Kelompok 5 ~ Laporan PJBL Mekanika (Momentum Sudut Partikel)

Laporan Pembelajaran Project Based Learning (PJBL) Mekanika

“MOMENTUM SUDUT PARTIKEL”

Disusun Oleh : Kelompok 5

1. Auliyaa Adzka 22034007 2. Nahdatul Zakiyyah 22034059 3. Rista Tri Rahma 22034069 4. Rizky Mahmudha 22034070

Dosen Pengampu : Drs. Letmi Dwiridal, M.Si

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI PADANG

2023

MOMENTUM SUDUT PARTIKEL

A. TUJUAN

1. Menjelaskan konsep momentum sudut partikel sebagai besaran vektor.

2. Menjelaskan persamaan matematis untuk momentum sudut partikel.

3. Menganalisis dampak momentum sudut terhadap pergerakan partikel.

4. Menganalisis solusi terhadap suatu masalah dengan menggunakan prinsip-prinsip momentum sudut partikel.

B. Waktu Pelaksanaan

8 November 2023 s/d 8 Desember 2023

C. Pertanyaan Dasar

1. Apa yang dimaksud dengan momentum dan momentum sudut partikel?

2. Apa dimensi dan satuan yang digunakan untuk mengukur momentum sudut?

3. Bagaimana persamaan matematis dari momentum sudut partikel?

4. Bagaimana momentum sudut terhadap suatu titik pada partikel?

5. Bagaimana momentum sudut dari suatu sistem partikel?

6. Bagaimana momentum sudut total dari suatu partikel?

7. Bagaimana hubungan antara momentum sudut dan momen gaya, dan pengaruhnya terhadap perubahan momentum sudut partikel?

8. Bagaimana hukum konservasi momentum sudut partikel?

D. Teori Dasar

Momentum sudut, sering juga disebut momentum rotasi, adalah besaran fisika yang memiliki arah dan besaran, dan keduanya tetap kekal. Konsep ini diterapkan pada berbagai objek, seperti sepeda, sepeda motor, cakram terbang, peluru senapan, giroskop, badai, dan bintang neutron.

Sifat kekekalan momentum sudut adalah dasar bagi banyak fenomena dalam fisika.

Objek-objek seperti sepeda yang berputar, cakram terbang yang mempertahankan orientasi, dan badai yang membentuk spiral, semuanya dapat dijelaskan melalui prinsip konservasi momentum sudut. Begitu juga dengan bintang neutron yang memiliki laju rotasi tinggi, konservasi momentum sudut memainkan peran penting dalam menjelaskan fenomena tersebut.

Dalam mekanika klasik, momentum sudut tiga dimensi untuk sebuah partikel titik dapat direpresentasikan sebagai vektor 𝑳⃗⃗ = 𝒓⃗ × 𝒑⃗⃗ . Prinsip konservasi momentum sudut menyatakan bahwa jika tidak ada gaya eksternal yang bekerja pada suatu sistem, momentum sudut total sistem tersebut akan tetap konstan. Matematisnya, ini dapat dituliskan sebagai:

a. Perumusan

1. Apa yang dimaksud dengan momentum dan momentum sudut?

Momentum adalah besaran vektor yang mengukur jumlah gerakan suatu objek.

Momentum secara matematis didefinisikan sebagai perkalian antara massa benda dengan kecepatan benda.

𝒑

⃗⃗ = 𝒎𝒗⃗⃗ ……… (1)

Dimana :

• 𝑝 : momentum (𝑘𝑔 ∙^𝑚2

𝑠 ).

• 𝑚 : massa (𝑘𝑔).

• 𝑣 : kecepatan (^𝑚

𝑠).

Momentum sudut adalah besaran vektor yang mengukur sejauh mana suatu objek dapat berputar atau berotasi sekitar sumbu tertentu.

Gambar 1. Momentum Sudut Partikel

Gambar 2. Momentum Sudut (Poin Object) dan (Extended Object)

Momentum sudut (L)

𝑳 ⃗⃗ = 𝒓⃗ × 𝒑 ⃗⃗

^𝑳⃗⃗ = 𝑰 × 𝝎⃗⃗⃗

𝑳⃗⃗ = 𝒓⃗ × 𝒑⃗⃗

𝑳⃗⃗ = 𝒓⃗ × 𝒎𝒗⃗⃗

𝑳⃗⃗ = 𝒎𝒓⃗ × 𝒗⃗⃗ ….……… (2)

𝑳⃗⃗ = 𝒎𝒓⃗ × 𝝎⃗⃗⃗ × 𝒓⃗ 𝑳⃗⃗ = 𝒎𝒓⃗⃗⃗⃗ × 𝝎^𝟐 ⃗⃗⃗

𝑳⃗⃗ = 𝑰 × 𝝎⃗⃗⃗ ...……….…. (3)

dimana:

• 𝑳⃗⃗ : Momentum sudut (𝑘𝑔 ∙^𝑚2

𝑠 ).

• 𝒎 : Massa (𝑘𝑔).

• 𝒗⃗⃗ : Kecepatan (^𝑚

𝑠).

• 𝒓⃗ : Jarak dari sumbu rotasi (𝑚).

• 𝑰 : Inersia (𝑘𝑔 ∙ 𝑚²)

• 𝝎⃗⃗⃗ : Kecepatan Sudut (rad/s)

2. Apa dimensi dan satuan yang digunakan untuk mengukur momentum sudut?

Berikut adalah simbol, satuan dan dimensi yang digunakan pada momentum sudut :

Simbol 𝑳⃗⃗

Satuan Diukur menggunakan satuan internasional (SI) : Kg.m²/s

Dimensi [M][L]²[T]^-1

3. Bagaimana momentum sudut terhadap suatu titik pada partikel?

Perhatikan sebuah partikel bermassa m yang bergerak dengan kecepatan 𝑣 pada gambar berikut ini :

Gambar 3. Partikel berbentuk titik dan momentum sudutnya terhadap S .

Momentum linear dari sebuah partikel tersebut adalah 𝑝 = 𝑚𝑣 . Misalkan sebuah titik S terletak di suatu ruang. Dimana 𝑟 _𝑠 menyatakan vektor dari titik S ke posisi benda.

Karena momentum sudut didefinisikan sebagai vektor, maka besarnya momentum sudut terhadap S diberikan oleh

|𝑳⃗⃗ _𝒔| = |𝒓⃗ _𝒔| |𝒑⃗⃗ | 𝐬𝐢𝐧 𝜽 ………. (4)

Dimana θ adalah sudut antara vektor dan p⃗ dan terletak dalam rentang [0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋]

seperti pada gambar (4)

Gambar 4. Diagram vektor untuk mementum sudut.

Definisi lengan momen, 𝑟 _⊥ , sebagai jarak tegak lurus terhadap titik S ke garis yang ditentukan oleh arah momentum, kemudian :

Sehingga didapatkan besar momentum sudut adalah hasil kali lengan momen dengan besar momentum,

……….. (5) 5. Bagaimana momentum sudut dari suatu sistem partikel?

Perubahan momentum sudut sistem partikel di sekitar titik S adalah :

………. (6)

Gambar 5. Momentum sudut Sistem Partikel

Karena kecepatan partikel j adalah 𝑣⃗⃗⃗ _𝑠𝑗 =^{ⅆ𝑟 𝑠𝑗}

ⅆ𝑡 , maka suku pertama dalam tanda kurung hilang (Perkalian silang suatu vektor dengan dirinya sendiri adalah nol karena keduanya sejajar)

……… (7) Substitusi persamaan (7) ke Persamaan (6)

………..….. (8)

Karena :

……….……… (9)

Persamaan (9) dapat disederhanakan menjadi

Persamaan (8) menjadi

………. (10)

Torsi Eksternal terhadap titik S sama dengan turunan waktu dari momentum sudut sistem partikel terhadap titik tersebut.

6. Bagaimana momentum sudut total dari suatu partikel?

Momentum sudut partikel tunggal secara matematis dapat didefinisikan pada bentuk perkalian silang yaitu :

𝑳⃗⃗ = 𝒓⃗ × 𝒑⃗⃗ = 𝒓̂ × 𝒎𝒓⃗ = 𝒓⃗ × 𝒎𝒗⃗⃗ .……….. (11)

Pada sistem partikel N, momentum sudut total 𝐿⃗ dapat dituliskan sebagai jumlah vektor : 𝑳⃗⃗ = ∑^𝑵_𝒌=𝒍(𝒓⃗ _𝒌× 𝒑⃗⃗ _𝒌) = ∑^𝑵_𝒌=𝒍(𝒓⃗ _𝒌× 𝒎_𝒌𝒓⃗ ̇) = 𝟎 …...………...…. (12)

7. Bagaimana hubungan antara momentum sudut dan momen gaya, dan pengaruhnya terhadap perubahan momentum sudut partikel?

Besaran 𝐿⃗ mengalami perubahan setiap saat sehingga diperoleh persamaan

𝒅𝑳⃗⃗

𝒅𝒕= ^𝒅

𝒅𝒕(𝒓⃗ × 𝒑⃗⃗ )

=^𝒅𝒓⃗

𝒅𝒕× 𝒑⃗⃗ + 𝒓⃗ ×^{𝒅𝒑⃗⃗}

𝒅𝒕

ⅆ𝑟

ⅆ𝑡× 𝑝 = 0, Vektor searah (nilai sinus sudut apit = 0), sehingga :

𝒅𝑳⃗⃗

𝒅𝒕= 𝒓⃗ ×^{𝒅𝒑⃗⃗}

𝒅𝒕 = 𝒓⃗ × 𝑭⃗⃗ , (Gaya Luar) Dimana 𝒓⃗ × 𝑭⃗⃗ adalah momen gaya (𝜏) atau disebut torsi.

𝝉 = 𝒓⃗ × 𝑭⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _𝒆𝒙𝒕

Sehingga perubahan momentum sudut (𝛥𝐿⃗ ) terhadap waktu diperoleh persamaan sebagai berikut :

𝒅𝑳⃗⃗

𝒅𝒕= 𝒓⃗ ×^{𝒅𝒑⃗⃗}

𝒅𝒕 ^{𝒅𝑳⃗⃗}

𝒅𝒕= 𝒓⃗ × 𝑭⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑬𝑿𝑻

𝑭_𝑬𝑿𝑻

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝒅𝒑⃗⃗

𝒅𝒕

Sehingga diperoleh persamaan : 𝝉_𝑬𝑿𝑻

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =^{𝒅𝒑⃗⃗}

𝒅𝒕 ………. (13)

Dari persamaan (11) terlihat bahwa laju perubahan momentum sudut (^ⅆ𝐿

ⅆ𝑡) sebanding dengan momen gaya (𝜏) yang diberikan pada partikel. Dimana jika semakin besar momen gaya, maka semakin besar pula perubahan momentum sudut per satuan waktu. Artinya momen gaya (𝜏) yang besar akan mempercepat perubahan momentum sudut partikel. Sehingga partikel akan lebih cepat mengubah atau memperbarui orientasi sumbu rotasinya.

Momen gaya dapat menyebabkan perubahan momentum sudut partikel dalam dua cara:

• Menambah atau mengurangi momentum sudut partikel.

• Mengubah arah momentum sudut partikel.

Gambar 6a. Vektor Momentum sudut Torsi

Gambar 6b. Vektor Momentum sudut Torsi

8. Bagaimana hukum konservasi momentum sudut partikel ?

Gambar 7. Gerak partikel P pada bidang xy.

Momentum sudut L partikel P pada Gambar (..), terhadap titik asal, didefinisikan sebagai : 𝑳⃗⃗ = 𝒓⃗ × 𝒑⃗⃗

𝑳⃗⃗ = 𝒎(𝒓⃗ × 𝒗⃗⃗ ) 𝑳⃗⃗ = 𝒎𝒓⃗ × 𝒗⃗⃗ 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒛̂

Jika partikel bergerak menjauhi titik asal, atau langsung menuju titik asal, maka momentum sudutnya adalah nol. Sebuah partikel yang bergerak melingkar akan mempunyai momentum sudut (terhadap pusat lingkaran) sama dengan,

𝑳⃗⃗ = 𝒓⃗ × 𝒑⃗⃗

𝑳⃗⃗ = 𝒎𝒓⃗ × 𝒗⃗⃗ 𝒛̂

𝑳⃗⃗ = 𝒎𝒓⃗⃗⃗⃗ × 𝝎^𝟐 ⃗⃗⃗ 𝒛̂

𝑳⃗⃗ = 𝑰 × 𝝎⃗⃗⃗ 𝒛̂

Sebuah partikel dapat mempunyai momentum sudut walaupun tidak bergerak melingkar.

Gambar 12.8 menunjukkan lokasi dan arah momentum partikel P. Momentum sudut partikel P terhadap titik asal adalah :

Gambar 8. Momentum sudut partikel P.

𝑳⃗⃗ = 𝒓⃗ × 𝒑⃗⃗ = 𝒎(𝒓⃗ × 𝒗⃗⃗ ) = 𝒎𝒓⃗ × 𝒗⃗⃗ 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒛̂

𝑳⃗⃗ = 𝒎𝒗⃗⃗ × 𝒓⃗ _⊥ 𝒛̂ = 𝒑⃗⃗ × 𝒓⃗ _⊥ 𝒛̂

Perubahan momentum sudut suatu partikel diperoleh dengan mendiferensiasikan persamaan 𝑳⃗⃗

terhadap waktu, sehingga :

𝒅𝑳⃗⃗

𝒅𝒕 = ^𝒅

𝒅𝒕(𝒓⃗ × 𝒑⃗⃗ )

= 𝒎 (𝒓⃗ ×^{𝒅𝒗⃗⃗}

𝒅𝒕+^𝒅𝒓⃗

𝒅𝒕× 𝒗⃗⃗ ) = 𝒎(𝒓⃗ × 𝒂⃗⃗ + 𝒗⃗⃗ × 𝒓⃗ ) = 𝒓⃗ × ∑ 𝑭⃗⃗

= ∑ 𝝉⃗

Sehingga didapatkan persamaan :

𝒅𝑳⃗⃗

𝒅𝒕= ∑ 𝝉⃗ = 0

Persamaan ini menunjukkan bahwa jika torsi total yang bekerja pada partikel adalah nol, maka momentum sudutnya akan konstan.

b. Penggrafikan

Dengan menggunakan persamaan (3) yaitu 𝑳⃗⃗ = 𝑰 × 𝝎⃗⃗⃗ maka kami mendapatkan grafik dari momentum sudut partikel terhadap kecepatan sudutnya adalah sebagai berikut :

1.) Dengan memvariasikan nilai kecepatan sudutnya dan momen inersianya tetap (5 𝑘𝑔 ∙ 𝑚²) 2.) Sehingga grafiknya didapatkan sebagai berikut :

Interpretasi grafik :

Berdasarkan output yang dihasilkan oleh program, kita dapat membuat beberapa interpretasi terhadap grafik hubungan antara kecepatan sudut dan momentum sudut.

1. Linear Relationship : Grafik menunjukkan hubungan linear antara kecepatan sudut dan momentum sudut. Ini sesuai dengan rumus 𝑳⃗⃗ = 𝑰 × 𝝎⃗⃗⃗ yang menunjukkan hubungan linier antara momen inersia dan kecepatan sudut.

2. Proportional Increase : Saat kecepatan sudut meningkat, momentum sudut juga meningkat secara proporsional. Hal ini sesuai dengan karakteristik hubungan linier antara kedua variabel tersebut.

3. Momen Inersia sebagai Faktor Penentu : Nilai momen inersia memainkan peran penting dalam menentukan besarnya momentum sudut. Semakin besar momen inersia, semakin besar momentum sudut yang dihasilkan untuk setiap nilai kecepatan sudut.

4. Sensitivitas terhadap Kecepatan Sudut : Terlihat bahwa perubahan kecil dalam kecepatan sudut dapat menghasilkan perubahan yang signifikan dalam momentum sudut. Ini menunjukkan sensitivitas momentum sudut terhadap kecepatan sudut.

5. Peningkatan Kecepatan Sudut : Pada grafik, peningkatan kecepatan sudut menyebabkan peningkatan yang linier dalam momentum sudut. Grafik ini dapat memberikan pemahaman visual tentang dampak perubahan kecepatan sudut.

6. Titik-titik Data pada Grafik : Titik-titik data pada grafik mencerminkan nilai 𝑳⃗⃗ yang dihasilkan oleh setiap nilai kecepatan sudut 𝝎⃗⃗⃗ . Pada setiap titik, nilai 𝑳⃗⃗ dapat diidentifikasi dan diinterpretasikan.

7. Kemiringan Grafik : Kemiringan grafik menunjukkan rasio antara momen inersia dan kecepatan sudut. Semakin besar momen inersia, semakin curam kemiringan grafiknya.

8. Kecepatan Sudut Nol : Pada 𝝎⃗⃗⃗ = 𝟎, momentum sudut juga menjadi nol. Ini sesuai dengan ekspektasi bahwa tanpa kecepatan sudut, momentum sudut tidak akan ada.

9. Penggunaan Prinsip Konservasi Momentum Sudut : Grafik ini mencerminkan prinsip konservasi momentum sudut, yaitu bahwa momentum sudut suatu sistem tetap konservatif kecuali ada gaya eksternal yang bekerja pada sistem.

Interpretasi ini didasarkan pada asumsi bahwa nilai momen inersia (\(I\)) dianggap tetap selama variasi kecepatan sudut, sesuai dengan asumsi dalam perhitungan.

Penggambaran Arah Vektor Momentum Sudut :

𝒑⃗⃗ = momentum linear

𝑳⃗⃗ = momentum sudut

𝒓

⃗ = Posisi 0 0

𝑳⃗⃗ 𝟒

𝑳⃗⃗ 3 Y

Y

𝑳⃗⃗

𝒓

⃗ 𝒑

⃗⃗

X M

𝑳⃗⃗

𝒓

⃗ 𝒑⃗⃗

X M

𝒑

⃗⃗ 𝟒

𝒑

⃗⃗ 3

𝒑⃗⃗ 2

𝒑⃗⃗ 𝟓 𝒑⃗⃗ 𝟏

𝑳⃗⃗ 𝟓

𝑳⃗⃗ 1 𝑳⃗⃗ 2 𝒓

⃗ 𝟓

𝒓

⃗ 3

𝒓

⃗ 𝟏 𝒓

⃗ 2 𝒓

⃗ 𝟒 M4

M1 M5

M2 M3

c. Contoh video :

1. Visualisasi vektor momentum sudut

2. Fenomena mementum sudut

Contoh kasus soal :

1. Sebuah partikel bermassa m = 2.0 kg bergerak seperti pada gambar (..) dengan kecepatan 𝑣 = 3.0 𝑚/𝑠 𝑖̂ + 3.0 𝑚/𝑠 𝑗̂. Pada waktu 𝑡, kecepatan partikel tersebut melewati titik (2.0 m, 3.0 m). Tentukan arah dan besar momentum sudut terhadap titik asal (titik O) pada waktu 𝑡,

2. Sebuah meteor bermassa 𝑚 = 2.1 × 10³ 𝑘𝑔 sedang mendekati bumi seperti terlihat pada Gambar dibawah. Jarak h adalah parameter dampaknya. Jari-jari bumi 𝑟_𝑏 = 6.37 × 10⁶ 𝑚.

Massa bumi 𝑚_𝑏 = 5.98 × 10²⁴ 𝑘𝑔. Misalkan meteor tersebut mempunyai kecepatan awal 𝑣₀ = 1.0 × 10¹ 𝑚/𝑠. Asumsikan meteor itu awalnya sangat jauh dari bumi. Misalkan meteor tersebut baru saja menyerempet bumi. Dan dengan mengabaikan semua gaya gravitasi lain kecuali gaya gravitasi bumi. Tentukankan parameter dampak h.

3. Sebuah meteor memasuki atmosfer bumi dan diamati oleh seseorang didarat sebelum terbakar di atmosfer. Vektor 𝑟 = 25 𝑘𝑚 𝑖̂ + 25 km 𝐽̂ memberikan posisi meteor terhadap pengamat. Pada saat pengamat melihat meteor tersebut, ia mempunyai momentum linear 𝑝 = 15.0 𝑘𝑔(−2.0 𝑘𝑚/𝑆𝐽̂ ), dan percepatannya konstan 2.0 m/𝑠²(𝐽̂) sepanjang jalurnya yang untuk tujuan kita dapat dianggap sebagai garis lurus. Berapakah momentum sudut meteor terhadap titik asal yang berada dilokasi pengamat?

4. Dua partikel identik bermassa m bergerak melingkar dengan jari-jari r, 180^o keluar fase pada sebuah kecepatan sudut ω terhadap sumbu z pada bidang yang sejajar tetapi berjarak h di atas 𝑥 − 𝑦 pesawat seperti gambar dibawah. Tentukan besar dan arah momentum sudutnya 𝐿⃗ ₀ relatif terhadap asalnya.

X berada di sepanjang tanah

Y Vertikal ke atas

5. Seorang skaters es, berputar pada 0,800 putaran/detik dengan lengan terentang. Dia memiliki momen inersia 2.34 kg.𝑚² dengan tangan terentang dan dari o.363 kg. 𝑚² dengan lengan dekat dengan tubuhnya.(saat-saat inersia ini didasarkan pada asumsi yang masuk akal pada skater 60,0 kg. (a) berapakah kecepatan sudutnya dalam putaran per detik setelah dia menarik lengannya? (b) apa energi kinetic rotasinya sebelum dan sesudah dia melakukan ini?

Jawaban :

1) Momentum sudut partikel : kecepatan konstan

Sebuah partikel bermassa m = 2.0 kg bergerak seperti pada gambar (..) dengan kecepatan 𝑣 = 3.0 𝑚/𝑠 𝑖̂ + 3.0 𝑚/𝑠 𝑗̂. Pada waktu 𝑡, kecepatan partikel tersebut melewati titik (2.0 m, 3.0 m).

Tentukan arah dan besar momentum sudut terhadap titik asal (titik O) pada waktu 𝑡,

Solusi :

Pilih koordinat Kartesius dengan vektor satuan seperti yang ditunjukkan pada gambar di atas, vektor dari titik asal O ke lokasi partikel adalah 𝑟 _𝑂 = 2.0 𝑚 𝑖̂ + 3.0 𝑚 𝑗.̂ Vektor momentum sudut 𝐿⃗ _𝑂 partikel terhadap titik asal adalah :

𝑳⃗⃗ _𝑶 = 𝒓⃗ _𝑶 × 𝒑⃗⃗ = 𝒓⃗ _𝑶× 𝒎𝒗⃗⃗

𝑳⃗⃗ _𝑶 = (𝟐. 𝟎 𝒎 𝒊̂ + 𝟑. 𝟎 𝒎 𝒋̂) × (𝟐𝒌𝒈)( 𝟑. 𝟎 𝒎/𝒔 𝒊̂ + 𝟑. 𝟎 𝒎/𝒔 𝒋̂)

𝑳⃗⃗ _𝑶 = 𝟎 + 𝟏𝟐𝒌𝒈𝒎^𝟐/𝒔 𝒌̂ – 𝟏𝟖𝒌𝒈𝒎^𝟐/𝒔 (−𝒌̂) + 𝟎⃗⃗

𝑳⃗⃗ _𝑶 = −𝟔𝒌𝒈𝒎^𝟐/𝒔 𝒌̂

Pada persamaan diatas, digunakan hubungan 𝒊 × 𝒋 = 𝒌⃗⃗ , 𝒋 × 𝒊 = −𝒌⃗⃗ , 𝒊 × 𝒊 = 𝒋 × 𝒋 = 𝟎.

2.) Sebuah Meteor Melintasi Bumi

Sebuah meteor bermassa 𝑚 = 2.1 × 10³ 𝑘𝑔 sedang mendekati bumi seperti terlihat pada Gambar dibawah. Jarak h adalah parameter dampaknya. Jari-jari bumi 𝑟_𝑏 = 6.37 × 10⁶ 𝑚.

Massa bumi 𝑚_𝑏 = 5.98 × 10²⁴ 𝑘𝑔. Misalkan meteor tersebut mempunyai kecepatan awal 𝑣₀ = 1.0 × 10¹ 𝑚/𝑠. Asumsikan meteor itu awalnya sangat jauh dari bumi. Misalkan meteor tersebut baru saja menyerempet bumi. Dan dengan mengabaikan semua gaya gravitasi lain kecuali gaya gravitasi bumi. Tentukankan parameter dampak h

Solusi :

Diagram gaya benda bebas pada saat jarak meteor sangat jauh dan pada saat meteor menyerempet bumi ditunjukkan pada Gambar diatas. Nyatakan pusat bumi dengan S. Dan Gaya pada meteor diberikan oleh

;

𝑭⃗⃗ = −𝑮𝒎_𝒃𝒎

|𝒓⃗ |^𝟐 𝒓̂

dimana 𝒓̂ adalah vektor satuan yang menunjuk secara radial menjauhi pusat bumi, dan r adalah jarak dari pusat bumi ke meteor. Torsi pada meteor diberikan oleh 𝜏 _𝑆 = 𝑟 _𝑆,𝐹× 𝐹 , dimana 𝑟 _𝑆,𝐹 = 𝑟 𝑟̂ adalah vektor dari titik S ke posisi meteor. Karena gaya dan vektor posisinya segaris, hasil kali vektornya hilang dan torsi pada meteor juga hilang sekitar S.

Pilih koordinat Kartesius seperti yang ditunjukkan pada Gambar dibawah ini. Momentum sudut awal terhadap pusat bumi adalah

Dimana vektor dari pusat bumi ke meteor adalah 𝑟 _𝑆,𝑖 = −𝑥_𝑖𝑖̂ + ℎ 𝑗̂ (Kita bisa memilih beberapa 𝑥_𝑖 sembarang untuk komponen x posisi awal). Dan momentumnya adalah 𝑝 _𝑖 = 𝑚𝑣_𝑖𝑖̂. Maka momentum sudut awalnya adalah

Momentum Sudut akhir terhadap pusat bumi adalah

Saat posisi sangat jauh

pada saat meteor menyerempet bumi

Saat posisi sangat jauh

pada saat meteor menyerempet bumi

Dimana vektor dari pusat bumi ke meteor adalah 𝑟 _𝑆,𝑓= 𝑟_𝑏𝑖̂ sejak meteor kemudian menyerempet bumi, dan momentumnya adalah 𝑝 _𝑓 = −𝑚𝑣_𝑓𝑗̂. Karena itu

3.) Momentum Sudut pada Meteor

Sebuah meteor memasuki atmosfer bumi dan diamtai oleh seseorang didarat sebelum terbakar di atmosfer. Vektor 𝑟 = 25 𝑘𝑚 𝑖̂ + 25 km 𝐽̂ memberikan posisi meteor terhadap pengamat.

Pada saat pengamat melihat meteor tersebut, ia mempunyai momentum linear 𝑝 = 15.0 𝑘𝑔(−2.0 𝑘𝑚/𝑆𝐽̂ ), dan percepatannya konstan 2.0 m/𝑠²(𝐽̂) sepanjang jalurnya yang untuk tujuan kita dapat dianggap sebagai garis lurus. Berapakah momentum sudut meteor terhadap titik asal yang berada dilokasi pengamat?

Solusi :

Meteor tersebut memeasuki bumi dengan sudut 90 derajat dibawah garis horizontal, sehingga komponen kecepatan pada sumbu x dan y adalah

Y Vertikal ke atas

X berada di sepanjang tanah

𝑎_𝑥 = 0, 𝑎_𝑦 = −2.0 𝑚/𝑠²

Dengan menulis kecepatan dengan persamaan kinematik

𝑉_𝑥= 0, 𝑉_𝑦 = −2.0 × 10³ 𝑚/𝑠 − (2.0 𝑚/𝑠²)𝑡

Sehingga momentum sudutnya adalah 𝑳⃗⃗ = 𝒓⃗ × 𝒑⃗⃗

𝑳⃗⃗ = (𝟐𝟓. 𝟎 𝒌𝒎 𝒊̂ + 𝟐𝟓. 𝟎 𝒌𝒎 𝒋̂) × 𝟏𝟓. 𝟎 𝒌𝒈 (𝟎 𝒊̂ + 𝑽_𝒚 𝒋̂) 𝑳⃗⃗ = 𝟏𝟓. 𝟎 𝒌𝒈 [𝟐𝟓. 𝟎 𝒌𝒎(𝑽_𝒚)𝒌̂]

𝑳⃗⃗ = 𝟏𝟓. 𝟎 𝒌𝒈 [𝟐. 𝟓𝟎 × 𝟏𝟎^𝟒 𝒎(−𝟐. 𝟎 × 𝟏𝟎^𝟑 𝒎/𝒔 − (𝟐. 𝟎 𝒎/𝒔^𝟐)𝒕) 𝒌̂]

Pada saat t = 0, momentum sudut meteor terhadap titik asal adalah 𝑳⃗⃗ _𝑶 = 𝟏𝟓. 𝟎 𝒌𝒈 [𝟐. 𝟓𝟎 × 𝟏𝟎^𝟒 𝒎 (−𝟐. 𝟎 × 𝟏𝟎^𝟑 𝒎/𝒔^𝟐)𝒌̂]

𝑳⃗⃗ _𝑶 = 𝟕. 𝟓𝟎 × 𝟏𝟎^𝟖 𝒌𝒈 ∙ 𝒎^𝟐/𝒔 (−𝒌̂).

Inilah pada saat pengamat melihat meteor tersebut.

Karena percepatan meteor ke bawah menuju Bumi, radius dan vektor kecepatannya berubah. Oleh karena itu, sejak 𝑳⃗⃗ = 𝒓⃗ × 𝒑⃗⃗ momentum sudut berubah sebagai fungsi waktu.

4.) Momentum Sudut Dua Partikel yang mengalami Gerak Melingkar

Dua partikel identik bermassa m bergerak melingkar dengan jari-jari r, 180^o keluar fase pada sebuah kecepatan sudut ω terhadap sumbu z pada bidang yang sejajar tetapi berjarak h di atas 𝑥 − 𝑦 pesawat seperti gambar dibawah. Tentukan besar dan arah momentum sudutnya 𝐿⃗ ₀ relatif terhadap asalnya.

Solusi :

Momentum sudut terhadap titik asal adalah jumlah kontribusi dari setiap objek. Karena massanya sama, vektor momentum sudutnya ditunjukkan pada gambar Gambar sebelah kanan.

Komponen-komponen yang terletak pada bidang 𝑥 − 𝑦 hilang dan hanya menyisakan komponen z yang bukan nol,

𝑳⃗⃗ _𝟎= 𝑳⃗⃗ _𝟎,𝟏 + 𝑳⃗⃗ _𝟎,𝟐 =𝟐𝒎𝒓^𝟐𝝎𝒌̂

Jika secara eksplisit menghitung perkalian silang dalam koordinat kutub, Anda harus berhati- hati karena vektor satuan 𝑟̂ dan 𝜃̂ pada posisi benda 1 dan 2 berbeda. jika kita mengatur 𝑟 _0.1 = 𝑟𝑟⃗⃗⃗ + ℎ𝑘̂ dan 𝑣̂_{1 1} = 𝑟𝜔𝜃̂ seperti yang 𝑟⃗⃗⃗ × 𝜃̂ = 𝑘̂ dan diatur serupa 𝑟 _{1 0.2} = 𝑟𝑟⃗⃗⃗ + ℎ𝑘̂ dan 𝑣̂_{2 2} = 𝑟𝜔 𝜃̂ ₂ seperti itu 𝑟̂₂× 𝜃̂₂ = 𝑘̂ kemudian 𝑟̂₁ = −𝑟̂₂ dan 𝜃̂₁ = −𝜃̂₂. Yang ini bisa kita selesaikan dengan :

Poin penting dari contoh ini adalah kedua objek tersebut simetris di-distribusikan terhadap sumbu z (sisi berlawanan dari orbit lingkaran). Oleh karena itu momentum sudut terhadap sembarang titik S sepanjang sumbu z mempunyai nilai yang sama 𝐿⃗ _𝑠 =2𝑚𝑟²𝜔𝑘̂ yang

besarnya konstan dan menunjuk ke arah + z untuk gerak ditunjukkan pada Gambar sebelah kiri.

5.) Momentum Sudut Skater Yang Berputar

Seorang skaters es, berputar pada 0,800 rev/s dengan lengan terentang. Dia memiliki momen inersia 2.34 kg.𝑚² dengan tangan terentang dan dari o.363 kg. 𝑚² dengan lengan dekat dengan tubuhnya.(saat-saat inersia ini didasarkan pada asumsi yang masuk akal pada skater 60,0 kg).

(a) berapakah kecepatan sudutnya dalam putaran per detik setelah dia menarik lengannya? (b) apa energi kinetic rotasinya sebelum dan sesudah dia melakukan ini?

Solusi:

Pada bagian pertama permasalahan, kita mencari kecepatan sudut skater 𝑤^′ setelah dia menarik lengannya. Kami menggunakan konservasi momentum sudut dan mencatat bahwa momen inersia dan kecepatan sudut awal diberikan. Untuk menemukan energi kinetic awal dan akhir, kami menggunakan definisi energi kinetic rotasi yang dirumuskan oleh:

𝐾𝐸_𝑟𝑜𝑡 =¹

2 I𝑤²

(a) karena torsi dapat diabaikan, konversi momentum sudut diberikan dalam Iw = 𝐼^′𝑤^′ sehingga :

L = L^′ atau Iw = 𝐼^′𝑤^′

memecahkan 𝑤^′ dan mengganti nilai yang diketahui ke dalam persamaan yang dihasilkan, sehingga

𝒘^′ = ^𝑰

𝑰^′𝒘

= (^{𝟐.𝟑𝟒 𝒌𝒈.𝒎𝟐}

𝟎.𝟑𝟔𝟑 𝒌𝒈.𝒎^𝟐)(0.800 rev/s) = 5.16 rev/s

(b) energi kinetic rotasi diberikan oleh:

𝐾𝐸_𝑟𝑜𝑡^′ = ¹

2 𝐼^′𝑤^′2

Nilai awal ditemukan dengan mengganti nilai yang diketahui ke dalam persamaan dan mengubah kecepatan sudut menjadi rad/s

𝑲𝑬_𝒓𝒐𝒕^′ = (𝟎. 𝟓)(𝟐. 𝟑𝟒 𝒌𝒈. 𝒎^𝟐)[(𝟓. 𝟏𝟔 𝒓𝒆𝒗 /𝒔)(𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅 /𝒓𝒆𝒗)]^𝟐 = 191 J

E. Kesimpulan

1. Momentum sudut partikel adalah besaran vektor yang mengukur sejauh mana suatu partikel dapat mempertahankan kecepatan sudutnya. Didefinisikan sebagai hasil perkalian antara momentum linear (massa dikalikan kecepatan linear) dan vektor posisi partikel terhadap sumbu rotasi. Konsep ini mencerminkan kecenderungan suatu objek untuk tetap berputar atau berhenti berputar, bergantung pada besaran dan arah momentum sudutnya.

2. Momentum sudut partikel (𝑳⃗⃗ ) dihitung dengan persamaan matematis 𝑳⃗⃗ = 𝒓⃗ × 𝒑⃗⃗ dengan 𝑳⃗⃗ adalah momentum sudut (𝑘𝑔 ∙^𝑚2

𝑠 ), 𝒓⃗ adalah vektor posisi atau jari-jari partikel dan 𝒑

⃗⃗ adalah momentum linear dari partikel.

3. Momentum sudut partikel mempengaruhi pergerakan dengan mempertahankan arah rotasi, menurut hukum kekekalan momentum sudut, yang menyatakan bahwa total momentum sudut dalam suatu sistem akan tetap konstan tanpa adanya gaya eksternal.

4. Dalam menganalisis solusi terhadap suatu masalah dengan menggunakan prinsip- prinsip momentum sudut partikel, penting untuk mempertimbangkan penerapan hukum kekekalan momentum sudut, yang dapat membantu dalam memprediksi dan memahami perubahan rotasi suatu objek dengan memanfaatkan interaksi gaya dan momen yang bekerja pada sistem tersebut. Solusi yang mempertimbangkan konsep momentum sudut dapat menyediakan pandangan yang lebih holistik dan akurat terhadap dinamika rotasional suatu masalah fisika.

DAFTAR PUSTAKA

Kraige, J. M. (2009 ). Lecture L10 - Angular Impulse and Momentum for a Particle. In Engineering Mechanics, DYNAMICS, 5th Edition (pp. 1-9). MIT OpenCourseWare.

Kleppner, Daniel. (1973). An Introduction to Mechanics, p. 307

Letmi dwiridal,(2013). Mekanika dan ilmu hikmah. Universitas Negeri Padang. Padang Shakur, Asif, and Taylor Sinatra, ‘Angular Momentum’, Smartphones as Mobile Minilabs in

Physics: Edited Volume Featuring More than 70 Examples from 10 Years The Physics Teacher-Column IPhysicsLabs, 29 (2022), 125–28 <https://doi.org/10.1007/978-3-030- 94044-7_22>

William Moebs, S. J. (2016). General Physics Using Calculus . Retrieved from https://pressbooks.online.ucf.edu/phy2048tjb/

Lampiran

1.) Program Python yang digunakan untuk membuat grafik.