KARAKTERISTIK ELEMEN-ELEMEN DIAGONAL UTAMA PADA MATRIKS ATAS DIU YANG TERDIAGONALISASI

Hak cipta dilindungi Undang-Undang

Cetakan I, Agustus 2014

Diterbitkan oleh: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Pattimura

ISBN: 978-602-97552-1-2

Deskripsi halaman sampul : Gambar yang ada pada cover adalah kumpulan benda-benda langit dengan berbagai fenomena

P R O S I D I N G 187

KARAKTERISTIK ELEMEN-ELEMEN DIAGONAL UTAMA PADA MATRIKS ATAS DIU YANG TERDIAGONALISASI

E. R. Persulessy

Staf Dosen Jurusan Matematika, Fakultas Matematikan dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Pattimura

ABSTRAK

Matriks yg dapat didiagonalkan memberikan kontribusi yang signifikan dalam proses perhitungan yg melibatkannya. Proses diagonalisasi suatu matriks sangat ditentukan oleh lapangan asal elemen-elemen yang menyusun matriks tersebut.

Penelitian ini bertujuan untuk memperkenalkan langkah-langkah diagonalisasi suatu matriks yang elemen-elemennya berasal dari suatu Daerah Ideal Utama (DIU) dan karakteristik elemen di diagonal utama matriks hasil proses diagonalisasi tersebut.

Metode yang digunakan dalam peneltian ini adalah metode studi pustaka yang melibatkan proses analisis tentang teori dasar matriks dan ring, terutama DIU, serta operasi-operasi yang berlaku pada matriks, untuk membuktikan suatu teorema yang akan menyajikan langkah-langkah diagonalisasi matriks yang dimaksud.

Teorema diagonalisasi tersebut memberikan jaminan ekuivalensi antara matriks berukuran s t _{atas DIU}

dengan matriks diag



d d1, 2,...,du



dengan ^umin

 

^{s t, dan} d1|d2| ... |d_u. Kata kunci: DIU, matriks diagonal, matriks elementer, unit.

PENDAHULUAN

Proses diagonalisasi suatu matriks adalah proses yang melibatkan Operasi Baris Elementer (OBE) utk mengenolkan semua elemen matriks tersebut kecuali elemen di diagonal utama. Umumnya elemen suatu matriks berasal dari lapangan yang berbeda. Setiap lapangan memiliki ciri khas yang mempengaruhi proses diagonalisasi matriks.

Salah satu lapangan yang telah dikenal adalah Daerah Ideal Utama (DIU). Proses diagonalisasi matriks atas DIU melibatkan matriks A dan B yg berukuran sama dan memenuhi

BXAY, dengan X dan Y masing-masing adalah matriks invertibel.

Teori dasar tentang ring, terutama DIU, sangat diperlukan karena elemen matriks dalam penelitian ini adalah anggota DIU (Fraleigh, 1980). Dasar-dasar pembuktian teorema diagonalisasi atas daerah Euclid dipergunakan sebagai pedoman untuk membuktikan berlakunya teorema tersebut atas DIU (Hartley&Hawkes, 1974).

Penelitian ini bertujuan untuk memberikan metode yang sistematis untuk mendiagonalkan suatu matriks atas DIU dan memperkenalkan karakteristik matriks diagonal yang merupakan hasil proses diagonalisasi tersebut. Metode yang dihasilkan dari penelitian ini dapat dijadikan sebagai pedoman tambahan untuk menemukan metode-metode diagonalisasi matriks atas lapangan yang lain.

188 P R O S I D I N G DASAR TEORI

Definisi 2.1. Sebuah matriks n n disebut matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan I_n dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tunggal, (Anton, 1991).

Definisi 2.2. Jika X matriks bujursangkar dan dapat ditemukan matriks Y sehingga XY YX I, maka X dikatakan invertibel dan Y disebut invers X, (Anton, 1991).

Definisi 2.3. Diketahui A dan B dua matriks berukuran sama atas ring R. Matriks B ekuivalen dengan A atas R jika dan hanya jika terdapat matriks invertibel X dan Y sehingga BXAY, (Anton, 1991).

Definisi 2.4. Jika R ring komutatif dengan elemen satuan 1, a elemen R disebut unit jika ada bR sehingga ab1.

Definisi 2.5. Misalkan AR^{s t} . A disebut matriks diagonal jika a_ij 0, untuk i j. Lemma 2.6.

Efek pergandaan awal (pre-multiplying) pada matriks : (i). B_ij, menukar baris ke-i dengan baris ke-j (ii). B wi

 

, menggandakan baris ke-i dengan w

(iii). Bij

 

r , menambahkan r kali baris ke-j ke baris ke-i, disebut operasi elementer baris.

Efek pergandaan akhir (post-mutiplying) pada matriks : (i). K_ij, menukar kolom ke-i dengan baris ke-j (ii). K wi

 

, menggandakan kolom ke-i dengan w

(iii). Kij

 

r , menambahkan r kali kolom ke-j ke kolom ke-i, disebut operasi elementer kolom.

Definisi 2.7. Suatu Daerah Integral (DI) R disebut DIU, jika untuk setiap ideal A dalam ring R, ada a₀A dengan sifat A a₀  ra r₀| R .

Teorema 2.8. Jika ,a bR DI dengan |a b dan |b a maka ada unit uR sehingga aub. Definisi 2.9. Misalkan R DIU. Suatu dR disebut elemen prima, jika d 0dan d bukan unit maka untuk setiap ,a bR, jika d ab| maka d a| atau d b| .

Definisi 2.10. Misalkan R DIU. Suatu dR disebut elemen irredusibel, jika (i). d 0,

(ii). d bukan unit,

(iii). untuk setiap ,a bR, jika d ab maka a atau b unit.

P R O S I D I N G 189 Teorema 2.11. Jika a b, R DI maka pernyataan berikut ekuivalen :

a). a b| dan b a , | b). Ra = Rb,

c). Ada unit uR sehingga bua

Definisi 2.12. Suatu R DI disebut daerah faktorisasi tunggal (DFT), jika:

1. Setiap elemen di R yang bukan nol dan bukan unit dapat disajikan sebagai hasil ganda elemen irredusibel sebanyak berhingga

2. Jika a p p_{1 2} p_n dan bq q_{1 2} q_n dengan p p₁, ₂, ,p q q_n, ,_{1 2}, ,q_n elemen irredusibel maka m = n dan setelah penukaran indeks p_i dan q_i bersekawan.

Teorema 2.13. Setiap DIU adalah DFT.

Teorema 2.14. Jika a b, R DIU maka a dan b memiliki pembagi persekutuan terbesar d dan d = ra + sb, untuk suatu r s, R.

Sifat 2.15

Misalkan G, Im, H, J adalah matriks-matriks bujursangkar atas ring R yang masing-masing berukuran m m m m n n ,  ,  dan pp. Selanjutnya, K dan L adalah matriks berukuran

q n dan p n atas R, (Brown, 1992).

Jika

   

1 0

0

m

m n m n

H I

H _{  }

 

  

  ;

   

1 0

0

m

m p m p

J I

J _{  }

 

  

  ;

   

1 0

0 _{m q m n}

K G

K _{  }

 

  

 

   

1 0

0 _{m p m n}

L G

L _{  }

 

  

 

maka

a). Fakta 1

   

1 1 0

0 _{m q m n}

K H G

KH _{  }

 

  

 

   

1 1 0

0 _{m p m n}

J L G

JL _{  }

 

  

 

b). Fakta 2

Jika H dan J matriks invertibel maka H¹ dan J¹ matriks invertibel.

c). Fakta 3

Jika pq maka

   

1 1 1 0

0 _{m p m n}

J K H G

JKH _{  }

 

  

  .

190 P R O S I D I N G d). Fakta 4

Jika K X dengan X suatu matriks maka K¹ X¹ dengan ¹ 0 0 X G

X

 

  

 . e). Fakta 5

Jika n p maka

   

1 1 0

0 _{m n m p}

H J G

HJ _{  }

 

  

  .

f). Jika H dan J matriks invertibel maka H¹J¹ matriks invertibel.

HASIL PENELITIAN

Misalkan R adalah DIU. Akibatnya untuk setiap ^{rR\ 0}

 

^berlaku rwp p1 2 pn, dengan w unit, pi prima anggota R, n bilangan bulat positif dan mungkin p_i  p_j untu suatu

i j, (1 i n, 1 j n) karena berlaku Teorema Faktorisasi Tunggal.

Dibentuk fungsi ^:R\

 

^{0  }

 

⁰ dengan aturan perkawanan



^{ r R}



^

 

^{r  n} jumlah elemen prima yang menyusun r.

Akibatnya

 

^rr*

 

^r

 

^r*

   untuk setiap ^{r r, *R\ 0}

 

^.

Diketahui A

 

akl matriks berukuran s t dengan a_klR DIU. Akan ditentukan matriks C A atas R, dengan

1 0 0

0

* 0

d

C C

 

 

 

 

 

 

serta d1 membagi habis semua elemen matriks C*.

Pada proses ini terdapat tiga kasus yang mungkin terjadi, yaitu 1). a₁₁|a_1j dan a₁₁|a_i1,

2).

 

a1_j a11|a1_j, 3).



a_i1



a11|a_i1. Proses I

Jika A bukan matriks nol maka dengan serangkaian operasi baris elementer dapat diasumsikan a₁₁0.

P R O S I D I N G 191 Kasus 1

Karena a₁₁ a_ij dan a a_{11 i1}, maka a_1j q a_{j 11} dan a_i1 p a_{i 11}, untuk suatu p q_i, _jR (1 i s, 1 j t). Dengan operasi elementer kolom Kj1

 

qj dan baris Bi1



pi



pada A diperoleh matriks D A, dengan

11 0 0

0

* 0

a

D D

 

 

 

 

 

 

Jika a₁₁ membagi habis elemen D* maka diperoleh matriks C. Jika tidak berarti



 d_ij D*



a11|d_ij. Dengan operasi baris B1_i

 

1 pada D, diperoleh matriks D'   d_kl^' dengan d₁₁^' a₁₁ dan



d1^'_jD'



d11^' |d1^'_j. Diperoleh kasus 2.

Kasus 2

Karena



^{a1jA a}



^11|a1j, maka ada dR dengan ^{d fpb}



^a11,a1j



^{, d0 dan}

11 1j

Ra Ra Rd. Sehingga



^{y y1, jR a}



^{11dy1 dan a1j dyj dengan} 

^{ }

d  

^{ }

a11 . Jika

 

d

 

a11

   maka 

 

y1 0, berarti y1 unit. Jadi d a₁₁. Sehingga a₁₁|a_1j kontradiksi.

Jadi berlaku 

 

d  

 

a11 . Kemudian



x x1, _jR d



x a1 11x a_j 1_j, akibatnya

     

1 1 j j 1 1 j j

d x dy x dy d x y d y Jadi, x y_{1 1}d y_{j j} 1.

Selanjutnya, dibentuk matriks S yang berukuran t t , dengan

1 2

1

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

j j

j

t j

x y

S I

x y

I





  

 

 

 

 

 

 

dan ^det

 

^{S det}

 

^{B ,} det

 

I_{t j} det

 

I_j2 1. Matriks

1 1

2 1

0

0 0

0

j j

x y

B I

x y



  

 

  

 

 

adalah matriks berukuran j j.

192 P R O S I D I N G Karena,

 

^{1 2}

 

¹

 

²

1

0 0

det 1

0 0

j j

j

j j

I I

B x y

y x

 

  

 

      

   

    ^{ }

 

 

1 2 2

1 2 1

1 1 2

1 1 2

2 1 1

1 1

1 1 0

0 1

1

1

j j j

j j

j

j j

j j j

j j j j j

x I y y I

x

x y y I x

x y x y

x y x y

  



   



 

      

 

  

  

 



maka ^det

 

S ^det

 

B ^det

 

It j_ ¹ atau S adalah matriks invertibel.

Jadi, matriks AS A atas R, dengan

 

 

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1

1 2

11 1 1 12 11 1 1 1 1 1 1

21 1 2 22 21 1 2 1 2 1 2

1 1 2

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

j t j

j t j

j

s s sj st t j

j j j j t

j j j j t

s sj j s s

a a a a x y

a a a a I

AS x y

a a a a I

a x a x a a y a y a a

a x a x a a y a y a a

a x a x a a









    

   

   

   

   

   

   

  

  



  _{1 1}y a y_{sj 1} a_{s j 1} a_st

 

 

 

 

 

  

 

Misalkan AS B

 

bkl maka

11 11 1 1j j

b a x a x d

 

 dan

   

1 11 1 1

1 1

0

j j j

j

b a y a y

dy d y y

  

  



dan bij yang lain adalah kombinasi linier dari A

 

akl . Proses selesai untuk kolom ke-j.

Proses dilanjutkan untuk kolom j yang lain yang memenuhi kasus 2 hingga akhirnya diperoleh matriksA^'

 

akl A atas R dengan

11

21 22 2

1 2

0 0

' ^t

s s st

a

a a a

A

a a a

  

    

 

 

    

 

P R O S I D I N G 193 dan 

 

a11   

 

d  

 

a11 .

Jika a₁₁ |a_i₁, 2 i s, diperoleh kasus 1. Jika a₁₁ juga membagi semua

, (2 , 2 )

aij  i s  j t , maka dengan operasi elementer baris B_i1

 

q_i , 2 i s pada A

diperoleh C. Jika ada a_ij A', (2 i s, 2 j t), hingga a₁₁ |a_ij maka dengan operasi elementer baris B1_j

 

1 diperoleh kasus 2. Tetapi jika ada a_i 1 A', 2



 i s



sehingga

11 | _i1

a amaka diperoleh kasus 3.

Kasus 3

Karena



 a_i1 A'



a11 |a_i1, maka ada qR dengan qfpb



a11,a_i1



,q0 dan

11 i1

Ra Ra Rq. Sehingga



r r1, 2R a



11 qr1 dan a_i1qr_i dan 

 

q  

 

a11 . Kemudian



h h1, _iR q



h a1 11 h a_{i i}1 sehingga h r_{1 1}h r_{i i} 1.

Proses dilanjutkan seperti pada kasus 2 dengan membentuk matriks T yang berukuran s s dengan

1 2

1

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

i i i

s i

h h

T I

r r

I





 

 

 

 

 

 

dan ^det

 

T ^det

   

B ^det Is i_ dengan ^det

 

Is i_ ¹.

Pada akhirnya diperoleh matriks A

 

akl Aatas R, dengan

11 12 1

22 2

2

0 0

t t

s st

a a a

a a

A

a a

  

 

  

 

  

  

 

dan 

 

a11   

 

q  

 

p11   

 

d  

 

a11 .

Jika a₁₁ |a₁_j, 2 j t, diperoleh kasus 1. Jika a₁₁ membagi semua a_ij, 2 i s, 2 j t, maka dengan operasi elementer kolom K_j1

 

r1^* , 2 j t, pada A diperoleh C. Jika ada

, 2 , 2

aij  i s  j t, sehingga a₁₁ |a_ij maka dengan operasi elementer baris B1_j

 

1 diperoleh kasus 2. Proses dilanjutkan kembali.

Tetapi jika proses dilanjutkan dan mengingat

 

11

 

11

 

11

0   a    p    a

194 P R O S I D I N G berhingga, maka akhirnya diperoleh matriks W 

 

wkl A atas R dengan 

 

w11 0. Jadi w₁₁ unit maka w11|w_ij



1 i s, 1 j t



. Dengan operasi elementer baris ^Bi1

 

^{gi* dan}

kolom Kji

 

gj yang memenuhi w_i1g w^*_{i 11},w_1j g w_{j 11} dengan g g^*_i, _jR untuk



^{1 i s, 1 j t}



, diperoleh matriks C.

Proses II

Setelah diperoleh matriks C, proses I dapat dilakukan pada matriks C* yang berukuran



^{s  1}

 

^{t 1}



tanpa merubah baris 1 dan kolom 1 matriks C.

Jika S_t^*_1 dan T_{ }^*_s1 matriks invertibel berukuran



^{t  1}

 

^{t 1}



^dan



^{s  1}

 

^{s 1}



^{, dengan}

 

* *

2

* 3

1 * *

2

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

j j

t

j

t j

x y

S I

x y

I







  

 

 

  

 

 

 

dan _{ }

* *

2

* 3

1 * *

2

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

i i s

i

s i

h h

T I

r r

I







 

 

 

 

 

 

 

maka menurut Sifat 2.15.a., berlaku

   

1 1

* * *

*

1 1

1 0 0 0 0

0 0

0 0

0

0 0 0

t t

d d

S C S

C _{ }

   

 

   

 

   

     

 

   

 

   

     

merupakan kasus 2 yaitu



c2_jC^*



c22|c2_j, 3

^

 j t

^

. Dan

   

1 1

* * * *

1 1

1 0 0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

s t

d d

T _ C T _ C

     

     

     

     

     

     

   

merupakan kasus 3 yaitu



 c_i2 C^*



c22 |c_i2, 3



 i s



.

Setelah berhingga langkah proses I pada C* diperoleh matriks C'* C* atas R, dengan

2 0 0

'* 0

**

0 d

C C

 

 

 

 

 

 

dan d₂membagi habis setiap elemen C**.

Jadi telah diperoleh matriks C' Catas R, dengan

P R O S I D I N G 195

1 2

0 0 0

0 0 0

' 0 0

**

0 0

d d C

C

 

 

 

 

 

 

 

 

dan d d₁| ₂ serta d₁membagi habis setiap elemen C**.

Selanjutnya, proses I dilakukan pada C** tanpa mengubah baris 1 dan 2 serta kolom 1 dan 2 matriks C’. Akhirnya diperoleh matriks D^* diag( ,d d_{1 2}, ,d_u)dengan umin{ , }s t dan d d₁| ₂| |d_u serta D* Aatas R.

PENUTUP Kesimpulan

1. Suatu matriks A yang berukuran s t atas DIU akan ekuivalen dengan suatu matriks

1 2

diag( ,d d , ,d_u) dengan ^umin

 

^{s t, .}

2. Elemen-elemen diagonal utama matriks A berukuran s t atas DIU memenuhi

1| 2| | _u d d d .

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. 1991. Aljabar Linier Elementer, Edisi Kelima. Erlangga, Jakarta.

Brown, W.C. 1992. Matrices Over Commutative Rings. Michael Dekker. Inc, New York.

Fraleigh, J. B, 1980. A First Course in Abstract Algebra, Second Edition. Addison-Wesley Publishing Company, Massachusets.

Hartley, B. and Hawkes, T.O. 1974. Ring Modules and Linear Algebra. Spottiswoode, Ballantyne & Co.Ltd. London and Cholchester.

196 P R O S I D I N G