MAKALAH mtk kel

MAKALAH

MEMAHAMI KONSEP TRANSFORMASI LINIER DAN PENERAPANNYA PADA RUANG VEKTOR

Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika 4 Dosen Pengampu : Dr. Siswadi, M.Pd.

Disusun:

Rifky Syifa Maulana : 2310631150035

Farel Imawan : 2310631150092

Windu Yayang Alzani : 2310631150106

Muhammad Ridho : 2310631150100

Ilham Purnawisnu Ramadhan : 2310631150093

Program Studi Mesin Fakultas Teknik

Universitas Singaperbangsa Karawang

2025

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas rahmat dan karunia-Nya, makalah yang berjudul "Transformasi Linier: Konsep, Sifat, dan Penerapannya pada Ruang Vektor" ini dapat diselesaikan dengan baik dan tepat waktu.

Makalah ini disusun untuk memenuhi tujuan akademis sekaligus memberikan pemahaman mendalam tentang transformasi linier, yang merupakan salah satu fondasi penting dalam aljabar linier dan aplikasinya di berbagai bidang serta memberikan pemahaman tentang transformasi linier tidak hanya berguna dalam matematika murni, tetapi juga dalam ilmu terapan seperti fisika, teknik, dan komputer grafis. Oleh karena itu, makalah ini dirancang untuk menjelaskan konsep dasar, sifat-sifat, contoh konkret, serta representasi matriks dari transformasi linier secara sistematis dan mudah dipahami.

Ucapan terima kasih disampaikan kepada semua pihak yang telah mendukung penyusunan makalah ini, baik secara langsung maupun tidak langsung. Penulis juga berterima kasih kepada dosen pengampu dan rekan-rekan yang telah memberikan masukan berharga selama proses pengerjaan.

Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini. Semoga makalah ini dapat memberikan manfaat dan wawasan tambahan bagi siapa pun yang membacanya.

Karawang, 22 April 2025 Penulis

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR...ii

DAFTAR ISI... iii

BAB I... 1

PENDAHULUAN...1

1.1. Latar Belakang... 1

1.2. Rumusan Masalah...2

1.3. Tujuan Penulisan... 2

BAB II... 3

PEMBAHASAN...3

2.1. Konsep Dasar Transformasi Linier...3

2.2. Sifat-Sifat Dasar Transformasi Linier...5

2.3. Contoh-Contoh Transformasi Linier...10

2.4. Representasi Matriks dari Transformasi Linier...12

BAB III...18

PENUTUP...18

3.1. Kesimpulan... 18

3.2. Saran...18

DAFTAR PUSTAKA... 19

iii

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Aljabar linier merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari vektor, ruang vektor, serta transformasi linier antar ruang vektor. Konsep transformasi linier memegang peranan penting tidak hanya dalam matematika murni, tetapi juga dalam berbagai bidang terapan seperti fisika, teknik, ilmu komputer, ekonomi, dan statistik. Transformasi linier memungkinkan kita untuk memodelkan dan menganalisis hubungan antara dua ruang vektor secara sistematis, sehingga memberikan dasar yang kuat untuk pemecahan masalah yang lebih kompleks.

Dalam konteks matematika, transformasi linier didefinisikan sebagai pemetaan dari satu ruang vektor ke ruang vektor lain yang mempertahankan operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Pemahaman tentang transformasi linier sangat penting karena banyak fenomena alam dan buatan manusia dapat direpresentasikan melalui pendekatan ini. Misalnya, dalam grafika komputer, transformasi linier digunakan untuk melakukan rotasi, penskalaan, dan refleksi objek. Sementara itu, dalam fisika, transformasi linier membantu dalam mempelajari perubahan sistem koordinat dan analisis tensor.

Selain itu, setiap transformasi linier dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks, yang memudahkan komputasi dan analisis. Representasi matriks ini memungkinkan kita untuk memanipulasi transformasi secara efisien, baik secara teoritis maupun praktis. Namun, banyak mahasiswa yang masih kesulitan memahami bagaimana suatu transformasi linier bekerja, bagaimana sifat-sifatnya mempengaruhi hasil transformasi, serta bagaimana menyusun dan menafsirkan matriks transformasi yang merepresentasikannya.

Pemahaman terhadap transformasi linier tidak hanya penting secara teoritis, tetapi juga sangat relevan dalam praktik, seperti dalam pemrosesan citra digital, grafik komputer, fisika, teknik, dan kecerdasan buatan. Melalui transformasi linier, berbagai proses seperti rotasi, refleksi, dan skala dapat dianalisis dan dimodelkan secara efisien.

Berdasarkan urgensi tersebut, makalah ini bertujuan untuk membahas konsep transformasi linier secara mendalam, dimulai dari konsep pemetaan ruang vektor, sifat-sifat

iv

dasarnya, contoh konkret, hingga representasi matriksnya. Dengan memahami materi ini, pembaca diharapkan dapat menerapkan transformasi linier dalam berbagai konteks masalah, baik akademis maupun profesional.

Melalui makalah ini, penulis berharap dapat memberikan kontribusi dalam memperluas pemahaman tentang transformasi linier serta menginspirasi pembaca untuk mengeksplorasi aplikasinya lebih lanjut dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi.

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, rumusan masalah dalam makalah ini adalah sebagai berikut:

1. Apa yang dimaksud dengan transformasi linier dalam konteks ruang vektor?

2. Bagaimana konsep pemetaan vektor dari ruang Rⁿke R^m dijelaskan dalam transformasi linier?

3. Apa saja sifat-sifat dasar dari transformasi linier?

4. Apa contoh konkret dari transformasi linier, seperti rotasi, refleksi, dan skala?

5. Bagaimana cara menyusun dan menganalisis matriks yang merepresentasikan transformasi linier?

1.3. Tujuan Penulisan

Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah:

1. Menjelaskan konsep dasar transformasi linier dalam ruang vektor.

2. Menguraikan pemetaan dari ruang Rⁿke R^m melalui transformasi linier.

3. Mengidentifikasi dan memahami sifat-sifat dasar dari transformasi linier.

4. Memberikan contoh konkret dari transformasi linier seperti rotasi, refleksi, dan skala.

5. Menjelaskan proses penyusunan dan analisis matriks yang merepresentasikan transformasi linier.

v

BAB II PEMBAHASAN

2.1. Konsep Dasar Transformasi Linier 2.1.1 Definisi Transformasi Linier

Transformasi linier adalah sebuah konsep dalam aljabar linier yang merepresentasikan fungsi atau pemetaan dari satu ruang vektor ke ruang vektor lainnya yang mempertahankan struktur aljabarnya. Artinya, transformasi ini harus memenuhi dua sifat utama: aditivitas dan homogenitas.

Secara formal, jika terdapat ruang vektor V dan W, maka transformasi linier adalah fungsi:

T:V →W a. Aditivitas:

T(u+v)=T(u)+T(v)

Artinya, transformasi dari penjumlahan dua vektor sama dengan penjumlahan hasil transformasi masing-masing vektor.

b. Homogenitas:

T(ku)=kT(u)

Artinya, transformasi dari perkalian vektor dengan skalar sama dengan perkalian skalar terhadap hasil transformasi vektor tersebut.

Contoh Sederhana Transformasi Linier:

Misalkan: T(x , y)=(2x ,3y)

Transformasi ini merupakan contoh transformasi linier dari R²→ R², karena:

a. Uji sifat Aditivitas:

T

( (

^{x1, y1}

)

⁺

(

^{x2, y2}

) )

^=T

(

^{x1+x2, y1+y2}

)

¿(2(x₁+x₂),3(y₁+y₂))=T(x₁+y₁)+T(x₂, y₂) b. Uji sifat Homogen:

vi

T(k(x , y))=T(kx , ky)=(2kx ,3ky)=k(2x ,3y)=kT(x , y)

Kedua sifat ini menjamin bahwa transformasi tidak mengubah kombinasi linier vektor, sehingga relasi antar vektor tetap utuh di ruang tujuan. Transformasi yang tidak memenuhi kedua sifat ini tidak dapat disebut transformasi linier.

2.1.2 Pemetaan dari Ruang-Vektor Rⁿke R^m

Pemetaan dari ⁿ ke ᵐ adalah suatu fungsi yang menghubungkan setiap vektorℝ ℝ dalam ruang Rⁿ ke suatu vektor dalam ruang R^m. Secara formal, kita dapat menuliskan pemetaan tersebut sebagai T: Rⁿ → R^m, di mana T adalah aturan yang mengaitkan setiap x ϵ Rⁿ dengan T₍x)ϵ R^m.

Ruang vektor Rⁿ sendiri didefinisikan sebagai himpunan semua n-tupel bilangan real yang memenuhi sepuluh aksioma ruang vektor, termasuk sifat tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar, adanya elemen identitas penjumlahan (vektor nol), dan keberadaan invers penjumlahan untuk setiap vektor.

Transformasi linear adalah jenis khusus dari pemetaan antara dua ruang vektor yang mempertahankan sifat linieritas. Artinya, untuk suatu transformasi T: Rⁿ→ R^m, T disebut linear jika:

a. Adivitas:

T(u+v)=T(u)+T(v),untuk semua u , v , ϵ , Rⁿ

b. Homogen:

T(ku)=kT(u),untuk semua skalar k ϵ R dan u ϵ Rⁿ

Sifat-sifat tersebut menjamin bahwa struktur linier dari ruang asal Rⁿ dipertahankan ke ruang tujuan R^m

Contoh Transformasi Linear

 Pemetaan Identitas:

Pemetaan identitas adalah transformasi linear paling dasar yang mempertahankan struktur vektor aslinya.

I(x)=x vii

 Pemetaan Nol:

Pemetaan nol adalah transformasi trivial yang mengirim semua vektor ke vektor nol.

T:Rⁿ→ R^m,T(x)=0, x ϵ Rⁿ

 Pemetaan Matriks:

Setiap matriks A berukuran m × n mendefinisikan sebuah transformasi linear dari Rⁿke R^m T:Rⁿ→ R^m,T(x)=Ax

A = m × n

2.2. Sifat-Sifat Dasar Transformasi Linier 2.2.1 Linieritas: Adisi dan Homogenitas

Dalam ruang vektor dan aljabar linear, sebuah transformasi disebut linear apabila ia mematuhi dua prinsip mendasar: sifat aditif dan sifat homogen. Kedua sifat ini adalah syarat mutlak yang memastikan bahwa struktur linear dalam ruang asal tetap terjaga setelah transformasi dilakukan.

a. Sifat Aditif

Sifat aditif menyatakan bahwa transformasi dari jumlah dua vektor sama dengan jumlah dari hasil transformasi masing-masing vektor tersebut. Ini mengindikasikan bahwa T memperlakukan penjumlahan secara “konsisten”.

T(u+v)=T(u)+T(v) Contoh:

Misalnya T(x , y)=(2x ,3y), Ambil dua vektor u=(1,2)dan v=(3,4):

 u+v=(4,6)

 T(u+v)=(8,18)

 T(u)=(2,6)

 T(v)=(6,12)

 T(u)+T(v)=(8,18)

viii

Contoh yang tidak memenuhi Adivitas:

Misalnya T(x , y)=(x+1, y), maka:

 T(u)=(2,2),T(v)=(4,4)

 T(u)+T(v)=(6,6)

 Tapi u+v=(4,6), maka T(u+v)=(5,6) Karena (6,6)≠(5,6) maka sifat aditif tidak terpenuhi.

b. Sifat Homogen

Sifat homogen menunjukkan bahwa transformasi terhadap vektor yang dikalikan skalar dapat dilakukan dengan cara mentransformasi terlebih dahulu lalu mengalikan hasilnya dengan skalar yang sama.

T(ku)=kT(u) Contoh:

Ambil transformasi yang sama seperti sebelumnya:

T(x , y)=(2x ,3y), dan u=(1,2)

 ku=(5,10)

 T(ku)=(10,30)

 T(u)=(2,6), maka kT(u)=(10,30)

Karena keduanya sama, maka sifat homogenitas terpenuhi.

Contoh yang tidak homogen:

Misalnya T(x)=x2.Makauntukx=2, k=3 :

 T(kx)=T(6)=36

 kT(x)=3⋅T(2)=3⋅4=12

Karena 36≠12, maka sifat homogenitas tidak terpenuhi.

2.2.2 Sifat Identitas dan Komposisi A. Transformasi identitas

ix

Transformasi identitas adalah transformasi linear yang memetakan setiap vektor ke dirinya sendiri. Secara formal, untuk ruang vektor V, transformasi identitas I:V →V didefinisikan sebagai:

I(v)=v , v ϵ V

Dalam representasi matriks, transformasi identitas direpresentasikan oleh matriks identitas I_n berukuran n × n, di mana nnn adalah dimensi ruang vektor. Matriks identitas memiliki elemen diagonal bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai 0:

I_n=

[

^{1 00 10⋮ ⋮0 ⋱⋯⋯⋯ 001⋮}

]

Sifat-sifat:

 Netral dalam Komposisi: Untuk setiap transformasi linear T: V →V ,berlaku:

T∘I=I∘T=T

 Linearitas: Transformasi identitas memenuhi sifat aditif dan homogenitas:

a. I(u+v)=I(u)+I(v) b. I(kv)=kI(v)

 Kernel dan Image:

a. Kernel dari I adalah {0}, karena hanya vektor nol yang dipetakan ke vektor nol.

b. Image dari I adalah seluruh ruang V, karena setiap vektor dipetakan ke dirinya sendiri

Contoh: misalkan V=R³, maka transformasi identitas I:R³→ R³ memetakan setiap vektor v=(v1 , v2 , v3)ke dirinya sendiri

I(v)=(v1 , v2 , v3) B. Komposisi Transformasi Linear

Komposisi transformasi linear berdefinisi bahwa Komposisi dua transformasi linear adalah operasi di mana hasil dari satu transformasi menjadi input untuk transformasi berikutnya. T:U →V dan S:V →W, komposisi S∘T adalah transformasi dari U ke W yang didefinisikan oleh:

x

(S∘T)(u)=S(T(u)) Sifat-sifat:

 Linearitas Komposisi: Komposisi dua transformasi linear adalah transformasi linear:

(S∘T)(a u+b v)=a(S∘T)(u)+b(S∘T)(v) Untuk semua u , v∈U dan skalar a, b

 Representasi Matriks: Jika T direpresentasikan oleh matriks A dan S oleh matriks B, maka komposisi S∘T direpresentasikan oleh perkalian matriks BA:

(S∘T)(x)=B(Ax)=(BA)x

Dengan A berukuran n × pdan BBB berukuran m × n, maka BA berukuran m × p

 Asosiativitas: Komposisi transformasi linear bersifat asosiatif:

R∘(S∘T)=(R∘S)∘T

Untuk transformasi linear: T:U →V , S:V →W , dan R:W → X. 2.2.3 Transformasi Linier dan Kernel serta Image

Transformasi linear merupakan konsep fundamental dalam aljabar linear yang mempertahankan struktur operasi vektor. Pada bagian ini, kita akan membahas secara mendalam mengenai dua konsep penting yang terkait dengan transformasi linear, yaitu kernel (ruang nol) dan image (ruang hasil), beserta hubungan fundamental di antara keduanya.

Definisi Transformasi Linear

Sebuah fungsi T:V →W antara ruang vektor V dan W disebut transformasi linear jika memenuhi dua sifat berikut untuk semua u , v∈V dan skalar α:

 T(u+v)=T(u)+T(v) = Sifat Aditif

 T(α u)=αT(u) = Sifat Homogen Kernel (Ruang Nol)

Definisinya adalah Kernel dari transformasi linear T, dinotasikan ker(T), adalah himpunan semua vektor di V yang dipetakan ke vektor nol di W:

xi

ker(T)={v∈V∣T(v)=0W } Sifat-sifat Kernel

 Subruang: ker(T) adalah subruang dari V

 Nullitas: Dimensi dari ker(T) disebut nullitas dari T, dinotasikan null(T)

 Kriteria Injektivitas: T bersifat injektif (satu-satu) jika dan hanya jika ker (T)={0V}

Contoh Perhitungan: Misalkan T:R3→ R2 didefinisikan oleh matriks:

A=

(

^{1 2 34 5 6}

)

Untuk mencari ker(T), kita selesaikan sistem persamaan linear Ax = 0

{

^4xx11¿

Solusi umumnya adalah x = t ( 1

−2 1

), sehingga:

Ker(T) = span {( 1

−2 1

)}, null (T) = 1

Image (Ruang Hasil)

Image dari T, dinotasikan ℑ(T), adalah himpunan semua vektor di W yang merupakan hasil pemetaan dari V:

ℑ(T)={T(v)∣v∈V}⊆W Sifat-sifat image:

 Subruang: Im (T) adalah subruang dari W

 Rank: Dimensi dari Im (T) disebut rank dari T, dinotasikan rank (T)

 Kriteria subjektivitas: T bersifat surjektif (onto) jika dan hanya jika Im (T)= W Contoh perhitungan: Dengan matriks A yang sama seperti sebelumnya

A=

(

^{1 2 34 5 6}

)

xii

Image dari T adalah ruang kolom dari A. Karena kolom pertama dan kedua tidak saling kelipatan, maka:

Im(T)=span {

(

¹⁴

)

^,

(

²⁵

)

}, rank (T) = 2 2.3. Contoh-Contoh Transformasi Linier

Transformasi rotasi merupakan salah satu jenis transformasi linear yang sangat penting dalam matematika, fisika, dan berbagai bidang terapan seperti grafika komputer, robotika, dan mekanika klasik. Pada bagian ini, kita akan membahas secara rinci tentang transformasi rotasi dalam ruang vektor R²dan R³, termasuk definisi formal, representasi matriks, sifat- sifat matematis, serta aplikasi praktisnya.

2.3.1 Transformasi Rotasi

Transformasi rotasi adalah pemetaan linear yang memutar setiap vektor dalam ruang vektor dengan sudut tertentu terhadap suatu sumbu rotasi, sambil mempertahankan norma (panjang) vektor tersebut.

Secara formal, rotasi di R² dengan sudut θ didefinisikan sebagai:

R_θ:R²→ R²

R_θ(v)= vektor hasil rotasi v sebesar θ berlawanan arah jarum jam

Rotasi di R² (Bidang Dimensi Dua)

Rotasi ini dapat direpresentasikan sebagai perkalian matriks berikut:

R_θ=

(

^{cossinθθ −cossinθθ}

)

Bukti Geometris

Misalkan vektor satuan basis standar:

e₁=

(

¹⁰

)

^{, e2=}

(

⁰¹

)

Setelah rotasi sebesar θ:

R_θ

(

^e1

)

⁼

(

^cossinθθ

)

^{, Rθ}

(

^e2

)

⁼

(

^{−sincosθθ}

)

xiii

Sehingga matriks rotasi diperoleh dengan menjadikan hasil rotasi basis sebagai kolom matriks.

2.3.2 Transformasi Refleksi

Transformasi refleksi merupakan pemetaan linear yang melakukan pencerminan terhadap suatu hiperbidang (garis padaR²atau bidang pada R³) yang melalui titik asal.

Refleksi termasuk dalam kelas transformasi ortogonal dengan sifat-sifat khusus:

Definisi Formal: Untuk hiperbidang H dengan vektor normal n, refleksi terhadap H didefinisikan sebagai:

T(x)=x−2 x ∙ n

‖²‖²ⁿ Sifat Linearitas:

T(u+v)=T(u)+T(v)dan T(cv)=cT(v) Sifat-sifat Matematis Refleksi

 Involutif:

T²=I ( menerapkan transformasi refleksi dua kali akan mengembalikan vektor ke posisi semula)

 Ortogonalitas:

T^TT=1dan det(T)=−1

 Preservasi norma:

∥T(x)∥=∥x∥ 2.3.3 Transformasi Skala

Transformasi skala adalah jenis transformasi linier yang mengubah ukuran (panjang) vektor dalam ruang vektor dengan mengalikan setiap komponen vektor dengan faktor skala tertentu. Transformasi ini tidak mengubah arah vektor kecuali jika faktor skala negatif, yang juga membalik arah vektor.

Secara matematis, transformasi skala T pada vektor x dapat dinyatakan sebagai:

T(x)=k⋅x xiv

Dimana:

 x : vektor dalam ruang V

 k : skalar (vektor V)

Representasi Matriks Transformasi Skala

Dalam ruang dua dimensi

(

^R2

)

, transformasi skala dapat direpresentasikan dengan matriks diagonal:

T=

(

^{k01 k02}

)

 Jika k₁=k₂=k, maka transformasi disebut skala seragam (isotropik).

 Jika ^k1≠ k₂ maka transformasi disebut skala tidak seragam (anisotropik).

Di ruang tiga dimensi R³ matriks skala menjadi:

T=

(

^{k001 k002 k003}

)

Contoh Konkret Transformasi Skala

Contoh 1: Skala Seragam di R²

Misalkan transformasi T dengan faktor skala k = 2 T=

(

^{2 00 2}

)

Untuk vektor x = (3, 4)

T(x)=

(

^{2 00 2}

)(

³⁴

)

⁼

(

⁶⁸

)

Vektor x diperbesar dua kali lipat tanpa perubahan arah.

Contoh 2: Skala Negatif

Misalkan transformasi T dengan faktor skala k=−1.5 : T=

(

^{−1.50 −01.5}

)

xv

Untuk vektor x=(2,−3):

T(x)=

(

^{−1.50 −01.5}

)(

⁻²³

)

⁼

(

^−34.5

)

Vektor x diperbesar 1.5 kali dan arah dibalik karena faktor skala negatif.

2.4. Representasi Matriks dari Transformasi Linier 2.4.1 Penyusunan Matriks Transformasi

Dalam aljabar linier, matriks transformasi adalah representasi numerik dari suatu transformasi linier antara dua ruang vektor berdimensi hingga. Transformasi linier T:V→W memetakan vektor dari ruang vektor asal V ke ruang vektor tujuan W.

Representasi matriks ini memungkinkan kita untuk melakukan perhitungan transformasi secara sistematis dan efisien menggunakan operasi perkalian matriks.

Matriks transformasi bergantung pada basis yang dipilih di ruang vektor asal V dan ruang vektor tujuan W. Dengan menentukan basis, kita dapat mengubah transformasi linier yang abstrak menjadi bentuk matriks yang konkret, sehingga memudahkan komputasi dan analisis.

Langkah-Langkah Penyusunan Matriks Transformasi

Untuk menyusun matriks transformasi T:V →W, di mana dim(V) = n dan dim (W) = m, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Pilih basis untuk ruang vektor:

 Basis V: misalkan B_V = {v₁, v₂, … , v_n} adalah basis dari V

 Basis W: misalkan ^BW =^w1, w₂, … , w_n adalah basis dari w

Jika V dan W adalah ruang Euclidean Rⁿ dan R^m, basis standar (basis kanonik) biasanya digunakan.

2. Tentukan citra (image) dari basis di ruang tujuan:

Untuk setiap vektor basis v_i = di V, hitung T(v_i) dan nyatakan hasilnya sebagai kombinasi linear dari basis BW:

T

(

^vi

)

^{=a1i w1+a2i w2+… .+ami wm}

xvi

Koefisien a₁i , a₂i , … . a_mi membentuk kolom ke-ii dari matriks transformasi.

3. Susun matriks tranformasi:

Matriks transformasi A berukuran m × n dibentuk dengan menempatkan koefisien-koefisien tersebut sebagai kolom:

A=

[

^{aaam12⋮111 aaam12⋮222 ⋱… a… a⋯ a12m⋮nnn}

]

Contoh Penyusunan Matriks Transformasi

Misalkan terdapat transformasi linier T=R²→ R² yang didefinisikan oleh:

T(x , y)=(2x+y , x−y) Langkah 1: pilih basis standar

Basis standar untuk R² adalah:

e₁=(1,0), e₂=(0,1) Langkah 2: Hitung citra basis

T

(

^e1

)

^{=T(1,0)=(2⋅1+0,1−0)=(2,1)}

T

(

^e2

)

^{=T(0,1)=(2⋅0+1,0−1)=(1,−1)}

Langkah 3: Nyatakan dalam Basis Standar Karena basis tujuan juga basis standar, maka:

T

(

^e1

)

^=2e1+1e₂ T=

(

^e2

)

^=1e1−1e₂ Langkah 4: Susun Matriks Transformasi

Kolom matriks adalah koefisien dari T

(

^e1

)

^danT

(

^e2

)

^;

A=

[

^{21 −11}

]

xvii

Dengan demikian, untuk sembarang vektor x = (x, y)  transformasi T dapat dihitung sebagai:

T(x)=Ax=

[

^{21 −11}

][

^xy

]

⁼

[

^{2xx −¿+¿yy}

]

2.4.2 Analisis dan Interpretasi Matriks

Setelah menyusun matriks transformasi linier, langkah selanjutnya adalah menganalisis dan menginterpretasikan matriks tersebut untuk memahami sifat-sifat transformasi yang diwakilinya. Analisis ini mencakup pemeriksaan determinan, nilai eigen, vektor eigen, serta sifat-sifat seperti injektivitas dan preservasi norma. Interpretasi geometris dari matriks transformasi membantu dalam memahami bagaimana vektor-vektor dalam ruang asal dipetakan ke ruang tujuan.

Determinant dari matriks transformasi memberikan informasi penting tentang sifat transformasi:

 Determinant Nol: Jika determinan matriks transformasi adalah nol, maka transformasi tersebut tidak invertibel dan memetakan ruang vektor asal ke subruang berdimensi lebih rendah. Hal ini menunjukkan bahwa transformasi tersebut tidak injektif.

 Determinant Positif atau Negatif: Tanda dari determinan menunjukkan apakah transformasi mempertahankan atau membalik orientasi ruang. Determinan positif mempertahankan orientasi, sedangkan determinan negatif membalik orientasi.

 Nilai Absolut Determinan: Nilai absolut dari determinan menunjukkan faktor skala dari transformasi terhadap volume (atau area dalam dua dimensi). Misalnya, determinan 2 menunjukkan bahwa transformasi menggandakan area atau volume Nilai eigen (eigenvalues) dan vektor eigen (eigenvectors) memberikan wawasan tentang arah dan skala transformasi:

 Vaktor Eigen: Vektor yang arahya tidak berubah oleh transformasi, hanya skalanya yang berubah.

 Nilai Eigen: Faktor skala yang diterapkan pada vektor eigen oleh transformasi.

Analisis nilai dan vektor eigen membantu dalam memahami perilaku transformasi, seperti identifikasi arah invarian dan skala perubahan sepanjang arah tersebut.

xviii

Rank dan Nullitas:

 Rank (Peringkat): Jumlah vektor basis dalam ruang hasil transformasi. Rank menunjukkan dimensi dari ruang hasil dan memberikan informasi tentang apakah transformasi tersebut surjektif.

 Nullitas: Dimensi dari kernel (inti) transformasi, yaitu himpunan vektor yang dipetakan ke nol. Nullitas menunjukkan jumlah derajat kebebasan yang hilang dalam transformasi.

Teorema Rank-Nullity menyatakan bahwa jumlah rank dan nullitas dari transformasi linier sama dengan dimensi ruang vektor asal.

Interpretasi Geometris

Interpretasi geometris dari matriks transformasi membantu dalam memahami efek transformasi terhadap vektor:

 Rotasi: Matriks transformasi yang merepresentasikan rotasi mempertahankan panjang vektor dan sudut antara vektor.

 Refleksi: Matriks refleksi membalik vektor terhadap suatu garis atau bidang, dengan determinan -1 menunjukkan perubahan orientasi.

 Skala: Matriks skala mengubah panjang vektor tanpa mengubah arah (kecuali jika faktor skala negatif).

2.4.3 Komposisi Transformasi melalui Perkalian Matriks

Komposisi transformasi linier adalah proses menggabungkan dua atau lebih transformasi linier secara berurutan sehingga menghasilkan transformasi tunggal yang ekuivalen dengan penerapan transformasi tersebut satu per satu. Dalam konteks aljabar linier, komposisi ini direpresentasikan sebagai perkalian matriks dari matriks-matriks transformasi yang bersesuaian.

Misalkan terdapat dua transformasi linier:

 ^T1=V →W dengan matriks representasi A (berukuran m × n)

 ^T2=W →U dengan matriks representasi B ( berukuran p × m)

Maka, komposisi transformasi T=T₂∘T₁:V →UT memiliki matriks representasi:

C=B⋅A(berukuran p × m)

di mana C adalah hasil perkalian matriks B (transformasi kedua) dengan A (transformasi pertama).

xix

Penting untuk dicatat bahwa urutan perkalian matriks mencerminkan urutan penerapan transformasi: transformasi yang diterapkan terakhir dikalikan dari kiri.

Sifat-sifat komposisi transformasi:

 Asosiatif: Perkalian matriks bersifat asosiatif, yaitu:

(C⋅B)⋅A=C⋅(B⋅A)

Hal ini memungkinkan pengelompokan transformasi dalam komposisi tanpa mengubah hasil akhir.

 Tidak Komutatif: Perkalian matriks umumnya tidak bersifat komutatif, yaitu:

A⋅B ≠ B⋅A

Oleh karena itu, urutan penerapan transformasi sangat penting dan mempengaruhi hasil akhir.

xx

BAB III PENUTUP

3.1. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa transformasi linier merupakan konsep fundamental dalam aljabar linear yang memiliki peranan penting baik dalam matematika murni maupun terapan. Transformasi ini mempertahankan struktur operasi vektor melalui sifat aditivitas dan homogenitas, serta dapat direpresentasikan secara efisien dalam bentuk matriks. Analisis terhadap determinan, nilai eigen, dan rank-nullitas matriks transformasi memberikan pemahaman mendalam tentang karakteristik pemetaan, termasuk sifat invertibilitas, perubahan volume, dan arah invarian. Komposisi transformasi yang direpresentasikan melalui perkalian matriks menunjukkan pentingnya urutan operasi dalam penerapannya. Aplikasi transformasi linier terbukti sangat luas, mulai dari grafika komputer, fisika, hingga teknik pemrosesan sinyal dan data.

3.2. Saran

Untuk pengembangan pemahaman lebih lanjut, disarankan beberapa langkah strategis.

Pertama, pendalaman konsep dasar dapat dilakukan melalui visualisasi geometris menggunakan perangkat lunak seperti Geogebra atau Python dengan library Matplotlib.

Kedua, penerapan praktis melalui proyek sederhana seperti simulasi gerak robot atau manipulasi gambar digital akan memperkuat pemahaman konseptual. Ketiga, penguatan teori dapat dicapai dengan mempelajari kasus-kasus non-trivial seperti transformasi dalam ruang fungsi atau analisis sistem persamaan linear. Selain itu, pemanfaatan sumber belajar tambahan seperti kursus online dan partisipasi aktif dalam forum diskusi matematika akan memperluas wawasan dan kemampuan pemecahan masalah. Dengan pendekatan komprehensif ini, diharapkan pembaca dapat menguasai materi transformasi linier secara utuh sekaligus mengembangkan kemampuan penerapannya dalam berbagai konteks keilmuan.

xxi

DAFTAR PUSTAKA

Pembahasan Soal Transformasi Linear. Diakses dari:

https://mathpro.id/pembahasan-soal/transformasi-linear.html

Fitriyani, I., & Winarsih, S. (2022). Transformasi Linier dan Aplikasinya dalam Aljabar Linier. Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika, Universitas

Muhammadiyah Jakarta.

Sutrisno, E. (2022). Aljabar Linier: Teori dan Penerapan. Penerbit Eureka Media Aksara.

STEKOM University. (2022). Ebook Aljabar Linier.

Silaban, S. (2021). Aplikasi Aljabar Linier dalam Matematika. Jurnal Matematika dan Pembelajaran Matematika, Universitas Medan Area.

xxii