Matematika Program Bahasa SMA/MA Kelas XI iii Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, puji syukur atas rahmat dan karunia-Nya, pemerintah dalam hal ini Kementerian Pendidikan Nasional membeli hak cipta buku ajar ini dari penulis/penerbit pada tahun 2009 untuk disosialisasikan kepada masyarakat melalui laman online Jaringan Pendidikan Nasional. Buku teks ini telah dievaluasi oleh Badan Standar Pendidikan Nasional dan telah ditetapkan sebagai buku teks yang memenuhi persyaratan kelayakan digunakan dalam proses pembelajaran berdasarkan Keputusan Menteri Pendidikan Nasional No. 9 Tahun 2009. Terima kasih banyak kepada penulis/penerbit. yang setuju untuk mengalihkan hak cipta karyanya kepada Kementerian Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh siswa dan guru di seluruh Indonesia.
Buku teks yang hak ciptanya telah dialihkan kepada Kementerian Pendidikan Nasional dapat diunduh, digandakan, dicetak, dipindahtangankan, atau difotokopi oleh masyarakat. Diharapkan buku-buku pelajaran ini lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia serta sekolah-sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memperoleh manfaat dari sumber belajar tersebut. Permasalahan pemrograman linier merupakan permasalahan yang berkaitan dengan penentuan maksimum atau minimum suatu fungsi linier dengan batasan berupa sistem pertidaksamaan linier.
Sistem Pertidaksamaan Linear
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Dapatkah Anda menentukan berapa banyak kapal pesiar Model I dan Model II yang harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan? Materi sistem pertidaksamaan linier yang akan kita bahas adalah sistem pertidaksamaan linier dua variabel dan menentukan himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier. Sistem pertidaksamaan linier dua variabel adalah suatu hubungan yang memuat dua atau lebih pertidaksamaan linier dua variabel dengan variabel yang sama.
Tugas Kelompok Tugas Kelompok
Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Ambil setiap titik uji (x1, y1) yang terletak di luar garis ax +by =c dan substitusikan titik uji tersebut ke dalam pertidaksamaan. Jika diperoleh pernyataan yang benar, maka bagian bidang yang memuat titik uji (x1, y1) adalah daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut. Sebaliknya, jika diperoleh pernyataan yang salah, maka bagian bidang yang tidak memuat titik uji (x1,y1) adalah daerah himpunan solusi.
Langkah pertama adalah memplot setiap himpunan solusi grafik pertidaksamaan yang membentuk sistem pertidaksamaan linier kedua variabel. Titik potong atau potong merupakan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier dengan dua variabel 3x + 2y ≤ 12, x – y≤ 3, x ≥ 0, dan y≥ 0 untuk x,y ∈R. Dapatkah kamu menentukan bentuk suatu sistem pertidaksamaan linier dua variabel jika diketahui bayangan barisan penyelesaiannya?
Program Linear dan Model Matematika
Anda memerlukan waktu 1 jam untuk memotong satu pakaian anak, 0,5 jam untuk tahap overwork dan 1,5 jam untuk tahap menjahit. Sedangkan pemotongan pakaian dewasa membutuhkan waktu 1,5 jam, tumpang tindih 1 jam, dan penjahitan 2,5 jam. Penjahit mempunyai waktu 20 jam untuk mengerjakan pesanan pada tahap pemotongan, 15 jam untuk tahap kerja berlebihan, dan 40 jam untuk tahap penjahitan.
Waktu yang dibutuhkan untuk membuat kedua jenis pakaian tersebut adalah (x + 1,5y) jam dengan waktu tersedia 20 jam. Waktu yang diperlukan untuk tumpang tindih kedua jenis pakaian tersebut adalah (0,5x + y) jam dengan waktu tersedia 15 jam. Waktu yang dibutuhkan pada tahap penjahitan kedua jenis pakaian tersebut adalah (1.5x +2.5y) jam dengan waktu tersedia 40 jam.
Nilai Optimum Fungsi Objektif
- Metode Uji Titik Ujung
- Metode Garis Selidik
Dibutuhkan waktu 5 jam pada mesin pertama dan 2 jam pada mesin kedua untuk membuat sebuah sepeda. Untuk membuat sebuah skuter, kita membutuhkan waktu 3 jam pada mesin pertama dan 6 jam pada mesin kedua. Langkah ketiga adalah menghitung nilai fungsi tujuan z = 480.000x + 560.000y untuk titik-titik akhir pada himpunan solusi.
Langkah terakhir adalah menginterpretasikan nilai maksimum fungsi tujuan sebagai solusi dari permasalahan program linier di atas. Menentukan nilai optimal suatu fungsi tujuan dengan metode pengujian titik akhir memerlukan ketelitian dan waktu tertentu. Jika diketahui fungsi tujuan suatu program linier adalah z =ax +by, maka ambillah nilai k untuk menggantikan nilai z tersebut, yaitu k1, k2, k3, .., kn.
Tugas Individu
Tentukan jumlah pakan tipe I dan pakan tipe II agar biaya pemberian pakan harian ikan lele dapat diminimalkan. Tentukan jumlah kapal pesiar Model I dan Model II yang harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan. Sehingga perusahaan akan memperoleh keuntungan yang maksimal yaitu sebesar Rp.
G Jika garis probe terjauh dari titik O(0, 0) dan melewati titik (x, y) yang terletak pada daerah himpunan solusi, maka titik (x, y) tersebut akan menjadikan fungsi tujuan menjadi mempunyai nilai maksimal. G Jika garis probe paling dekat dengan titik O(0, 0) dan melewati titik (x, y) yang terletak pada daerah himpunan solusi, maka titik (x, y) tersebut akan menyebabkan fungsi tujuan menjadi mempunyai nilai minimal.
Rangkuman
Titik-titik di setiap ujung wilayah himpunan solusi digantikan oleh fungsi z untuk menentukan titik mana yang akan mengoptimalkan fungsi z. Titik pada daerah penyelarasan yang dilalui garis probe terjauh atau paling dekat dengan titik O(0, 0) akan mengoptimalkan fungsi z. Menjawab setiap pertanyaan pada pertanyaan Tipe I membutuhkan waktu 3 menit dan menjawab pertanyaan Tipe II membutuhkan waktu 4 menit.
Jika harga tepung terigu Rp 6.000,00 per kg dan gula pasir Rp 8.000,00 per kg, berapa kg tepung terigu dan gula pasir yang harus dibeli nenek tersebut agar biaya yang dikeluarkan semurah mungkin. Di sebuah restoran, seseorang harus membayar tidak lebih dari Rp36.000 untuk 3 porsi nasi dan 6 cangkir es teh yang Anda pesan. Pelanggan di sebelahnya membayar tidak lebih dari Rp 94.000 untuk 9 porsi nasi dan 4 cangkir es teh.
Pengayaan
Matriks
Pengertian, Notasi, dan Ordo Suatu Matriks
- Pengertian Matriks
- Jenis–Jenis Matriks
- Kesamaan Matriks
- Transpose Matriks
Kita telah melihat bahwa matriks terdiri dari sekumpulan bilangan yang disusun dalam baris dan kolom. 2 adalah elemen matriks baris 1 kolom 1 kolom 5 adalah elemen matriks baris 1 baris 2 kolom 7 adalah elemen matriks baris 1 baris 3 kolom 9 adalah elemen matriks baris 2 baris 1 kolom 0 adalah elemen matriks 2 baris 2 kolom 1 adalah elemen matriks baris kedua Kolom 3 d. Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris atau matriks berorde 1 u n dengan n > 1.
Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom atau matriks berordo mu 1 dengan m > 1. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya adalah nol. Invers suatu matriks adalah matriks yang unsur-unsurnya merupakan kebalikan dari unsur-unsur matriks tersebut.
Operasi Aljabar Matriks
- Penjumlahan Matriks
- Pengurangan Matriks
- Perkalian Matriks dengan Bilangan
- Perkalian Matriks dengan Matriks
- A 3 + 2A 2 – 3A Jawab
Jika k adalah bilangan real dan A adalah matriks, maka kA adalah matriks baru yang diperoleh dengan mengalikan k dengan elemen-elemen matriks A. Operasi di atas disebut perkalian matriks, yaitu dengan mengurangkan setiap elemen pada baris pertama matriks. kalikan dengan elemen-elemen pada kolom matriks kedua, lalu jumlahkan hasilnya. Dua matriks hanya dapat dikalikan jika jumlah matriks yang akan dikalikan sama dengan jumlah baris matriks perkaliannya.
Tugas Kelompok
Determinan dan Invers Matriks
- Determinan Matriks
- Invers Matriks
Pada pembahasan berikut ini kita akan mempelajari cara menentukan determinan dan invers matriks, khususnya matriks 2 kali 2, serta cara menggunakannya untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Penentu suatu matriks adalah bilangan atau skalar yang diperoleh dari elemen-elemen matriks dengan operasi tertentu. Khusus untuk matriks 2 u 2, nilai determinannya adalah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal samping.
Untuk menentukan determinan suatu matriks berorde 3 u 3 yaitu dengan menempatkan elemen kolom pertama dan kedua di sebelah kanan kolom ketiga.
Tugas Kelompok Tugas Kelompok
Invers Matriks Ordo 3 (pengayaan)
- Pengertian Minor
- Pengertian Kofaktor
- Pengertian Adjoin
- Invers Matriks Ordo 3 × 3
- Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear
Kita telah mengetahui bahwa metode grafis, metode eliminasi, metode substitusi, dan metode campuran dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Pada subbab ini kita akan mempelajari cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel, yaitu menggunakan matriks. Arthur Cayley adalah orang pertama yang memperkenalkan matriks dalam studi sistem persamaan linier dan transformasi linier di Inggris pada tahun 1859.
Akhirnya, pada tahun 1925, 30 tahun setelah kematian Cayley, matriks diakui berperan penting dalam perkembangan mekanika kuantum. Carilah artikel di surat kabar, majalah, internet, dan lain sebagainya tentang permasalahan sehari-hari yang berbentuk sistem persamaan linear dua variabel.
Tugas Kelompok
- Kerjakan dengan benar!
Kedua tabel tersebut menunjukkan jumlah jam kerja dan upah lembur dua karyawan suatu perusahaan dalam satu minggu. Untuk mengerjakan soal A, Dewi membutuhkan waktu rata-rata 3 menit per soal dan dua kali lipat waktu rata-rata untuk soal B per soal. Sedangkan Wahyu rata-rata hanya 2 menit per nomor untuk soal A dan 5 menit per nomor untuk soal B.
Jika Dewi mampu menyelesaikan ujiannya dalam waktu 2 jam sedangkan Wahyu hanya membutuhkan waktu 1,5 jam, tentukan banyaknya soal pada kedua jenis soal ujian bahasa inggris tersebut. Dua matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Waktu yang dibutuhkan untuk memproduksi sepeda tipe I adalah 2 jam pada mesin A dan 3 jam pada mesin B, sedangkan untuk sepeda tipe II membutuhkan waktu 3 jam pada mesin A dan 2 jam pada mesin B.
Jika keuntungan pakaian dewasa sebesar Rp 20.000,00 per potong dan pakaian anak-anak sebesar Rp 10.000,00 per potong, maka besarnya keuntungan maksimal yang dapat diperoleh pedagang tersebut adalah. Setiap piring A memerlukan modal sebesar Rp 300,00 dengan keuntungan sebesar 30%, sedangkan setiap buah B memerlukan modal sebesar Rp 200,00 dengan keuntungan sebesar 40%. Modal yang tersedia setiap hari adalah Rp 100.000,00 dan maksimal Bu Sari hanya bisa membuat 200 gorengan.
Barisan dan Deret
Barisan dan Deret Bilangan
- Barisan Bilangan
Jika diperhatikan, susunan angka-angka tersebut membentuk barisan yang mempunyai pola atau aturan tertentu, yaitu penjumlahan angka sebelumnya sebanyak satu. Dalam karya terbesarnya, Liner Abaci, ia menjelaskan teka-teki yang membawanya pada apa yang kita kenal sebagai barisan bilangan Fibonacci, atau disebut juga dengan Bilangan Emas kehidupan manusia. Deret bilangan Fibonacci dapat kita telusuri pada susunan daun pada bunga atau ruas nanas atau kerucut pinus.
Ada beberapa ilmuwan terkemuka yang berjasa besar dalam perkembangan konsep barisan dan barisan, antara lain Fibonacci, Gauss, Pascal, de Morgan, dan masih banyak lagi.
Barisan dan Deret Aritmetika
- Barisan Aritmetika
- Deret Aritmetika
Suatu barisan aritmatika yang jumlah sukunya ganjil dan terdiri dari paling sedikit 3 suku mempunyai suku tengah (Ut). Jika suku terakhir barisan aritmatika adalah 492, suku pertama –3, dan suku keempat 12, tentukan banyaknya suku pada barisan tersebut.
Barisan dan Deret Geometri
- Barisan Geometri
Tugas KelompokTugas Kelompok
Deret Geometri
Di antara dua suku yang berurutan disisipkan dua suku sehingga membentuk deret geometri baru.
Deret Geometri Tak Hingga
Penerapan Deret Aritmetika dan Deret Geometri
Hari pertama ia mampu lari 2 km, hari kedua 4 km, hari ketiga 6 km, dan seterusnya. Jika perusahaan mampu memproduksi 5.000 unit barang pada bulan Januari 2008, tentukan jumlah barang yang diproduksi pada bulan Desember 2008. Setiap kali setelah dipantulkan, ketinggian bola mencapai empat perlima dari ketinggian sebelumnya.
Setiap kali setelah memantul, bola mencapai ketinggian tiga perempat dari ketinggian sebelumnya. Dalam waktu yang sama, ia mampu menempuh jarak 5 km pada hari kedua, 7 km pada hari ketiga, dan seterusnya.
Indeks
Glosarium
