Nama : Luthfita Larasati NIM : K1321051
NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM
Definisi Maksimum-Minimum Fungsi
Misalkan S, daerah asal f, mengandung titik c. Dapat dikatakan bahwa 1. 𝑓(𝑐) nilai maksimum 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 di 𝑆 2. 𝑓(𝑐) nilai minimum 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 di 𝑆
3. 𝑓(𝑐) nilai ekstrim 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum atau minimum.
4. Fungsi yang akan dicari nilai maksimum dan minimumnya dikatakan fungsi objektif.
Teorema A
Keberadaan Makssimum-Minimum
Jika 𝑓 kontinu pada selang tutup [𝑎, 𝑏] maka 𝑓 mencapai nilai maksimum dan minimum di selang tersebut.
Teorema B Titik Kritis
Misal 𝑓 didefinisikan pada interval I yang memuat titik c. Jika 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim, maka 𝑐 haruslah berupa suatu titik kritis; dengan kata lain, c adalah salah satu dari
1. Titik ujung dari I
2. Titik stationer dari 𝑓, yakni 𝑓′(𝑐) = 0 3. Titik singular dari 𝑓, yakni 𝑓′(𝑐) 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎
Langkah – langkah mencari nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi di selang tutup :
1. Cari titik kritis dari 𝑓 pada selang tutup yang diberikan.
2. Menghitung nilai 𝑓 pada setiap titik kritis.
3. Nilai yang paling besar pada langkah ke 2 menjadi nilai maksimum dan yang paling kecil menjadi nilai minimum.
Kemonotonan dan Kecekungan Definisi Kemonotonan
Misal 𝑓 terdefinisi pada interval I (terbuka, tertutup atau tak satupun). Dikatakan bahwa :
1. 𝑓 naik pada I jika, untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I 𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)
2. 𝑓 turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I 𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)
3. 𝑓 monoton murni pada I jika 𝑓 naik pada I atau turun pada I
Torema Kemonotonan
Misal 𝑓 kontinu pada interval I pada setiap titik dalam dari I.
1. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua titik dalam I, maka 𝑓 naik pada I.
2. Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua titk dalam I, maka 𝑓 turun pada I.
Definisi Kecekungan
Misalkan 𝑓 terdiferensiasi pada interval terbuka I. Jika 𝑓′ naik pada I dikatakan 𝑓 cekung ke atas di I dan jika 𝑓′ turun pada I dikatakan 𝑓 cekung ke bawah di I.
Teorema Kecekungan
Misalkan f terdiferensialkan dua kali pada interval terbuka I
1. Jika 𝑓′′(𝑥) > 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 cekung ke atas pada I.
2. Jika 𝑓′′(𝑥) < 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 cekung ke bawah pada I.
Uji Ekstrim Lokal Definisi
Misal 𝑆 adalah daerah asal 𝑓 dan 𝑐 ∈ 𝑆. Dapat dikatakan bahwa :
1. 𝑓(𝑐) nilai maksimum local 𝑓 pada 𝑆 jika terdapat selang buka I yang memuat 𝑐 sedemikian sehingga 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝑆
2. 𝑓(𝑐) nilai minimum local 𝑓 pada 𝑆 jika terdapat selang buka I yang memuat 𝑐 sedemikian sehingga 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝑆
3. 𝑓(𝑐) nilai ekstrim local 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal
Teorema A Uji Turunan Pertama
Misalkan f kontinu pada interval terbuka (a,b) yang memuat tsebuah itik kritis c : 1. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) 𝑑𝑎𝑛 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua titik 𝑥 ∈ (c, b)
maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal f
2. Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) 𝑑𝑎𝑛 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua titik 𝑥 ∈ (c, b) maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal.
3. Jika 𝑓′(𝑥) bertanda sama untuk kedua pihak c, maka 𝑓(𝑐) bukan nilai ekstrim lokal f
Teorema B Uji Turunan Kedua
Misalkan 𝑓’ dan 𝑓’’ ada pada setiap titik interval terbuka (a,b) yang memuat titik c, dan misalkan 𝑓′(𝑐) = 0
1. Jika 𝑓’’ (𝑐) > 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum lokal 𝑓 2. Jika 𝑓’’ (𝑐) < 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum lokal 𝑓 Contoh soal :
Tentukan ukuran silender lingkaran tegak lurus dari volume yang dapat dibuat di dalam suatu kerucut lingkaran tegak lurus yang jari-jarinya 5 cm dan tingginya 12 cm.
Pembahasan : Diketahui :
Jari-jari kerucut = 5 cm Tinggi kerucut = 12 cm Tinggi tabung = 12-t Jari-jari tabung = r
Ditanyakan : Volume tabung...?
Jawab :
* Karena bangun kerucut dan bangun tabung sebangun, maka kita bisa menggunakan rumus perbandingan.
* Setelah mengetahui nilai t, kita cari volume tabung dengan menyubsitusikan nilai t terhadap
rumus tabung.
* Kita turunkan persamaan fungsi volume tabung terhadap jari-jari tabung di atas. maka :
*Agar volume tabung maksimal, maka v'(r)=0
* Untuk nilai r = 0 diperoleh volume tabung :
*Untuk r = 10/3 diperoleh volume tabung :
*Karena nilai r = 10/3 lebih maksimal, maka kita ambil r= 10/3 untuk mencari tinggi tabung.
Jadi, jari-jari dan tinggi tabung tersebut adalah r = 10/3 cm dan t = 4 cm.