Handout INF203 Bab 5 Fixed and Floating Point Arithmetic

(1)

Prio Handoko, S. Kom., M.T.I.

Capaian Pembelajaran

•

Mahasiswa dapat menjelaskan konsep bilangan biner bertanda dalam format signed, one’s complement, dan 2’s complement.

•

Mahasiswa dapat merepresentasikan bilangan pecahan pada sistem digital.

•

Dalam sistem biner, angka dapat

direpresentasikan oleh digit 1 dan 0, tanda minus

“-”, titik “.” atau radix point (binary point).

•

Penggunaan tanda minus dan titik tidak memliki manfaat dalam penyimpanan dan pengolahan komputer.

•

Hanya digit biner (0 dan 1) saja yang digunakan untuk merepresentasikannya.

(2)

• Bilangan tidak bertanda (unsigned number)

•

Selalu positip

•

Bobot bilangan : semua bit merepresentasikan magnitude

• Bilangan bertanda (signed number)

•

MSB = 0 berarti positip

•

MSB = 1 berarti negatip

• Operasi bilangan unsigned meliputi:

• Penjumlahan

• Pengurangan

• Perkalian

• Pembagian

Multiplication Division

(3)

Unsigned binary integer division

Tugas.

Selesaikan perhitungan aritmatika berikut.

1. 2 + 5 2. 25 - 18 3. 10100 : 0101 4. 0110 x 0011

• Untuk menyatakan bilangan bertanda ada 3 cara :

•

Signed modulus (Signed Magnitude)

•

MSB = 0 berarti positip

•

MSB = 1 berarti negatip

•

One’s complement

•

2’s complement

•

Untuk bilangan negatif (S = 1)

•

Untuk bilangan positip (S = 0)

•

Untuk n-bit bilangan:

Max bilangan positif : +(2^n-1– 1) Min bilangan positif : +0 Max bilangan negatif : -(2^n-1– 1)

S

MSB LSB

Magnitude

(4)

’

•

Untuk bilangan negatif (S = 1), dan negasi kan setiap bit dari magnitude-nya

•

Max bilangan positif : +(2^n-1– 1) Min bilangan positif : +0 Max bilangan negatif : -(2^n-1– 1) Min bilangan negatif : -0

S

MSB LSB

Magnitude

’

•

Untuk bilangan negatif (S = 1), negasi-kan setiap bit dari magnitude-nya dan ditambah 1

•

Max bilangan positif : +(2^n-1– 1) Min bilangan positif : +0 Max bilangan negatif : -2^n-1 Min bilangan negatif : -1

S

MSB LSB

Magnitude

’

•

2’s Complement, representasi yang digunakan untuk mengatasi 2 kelemahan pada representasi sign-magnitude (modulus).

•

2’s complementmenggunakan bit yang terkiri sebagai tanda yang memudahkan untuk mengetahui apakah sebuah bilangan bernilai positif atau negatif.

’

Fungsi-fungsi aritmatika bilangan 2’s complement:

•

Negasi, aturan pembentukkan bilangan negatif (negation) bilangan integer.

•

Penjumlahan dan Pengurangan:

1. Aturan Overflow 2. Aturan Pengurangan

(5)

’

Aturan Overflow

Bila dua buah bilangan ditambahkan, dan keduanya positif atau keduanya negatif, maka overflow akan terjadi bila dan hanya

bila memiliki tanda yang berlawanan.

’

Aturan Pengurangan

Untuk mengurangkan sebuah bilangan (subtrahend - S) dari bilangan lainnya (minuend - M), anggaplah 2’s complement -

S dan tambahkan hasilnya ke M.

Latihan.

1. Berapakah nilai desimal bilangan biner di bawah ini dalam format sign modulus?

2. Berapakah nilai desimal bilangan biner di bawah ini dalam format 1’s complement?

3. Berapakah nilai desimal bilangan biner di bawah ini dalam format 2’s complement?

Jawab.

1. 0110111 =

2. 1011001 =(1) +55; (2) +8; (3) -55.

(1) -25; (2) +38; (3) +39.

Tugas.

Dengan menggunakan 1’s complement lakukan operasi bilangan bertanda 8-bit berikut:

1. 11110000 – 10010011 = ……….

2. 01110111 – 10001000 = ……….

3. 11111111 – 10010001 = ……….

(6)

Tugas.

Dengan menggunakan 2’s complement lakukan operasi bilangan bertanda 8-bit berikut:

1. 11110000 – 10010011 = ……….

2. 01110111 – 10001000 = ……….

3. 11111111 – 10010001 = ……….

Tugas.

Selesaikan perhitungan aritmatika berikut.

1. 2 + (-5) 2. (-25) + (-18) 3. 110100 : 0101 4. 1010 x 0111

Sebuah mode yang merepresentasikan bilangan sebagai dua urutan bit, satu mewakili angka dalam angkadan yang lainnya eksponen yang menentukan posisi radix point.

Sumber: http://homepage.cs.uiowa.edu/~atkinson/m170.dir/overton.pdf

Parts of Floating Point Number

-1.0625 x 10 -3

sign of

mantissa location of

decimal point mantissa base

exponent

sign of exponent

Sumber: http://www.iro.umontreal.ca/~aboulham/F1214/Session%206Arithm/Floating_Point_Numbers.pdf

(7)

Exponential Notation

IEEE 754 Standard

•

Standar yang digunakan untuk representasi bilangan floating point

•

Single precision: 32 bit, terdiri dari:

•Sign bit (1 bit)

•Exponent (8 bits)

•Mantissa (23 bits)

•

Double precision: 64 bit, terdiri dari:

•Sign bit (1 bit)

•Exponent (11 bits)

•Mantissa (52 bits)

Single Precision Format Double Precision Format

(8)

Excess Notation

•

Notasi excessdigunakan untuk menentukan nilai eksponen

•

Notasi excess yang digunakan,adalah:

•

Single precision: excess 127

•

Double precision: excess 1023

•

Contoh: Excess 127 Eksponen: 10000111 Representasi: 135 - 127 = 8

Contoh.

Mengubah 5.75 ke dalam format IEEE-754

• 5

(10)

101

(2)

• Mantissa:

0.75 * 2 = 1.5 (1) 0.5 * 2 = 1.0 (1) 0.0 * 2 = 0.0 (0)

baca

Maka, kita nilai yang didapatkan = 101.110

• Normalisasikan mantissa

101.110 = 1.01110 x 10

²

, di mana 2 adalah exponent.

exponent = nilai decimal exponent – 127 karena 2 = ……. – 127, maka

2 + 127 = nilai decimal exponent 2 + 127 = 129  1000 0001

(2)

Dari perhitungan tersebut didapatkan representasi dari 5.75 dalam format IEEE-754 adalah:

0 1000 0001 0111 0000 0000 0000 0000 000 Jika diubah ke dalam bilangan hexadecimal, maka menjadi….

0 1000 0001 0111 0000 0000 0000 0000 000

4 0 B 9 0 0 0 0

(9)

The fractional part is found by:

0.1 * 2 = 0.2 (0) 0.2 * 2 = 0.4 (0) 0.4 * 2 = 0.8 (0) 0.8 * 2 = 1.6 (1) 0.6 * 2 = 1.2 (1) 0.2 * 2 = 0.4 (0) 0.4 * 2 = 0.8 (0) 0.8 * 2 = 1.6 (1)

0.6 * 2 = 1.2 (1) which repeats 0.2 above So, the fractional part is 0.000110011...

0.000110011 = 1.10011 * 10^(-4)

therefore, Mantisa atau Fraction = 1.10011…

exp – 127 = -4

exp = 127 - 4 = 123 0111 1011(binary) The fractional part is 1001 1000 ....

So, the IEEE 754 representation of 5.75 becomes:

1 011110111001 1000 0000 0000 0000 000^{= ………..}(16)

baca

Tugas.

Jika Bilangan hexadesimal berikut dlm format IEEE-754 single precision berapa nilai

desimalnya.

1.

41CA0000 = …………

(IEEE-754)

= …………

₍₁₀₎ 2.

C2970000 = …………

(IEEE-754)

= …………

(10)

3.

3F800000 = …………

(IEEE-754)

= …………

₍₁₀₎

Tugas.

Ubahlah bilangan desimal berikut ke format IEEE-754

1.

45.125 = ……..…

(IEEE-754)

= …………

(16)

2.

1.2 = ………..

(IEEE-754)

= …………

(16)

3.

-127.45 = ……..…

(IEEE-754)

= …………

₍₁₆₎ 4.

-45.25 = …..……

(IEEE-754)

= …………

(16)

(10)

• Terdapat 2 buah K-bits: K-bits awal dan K-

bits pembanding

•

^K-bits

awal XOR

K-bits pembanding

•

K-bits memiliki jangkauan bit 0

sd. 2

^K

-1

• Untuk menentukan jumlah bit K-bits (code

bits) yang tepat, maka digunakan

rumusan:

2

^K

-1 > M + K

Syndrome Word (SW)

1. Jika SW = 0 tidak ada error yang terdeteksi.

2. Jika salah satu bit SW diset 1 dan hanya 1 bit, maka tidak perlu ada perbaikan.

3. Jika jumlah bit 1 > 1, maka nilai dari SW

menunjukkan letak dari bit data yang mengalami kerusakan/error.

Tugas.

Sebuah modul memori dilengkapi dengan Hamming Single Error Correction Code untuk mendeteksi dan mengoreksi kesalahan pada saat membaca/menulis.

Jika 8-bit data pada saat dibaca dari memori nilainya: 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 dan chek bit- nya: 0 0 1 1 0.

Analisalah apakah terjadi data error?Jika ya tentukan lokasinya!