INTEGRAK TRIGONOMETRI, PARSIAL, DAN FUNGSI RASIONAL

A. INTEGRAL TRIGONOMETRI 1.

∫ sin

ⁿ

x dx

^dan

∫ cos

ⁿ

x dx

Dilihat dulu pangkatnya

- Kalau pangkat ganjil (n ganjil), maka dipecah bentuknya sehingga membentuk pangkat genap

×

pangkat ganjil. Misal: sin⁵x _menjadi sin⁴x ×sin¹x

- Kalau pangkat genap (n genap), bisa langsung dihitung Ingat identitas trigonometri

sin

²

x + cos

²

x = 1

2.

∫ sin

^m

x cos

ⁿ

x dx

- m _atau n ganjil (salah satu pangkatnya ganjil), maka yang ganjil harus dipecah dulu.

-

m

_dan

n

keduanya genap bisa langsung dihitung

Jika

m

_dan

n

keduanya genap postitif bisa menggunakan kesamaan setengah sudut.

a.

sin

²

x = 1−cos x 2

b.

cos

²

x= 1+cos x

2

3.

∫ sin mx cos nx dx

^,

∫ sin mx sin nx dx

^{, dan}

∫ cos mx cos nx dx

Ingat bahwa:

a.

sin mx cos nx = 1

2 [ sin ( m + n ) x + sin ( m − n ) x ]

b.

sin mx sin nx=− 1

2 [ cos ( m+n ) x−cos ( m−n ) x ]

c.

cos mx cos nx= 1

2 [ cos ( m+n) x+cos ( m−n ) x ]

B. INTEGRASI PARSIAL Bentuk tak-tentu:

∫ u dv=uv− ∫ v du

Bentuk tentu:

∫

a b

u dv= [ uv ]

a b

− ∫

a b

v du

Note:

Yang dimisalkan ada dua nantinya, yaitu

u

_dan

dv

_.

u

kemudian diturunkan menjadi

du

dan

dv

diintegralkan menjadi

v

. Yang dipilih untuk diturunkan adalah yang paling sederhana, kalau bisa yang nantinya bisa diturunkan sampai turunannya = 0

C. INTEGRASI FUNGSI RASIONAL

Dekomposisi pecahan parsil (lihat PENYEBUTNYA):

Faktor linear berbeda

Faktor linear berulang/ kembar f. linear: pembilang tidak ada variabelnya Faktor linear berbeda dan berulang

Faktor kuadrat f. kuadrat: pembilang berupa variable berpangkat 1

Faktor kuadrat berulang NOTE:

Ingat cara melengkapi kuadrat sempurna Misal:

x

²

−8 x + 11=0

Maka

a=1 , b=−8 , c=11

Cari elemen

( −b 2 )

^{2 sehingga ¿}

( −−8 2 )

²

=4

²

=16

Maka persamaan tersebut menjadi

(

^x2−8x+16

)

−5=0

(

x−4

)

²−5=0

Ingat:

Dx ln x = 1

x x ≠ 0

∫ 1 x dx= ln | x | +C u ≠ 0

Dx e^x=e^x Dx e^u=e^uDx u

∫ e

^u

du=e

^u

+ C