Dari kajian tentang integral Henstock-Kurzweil banyak sifat-sifat yang telah diungkapkan baik dalam ℜ maupun ruang ℜn

(1)

LINIERITAS INTEGRAL HENSTOCK-PETTIS PADA RUANG EUCLIDE Rⁿ

Hairur Rahman

Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

ABSTRACT

In this paper we study Henstock-Pettis integral on the Euclidean space ℜⁿ. We discuss some properties Linear integrable.

Keywords: Henstock integral, Euclidean Space ℜⁿ, properties Linear integrable, Henstock-Pettis integral.

PENDAHULUAN

Pada tahun 1914, Perron mengembangkan perluasan lain integral Lebesgue dan menunjukkan bahwa integralnya mempunyai sifat bahwa setiap derivatifnya terintegral pada garis lurus. Selanjutnya Henstock dan Kurzweil secara terpisah mengitlakkan integral Riemann dengan mengubah konstanta positif δ menjadi fungsi positif δ dan ternyata integral yang disusun keduanya ekuivalen. Oleh karena itu, integral yang mereka susun terkenal dengan nama Henstock-Kurzweil (Lee dan Vborn, 2000).

Dari kajian tentang integral Henstock banyak sifat-sifat yang telah diungkapkan baik dalam ℜ maupun ruang ℜⁿ. Menurut penelitian, masalah mengenai sifat-sifat pada integral Henstock kemungkinan dapat dikembangkan menjadi masalah yang lebih luas dalam integral Henstock-Pettis, khususnya sejauh mana sifat- sifat integral Henstock dari fungsi bernilai real dapat dikembangkan ke dalam integral Henstock- Pettis pada ruang Euclide ℜⁿ. Dari kajian tentang integral Henstock-Kurzweil banyak sifat-sifat yang telah diungkapkan baik dalam ℜ maupun ruang ℜⁿ. Menurut penelitian sebelumnya, masalah mengenai sifat-sifat pada integral Henstock-Kurzweil yang telah dilakukan oleh Guoju dan Tianqing, 2001, Guoju dan Swabik, 2001, Indrati, 2002, serta Dharmawidjaya, 2003, kemungkinan dapat dikembangkan menjadi masalah yang lebih luas dalam integral Henstock- Kurzweil-Pettis, khususnya sejauh mana sifat- sifat integral Henstock dari fungsi bernilai real dapat dikembangkan ke dalam integral Henstock- Kurzweil-Pettis pada ruang Euclide ℜⁿ.

Definisi 1.1. Diberikan fungsi volume α pada ℜⁿ, sel ℜdan E ruang Banach. Fungsi f : E → X dikatakan terintegral-α Henstock pada E terhadap α, ditulis singkat f ∈ℋ(E, α, X) jika terdapat vektor A ∈ X sehingga untuk setiap bilangan > 0 terdapat fungsi positif pada E dan untuk setiap partisi Perron -fine

= , , , , , , pada E berlaku

.

PEMBAHASAN

Akan dibahas sifat-sifat lanjut dari integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide ℜ, yakni memuat pembahasan yang berkaitan dengan sifat-sifat Linearitas fungsi terintegral Henstock- Pettis pada ruang Euclide ℜ.

Definisi 2.1. Diberikan X ruang Banach dan !^"

ruang dualnya, volume α pada ℜⁿ, dan se ℜ. Fungsi f : E → X dikatakan terintegral-α Henstock- Pettis pada E, ditulis singkat dengan f ∈ℋ#(E, α), jika untuk setiap ^"∈ !^" dan sel $, fungsi

^" terintegral- Henstock pada A dan terdapat

vektor %,&,'∈ ! sehingga

^"(%,&,') ℋ * ^" +

& .

Selanjutnya vektor %,&,' di atas disebut nilai Integral Henstock-Pettis fungsi f pada A dan ditulis

%,&,' ℋ# * +,

&

khususnya

%,,,' ℋ# * +,

Jadi ,

^"-ℋ# * +,

& . ℋ * ^" +.

&

Teorema 2.2. Jika f ∈ HP(E, α), maka vektor

%,&,'∈ ! yang dimaksud di dalam Definisi 2.1

adalah tunggal

Bukti: Jika terdapat vektor _%,&,' dan _%,&,' seperti pada definisi 2.1 maka

^"/_%,&,'0 ℋ * ^" +

&

(2)

dan

^"/_%,&,'0 ℋ * ^" +

&

oleh karena itu,

^"/_%,&,'0 ^"/_%,&,'0 ℋ * ^" +

& ℋ * ^" +

&

atau

^"/_%,&,'0 ^"/_%,&,'0 Untuk setiap x^∗∈X^∗

Jadi

_%,&,' _%,&,' ◙ Contoh 2.3 Jika ^" 1 untuk setiap di dalam sel E ⊂ℜⁿ, maka f ∈ HP(E,α) dan

^"(%,&,') 1.

Bukti : Diberikan sebarang bilangan ε > 0 dan

^"∈ !^" maka dapat ditemukan fungsi positif δ

pada E sehingga jika A ⊂ E sebarang sel dan D_, sebarang partisi Perron δ-fine pada sel A, maka

|D∑^"4 ^"(,,)|

|D∑1 1|

| 1 1| 0

Jadi ^" terintegral Henstock pada E dan untuk sel A ⊂ E di atas, maka terdapat vektor

_%,&,'∈ !sehingga

^"(%,&,') ℋ * ^" +

&

ℋ * 1 +

&

1

Jadi f terintegral Henstock-Pettis pada E.

Teorema 2.4 Diberikan X ruang Banach dan !^"

dualnya, volume α pada ℜⁿ dan sel E ⊂ ℜⁿ. (i) Jika f,g ∈ ℋ#(E,α) maka f + g ∈ ℋ#(E,α)

dan %67,&,' %,&,'8 7,&,'

(ii) Jika f ∈ ℋ#(E,α) dan c∈ ℜ maka cf ∈ℋ#(E,α) dan _9%,&,' 1. _%,&,' Bukti :

(i). Fungsi f ∈ ℋ#(E,α), maka untuk setiap

^"∈ !^" fungsi ^" terintegral Henstock

pada E dan untuk setiap sel A ⊂E terdapat vektor %,&,'∈ ! sehingga

^"(%,&,') ℋ * ^" +

&

dan fungsi g ∈ ℋ#(E,α), maka untuk setiap

^"∈ !^" fungsi ^"g terintegral Henstock

pada E dan untuk setiap sel A ⊂ E terdapat vektor _7,&,'∈ ! sehingga

^"(7,&,') ℋ * ^": +

&

Karena A ⊂ E sebarang sel, maka berlaku untuk fungsi f dan fungsi g. Jadi untuk setiap

^"∈ !^" fungsi ^"(f+g) terintegral Henstock

pada E. Oleh karena itu terdapat vektor

%67,&,'∈ ! sehingga untuk sel A ⊂ E di

atas berlaku

^"(%67,&,') ℋ * ^" 8 : +

&

ℋ * ^" +

& 8 ℋ * ^": +

&

"(%,&,') 8 ^"(7,&,') Jadi f + g ∈ ℋ#(E,α)

dan

%67,&,' %,&,'8 _7,&,'

(ii). Fungsi f ∈ ℋ#(E,α), maka untuk setiap

^"∈ !^"fungsi ^"f terintegral Henstock pada

E dan untuk setiap sel A ⊂ E terdapat vektor

%,&,'∈ ! sehingga

^"(%,&,') ℋ * ^" +

&

Oleh karena itu, untuk setiap ^"∈ !^" dan c ∈ℜ maka ^"cf terintegral Henstock pada E dan untuk setiap sel A ⊂ E terdapat vektor _9%,&,'∈ !.

Sehingga

^"(9%,&,') ℋ * ^"1 +

&

1ℋ * ^" +

&

1^"(%,&,') Jadi cf ∈ℋ#(E,α)

dan

9%,&,' 1. %,&,' ◙ Teorema 2.5 Diberikan X ruang Banach dan !^"

dualnya, volume α dan β di dalamnya ℜⁿ dan sel E⊂ℜⁿ.

(i). Jika f ∈ℋ#(E,α) dan f ∈ ℋ#(E, β), maka f ∈ ℋ#(E, α +β)

dan %,&,'6; %,&,'8 _%,&,;

(ii). Jika f ∈ HP (E,α) dan e∈ ℜ dengan e> 0 maka f ∈ HP (E,eα) dan %,&,<' =. _%,&,'

Bukti :

(i). Fungsi f ∈ ℋ#(E,α), maka untuk setiap

%,&,'∈ ! sehingga

(3)

^"(%,&,') ℋ * ^" +

&

dan fungsi f ∈ℋ#(E,β), maka untuk setiap

%,&,;∈ ! sehingga

^"(%,&,;) ℋ * ^" +>

&

Karena A ⊂ E sebarang sel, maka berlaku untuk fungsi f yang terintegral Henstock- Pettis pada E terhadap α dan β.

Jadi untuk setiap ^"∈ !^" fungsi ^"f terintegral Henstock pada E.

Oleh karena itu terdapat vektor

%,&,'6;∈ ! sehingga sel A ⊂ E di atas

berlaku

%,&,'6; ℋ * ^" + 8 >

&

ℋ * ^" +

& 8 ℋ * ^" +>

&

%,&,'8 %,&,;

Jadi f ∈ℋ#(E,α+β), dan

%,&,'6; %,&,'8 %,&,;

(ii). Fungsi f ∈ ℋ#(E,α), maka untuk setiap

%,&,'∈ ! sehingga

^"(%,&,') ℋ * ^" +

&

Oleh karena itu, jika e ∈ ℜ dengan e > 0 maka untuk sel A ⊂ E di atas terdapat vektor

%,&,<'∈ ! sehingga

^"(%,&,<') ℋ * ^" +=

&

=ℋ * ^" +

&

=^"(%,&,') Jadi f ∈ ℋ#(E,eα)

dan

%,&,<' =. %,&,' ◙

Teorema 2.6 Jika E1, E2⊂ ℜⁿ sel-sel tak saling tumpang tindih, f ∈ℋ#(E1,α) dan, f ∈ℋ#(E2,α) maka, f ∈ ℋ#(E1 ∪ E2,α) dan jika A⊂ E1 sel dan B⊂ E2 sel maka

%,&?@,' %,&,'8 %,@,'

^"∈ !^", maka terdapat fungsi positif δ1 pada E1

dan δ2 pada E2 sehingga untuk A ⊂ E1 sebarang sel dan B ⊂ E2 sebarang sel dan D₁_,_dan D₂_, berturut-turut partisi Perron δ-fine

pada A dan B berlaku

|D₁∑^"4 ^"(,,)| ₂

dan

|D₂∑^"4 ^"(,,)| ₂

|D∑1 1|

| 1 1| 0

Diambil fungsi δ :

B , CDEF ∈ +FG H I

, CDEF ∈ I +FG H min( , ), CDEF ∈ M I

N

Diperoleh δ fungsi positif pada E1 ∪ E2 dan untuk sel-sel A ⊂ E1, dan B ⊂E2 di atas dan D 1 ∪ D2

partisi Perron δ-fine pada A∪B. Oleh karena itu diperoleh

|D₁? D₂∑^"4

/^"(%,&,') 8 ^"(%,&,;)0 |

|D₁_∑^"₈D₂_∑^"

/^"(%,&,') 8 ^"(%,&,;)0 |

|D₁_∑^"₈D₂_∑^"

/^"(%,&,') 8 ^"(%,&,;)0 |

O |D₁_∑^"₈^"₍_%,&,'_{)| 8}

|D₂_∑^"₈^"₍_%,&,;_)|

2 8 2

Jadi ^"f terintegral Henstock pada E1 ∪ E2 dan untuk sel-sel A ⊂ E1, B⊂ E2 di atas terdapat vektor

(%,&?@,') ∈ ! sehingga

^"(%,&?@,') ℋ * ^" +

&?@

ℋ * ^" +

& 8 ℋ * ^" +

"(%,&,') 8 ^"(%,@,'@) Jadi f ∈ ℋ#(E1∪E2,α)

dan %,&?@,' %,&,'8 %,@,' ◙

Selanjutnya teorema di bawah ini merupakan akibat teorema 2.6.

Teorema 2.7 Diberikan sel E ⊂ℜⁿ. Jika A⊂ E sel dan D = {(D1, D2, …, Dm)} divisi pada A serta f ∈ ℋ#(Di,α) untuk setiap i, maka f∈ ℋ#(E,α) dan

%,&,' %,P_Q,'

R

^"∈ !^", maka terdapat fungsi positif δ dan Di,

sehingga jika I_S, S: E 1,2, … , W partisi Perron δi-fine pada Di berlaku

(4)

X^"(_%,P_Q,') ^"SIS

Y S

X Z untuk setiap i = 1,2,..,m.

Dibentuk fungsi positif δ :

[ , ∈ DG\, D 1,2, … , Z min , ∈ ] ^\E __`W ∈ N diperoleh δ fungsi positif pada E dan O untuk setiap ∈Di, i = 1,2,…,m.

Diambil sebarang partisi Perron δ-fine Pi pada Di

untuk setiap i = 1,2,…,m.

Menurut Teorema 2.6.2., a b aR

merupakan partisi Perron δ-fine pada E.

Akibatnya, untuk A ⊂ E sebarang sel P merupakan partisi Perron δ-fine pada A. Oleh karena itu Pi merupakan partisi Perron δ-fine Di

untuk setiap i =1,2,…,m, maka diperoleh

X ^"(_%,P_Q,')

R

# ^"c4a

R

X

O X ^"(_%,P_Q,')

R

#^"c4a

R

X

( )

( ) ( ) ^{( )}

∑ ∑ ∑

= =

∗ −

≤ ^m

i

m

i i D

f x f y P

x x

1

* 1

,

, 1_α ^P

α

( )

( ) ( ) ^{( )}

∑ ∑

=

∗ −

≤ ^m

i

i D

f x f y P

x x

1

* ,

, 1_α ^P

α

ε

₌

ε

<

∑

= m

i 1 m

Jadi untuk setiap ^"∈ !^" fungsi ^" terintegral Henstock pada E dan untuk setiap sel A ⊂ E di atas terdapat vektor x₍_f,_A,_α₎∈X sehingga

Jadi f ∈HP (E,α) dan

( )

( ) ∑

( )

=

∗ = ^m

i D f A

f x _i

x x

1 , , ,

, α α ◙

Teorema 2.8. Jika f=0 (fungsi nol) h,d pada E maka f∈HP(E,α) dan jika A⊂E sel maka

(f, A,_α) =

θ

x

Bukti : Karena f = 0 h.d pada E, maka terdapat himpunan A⊂ E dengan µα(A) = 0 sehingga jika

∗

∈ X

x

berakibat

( )









∈

≠

−

∈

=

∗

A x

A E x x

f x

jika , 0

Dibentuk A =

∪

^∞

=1 i

Ai dimana

Ai =

{

^x^∈^A^:ⁱ⁻¹^≤ ^f

( )

^x ^≤ⁱ^,ⁱ ⁼¹^,²^,....

}

^⊂ ^A

dengan µα (Ai) = 0

Diberikan bilangan ε> 0. Untuk setiap i terdapat himpunan terbuka Gi dengan ukuran kurang dari

i2

i

ε

sehingga Gi⊃Ai.

Didefinisikan fungsi positif δ pada E sedemikian sehingga N(

x

,δ(

x

)) ⊂Gi, untuk

x

_∈Ai, i=1,2,…, dan sebarang fungsi positif untuk

x

yang lain . Oleh karena itu untuk sebarang A ⊂ E sel dan sebarang partisi Perron δ-fine P={(B,

x

)} pada A berlaku

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε

ε α

α α

α

=

<

=

+

=

−

∑

∞

=

∗

∈

∗

∉

∗

∈

∗

i i x

A x f x

A x f x A

x f x

A x f x

i i

A x

A x A

x

i

i i

. 2

0

1

P

untuk setiap

x

^∗

∈ X

^∗ dan x^∗ ≤1.

Hal ini menunjukkan bahwa untuk setiap

∗

∈ X

x

fungsi x^∗f terintegral Henstock pada E.

dan untuk sel A ⊂ E di atas terdapat vektor

( ) X

x _f,_A,_α ∈ sehingga

( )

( ) ( )

( ) ∫ ( )

∫

=

∗ =

0 0 0

* ,

,

A d

fd x x

x

A A

f

α α

α

H

Jadi f ∈HP (E,α) dan

x₍_f_{, A}_,_α₎ =

θ

Berikut ini akibat Teorema 3.1.8 di atas.

Teorema 3.1.9. Jika f ∈ HP(E,α) dan g = f h.d pada E maka g ∈HP(E,α) dan jika A⊂ E sel maka

(g,A,α) x(f,A,α)

x =

( )

( ) ^{( )}

( )

∑

∑ ∫

=

∗

=

∗

=

m

i

D f m

i D

A f

i i

x x

fd x x

x

1

, , 1

* ,

,

α

^H α

(5)

Bukti : ambil fungsi h = g - f. Diperoleh h = 0 (fungsi nol) h.d pada E. Menurut Teorema 3.1.8, h

∈HP (E,α) dan

(_h_{, A}_,_α) =

θ

x

untuk setiap sel A⊂ E.

Karena h ∈HP(E,α), f ∈HP(E,α) dan g = h + f, maka berdasarkan Teorema 3.1.4 (i) diperoleh, g ∈HP (E,α) dan untuk setiap

∗

∈ X x

( )

( ) ⁼ ( ) ( ∫

^∗

⁺ )

∗

A A

g

x h f d

x

, ,_α

^H α

( ) ∫

^∗

⁺ ( ) ∫

^∗

=

A A

fd x hd

x α ^H α

H

( ) ∫

^∗

+

=

A

fd

x α

0 H

( ) ∫

^∗

=

A

fd

x α

H

( )

(

α

)

=x∗ x f,A,

Jadi

x₍_g_,_A_,_α₎ =x₍_f_,_A_,_α₎

◙

Teorema 3.1.10. Jika f ∈HP (E,α) dan

x

^∗f ≥ 0 h.d pada E dan jika A⊂ E sel maka

( )

(

^, ^,

)

^≥⁰

∗ x f Aα

x

Bukti : Karena

x

^∗f ≥ 0 h.d pada E maka tidak mengurangi arti jika dianggap

x

^∗f (

x

) ≥ 0 untuk setiap

x

_∈E dan

x

^∗

∈ X

^∗. Oleh karena itu, karena f ∈ HP(E,α), jadi untuk setiap

x

^∗

∈ X

^∗ fungsi

x

^∗f terintegral Henstock pada E dan untuk setiap sel A⊂ E terdapat vektor

( ) X

x _f_,_A_,_α ∈ sehingga berakibat

( )

(

, ,

) = ( ) ∫

^∗

≥ ⁰

∗

A A

f

x fd

x

_α

^H α

◙

Di bawah ini merupakan akibat Teorema 3.1.10

Teorema 2.11. Jika f ∈ HP (E,α) dan g ∈ HP (E,α) dan x^∗f ≤ x^∗g h.d pada E dan jika A ⊂ E sel maka

( )

(

x f,A,α

)

x

(

x(g,A,α)

)

x^∗ ≤ ^∗

Bukti : Karena x^∗f ≤ x^∗g h.d pada E maka

x

^∗

g –

x

^∗f ≥ 0 h.d. pada E. Oleh karena itu, berdasarkan Teorema 3.1.10 untuk setiap

∗

∈ X

x

fungsi

x

^∗(f-g) terintegral Henstock pada E dan untuk setiap A ⊂ E sel terdapat vektor

( ) X

x_g₋_f,_A,_α ∈ sehingga

( )

(

⁻ , ,

) = ( ) ( ∫

^∗

− ) ≥ ⁰

∗

^x

_α

^x ^g ^f ^d α

x

A A

f

g

H

( ) − ( ) ≥ ⁰

= ∫ ^x

^∗

^g ^d ^α ∫ ^x

^∗

^f ^d ^α

A A

H H

( )

(

, ,

)

−

(

( , , )

)

≥⁰

=x^∗ x_g_A_α x^∗ x _f _A_α Jadi

( )

(

x f,A,α

)

x

(

x(g,A,α)

)

x^∗ ≤ ^∗

◙

DAFTAR PUSTAKA

[1]. Dharmawidjaya, S., 2003, On The Bounded Interval Functions, Proceedings of the International Conference 2003 On Mathematics And Its Application, SEAMS- Gadjah Mada University, Universitas Gadjah Mada, Indonesia.

[2]. Indrati, Ch. R., 2002, Integral Henstock- Kurzweil pada ruang Euclide ℜⁿ berdimensi-n, Disertasi, Universitas Gadjah Mada, Indonesia.

[3]. Gordon, R.A., 1994, The Integral of Lebesgue, Denjoy, Perron and Henstock, American Mathematical Society, USA.

[4]. Guoju, Ye and Tianqing, 2001.On Henstock- Dunford and Henstock-Pettis Integral, IJMMS, 25:7, Hindawi Publishing Corp. pp 467-478.

[5]. Guoju, Ye, and ,Swabik. S, 2001. The MacShane and The Weak. MacShane Intergal of Banach Space Value Function Defined On ℜⁿ. Mathematical Notes, Miscole, Vol, 2., No, 2., pp127-136.

[6]. Guoju, Ye, and Swabik. S, 2004, Topics in Banach Space Integration, manuscript in preparation.

[7]. Guoju, Ye, Lee, P.Y.,Wu, Congxin, 1999, Convergence Theorem of The Denjoy- Bochner, Denjoy-Pettis and Denjoy-Dunford Integral, southeast asian bulletin of mathematics, Springer-Verlag, vol 23; 135- 143.

[8]. Rahman, Hairur, 2005, Integral Henstock- Pettis pada ruang Euclide ℜⁿ , Tesis, Universitas Gadjah Mada, Indonesia.

(6)

[9]. Rahman, Hairur, 2005, Kekonvergenan Integral Henstock-Pettis pada ruang Euclide ℜⁿ, Universitas Gadjah Mada, Indonesia.

[10]. Lee, P.Y., 1989, Lanzhou Lectures On Henstock Integration, Word Scientific, Singapore.

[11]. Lee, P.Y. dan Vborn, R., 2000, Integral: An Easy Approach after Kurzweil and Henstock, Cambridge University Press.

[12]. Pfeffer,W.F.,1993, The Riemann Approach to Integration, Cambridge University Press, New York, USA.

[13]. Royden, H.L., 1989, Real Analysis, third edition, Macmillan Publishing Company, New York, USA.

[14]. Swabik. S. and Ye, Guoju.,1991.The Macshne and The Pettis Intergal of Banach Space Value Function Defined on ℜⁿ, chzech, math journal.

Dari kajian tentang integral Henstock-Kurzweil banyak sifat-sifat yang telah diungkapkan baik dalam ℜ maupun ruang ℜn

( ) ( ) ( )

∑ ∑ ∑

α

( ) ( ) ( )

∑ ∑

α

ε

ε

∑

( ) ∑

θ

∈ X

x

( )

∪

{

( )

}

i2

ε

x

x

x

x

x

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ε

ε α

α α

α

=

<

=

+

=

−

∑

∑

∑

∑

∑

i i x

A x f x

A x f x A

x f x

A x f x

. 2

0

P

x

∈ X

∈ X

x

( ) ( )

( ) ∫ ( )

∫

α α

α

θ

( ) ( )

( )

∑

∑ ∫

=

=

x x

fd x x

x

H α

θ

∈ X x

( ) = ( ) ( ∫

+ )

x h f d

x

x

H α

( ) ∫

( ) ( ) ^{( )}

( ) ( ) ^{( )}

( ) ^{( )}

^H α

( ) ⁼ ( ) ( ∫

⁺ )

^H α

⁺ ( ) ∫

x α ^H α

≥ ⁰

^H α

− ) ≥ ⁰

^x

^x ^g ^f ^d α

( ) − ( ) ≥ ⁰

= ∫ ^x

^g ^d ^α ∫ ^x

^f ^d ^α