sebuah manifold diferensial 𝑀. Misalkan 𝑅_𝑝: 𝐺 → 𝑀 menjadi pemetaan 𝑅_𝑝(𝑔) ≔ 𝑔 ∙ 𝑝 dimana 𝑝 ∈ 𝑀. Turunan 𝑅_𝑝 merupakan pemetaan linier 𝑑_𝑒𝑅_𝑔: 𝔤 ≅ 𝑇_𝑒𝐺 → 𝑇_𝑝𝑀. Untuk 𝑋 ∈ 𝔤 diatur 𝑋̅(𝑝) ≔ 𝑑_𝑒𝑅_𝑝(𝑋) sehingga diperoleh medan vektor 𝑋̅ ∈ 𝔛(𝑀).

Medan vektor 𝑋̅ disebut medan vektor fundamental yang dikaitkan dengan 𝑋 ∈ 𝔤.

Catatan:

Sebuah aksi grup Lie dapat dipandang sebagai sebuah homomorfisma grup Lie 𝐺 → Diff(𝑀).

Pemetaan 𝔤 ∋ 𝑋 ↦ 𝑋̅ ∈ 𝔛(𝑀) berkaitan dengan homomorfisma aljabar Lie.

Contoh:

Untuk aksi 𝐺 = SO(2) pada 𝑀 = 𝑆² ⊂ ℝ³, medan vektor fundamentalnya bersinggungan dengan lingtang lingkaran:

Catatan:

Untuk 𝑋 ∈ 𝔤, dapat dihitung:

𝑑 𝑑𝑡|

𝑡=𝑡0

𝐿_{exp(𝑡𝑋)}(𝑝) = 𝑑 𝑑𝑡|

𝑡=𝑡0

exp(𝑡𝑋) ∙ 𝑝 𝑑

𝑑𝑡|

𝑡=𝑡0

𝐿_{exp(𝑡𝑋)}(𝑝) = 𝑑 𝑑𝑠|

𝑠=0

exp(𝑡₀+ 𝑠) ∙ 𝑝 𝑑

𝑑𝑡|

𝑡=𝑡₀

𝐿_{exp(𝑡𝑋)}(𝑝) = 𝑑 𝑑𝑠|

𝑠=0

(exp(𝑠𝑋) ∙ exp(𝑡₀𝑋) ∙ 𝑝) 𝑑

𝑑𝑡|

𝑡=𝑡0

𝐿_{exp(𝑡𝑋)}(𝑝) = 𝑑 𝑑𝑠|

𝑠=0

𝑅_{exp(𝑡0𝑋)∙𝑝}(exp(𝑠𝑋)) 𝑑

𝑑𝑡|

𝑡=𝑡0

𝐿_{exp(𝑡𝑋)}(𝑝) = 𝑑_𝑒𝑅_{exp(𝑡0𝑋)∙𝑝}(𝑋) 𝑑

𝑑𝑡|

𝑡=𝑡₀

𝐿_{exp(𝑡𝑋)}(𝑝) = 𝑋̅(exp(𝑡₀𝑋) ∙ 𝑝).

Sehingga 𝐿_{exp(𝑡𝑋)} merupakan aliran pada medan vektor fundamental 𝑋̅. Secara khusus, jika 𝑋̅(𝑝) = 0 maka exp(𝑡𝑋) ∙ 𝑝 = 𝑝 untuk setiap 𝑡 ∈ ℝ. Perhitungan di atas menghasilkan sebuah hambatan yang mempengaruhi keberadaan aksi grup yang bebas yaitu jika 𝑀 beraksi secara bebas oleh grup Lie 𝐺 dengan dim(𝐺) ≥ 1 yaitu pada 𝔤 ≠ {0}, maka 𝑀 harus

memiliki medan vektor yang diferensiabel dan tidak hilang di manapun. Secara khusu, 𝜒(𝑀) = 0 sebagai contoh 𝑀 ≇ 𝑆^2𝑛.

Definisi:

Sebuah grup Lie berdimensi nol disebut sebagai grup diskrit.

Catatan:

Sebuah grup diskrit bersifat kompak jika dan hanya jiga dimensinya berhingga. Jika sebuah grup kompak beraksi bebas pada manifold 𝑀 maka 𝐺\𝑀 juga merupakan manifold.

Selanjutnya akan dicari kriteria yang serupa untuk aksi grup yang terpisah.

Definisi:

Sebuah aksi dari grup diskrit pada manifold diferensiabel 𝑀 dikatakan diskontinyu dengan benar jika

1) Untuk setiap 𝑝 ∈ 𝑀, ada sebuah persekitaran buka 𝑈 pada 𝑝 di 𝑀 sedemikian sehingga

𝑔 ∙ 𝑈 ∩ 𝑈 ≠ ∅ ⟹ 𝑔 = 𝑒

2) Untuk setiap 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑀 dengan 𝐺 ∙ 𝑝 ≠ 𝐺 ∙ 𝑞 ada himpunan buka 𝑈 pada 𝑝 dan 𝑉 pada 𝑞 sedemikian sehingga untuk setiap 𝑔 ∈ 𝐺: 𝑔 ∙ 𝑈 ∩ 𝑉 ≠ ∅.

Teorema:

Jika sebuah grup diskrit 𝐺 beraksi diskontinyu dengan benar pada manifold 𝑀 maka 𝐺\𝑀 membawa sebuah struktur manifold diferensiabel yang unik sedemikian sehingga pemetaan projeksi 𝑀 → 𝐺\𝑀, 𝑝 ↦ 𝐺 ∙ 𝑝 bersifat diferensiabel dan merupakan pemetaan penutup.

Selanjutnya, kousien 𝐺\𝑀 mempunyai properti univeral yakni untuk setiap manifold diferensiabel 𝑀 dan setiap pemetaan diferensiabel 𝑓: 𝑀 → 𝑁 dimana pemetaan tersebut konstan sepanjang orbit 𝐺, terdapat pemetaan diferensiabel yang unik 𝑓̃: 𝐺\𝑀 → 𝑁 sedemikian sehingga diagram komut berikut berlaku

Ide dari bukti:

Gunakan persekitaran buka 𝑈 pada kondisi pertama definisi (aksi dikontinyu denga benar) sebagai peta untuk kousien 𝐺\𝑀. Kemudian kondisi kedua memastikan bahwa 𝐺\𝑀 bersifat Hausdorff.

Definisi:

Misalkan 𝐺 merupakan sebuah grup Lie yang beraksi pada manifold diferensiabel 𝑀. Sebuah aksi kanan 𝐺 pada 𝑀 merupakan pemetaan diferensiabel 𝑀 × 𝐺 → 𝑀, (𝑥, 𝑔) ↦ 𝑥 ∙ 𝑔 memenuhi keadaan di bawah ini:

1) Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑀 dan 𝑔, ℎ ∈ 𝐺 berlaku 𝑥 ∙ (𝑔 ∙ ℎ) = (𝑥 ∙ 𝑔) ∙ ℎ.

2) Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑀 berlaku 𝑥 ∙ 𝑒 = 𝑥.

Catatan:

Perhatikan bahwa jika diatur 𝑔 ∗ 𝑝 ≔ 𝑝 ∙ 𝑔 maka keadaan pertama pada definisi di atas mengatakan bahwa (𝑔 ∙ ℎ) ∗ 𝑝 = ℎ ∗ (𝑔 ∗ 𝑝) akibatnya jika 𝐺 × 𝑀 → 𝑀, (𝑔, 𝑝) ↦ 𝑔 ∙ 𝑝 merupakan aksi kiri maka

𝑀 × 𝐺 → 𝑀 (𝑝, 𝑔) → 𝑝 ∗ 𝑔 ≔ 𝑔⁻¹∙ 𝑝, yang mendefinisikan aksi kanan.

Sebaliknya jika 𝑀 × 𝐺 → 𝑀, (𝑝, 𝑔) ↦ 𝑝 ∙ 𝑔 merupakan aksi kanan, maka 𝐺 × 𝑀 → 𝑀

(𝑔, 𝑝) ↦ 𝑔 ∗ 𝑝 ≔ 𝑝 ∙ 𝑔⁻¹ yang mendefinisikan aksi kiri.

TEORI UNTINGAN Untingan Fiber

Definisi:

Misalkan 𝐸, 𝐵, 𝐹 merupakan manifold diferensiabel dan 𝜋: 𝐸 → 𝐵 merupakan pemetaan surjektif diferensiabel. Maka (𝐸, 𝜋, 𝐵) disebut sebagai sebuah untingan fiber dengan fiber 𝐹 jika untuk setiap titik 𝑥 ∈ 𝐵 memiliki persekitaran buka 𝑈 ⊂ 𝐵 sedemikian sehingga terdapat difeomorfisma 𝜓_𝑈: 𝜋⁻¹(𝑈) → 𝑈 × 𝐹 sehingga diagram berikut bersifat komutatif:

Manifold diferensiabel 𝐵 disebut ruang basis dan 𝐸 disebut ruang total dari untingan fiber. Pemetaan 𝜓_𝑈 disebut trivialisasi lokal di atas 𝑈.

Catatan:

Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑈 ⊂ 𝐵, trivialisasi lokal 𝜓_𝑈 merupakan sebuah difeomorfisma 𝜓_𝑈|_𝜋⁻¹_(𝑥): 𝜋⁻¹(𝑥) ≔ {𝑥} × 𝐹 ≅ 𝐹. Oleh karena itu fiber 𝐸_𝑥≔ 𝜋⁻¹(𝑥) pada untingan fiber difeomorfik ke fiber 𝐹.

Contoh:

1) Untingan fiber trivial yang berupa produk kartesian (𝐵 × 𝐹, pr₁, 𝐵).

2) Misalkan (𝐵, 𝑔) merupakan manifold Riemannian berdimensi 𝑛. Dapat didefinisikan untingan bola di atas (𝐵, 𝑔) dengan ruang total 𝐸 ≔ {𝑋 ∈ 𝑇𝐵| ||𝑋||_𝑔 = 1} dan pemetaan proyeksi berupa restriksi dari proyeksi pada untingan singgung 𝑇𝐵. Untuk 𝑝 ∈ 𝐵, 𝜋⁻¹(𝑝) = {𝑋 ∈ 𝑇_𝑝| ||𝑋||

𝑔 = 1}, sehingga 𝐹 = 𝑆^𝑛−1. Trivialisasi lokal pada 𝐸 diperoleh dari restriksi trivialisasi lokal pada untingan singgung.

Catatan:

Misalkan 𝐹 merupakan sebuah manifold diferensiabel dan 𝜑: 𝐹 → 𝐹 merupakan sebuah difeomorfisma. Maka ℤ bertindak secara diskontinu pada ℝ × 𝐹 melalui (𝑘, (𝑡, 𝑓)) ↦ (𝑡 + 𝑘, 𝜑^𝑘(𝑓)). Ditinjau ruang orbit 𝐸 ≔ ℤ\(ℝ × 𝐹). Pemetaan proyeksi pr₁ ke faktor pertama menginduksi sebuah pemetaan proyeksi 𝜋: 𝐸 → ℤ\ℝ ≅ 𝑆¹, sehingga (𝐸, 𝜋, 𝐵) merupakan untingan fiber dengan fiber 𝐹. Untuk mengkonstruksi trivialisasi lokal, digunakan trivialisasi global pada untingan ℝ × 𝐹 → ℝ bersamaan dengan diskontinuitas pada aksi. Secara geometris, ruang total 𝐸 dikonstruksi dari untingan trivial [0,1] × 𝐹 → [0,1] dengan penempelan fiber di atas {0,1} oleh difeomorfisma 𝜑.

Contoh:

Untuk 𝐹 = (−1,1), 𝜑: 𝐹 → 𝐹, 𝑥 ↦ 𝑥⁻¹, hasil konstruksi tersebut menghasilkan pita Möbius.

Definisi:

Dua untingan fiber (𝐸, 𝜋, 𝐵) dan (𝐸^′, 𝜋^′, 𝐵^′) dikatakan isomorfik jika terdapat sebuah difeomorfisma 𝜓: 𝐸 → 𝐸′ sedemikian sehingga diagram berikut komutatif

yakni memenuhi 𝜋^′∘ 𝜓 = 𝜋. Sebuah untingan fiber dikatakan trivial jika untingan fiber tersebut isomorfik dengan untingan trivial 𝐵 × 𝐹 → 𝐵. Hal ini ekivalen dengan keberadaan trivialisasi global yakni sebuah trivialisasi lokal 𝜓_𝑈 yang didefinisikan pada 𝑈 = 𝐵.

Definisi:

Sebuah untingan fiber (𝐸, 𝜋, 𝐵) dengan fiber 𝕂^𝑛(𝕂 = ℝ atau ℂ) disebut untingan ruang vektor (rill atau kompleks) dengan rank 𝑛 jika dan hanya jika setiap fiber 𝐸_𝑥 membawa struktur ruang vektor di atas 𝕂 dan trivialisasi lokal 𝜓_𝑈 dapat dipilih sedemikian sehingga 𝜓_𝑈|_𝝅−𝟏(𝒙): 𝐸_𝑥→ {𝑥} × 𝕂^𝑛 ≅ 𝕂^𝑛 merupakan isomorfisma linier.

Contoh:

Jika 𝐵 merupakan manifold diferensiabel, maka untingan singgung 𝑇𝐵 merupakan sebuah untingan vektor dan semua untingan hasil konstruksi dari 𝑇𝐵 melalui operasi aljabar linier yang diberlakuan pada tiap fiber, seperti 𝑇^∗𝐵, Λ^𝑘𝑇^∗𝐵,⊗^𝑘𝑇^∗𝐵, dan lain- lain.

Definisi:

Misalkan (𝐸, 𝜋, 𝐵) merupakan sebuah untingan fiber. Sebuah tampang lintang merupakan pemetaan 𝑠: 𝐵 → 𝐸 yang memenuhi 𝜋 ∘ 𝑠 = id_𝐵.

Catatan:

Setiap untingan vektor (𝑉, 𝜋, 𝐵) mempunyai tampang lintang diferensiabel berupa tampang lintang nol yang didefinisikan sebagai 𝑠(𝑥) ≔ 0_𝑥 ∈ 𝑉_𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐵.

Untingan fiber secara umum tidak selalu mempunyai tampang lintang yang kontinu.

Misalkn 𝐵 merupakan manifold diferensiabel. Tabel di bawah ini menunjukan beberapa objek yang dikenal dari geometri yang dapat dianggap sebagai bagian dari untingan vektor di atas basis 𝐵.

Untingan Vektor Bagian

𝑻𝑩 Medan vektor

𝑻^∗𝑩 Forma-1 diferensial 𝜦^𝒌𝑻^∗𝑴 Forma-𝑘 diferensial

⊗^𝒌𝑻𝑩⨂ ⊗^𝒍𝑻^∗𝑩 Medan tensor-(𝑘, 𝑙)

Misalkan (𝐸, 𝜋, 𝐵) merupakan untingan fiber dengan fiber 𝐹. Misalkan pemetaan 𝜆: 𝐵 → 𝐵′ merupakan pemetaan diferensiabel. Akan dikonstruksi sebuah untingan fiber di atas 𝐵′ dengan fiber tipikal 𝐹.

𝐸^′≔ {(𝑏^′, 𝑝) ∈ 𝐵^′× 𝐸|𝜆(𝑏^′) = 𝜋(𝑝)}

𝜋^′≔ pr₁|_𝐸′: 𝐸^′→ 𝐵^′,

Untuk mengkonstruksi sebuah trivialisasi lokal (𝐸^′, 𝜋^′, 𝐵^′) pada sebuah persekitaran di 𝑏₀^′ ∈ 𝐵^′, dipilih persekitaran buka 𝑈 pada 𝜆(𝑏₀^′) di 𝐵 dan trivialisasi lokal 𝜓_𝑈: 𝜋⁻¹(𝑈) → 𝑈 × 𝐹. Kemudian 𝑈^′≔ 𝜆⁻¹(𝑈) sebagai persekitaran pada 𝑏₀^′ di 𝐵′ dan hitung:

(𝜋)⁻¹(𝑈) = pr₁⁻¹(𝑈^′)

= {(𝑏^′, 𝑝) ∈ 𝑈^′× 𝐸|𝜆(𝑏^′) = 𝜋(𝑝)}

≅ {(𝑏^′, 𝑢, 𝑓) ∈ 𝑈^′× 𝑈 × 𝐹|𝜆(𝑏^′) = 𝑢}

(𝜋)⁻¹(𝑈) = 𝑈^′× 𝐹.

Identifikasi tersebut menunjukan bahwa 𝐸^′⊂ 𝐵^′× 𝐸 merupakan submanifold diferensiabel dan (𝐸^′, 𝜋′, 𝐵^′) merupakan sebuah untingan fiber.

Definisi:

Untingan fiber 𝜆^∗(𝐸, 𝜋, 𝐵) ≔ (𝐸^′, 𝜋^′, 𝐵^′) yang telah dikonstruksi di atas disebut sebagai pull-back pada (𝐸, 𝜋, 𝐵) sepanjang 𝜆.

Berdasarkan konstruksi, memenuhi diagram komutatif berikut:

Untuk 𝑏₀^′ ∈ 𝐵, fiber 𝐸_𝑏

0′

′ pada untingan pull-back diidentifikasi sebagai berikut:

𝐸_𝑏

0′

′ = pr₁⁻¹(𝑏₀^′)

= {(𝑏^′, 𝑝) ∈ 𝐵^′× 𝐸|𝜆(𝑏^′) = 𝜋(𝑝), pr₁(𝑏^′, 𝑝) = 𝑏₀^′} = {(𝑏₀^′, 𝑝) ∈ 𝐵^′× 𝐸|𝜆(𝑏₀^′) = 𝜋(𝑝)}

= {𝑏₀^′} × 𝐸_𝜆(𝑏

0′)

𝐸_𝑏

0′

′ ≅⏞

pr2

𝐸_𝜆(𝑏

0′)

Dengan demikian, pr₂ mengidentifikasi untingan pada untingan pull-back di 𝑏₀^′ dengan fiber 𝐸 di 𝜆(𝑏₀^′).

Contoh:

Misalkan 𝐸 = 𝑇𝐵 merupakan untingan singgung pada sebuah manifold diferensiabel 𝐵 dan 𝜆: (−𝜖, 𝜖) → 𝐵 merupakan kurva diferensiabel di 𝐵. Maka bagian pada 𝜆^∗𝑇𝐵 merupakan medan vektor sepanjang 𝜆. Medan kecepatan 𝜆̇ pada kurva merupakan salah satu medan vektor di sepanjang 𝜆.

Medan kecepatan pada 𝜆 bersinggungan dengan bayangan 𝜆 di 𝐵. Secara umum medan vektor sepanjang kurva secara alamiah muncul pada geometri Riemannian contohnya sebagai medan variasi dari variasi kurva 𝜆.

Untingan Utama Definisi:

Sebuah untingan fiber (𝑃, 𝜋, 𝐵) bersama dengan aksi kanan pada sebuah grup Lie 𝐺 di 𝑃 disebut untingan 𝐺-utama jika dan hanya jika memenuhi syarat:

1. Aksi grup bersifat bebas.

2. Aksi grup bersifat transitif pada fiber-fiber di untingan yakni untuk 𝑝 ∈ 𝑃 berlaku 𝑝 ∙ 𝐺 = 𝑃_𝜋(𝑝).

3. Trivialisasi lokal 𝜓_𝑈: 𝜋⁻¹(𝑈) → 𝑈 × 𝐺 yang dapat dipilih sedemikian sehingga memenuhi diagram komutatif berikut:

Grup 𝐺 disebut struktur grup dari untingan utama.

Catatan:

Untuk titik yang tetap 𝑝 ∈ 𝑃 lihat pada pemetaan 𝐿_𝑝: 𝐺 → 𝑃_𝜋(𝑝), 𝑔 ↦ 𝑝 ∙ 𝑔. Maka 𝐿_𝑝 merupakan pemetaan diferensiabel berdasarkan definisi tersebut, selain itu 𝐿_𝑝 juga bersifat injektif berdasarkan syarat 1 dan bersifat surjektif berdasarkan syarat 2.

Turunannya 𝑑_𝑒𝐿_𝑃 memiliki rank maksimal, karena untuk sebuah aksi grup bebas, 𝑑_𝑒𝐿_𝑃: 𝔤 ≅ 𝑇_𝑒𝐺 ∋ 𝑋 ↦ 𝑋̅(𝑝) bersifat injektif. Selain itu, untuk 𝑔 ∈ 𝐺 berlaku 𝐿_𝑝 = 𝐿_𝑝∙𝑔∘ 𝐿_𝑔⁻¹ sehingga

𝑑_𝑒𝐿_𝑝 = 𝑑_𝑒𝐿_𝑝∙𝑔∘ 𝑑_𝑔𝐿_𝑔⁻¹

dimana 𝑑_𝑒𝐿_𝑝∙𝑔 bersifat injektif dan 𝑑_𝑔𝐿_𝑔⁻¹ bersifat bijektif. Karena 𝐿_𝑔⁻¹: 𝐺 → 𝐺 merupakan sebuah difeomorfisma. Oleh karena itu, 𝐿_𝑝: 𝐺 → 𝑃_𝜋(𝑝) juga meruupakan sebuah difeomorfisma dan fiber tipikal pada sebuah untingan 𝐺-utama adalah grup Lie 𝐺. Perhatikan bahwa, fiber pada sebuah untingan 𝐺-utama secara alamiah merupakan difeomorfisma ke 𝐺 tetapi tidak membawa sebuah struktur grup alamiah.

Catatan:

Jika sebuah grup kompak bertindak bebas pada sebuah manifold diferensiabel 𝑃, maka (𝑃, 𝜋, 𝐺\𝑃) merupakan sebuah untingan 𝐺-utama. Pemetaan 𝜋: 𝑃 → 𝐺\𝑃 merupakan pemetaan alami ke orbitnya yakni 𝜋(𝑝) ≔ 𝑝 ∙ 𝐺.

Contoh:

a) Sebuah fibrasi Hopf 𝜋: 𝑆^2𝑛−1 → ℂ𝑃^𝑛 merupakan sebuah untingan U(1)-utama.

b) Misalkan 𝑉 → 𝐵 merupakan sebuah untingan 𝕂-vektor dengan rank 𝑛. Untuk 𝑏 ∈ 𝐵, fiber 𝑉_𝑏 merupakan sebuah ruang 𝕂-vektor berdimensi 𝑛. Himpunan 𝑃_𝑏 ≔ {(𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟𝑒𝑑) basis (𝑏₁, … , 𝑏_𝑛) pada 𝑉_𝑏}. Maka 𝐺 = GL(𝑛; 𝕂) yang bertindak bebas dan transitif pada 𝑃_𝑏 dari kanan oleh:

(𝑏₁, … , 𝑏_𝑛) ∙ 𝐴 ≔ (∑ 𝐴_𝑖1𝑏_𝑖

𝑛

𝑖=1

, … , ∑ 𝐴_𝑖𝑛𝑏_𝑖

𝑛

𝑖=1

),

dimana 𝐴 = (𝐴_𝑖𝑗)𝑖, 𝑗 = 1 … 𝑛. Maka 𝑃 ≔ ∐_𝑏∈𝐵𝑃_𝑏 bersama dengan proyeksi 𝜋: 𝑃 → 𝐵 sedemikian sehingga 𝜋|_𝑃𝑏 ≡ 𝑏 merupakan sebuah untingan GL(𝑛; 𝕂)-utama.

c) Dapat dikonstruksi untingan utama untuk stuktur grup yang berbeda dengan mempertimbangkan untingan pada basis untingan vektor dengan struktur lebih lanjut: Misalkan 𝑉 → 𝐵 merupakan sebuah untingan 𝕂-vektor rank 𝑛 dengan sebuah metrik Riemannian atau Hermitian berturut-turut. Untuk 𝑏 ∈ 𝐵, himpunan 𝑃_𝑏 ≔ {(𝑜𝑟𝑑𝑒𝑟𝑒𝑑) basis ortogonal (𝑏₁, … , 𝑏_𝑛) pada 𝑉_𝑏}. Maka berturut-turut 𝐺 = O(𝑛). Grup 𝐺 = U(𝑛) bertindak bebas pada 𝑃_𝑏 dan trasitif.

Dengan demikian diperoleh O(𝑛) atau untingan U(𝑛)-utama.

Definisi:

Misalkan 𝐵 merupakan sebuah manifold diferensiabel berdimensi 𝑛 dan 𝑉 = 𝑇𝐵 → 𝐵 merupakan untingan singgung. Maka untingan GL(𝑛; ℝ)-utama (𝑃, 𝜋, 𝐵) disebut untingan kerangka di 𝐵. Misalkan (𝐵, 𝑔) merupakan manifold Riemannian dan 𝑉 → 𝐵 merupakan untingan singgung. Maka untingan O(𝑛)-utama disebut untingan kerangka ortogonal.

Dengan mempertimbangkan beberapa stuktur pada untingan 𝕂-vektor, secara alami diperoleh untingan 𝐺-utama sebagai untingan pada basis yang memperhatikan struktur tertentu:

𝕂 Untingan vektor Pasangan basis 𝑮

ℝ, ℂ Setiap semua GL(𝑛; ℝ)

ℝ Riemannian ortogonal O(𝑛)

ℂ Hermitian ortogonal U(𝑛)

ℝ Berorientasi Positif berorientasi GL⁺(𝑛; ℝ)

ℝ Riemannian, berorientasi Ortogonal berorientasi SO(𝑛)

Catatan:

Misalkan (𝑃, 𝜋, 𝐵) merupakan sebuah untingan 𝐺-utama. Jika 𝜆: 𝐵 → 𝐵^′ merupakan sebuah pemetaan diferensiabel, maka 𝜆^∗𝑃 → 𝐵′ juga merupakan sebuah untingan 𝐺- utama. Untingan pull-back diberikan oleh 𝜆^∗𝑃 ≔ {(𝑏^′, 𝑝) ∈ 𝐵^′× 𝑃|𝜆(𝑏^′) = 𝜋(𝑝)}

dengan aksi kanan oleh (𝑏^′, 𝑝) ∙ 𝑔 ≔ (𝑏^′, 𝑝 ∙ 𝑔).

Selanjutnya akan diganti struktur grup 𝐺 pada untingan utama: misalkan 𝑃 → 𝐵 merupakan untingan 𝐺-utama dan 𝜑: 𝐺 → 𝐻 merupakan sebuah homomorfisma grup Lie. Grup 𝐺 beraksi dari kanan pada 𝑃 × 𝐻 yakni (𝑝, ℎ) ∙ 𝑔 ≔ (𝑝 ∙ 𝑔, 𝜑(𝑔⁻¹) ∙ ℎ). Aksi tersebut bersifat bebas, karena (𝑝, ℎ) ∙ 𝑔 = (𝑝, ℎ) mengimplikasikan 𝑝 ∙ 𝑔 = 𝑝 sehingga 𝑔 = 𝑒, karena aksi 𝐺 pada 𝑃 bersifat baka bebas.

Selanjutnya jika 𝐺 bersifat kompak, maka 𝑃^′ ≔ (𝑃 × 𝐻)/𝐺 merupakan manifold diferensiabel. Hal ini juga berlaku untuk grup Lie 𝐺 yang tidak kompak. Dengan memperhatikan diagram di bawah ini

karena gabungan 𝜋 ∘ pr₁ bersifat konstan di sepanjang orbit 𝐺, sehingga terdapat pemetaan unik yakni 𝜋′ yang membuat diagram di atas bersifat komutatif. Pemetaan tersebut bersifat diferensiabel berdasarkan teori umum pada aksi grup.

Fakta bahwa 𝑃′ merupakan ruang total pada sebuah untingan 𝐻-utama di atas 𝐵, 𝐻 beraksi bebas dari kanan pada 𝑃 × 𝐻 yakni (𝑝 ∙ ℎ) ∙ ℎ^′= (𝑝, ℎℎ^′). Karena 𝐻-aksi komut terhadap aksi 𝐺, maka aksi tersebut turun pada sebuah aksi di 𝑃 × 𝐻/𝐺 yakni

[𝑝, ℎ] ∙ ℎ^′ = [𝑝, ℎℎ^′] 𝐻-aksi pada 𝑃 ×_𝜑𝐺 bersifat bebas:

[𝑝, ℎℎ^′] = [𝑝, ℎ] ∙ ℎ^′= [𝑝, ℎ]

⇒ terdapat 𝑔 ∈ 𝐺: (𝑝, ℎℎ^′) = (𝑝 ∙ 𝑔, 𝜑(𝑔⁻¹)ℎ)

⇒ 𝑝 = 𝑝 ∙ 𝑔

⇒ 𝑔 = 𝑒

⇒ ℎℎ^′ = 𝜑(𝑒⁻¹)ℎ = ℎ

⇒ ℎ^′= 𝑒 Kesimpulan:

Tripel (𝑃 ×_𝜑𝐻, 𝜋^′, 𝐵) merupakan sebuah untingan 𝐻-utama.

Akan dibuktikan untuk kasus di mana 𝐻 bersifat kompak namun juga bersifat benar untuk kasus yang umum.

Definisi:

Tripel (𝑃 ×_𝜑𝐻, 𝜋′, 𝐵) dikatakan untingan 𝐻-utama yang dikaitan dengan untingan fiber (𝑃, 𝜋, 𝐵) sehubungan dengan 𝜑.

Jika pemetaan 𝜑: 𝐺 → 𝐻 merupakan penyematan pada sebuah subgrup, maka dapat dikatakan bahwa (𝑃 ×_𝜑𝐻, 𝜋^′, 𝐵) diperoleh dari (𝑃, 𝜋^′, 𝐵) melalui perluasan struktur grup. Sebaliknya, diberikan sebuah untingan 𝐻-utama 𝑄 → 𝐵 dan untingan 𝐻-utama sehingga perluasan tersebut menjadi untingan 𝐻-utama yang isomorfik terhadap 𝑄 → 𝐵 yang dapat dikatakan sebagai reduksi struktur grup 𝐺.

Contoh:

Sebuah untingan 𝐻-utama dapat direduksi ke grup trivial 𝐺 = {𝑒} jika dan hanya jika untingan 𝐻-utama bersifat trivial.

Misalkan 𝜋: 𝑃 → 𝐵 merupakan sebuah untingan 𝐺-utama dan 𝜌: 𝐺 → Aut(𝑉) merupakan representasi makan dapat didefinisikan

𝑃 ×_𝜌 𝑉 ≔ 𝑃 × 𝑉/𝐺

Dimana 𝐺 beraksi seperti sebelumnya yakni (𝑝, 𝑣) ∙ 𝑔 = (𝑝 ∙ 𝑔, 𝜌(𝑔⁻¹)𝑣). Konstruksi yang sama menghasilkan sebuah untingan vektor

𝑃 ×_𝜌𝑉 → 𝐵 Definisi:

Untingan vektor 𝑃 ×_𝜌𝑉 dikatakan sebagai untingan vektor terasosiasi.

Contoh:

Jika 𝐸 merupakan sebuah untingan 𝕂-vektor, misalkan 𝑃 merupakan untingan kerangka dengan 𝐺 = GL(𝑛, 𝕂) sebagai struktur grupnya. Jika 𝜌_𝑠𝑡𝑑 merupakan representasi standar pada 𝐺 di 𝕂^𝑛, maka terdapat isomorfisma untingan vektor yakni:

𝑃 ×_{𝜌𝑠𝑡𝑑} 𝕂 ≅ 𝐸,

[(𝑏₁, … , 𝑏_𝑛), (𝑥₁, … , 𝑥_𝑛)] ↦ ∑ 𝑥_𝑗𝑏_𝑗

𝑛

𝑗=1

. Pemetaan tersebut terdefinisi dengan baik karena

[𝑏, 𝑥] = [𝑏^′, 𝑥^′]

⇒ terdapat 𝑔 ∈ GL(𝑛, 𝕂): (𝑏^′, 𝑥^′) = (𝑏 ∙ 𝑔, 𝜌_𝑠𝑡𝑑(𝑔⁻¹)𝑥) = (𝑏 ∙ 𝑔, 𝑔⁻¹𝑥)

⇒ [𝑏^′, 𝑥^′] ↦ 𝑏 ∙ 𝑔 ∙ 𝑔⁻¹𝑥 = 𝑏