BAHAN PROYEK KALKULUS
“MAKSIMUM dan MINIMUM FUNGSI”
Diisusun Oleh:
Muhammad Baharuddin Daeng SiTaba (K1317050)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SEBELAS MARET TAHUN 2021
DEFINISI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI
1. 𝑓(𝑐) nilai maksimum dari 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 pada 𝑆 2. 𝑓(𝑐) nilai minimum dari 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥) untuk semua 𝑥 pada 𝑆 3. 𝑓(𝑐) nilai ekstrim dari 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum atau minimum.
4. Fungsi yang akan dicari nilai maksimum dan minimumnya dikatakan fungsi objektif.
TEOREMA KEBERADAAN MAKSIMUM DAN MINIMUM
Jika 𝑓 kontinu pada selang tutup [𝑎, 𝑏] maka 𝑓 mencapai nilai maksimum dan minimum di selang tersebut.
Gambar fungsi nilai maksimum dan minimum.
Selanjutnya titik di mana fungsinya bernilai nol di namakan titik stasioner, sedangkan titik di mana fungsinya tidak dapat diturunkan dinamakan titik singular. Titik ujung selang, titik stasioner dan titik singular dinamakan titik-titik kritis. Titik-titik kritis memegang peran penting dalam menentukan nilai maksimum dan minimum, seperti yang ditunjukkan dalam teorema berikut : TEOREMA TITIK KRITIS
Misal 𝑓 didefinisikan pada interval I yang memuat c. Jika 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim, maka 𝑐 haruslah titik kritis, yakni
1. Titik ujung dari I
2. Titik stationer dari 𝑓, yakni 𝑓′(𝑐) = 0 3. Titik singular dari 𝑓, yakni 𝑓′(𝑐) 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎
Langkah – langkah mencari nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi di selang tutup : 1. Cari titik – titik kritis dari 𝑓 pada selang tutup yang diberikan.
2. Cari nilai 𝑓 pada titik – titik kritis.
3. Nilai yang paling besar pada langkah ke 2 menjadi nilai maksimum dan yang paling kecil menjadi nilai minimum.
KEMOTONAN DAN KECEKUNGAN
Definisi tentang naik dan turun suatu fungsi.
DEFINISI
Misal 𝑓 didefinisikan pada interval I (buka, tutup, atau bukan keduanya). Dikatakan bahwa : 1. 𝑓 naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I
𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)
2. 𝑓 turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I 𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)
3. 𝑓 monoton murni pada I jika 𝑓 naik pada I atau turun pada I
TEOREMA KEMONOTONAN
Misal 𝑓 dapat didiferensialkan pada titik dalam selang I.
1. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua titk dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 naik pada I.
2. Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua titk dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 turun pada I.
Dari teorema diatas dapat ditentukan di mana suatu di mana suatu fungsi naik dan dimana suatu fungsi turun.
Pada garik yang cekung keatas garis singgung bergerak searah jarum jam (kemiringan
bertambah) dan pada grafik yang cekung ke bawah garis singgung bergerak berlawanan jarum jam (kemiringan belakang).
DEFINISI
Misal 𝑓 dapat didiferensialkan pada selang – selang buka I. Jika 𝑓′ naik pada I dikatakan 𝑓 cekung ke atas di I dan jika 𝑓′ turun pada I dikatakan 𝑓 cekung ke bawah di I.
TEOREMA KECEKUNGAN
Misal 𝑓 dapat didiferensialkan dua kali pada selang buka I
1. Jika 𝑓′′(𝑥) > 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 cekung ke atas pada I.
2. Jika 𝑓′′(𝑥) < 0 untuk semua titik dalam 𝑥 dari I maka 𝑓 cekung ke bawah pada I.
Misal 𝑓 kontinu pada c. titik (𝑐, 𝑓(𝑐)) dikatakan titik belok dari grafik 𝑓 jika 𝑓 cekung ke atas di satu sisi dari c dan 𝑓 cekung ke bawah sisi lainnya.
Dengan mempertimbangkan teorema kecekungan dan gambar diatas didapatkan bahwa titik – titik dimana 𝑓′′(𝑥) = 0 dan dimana 𝑓′′(𝑥) adalah titik dimana terjadi perubahan kecekungan.
UJI EKSTRIM LOKAL
DEFINISI
Misal 𝑆 adalah daerah asal 𝑓 dan 𝑐 ∈ 𝑆. Dapat dikatakan bahwa :
1. 𝑓(𝑐) nilai maksimum local 𝑓 pada 𝑆 jika terdapat selang buka I yang memuat 𝑐 sedemikian sehingga 𝑓(𝑐) ≥ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝑆
2. 𝑓(𝑐) nilai minimum local 𝑓 pada 𝑆 jika terdapat selang buka I yang memuat 𝑐 sedemikian sehingga 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐼 ∩ 𝑆
3. 𝑓(𝑐) nilai ekstrim local 𝑓 pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) nilai maksimum local atau nilai minimum local
Teorema titik kritis berlaku pada nilai ekstrim loka, yakni nilai ekstrim local hanya dapat dicapai di titik – titik kritis. Titik – titik kritis adalah calon dimana nilai ekstrim local muncul.
TEOREMA UJI PERTAMA EKSTRIM LOKAL
Misal 𝑓 dapat didiferensialkan pada selang buka (a,b) yang memuat titik kritis c :
1. Jika 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) 𝑑𝑎𝑛 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua titik 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum local.
2. Jika 𝑓′(𝑥) < 0 untuk semua 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) 𝑑𝑎𝑛 𝑓′(𝑥) > 0 untuk semua titik 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑐) maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum local.
3. Jika 𝑓′(𝑥) bertanda sama untuk kedua belah pihak, maka Jika 𝑓(𝑐) bukan nilai ekstrim Terdapat uji ekstrim lokal yang lain yang bisa digunakan, tapi dalam uji ini titik yang diperiksa adalah titik stasioner dan yang ditinjau adalah turunan kedua fungsi pada titik tersebut.
TEOREMA UJI KEDUA EKSTRIM LOCAL
Misal 𝑓 dan 𝑓′ dapat diferensialkan pada selang buka (a,b) yang memuat titik c dengan 𝑓′(𝑐) = 0 1. Jika 𝑓(𝑐) > 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum local
2. Jika 𝑓(𝑐) < 0 maka 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum local CONTOH SOAL :
Sebuah tabung dapat digunakan untuk menampung 1L minyak. Carilah dimensi (jari-jari dan tinggi) yang bisa meminimalkan biaya pengeluaran yang digunakan untuk pembuatan besi tersebut.
PEMBAHASAN :
Gambar sebuah tabung dimana r adalah jari-jari dan h adalah tinggi (keduanya dalam centimeter)
Untuk meminimalkan biaya dari besi, kita minimalkan luas permukaan total dari tabung (atas, bawah, dan samping).
Dari gambar di atas kita dapat melihat bahwa kedua sisinya terbuat dari lembaran pesergi panjang dengan dimensi 2𝜋𝑟 𝑑𝑎𝑛 ℎ. Jadi, luas permukaannya adalah
𝐴 = 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ
Untuk mengeliminasi h kita menggunakan fakta bahwa volume yang diberikan adalah 1L, dimana kita bisa mengkonversinya menjadi 1000 𝑐𝑚3. Maka diperoleh
𝜋𝑟2ℎ = 1000
Maka diperoleh ℎ =1000𝜋𝑟2 . lalu subtitusikan ke dalam persamaan A maka diperoleh
𝐴 = 2𝜋𝑟2+ 2𝜋𝑟 (1000
𝜋𝑟2 ) = 2𝜋𝑟2+2000 𝑟 Oleh karena itu, fungsi yang ingin kita minimalkan adalah
𝐴(𝑟) = 2𝜋𝑟2 +2000
𝑟 𝑟 > 0 Untuk mencari nilai kritis, kita diferensiasikan menjadi:
𝐴′(𝑟) = 4𝜋𝑟 −2000
𝑟2 =4(𝜋𝑟3− 500) 𝑟2
Kemudian 𝐴′(𝑟) = 0 ketika 𝜋𝑟3 = 500, jadi satu-satunya titik kritis adalah 𝑟 = √500 𝜋3 ⁄
Karena domain dari A adalah (0, ∞), kita tidak bisa menggunakan titik ini sebagai titik ujung.
Tetapi kita bisa mencari bahwa 𝐴′(𝑟) < 0 utuk 𝑟 < √500 𝜋3 ⁄ dan 𝐴′(𝑟) > 0 untuk 𝑟 > √500 𝜋3 ⁄ , jadi A berkurang untuk semua r di sebelah kiri dari titik kritis dan bertambah untuk semua r di sebelah kanan. Sehingga 𝑟 = √500 𝜋3 ⁄ harus memberikan nilai absolut minimum.
(Dengan alternatif, kita bisa membantah bahwa 𝐴(𝑟) ⟶ ∞ sebagai 𝑟 ⟶ 0+ dan 𝐴(𝑟) ⟶ ∞ sebagai 𝑟 ⟶ ∞, jadi seharusnya ada sebuah nilai minimum dari A(r), yang terjadi di titik kritis.
Dengan melihat grafik di atas).
Harga dari h sama dengan 𝑟 = √500 𝜋3 ⁄ adalah
ℎ =1000
𝜋𝑟2 = 1000
𝜋(500 𝜋⁄ )2/3= 2√500 𝜋
3 = 2𝑟
sehingga untuk meminimalkan biaya pengeluaran, jari-jarinya harus √500 𝜋3 ⁄ 𝑐𝑚 dan tingginya harus sama dengan dua kali radius yang berarti tingginya hrus sama dengan diameter.
