PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL YANG MEMUAT NILAI MUTLAK
GRAFIK FUNGSI NILAI MUTLAK
Di SMP, kita telah mempelajari tentang fungsi linear dan grafiknya. Fungsi linear satu variabel adalah fungsi yang dinyatakan dalam bentuk:
f(x) = ax + b, dimana a, b R dan a ≠ 0.
Adapun fungsi nilai mutlak linear satu variabel adalah fungsi yang dinyatakan dalam bentuk:
f(x) = |ax + b|, dimana a, b R dan a ≠ 0.
Nah, untuk memahami keterkaitan antara kedua fungsi di atas dan grafiknya, mari kita perhatikan contoh berikut ini.
Dengan bantuan menu Table, gambar sketsa grafik fungsi f(x) = x + 3 dan g(x) = |x + 3| untuk x R. (Petunjuk: Untuk memudahkan gunakan interval -10 ≤ x ≤ 5 dengan step 1)
Penyelesaian
Aktifkan menu Table (tekan w9). Masukkan fungsi f(x) = x + 3 lalu tekan =, kemudian fungsi g(x) = |x + 3| lalu tekan =. Isikan nilai Start: -10, End: 5, dan Step: 1. Tekan = setelah setiap nilai dimasukkan.
Dari proses di atas akan menampilkan hasil berikut.
Dari tampilan tabel pada kalkulator, kita dapat mengamati beberapa hal berikut.
1. Pada interval -10 ≤ x ≤ -4, nilai-nilai fungsi g(x) merupakan lawan dari nilai-nilai fungsi f(x), atau g(x) = -f(x).
Kompetensi Dasar : Mengintepretasi persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linear satu variabel dengan persamaan dan pertidaksamaan linear aljabar lainnya.
Indikator : 1. Menjelaskan konsep nilai mutlak
2. Menentukan nilai mutlak menggunakan definisi nilai mutlak Kelas/Semester : X / 1
Sekolah Waktu
: :
SMA 17 Makassar 45 menit
Contoh - 01
2. x = -3 merupakan pembuat nol untuk fungsi f(x) dan g(x).
3. Pada interval -3 ≤ x ≤ 5, nilai-nilai fungsi g(x) sama dengan nilai-nilai fungsi f(x), atau g(x) = f(x).
Sketsa grafik fungsi f(x) = x + 3 dan g(x) = |x + 3|
Mari kita cermati gambar di samping.
a. Pada interval -10 ≤ x < -3, tampak fungsi g(x) = -f(x) b. Pada interval -3 ≤ x ≤ 5, tampak
fungsi g(x) = f(x)
c. Titik (-3, 0) merupakan titik potong grafik fungsi f(x) dan g(x).
d. x = -3 merupakan pembuat nol bagi fungsi f(x) dan g(x).
Dari hasil pengamatan ini, kita dapat mengatakan bahwa fungsi g(x) dapat dipecah menjadi 2 fungsi f(x) berikut.
( ) 3, untuk -3 5
( ) 3
( ) ( 3), untuk -10 3
f x x x
g x x
f x x x
= +
= + = − = − + −
Apakah hal ini dapat kita perluas dengan kesimpulan 3, untuk 3
( ) 3
( 3), untuk 3
x x
g x x
x x
+ −
= + = − + − , dengan x = -3 adalah pembuat nol dari fungsi g(x)?
Bagaimana pendapat Anda?
Lakukanlah ekplorasi dengan mencoba fungsi-fungsi linear satu variabel yang lain untuk mendukung pernyataan Anda.
Sebagai bahan latihan, coba lakukan eksplorasi yang sama pada contoh di atas terhadap fungsi f(x)
= |2x + 10| dan h(x) = |12 – 4x|. Pilihlah interval yang sesuai untuk eksplorasi, kemudian perluas kesimpulan Anda untuk x R.
Tulis hasil eksplorasi Anda untuk fungsi f(x) dan h(x) pada kotak di bawah ini.
Apabila kita menggunakan emulator dari kalkulator ClassWiz fx-991 EX di komputer, maka kita dapat menampilkan grafik dari fungsi f(x) dan g(x) pada contoh di atas selama komputer kita terhubung dengan akses internet.
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
1. Aktifkan menu Table (tekan w9). Masukkan fungsi f(x) = x + 3 dan fungsi g(x) = |x + 3|
seperti pada penyelesaian contoh 1
2. Aktifkan QR Code dengan menekan tombol qT.
Selanjutnya di layar komputer akan tambil QR Code seperti pada gambar berikut.
3. Klik pada CR Code yang tampil, maka browser Anda akan menampilkan gambar grafik fungsi seperti pada gambar di bawah ini.
Gambar sketsa grafik fungsi f(x) = |x − 2| + |x + 1| untuk x R.
Penyelesaian
Aktifkan menu Table (tekan w9).
Masukkan fungsi f(x) = |x − 2| + |x + 1| lalu tekan =, kemudian kosongkan fungsi g(x) lalu tekan
=. Isikan nilai Start: -5, End: 5, dan Step: 1. Tekan = setelah setiap nilai dimasukkan.
Dari proses di atas akan menampilkan hasil berikut.
Dari tampilan nilai fungsi pada kalkulator kita dapat mengamati beberapa hal berikut.
Contoh - 02
a. Untuk interval x < −1, maka nilai f(x) bergerak turun dari besar ke kecil (monoton turun) dengan beda tetap = -2. Ini berarti f(x) merupakan fungsi linear dengan gradien -2 atau dapat ditulis f(x) = -2x + c. Dengan mensubstitusikan titik (-2, 5) yang berada pada interval ini diperoleh: 5 = -2(-2) + c → c = 5 – 4 = 1.
Jadi, untuk interval x < −1, maka f(x) = -2x + 1.
b. Untuk interval −1 ≤ x < 2, maka nilai f(x) tetap, yaitu f(x) = 3. Ini menunjukkan bahwa pada interval ini f(x) merupakan fungsi konstan.
c. Untuk interval x ≥ 2, maka nilai f(x) bergerak naik dari kecil ke besar (monoton naik) dengan beda tetap = 2. Ini berarti f(x) merupakan fungsi linear dengan gradien 2 atau dapat ditulis f(x)
= 2x + n. Dengan mensubstitusikan titik (2, 3) yang berada pada interval ini diperoleh: 3 = 2(2) + n → n = 3 – 4 = -1.
Jadi, untuk interval x ≥ 2, maka f(x) = 2x – 1.
Sehingga dapat disimpulkan f(x) = |x − 2| + |x + 1|
f(x)
2 1, 1 3, 1 2 2 1, 1
x x
x
x x
− + −
= −
− −
Gambar grafik fungsi f(x) dengan menggunakan QR Code.
Dengan mengingat definisi nilai mutlak pada pertemuan sebelumnya dan berdasarkan hasil eksplorasi pada aktivitas di atas, dapatkah Anda menyatakan fungsi f(x) = |ax + b|, dimana a, b R dan a ≠ 0 tanpa menggunakan tanda nilai mutlak?
Tuliskan jawaban Anda pada kotak di bawah ini.
Fungsi nilai mutlak linear satu variabel adalah fungsi yang dinyatakan dalam bentuk:
f(x) = |ax + b|, dimana a, b R dan a ≠ 0.
..., untuk ...
( ) ..., untuk ...
f x ax b
= + =
1. Nyatakan fungsi-fungsi berikut tanpa menggunakan tanda nilai mutlak.
a. f(x) = |2x + 10| untuk x R.
b. f(x) = |12 – 4x| untuk x R.
c. f(x) = |4x – 16| + 3 untuk x R.
d. f(x) = |x – 3| + |2x – 12| untuk x R.
e. f(x) = 2|x + 1| - |4 – x | untuk x R.
2. Gambar sketsa grafik fungsi f(x) = |2x – 8| untuk x R.
3. Gambar sketsa grafik fungsi f(x) = |2x − 2| − |x + 1| untuk x R.
Latihan
4. Gambar sketsa grafik fungsi f(x) = |3x + 6|, g(x) = |3x + 6| − 1 dan h(x) = |3x + 6| + 2 untuk x R pada satu bidang Cartesius.
Perhatikan ketiga grafik fungsi nilai mutlak linear satu variabel tersebut. Apakah ada hubungan antara grafik f(x) = |3x + 6| dengan dua grafik lainnya? Jelaskan jawaban anda.