KESALAHAN DAN DIFERENSIAL METODE NUMERIK

METODE NUMERIK

[TMB1.62.3015]

KESALAHAN DAN DIFERENSIAL

Agustus 2021

T E K N I K P E R T A M B A N G A N F A K U L T A S T E K N I K U N I V E R S I T A S N E G E R I P A D A N G

Definisi

 Merupakan teknik untuk menyelesaikan permasalahan- permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan (arillimetic).

 Berbagai permasalahan dalam bidang ilmu pengetahuan dan teknologi dapat digambarkan dalam

bentuk persamaan matematik. Apabila persamaan tersebut mempunyai bentuk sederhana, penyelesaiannya dapat dilakukan secara analitis. Tetapi pada umumnya bentuk persamaan sulit diselesaikan secara analitis, sehingga penyelesaiannya dilakukan secara numeris.

 Hasil dari penyelesaian numeris merupakan nilai perkiraan atau pendekatan dari penyelesaian analitis

atau eksak. Karena merupakan nilai pendekatan, maka terdapat kesalahan terhadap nilai eksak. Nilai kesalahan tersebut harus cukup kecil terhadap tingkat kesalahan yang ditetapkan.

METODE NUMERIK



Metode Numerik sudah sangat banyak diaplikasikan di berbagai disiplin ilmu.



Contoh aplikasi Metode Numerik pada ilmu Teknik Pertambangan :

o

Perhitungan debit air

o

Perhitungan kestabilan lereng

o

Perhitungan daya ventilator

o

dll



Tingkat kompleksitas suatu masalah/ fenomena yang tinggi membutuhkan perhitungan matematik secara numeric, dibandingkan secara analitis.

METODE NUMERIK

 Penyelesaian secara numeris dari suatu persamaan matematik hanya memberikan nilai

perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis. Berarti dalam penyelesaian numerik tersebut terdapat kesalahan terhadap nilai eksak. Ada tiga macam kesalahan yaitu kesalahan bawaan, kesalahan pembulatan dan kesalahan pemotongan.

 Kesalahan bawaan adalah kesalahan dari nilai data. Kesalahan tersebut bisa terjadi karena

kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur.

KESALAHAN (error)

 Kesalahan pembulatan (Round of Error) terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan. Kesalahan ini terjadi apabila bilangan perkiraan digunakan untuk menggantikan bilangan eksak.

 Suatu bilangan dibulatkan pada posisi ke n dengan membuat semua angka di sebelah kanan dari posisi tersebut nol. Sedang angka pada posisi ke n tersebut tidak berubah atau dinaikkan satu digit yang tergantung apakah nilai tersebut lebih kecil atau lebih besar dari setengah dari angka posisi ke n.

 Sebagai contoh, nilai:

8632574 dapat dibulatkan menjadi 8633000 3,1415926 dapat dibulatkan menjadi 3,14

KESALAHAN (error)

 Kesalahan pembulatan (Truncation of Error) disebabkan karena adanya pemotongan

pembatasan pada prosedur matematik yang tak berhingga (infinite mathematic) menjadi berhingga (finite mathematic).

KESALAHAN (error)

Hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan dapat diberikan dalam bentuk berikut ini.

p = p* + E_e p : nilai eksak

p* : nilai perkiraan

E_e : kesalahan terhadap nilai eksak

 Indeks e menunjukkan bahwa kesalahan dibandingkan terhadap nilai eksak.

KESALAHAN ABSOLUTE dan RELATIF

Dari bentuk persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa kesalahan adalah perbedaan antara nilai eksak dan nilai perkiraan, yaitu :

E_e = p - p*

 Bentuk kesalahan seperti ini disebut dengan kesalahan absolut. Kesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan.

 Sebagai contoh, kesalahan satu sentimeter pada pengukuran panjang pensil akan sangat terasa dibanding dengan kesalahan yang sama pada pengukuran panjang jembatan.

KESALAHAN ABSOLUTE dan RELATIF

(Persamaan 1)

Besarnya tingkat kesalahan dapat dinyatakan dalam bentuk kesalahan relatif, yaitu dengan membandingkan kesalahan yang terjadi dengan nilai eksak.

𝜺_𝒆 = ^𝑬𝒆

𝒑

dengan _e adalah kesalahan relatif terhadap nilai eksak.

Kesalahan relatif sering diberikan dalam bentuk persen seperti berikut ini.

𝜀_𝑒 = 𝐸_𝑒

𝑝 x 100%

KESALAHAN ABSOLUTE dan RELATIF

(Persamaan 2)

(Persamaan 3)

Dalam Persamaan (1), (2) dan (3) kesalahan dibandingkan terhadap nilai eksak. Nilai eksak tersebut hanya dapat diketahui apabila suatu fungsi bisa diselesaikan secara analitis. Dalam metode numerik, biasanya nilai tersebut tidak diketahui. Untuk itu kesalahan dinyatakan berdasarkan nilai perkiraan terbaik dari nilai eksak, sehingga kesalahan mempunyai bentuk berikut:

𝜀_𝑎 = 𝐸_𝑎

𝑝^∗ x 100%

dengan:

E_a : kesalahan terhadap nilai perkiraan terbaik p* : nilai perkiraan terbaik.

Indeks a menunjukkan bahwa kesalahan dibandingkan terhadap nilai perkiraan (approximate value).

KESALAHAN ABSOLUTE dan RELATIF

(Persamaan 4)

Di dalam metode numerik, sering dilakukan pendekatan secara iteratif. Pada pendekatan tersebut perkiraan sekarang dibuat berdasarkan perkiraan sebelumnya. Dalam hal ini, kesalahan adalah perbedaan antara perkiraan sebelumnya dan perkiraan sekarang, dan kesalahan relatif diberikan oleh bentuk berikut:

𝜀_𝑎 = 𝑃 ∗^𝑛+1− 𝑃 ∗^𝑛

𝑃 ∗^𝑛+1 𝑥 100%

P*ⁿ : nilai perkiraan pada iterasi ke n

P*ⁿ⁺¹ : nilai perkiraan pada iterasi ke n +1

KESALAHAN ABSOLUTE dan RELATIF

(Persamaan 5)

Contoh 1

Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yang benar (eksak) berturut-turut adalah 10.000 cm dan 10 cm, hitung kesalahan absolut dan relative !

Contoh 2

Hitung kesalahan yang terjadi dari nilai e^x dengan x = 0,5 apabila hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja. Nilai eksak dari e^0,5 = 1,648721271.

EXERCISE 1

 Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial.

 Jika suatu fungsi f(x) diketahui di titik x_idan semua turunan dari f terhadap x diketahui pada

titik tersebut, maka dengan deret Taylor (Persamaan 6) dapat dinyatakan nilai f pada titik x_i+1 yang terletak pada jarak x dari titik x_i .

𝑓 𝑥_𝑖+1 = 𝑓(𝑥_𝑖) + 𝑓^′ 𝑥_𝑖 ∆𝑥

1! + 𝑓^′′(𝑥_𝑖)∆𝑥²

2! + 𝑓^′′′(𝑥_𝑖)∆𝑥³

3! + ⋯ … + 𝑓^𝑛 𝑥_𝑖 ∆𝑥^𝑛

𝑛! + 𝑅_𝑛

DERET TAYLOR

(Persamaan 6)

Dengan :

f(x_i) : fungsi di titik x_i f(x_i+1) : fungsi di titik x_i+1

f’, f”,….., fⁿ : turunan pertama, kedua,…., ke-n dari fungsi

x : langkah ruang, yaitu jarak antara x_i dan x_i+1

R_n : kesalahan pemotongan

! : operator factorial, misalkan 3! = 1 x 2 x 3

DERET TAYLOR

Dalam Persamaan (6) kesalahan pemotongan R_n diberikan oleh bentuk berikut ini.

𝑅_𝑛 = 𝑓^𝑛+1 𝑥_𝑖 ∆𝑥^(𝑛+1)

𝑛 + 1 ! + 𝑓^𝑛+2 𝑥_𝑖 ∆𝑥^𝑛+2

𝑛 + 1 ! + … .

 Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)

Apabila hanya diperhitungkan satu suku pertama dari ruas kanan, maka Persamaan (6) dapat ditulis dalam bentuk :

𝑓 𝑥_𝑖+1 ≈ 𝑓 𝑥_𝑖

Pada Persamaan (1.8) yang disebut sebagai perkiraan order nol, nilai f pada titik x_i+1 sama dengan nilai pada x,. Perkiraan tersebut adalah benar jika fungsi yang diperkirakan adalah suatu konstan. Jika fungsi tidak konstan, maka harus diperhitungkansuku-suku berikutnya dari deret Taylor.

DERET TAYLOR

(Persamaan 7)

(Persamaan 8)

 Memperhitungkan dua suku pertama (order 1)

Bentuk deret Taylor order satu, yang memperhitungkan dua suku pertama, dapat ditulis dalam bentuk :

𝑓 𝑥_𝑖+1 ≈ 𝑓 𝑥_𝑖 + 𝑓^′ 𝑥_𝑖 ∆𝑥 1!

yang merupakan bentuk persamaan garis lurus (linier).

 Memperhitungkan tiga suku pertama (order dua)

Deret Taylor yang memperhitungkan tiga suku pertama dari ruas kanan dapat ditulis menjadi:

𝑓 𝑥_𝑖+1 ≈ 𝑓 𝑥_𝑖 + 𝑓^′ 𝑥_𝑖 ∆𝑥

1! + 𝑓" 𝑥_𝑖 ∆𝑥² 2!

Persamaan (10) disebut perkiraan order dua.

DERET TAYLOR

(Persamaan 10) (Persamaan 9)

 Diferensial numerik digunakan untuk memperkirakan bentuk diferensial kontinyu menjadi

bentuk diskret. Diferensial numerik ini banyak digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Bentuk tersebut dapat diturunkan berdasar deret Taylor.

 Diferensial turunan pertama

Deret Taylor (Persamaan 6) dapat ditulis dalam bentuk :

𝑓 𝑥_𝑖+1 = 𝑓 𝑥_𝑖 + 𝑓^′ 𝑥_𝑖 ∆𝑥 + 𝑂 (∆𝑥²)

Atau 𝜕𝑓

𝜕𝑥 = 𝑓^′ 𝑥_𝑖 = 𝑓 𝑥_𝑖+1 − 𝑓 𝑥_𝑖

∆𝑥 − 𝑂(∆𝑥)

DIFERENSIASI NUMERIK

(Persamaan 11)

(Persamaan 12)

Bentuk diferensial dari Persamaan (12) disebut diferensial maju order satu. Disebut diferensial maju karena menggunakan data pada titik x_i dan x_i+1 untuk memperhitungkan diferensial. Jika data yang digunakan adalah di titik x_i dan x_i-1, maka disebut diferensial mundur, dan deret Taylor menjadi:

𝑓 𝑥_𝑖−1 = 𝑓 𝑥_𝑖 − 𝑓^′ 𝑥_𝑖 ∆𝑥

1! + 𝑓" xi ∆x2

2! − f ^′′′ 𝑥_𝑖 ∆𝑥³

3! + ⋯

atau

𝜕𝑓

𝜕𝑥 = 𝑓^′ 𝑥_𝑖 = 𝑓 𝑥_𝑖 − 𝑓 𝑥_𝑖−1

∆𝑥 + 𝑂(∆𝑥)

DIFERENSIASI NUMERIK

(Persamaan 13)

 Diferensial turunan kedua

𝑓 𝑥_𝑖+1 + 𝑓 𝑥_𝑖−1 = 2𝑓 𝑥_𝑖 + 2𝑓^′′ 𝑥_𝑖 ^∆𝑥2

2! + 2𝑓^′′′′ 𝑥_𝑖 ^∆𝑥4

4! + ⋯

atau

𝑓^′′(𝑥_𝑖) = 𝑓(𝑥_𝑖+1) − 2𝑓(𝑥_𝑖) + 𝑓(𝑥_𝑖−1 )

∆𝑥² − 𝑓^′′′′ 𝑥_𝑖 ∆𝑥²

12 − ⋯ atau

𝜕²𝑓

𝜕𝑥² = 𝑓^′′(𝑥_𝑖) = 𝑓 𝑥_𝑖+1 − 2𝑓 𝑥_𝑖 + 𝑓 𝑥_𝑖−1

∆𝑥² − 𝑂 ∆𝑥²

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa bentuk diferensial (biasa ataupun parsil) dapat diubah dalam bentuk diferensial numerik (beda hingga).

DIFERENSIASI NUMERIK