kalkulus diferensial

SISTEM BILANGAN REAL

Kegiatan Belajar 1

Uraian Materi Sistem Bilangan Real
Tugas Kegiatan Belajar 1
Penilaian Kegiatan Belajar 1

Sebelum membahas sistem bilangan real, kita bahas dulu sistem bilangan yang paling sederhana yaitu bilangan asli. Bilangan irasional adalah bilangan real yang tidak dapat dinyatakan sebagai a/b, dimana a, b adalah bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. Jadi himpunan bilangan berikut (bilangan rasional dan irasional) beserta negatifnya disebut bilangan real.

Orde bilangan real adalah konsep yang membandingkan bilangan real sedemikian rupa sehingga suatu bilangan real lebih besar dari (>) atau lebih kecil dari (<) bilangan real lainnya.

Kegiatan Belajar 2

Uraian Materi Desimal, Bilangan Rasional dan

Pada kegiatan pembelajaran 1 kita membahas tentang pengertian bilangan rasional yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dimana a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Pada bilangan real, bilangan irasional adalah bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b. Penggunaan nilai π sama dengan 3,14 atau 22/7 merupakan bilangan rasional, sehingga tidak sesuai dengan sifat bilangan irasional.

Cari nombor rasional positif dan nombor tak rasional positif yang kurang daripada 0.00001.

Kegiatan Belajar 3

Uraian Materi Ketaksamaan
Penilaian Kegiatan Belajar

Sebelum membahas pertidaksamaan, terlebih dahulu kita akan membahas pengertian interval yang erat kaitannya dengan penulisan penyelesaian eksak suatu pertidaksamaan. Sedangkan interval tertutup [a,b] adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan a dan lebih kecil atau sama dengan b. Poin-poin ini adalah kunci untuk menentukan himpunan solusi pertidaksamaan kuadrat atau lebih tinggi.

Dalam soalan 11-41, Nyatakan set penyelesaian bagi ketaksamaan yang diberikan dalam tatatanda selang dan lakarkan graf itu.

Kegiatan Belajar 4

Uraian Materi Nilai Mutlak
Rujukan
Bacaan Yang Dianjurkan

Kompetensi umum dalam mempelajari materi mata kuliah ini adalah mahasiswa mampu menjelaskan konsep dan prinsip nilai absolut dalam manipulasi aljabar. Kompetensi khusus dalam mempelajari materi mata kuliah ini adalah mahasiswa mampu menggunakan sifat-sifat dan kaidah mengenai nilai mutlak pada saat melakukan manipulasi aljabar. Secara geometris, nilai absolut suatu bilangan real x dapat diartikan sebagai jarak suatu bilangan real ke 0.

Dalam soalan No 1 - 5, setiap bentuk nilai mutlak yang diberikan ditukar kepada bentuk yang tidak mengandungi nilai mutlak.

FUNGSI, LIMIT DAN KEKONTINUAN

Kegiatan Belajar 5

Uraian Materi Fungsi, Operasi pada Fungsi

Jika domain asal suatu fungsi tidak ditentukan, domain dari fungsi tersebut diasumsikan sebagai himpunan bilangan real, sehingga aturan fungsi tersebut bermakna dan mengembalikan nilai bilangan real. Jika daerah asal dan hasil kali suatu fungsi adalah himpunan bilangan real, kita dapat membayangkan fungsi tersebut dengan menggambar grafiknya pada bidang koordinat, dan grafik fungsi f adalah grafik persamaan y = f(x). Jika f dan g adalah dua fungsi, maka jumlah f + g, selisih f – g, hasil kali f.g, hasil bagi f/g, dan eksponen fn adalah fungsi-fungsi yang mempunyai luas awal perpotongan fungsi tersebut. rentang asal f dan rentang asal g, dan dirumuskan sebagai berikut.

Kita dapat membuat fungsi baru dari pengoperasian dua fungsi, dimana titik asal operasi f *g adalah perpotongan titik asal f dan g. Dua mesin sering kali dapat ditempatkan berdampingan untuk membuat mesin yang lebih kompleks; Begitu pula dengan kedua fungsi f dan g (seperti pada gambar di bawah). Grafik pada Gambar 11 manakah yang merupakan grafik fungsi dengan rumus berbentuk y = f (x). Apakah ada satu y untuk setiap x?

Evaluasilah skor anda, kemudian gunakan kriteria di bawah ini untuk menentukan tingkat penguasaan anda terhadap materi pada Kegiatan Pembelajaran 5. Namun jika penguasaan anda kurang dari 80% maka anda sebaiknya mengulang materi pada Kegiatan Pembelajaran 5, terutama pada bagian yang tidak anda miliki. kamu belum menguasainya.

Kegiatan Belajar 6

Uraian Materi Fungsi Trigonometri

Untuk mencari hubungan antara radian dan derajat, kita dapat menggunakan konsep perbandingan sudut pusat dan panjang busur. Sinus atau biasa disingkat sin adalah perbandingan atau hasil bagi antara sisi siku-siku dan sisi miring suatu segitiga siku-siku. Evaluasi skor Anda dan kemudian gunakan kriteria di bawah ini untuk menentukan tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan pembelajaran 6.

Namun apabila penguasaan anda kurang dari 80%, sebaiknya anda mengulang kembali materi Kegiatan Pembelajaran 6 terutama pada bagian yang belum anda kuasai.

Kegiatan Belajar 7

Uraian Materi Pendahuluan Limit

Berdasarkan informasi pada tabel di atas, diagram skematik dan grafik menunjukkan bahwa f(x) mendekati 3 dan x mendekati 1. Untuk mendapatkan gambaran tentang apa yang terjadi jika x mendekati 3, kita dapat menggunakan aljabar untuk menyederhanakan soal. Perkirakan skor Anda dan kemudian gunakan kriteria berikut untuk menentukan tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan pembelajaran 7.

Namun apabila penguasaan anda kurang dari 80%, maka sebaiknya anda mengulang kembali materi kegiatan pembelajaran 7 terutama pada bagian yang belum anda kuasai.

Kegiatan Belajar 8

Uraian Materi Pengkajian tentang Limit

Perkirakan skor Anda, kemudian gunakan kriteria berikut untuk menentukan tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan pembelajaran 8. Perkirakan skor Anda, kemudian gunakan kriteria berikut untuk menentukan tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan pembelajaran 9. Misalkan m adalah gradien dari garis singgung kurva f di titik (x1,(f(x1)), maka persamaan garis singgung kurva f di titik tersebut adalah: y f(a)m(xx1).

Misalkan f didefinisikan pada interval terbuka I yang memuat a, maka m adalah gradien garis singgung kurva f di titik (a,f(a)) di mana. Evaluasilah nilai anda kemudian gunakan kriteria berikut ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi Kegiatan Pembelajaran 10. Namun apabila penguasaan anda kurang dari 80% maka sebaiknya anda mengulang kembali materi Kegiatan Pembelajaran 10 terutama bagian yang apakah kamu belum menguasainya?

Nilailah skor Anda, kemudian gunakan kriteria di bawah ini untuk menentukan tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan pembelajaran 11. Nilailah skor Anda, kemudian gunakan kriteria di bawah ini untuk menentukan tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan pembelajaran 12. Nilailah hasil Anda dan kemudian gunakan kriteria di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan pembelajaran 13.

Perkirakan skor Anda, kemudian gunakan kriteria berikut untuk menentukan tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan pembelajaran 14. Perkirakan skor Anda, kemudian gunakan kriteria berikut untuk menentukan tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan pembelajaran 15.

Kegiatan Belajar 9

Uraian Materi Teorema Limit dan

Turunan

Kegiatan Belajar 10

Uraian Materi Garis Singgung

Asumsikan suatu benda bergerak lurus dengan persamaan gerak S = t2 + 2;. menyatakan waktu dalam satuan detik), dan S(t) menyatakan jarak dalam meter, yaitu kedudukan benda pada waktu t. Jarak atau kedudukan benda dari mulai bergerak, sampai t = 1 detik dan t = 3 detik. Misalnya suatu benda bergerak lurus, jika posisi benda pada waktu t ditentukan oleh S=f(t), maka kelajuan rata-rata benda dalam selang waktu t=a sampai t=a + jam adalah.

Sebuah mobil bergerak lurus sepanjang sumbu X, misalnya posisinya (dalam meter) pada waktu t(detik) dinyatakan dengan f(t)=5t2+100, tentukan kelajuan mobil pada waktu t= 3 sekon. Jadi jelas bahwa gradien garis dan kecepatan sesaat merupakan interpretasi dari gagasan serupa, yaitu.

Kegiatan Belajar 11

Uraian Materi Turunan

Kegiatan Belajar 12

Uraian Materi Aturan Pencarian Turunan

Semua pernyataan di bawah ini dinyatakan secara fungsional dan cara operator Dx. Aturan konstanta dan aturan pangkat bebas Fungsi konstanta f(x)=k adalah garis horizontal sehingga mempunyai kemiringan nol di setiap titik. Dx adalah operator linier. Operator Dx berfungsi sangat baik bila diterapkan pada kelipatan konstanta fungsi atau pada sejumlah fungsi.

Dengan kata lain, ini menyatakan bahwa pengali konstan k dapat dilewatkan melalui operator Dx. Dalam teorema dikatakan bahwa turunan suatu besaran adalah jumlah turunannya. Operator linier akan muncul berulang kali di buku ini; Dx biasanya merupakan contoh penting.

Untuk mencari turunan berikut, kita anggap bahwa teorema jumlah dan selisih berlaku untuk sejumlah suku berhingga. Jika Anda mengetahui aturan peringkat dan melakukan apa yang terjadi secara alami, Anda akan mendapatkan hasil yang hampir nyata. Turunan hasil kali fungsi tidak sama dengan hasil kali turunan fungsi.

Harus diingat dengan kata-kata berikut: turunan hasil kali dua fungsi adalah fungsi pertama dikalikan turunan fungsi kedua ditambah fungsi kedua dikalikan turunan fungsi pertama. Namun jika penguasaan Anda kurang dari 80%, maka Anda harus mengulangi kegiatan pembelajaran 12 materi, terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Kegiatan Belajar 13

Uraian Materi Turunan Sinus dan Cosinus

Jadi, f(t) = sin t dan g(t) = cos t adalah fungsi yang mempunyai domain asal dan domain resultan berupa bilangan real. Untuk mencari Dx(sin x), kita mengandalkan definisi turunannya dan menggunakan identitas tambahan untuk sin(x+h). Kita membutuhkan turunan dari sin 2x; Sayangnya saat ini kita hanya mengetahui cara mencari turunan dari sin x.

Misalkan sebuah bianglala berjari-jari 30 dm berputar berlawanan arah jarum jam dengan kecepatan sudut 2 radian/detik. Seberapa cepat tempat duduk naik pada pelek (dalam arah vertikal) ketika berada 15 dm di atas garis horizontal melalui bagian tengah roda. Meskipun kegunaan utama kedua teorema limit ini adalah untuk membuktikan rumus turunan, kita juga bisa

Dengan kecepatan berapa braket pada pelek bergerak mendatar pada waktu t=/4 sekon (yaitu saat braket mencapai puncak roda). Sebuah bianglala berjari-jari 20 desimeter berputar berlawanan arah jarum jam dengan kecepatan sudut 1 radian/detik. Perhatikan bahwa kurva y 2sin x dan y 2cosx berpotongan tegak lurus di titik tertentu z 0

Namun apabila penguasaan Anda kurang dari 80%, maka Anda harus mengulang materi Kegiatan Pembelajaran 13, terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Tabel di atas memberikan gambaran secara intuisi, sehingga menujukkan bahwa:

Kegiatan Belajar 14

Uraian Materi Aturan Rantai

Jika digambarkan fungsi pangkat ke 17 ini terdiri dari 18 suku dan sebagian koefisiennya terdiri dari 14 digit, akan sangat panjang jika diturunkan dengan metode perkalian biasa. Jika diasumsikan terdiferensiasi di x dan g terdiferensiasi di f(x), maka fungsi komposit h = g o f yang didefinisikan oleh h(x) = g(f(x)) terdiferensiasi di a dan turunannya adalah. Namun jika penguasaan Anda kurang dari 80%, maka Anda harus mengulangi kegiatan pembelajaran 14 materi, terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Kegiatan Belajar 15

Uraian Turunan Impilisit dan Eksplisit

Elemen baru dalam soal ini adalah kita dihadapkan pada persamaan y yang secara eksplisit tidak dapat diselesaikan. Ketika kita melakukan ini, kita berasumsi bahwa persamaan yang diberikan menentukan y sebagai fungsi dari x (kita tidak tahu bagaimana mencarinya secara eksplisit). Namun jika kita hanya ingin mencari kemiringan pada suatu titik yang diketahui kedua koordinatnya, tidak ada kesulitan.

Metode yang diilustrasikan baru-baru ini untuk mencari dy/dx tanpa terlebih dahulu menyelesaikan persamaan yang diberikan untuk y dalam x secara eksplisit disebut diferensiasi implisit. Contoh yang dapat dicermati untuk memberikan bukti kebenaran metode, perhatikan contoh berikut, yang dapat dilakukan dengan dua cara. Beberapa kesulitan kecil muncul jika persamaan dalam x dan y menentukan fungsi y = f(x), dan jika fungsi ini terdiferensiasi, metode diferensiasi implisit akan menghasilkan ekspresi yang benar untuk dy/dx.

Namun fungsi ini bahkan tidak kontinu di x = 3, jadi jelas tidak ada turunan. Dalam contoh berikut, kita berasumsi bahwa persamaan yang diberikan mendefinisikan satu atau lebih fungsi terdiferensiasi yang turunannya dapat ditemukan melalui diferensiasi implisit. Perhatikan bahwa dalam setiap kasus kita mulai dengan mengambil turunan dari setiap sisi persamaan yang diberikan terhadap variabel yang sesuai.

Buktikan karena r rasional, r dapat ditulis sebagai p/q, dimana p dan q bilangan bulat dan q>0. Dengan asumsi bahwa setiap persamaan dalam soal 1 – 12 mendefinisikan fungsi terdiferensiasi x, carilah Dxy menggunakan diferensiasi implisit.

Grafik fungsi-fungsi tersebut diperlihatkan dalm gambar berikut:

Kegiatan Belajar 16

Uraian Penggunaan Turunan