LMS-SPADA INDONESIA

PENGGUNAAN

INTEGRAL

9

x2

y

LUAS DAERAH BIDANG RATA

VOLUME BENDA DALAM BIDANG VOLUME BENDA PUTAR

PANJANG KURVA PADA BIDANG LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR KERJA

FLUIDA

MOMEN PUSAT MASSA

Pilar jembatan pada gambar di atas membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan dalam pokok bahasan menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.



Daerah di atas Sumbu X

Daerah R dibatasi oleh grafik-grafik

y = f(x), x = a, x = b dan y = 0, luasnya A(R) ditentukan oleh :

A(R) =

^{f x dx}

b



a ^{( )}

 Daerah di bawah sumbu X

Daerah R dibatasi oleh grafik- grafik x = f(y), y = c, y = d dan x = 0, luasnya A(R)

ditentukan oleh :

A (S) = f x dx

b



a

 ( )

Hingga kini cara atau rumus di atas hanya dapat mengitung untuk daerah-daerah yang sederhana. Namun ketika kita mendapati daerah yang lebih rumit ( daerah diantara dua kurva) akan lebih sukar menggunakan cara di atas.

Dengan itu dibuatlah langkah-langkah berikut untuk memudahkan.

Gambarlah daerah yang bersangkutan

Potong menjadi jalur-jalur dan beri nomor disetiap jalur tertentu

Hampiri luas satu jalur tertentu dengan luas persegi panjang yang sesuai.

Jumlahkan luas aproksimasi tersebut

Ambil kemudian limit dari jumlah itu dengan jalan menunjukan jalur ke nol lebar sehingga diperoleh integral tertentu

CONTOH :

Tentukan luas daerah yag dibatasi oleh kurva y = x², sumbu X, dan garis x

= 3 dengan menggunakan cara limit jumlah.

y

0

x 3 L_i

3/n

12



xi ) 2

(x x

f 

x_i+1 x_i x₁ x₂ x₃

Langkah penyelesaian:

1. Bagilah interval [0, 3] menjadi n buah selang yang sama panjang; yaitu 3/n.

2. Partisi daerah tersebut menurut persegi panjang luar.

3. Tentukan ukuran persegi panjang pada interval [x_i , x_i+1] dan hitunglah luasnya.

x₀ = 0 x₁ = 3/n

x₂ = (3/n) × 2 = 6/n

Jadi x_i = 3i/n dan x_{i + 1} = 3(i +1)/n

 ²

i 273 1

L  i  n

 

ⁱ_{n n}

i n

x ₁^{2 3 3( 1) 2 3} Li  _   ^ 

4. Jumlahkan luas semua partisi

 

^

 

 ¹

0

2

3 1

L ⁿ 27

i i

n



^{2 2 2}



3 1 2 ...

L 27 n

n   



) 1 2 )(

1 6 (

1

L  27₃  n n n n

) 2 )(

1 2(

L  9  ¹_n  _n¹

5. Tentukan limitnya ) 2

)(

1 2 (

L

lim

9 ^{1n 1n}

n











9 ) 0 2 )(

0 1 2(

L  9   

Jadi luas daerah = 9 satuan

6

) 1 2 )(

1 ( 1

2  

 

^{n n n n}

k

k

0

x 3 L_i

3/n

12



xi ) 2

(x x

f 

x_i+1 x_i x₁ x₂ x₃

y