Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada pimpinan dan staf Universitas Bina Nusantara dan Universitas Indonesia Esa Unggul, dimana penulis berkesempatan mengajar mata kuliah Matematika Diskrit ini, ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Penerbit Graha Ilmu yang telah kepercayaan mereka, sehingga 2. edisi buku ini dapat diterbitkan. Akhir kata, kami mengucapkan terima kasih kepada rekan pengajar mata kuliah Matematika Diskrit, khususnya Dr.
P ERNYATAAN
LOGIKA PROPOSISILOGIKA PROPOSISI
P ERNYATAAN G ABUNGAN
- Konjungsi
Beberapa pernyataan dapat digabungkan dengan konjungsi dan, atau, bukan/tidak, dan variasinya, yang selanjutnya disebut pernyataan majemuk atau pernyataan majemuk. Jika lampu B dan lampu A menyala, arus listrik dapat mengalir dari terminal positif ke terminal negatif baterai, sehingga lampu A dan B menyala. Jika bohlam B mati dan bohlam A menyala atau sebaliknya, arus tidak dapat mengalir ke baterai negatif, mengakibatkan lampu A dan B tidak menyala/mati.
Maka
Disjungsi
Jika lampu A dan lampu B menyala, arus listrik dapat bergerak/mengalir dari terminal positif ke terminal negatif sebuah baterai, sehingga lampu A dan B menyala. Jika lampu A menyala dan lampu B mati (atau sebaliknya), arus masih dapat mengalir dari terminal positif ke terminal negatif baterai.
Catatan
- Negasi
- Jointdenial (Not OR/ NOR)
- Not And (NAND)
- Exclusive or (exor)
- Exclusive NOR (ExNOR)
- T AUTOLOGI DAN K ONTRADIKSI
- Tautologi
- Kontradiksi
- K ESETARAAN L OGIS
- A LJABAR P ROPOSISI
- I MPLIKASI DAN B IIMPLIKASI
- Implikasi
Jika Microsoft Word maka sistem operasinya bukan Windows adalah pernyataan yang salah karena sistem operasi Microsoft Word adalah Windows. Jika bukan Microsoft Word, maka sistem operasi Windows adalah pernyataan yang benar karena aplikasi di bawah Windows bukan hanya Microsoft Word.
Jawab
A RGUMENTASI
- Kebenaran/Validitas Argumen
- Bentuk-bentuk Dasar Menarik Kesimpulan 1. Conjunction
Argumen di atas valid karena dengan premis yang benar semua kesimpulan juga benar. Argumen di atas tidak valid karena dengan premis yang benar kesimpulannya bisa benar atau bisa juga salah.
K UANTOR P ERNYATAAN
- Macam-macam Kuantor
- Negasi Kuantor Z
Soal - soal
H IMPUNAN
Membedakan apakah itu tautologi, kontradiksi atau bentuk proposisi lainnya, membedakan apakah proposisi itu benar atau salah, membedakan apakah kuantifiernya universal atau eksistensial. Untuk menguasai teori himpunan, kemampuan membedakan sangat diperlukan, karena himpunan merupakan kumpulan benda atau objek yang terdefinisi dengan jelas.
TEORI HIMPUNANTEORI HIMPUNAN
- Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga
- Kesamaan Dua Himpunan dan Subhimpunan
- Macam-macam Himpunan .1 Himpunan Kosong/Entry Set
- Singleton Set
- Himpunan Semesta/Universal Set
- Himpunan Kuasa
- O PERASI H IMPUNAN
- Union/Gabungan dari 2 himpunan
- Intersection/Irisan dari 2 Himpunan
- Relative Complement/Selisih Antara 2 Himpunan Selisih antara himpunan A dan B adalah himpunan yang
- Komplemen dari Himpunan
- Symmetic Difference/Beda Setangkup
- D IAGRAM V ENN
- H UKUM - HUKUM A LJABAR H IMPUNAN
- P ERHITUNGAN H IMPUNAN G ABUNGAN
- Gabungan dari 2 Himpunan
- Gabungan dari 3 Himpunan
Pelengkap/selisih relatif antara 2 himpunan Selisih himpunan A dan B adalah himpunan Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya hanya anggota himpunan A tetapi bukan anggota himpunan B. Selisih simetris himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B, tetapi bukan merupakan anggota kedua himpunan sekaligus.
S OAL - SOAL
F UNGSI KEANGGOTAAN
TEORI HIMPUNAN FUZZYTEORI HIMPUNAN FUZZY
O PERASI H IMPUNAN F UZZY
- Komplemen
- Gabungan/Union Himpunan Fuzzy
- Irisan/Intersection Himpunan Fuzzy
- Pemotongan/Cut Himpunan Fuzzy
- Scalar Cardinality
Pemotongan pada himpunan fuzzy dapat dilakukan dimana saja dalam rentang nilai derajat keanggotaan himpunan fuzzy tersebut. Dukungan untuk himpunan fuzzy hingga A dalam semesta pembahasan X adalah himpunan yang terdiri dari unsur-unsur X yang derajat keanggotaannya lebih besar dari 0. Inti himpunan fuzzy hingga A dalam semesta pembahasan X adalah himpunan yang terdiri dari unsur-unsur X yang derajat keanggotaannya sama dengan 1.
Ketinggian himpunan fuzzy dapat dilihat dari nilai derajat keanggotaan himpunan fuzzy tertinggi. Kardinalitas skalar himpunan fuzzy A dalam semesta pembahasan X adalah jumlah semua derajat keanggotaan unsur-unsur X dalam himpunan fuzzy A.
K ESAMAAN DAN H IMPUNAN B AGIAN
Z WPVWM Z
P ENGANTAR
Secara garis besar, logika lunak dipahami sebagai sistem konsep, prinsip, dan metode yang berkaitan dengan pemberian alasan yang mendekati nilai sebenarnya. Dalam pengertian sederhana dipahami sebagai logika dengan nilai kebenaran berganda dan berada pada interval antara 0 dan 1. Dalam arti luas, logika fuzzy merupakan area aplikasi dalam teori himpunan fuzzy dimana konsep, prinsip dan metode dikembangkan dalam teori himpunan fuzzy digunakan untuk merancang format pendekatan yang berbeda saat membuat keputusan.
Dalam suatu susunan yang menggunakan teori himpunan fuzzy untuk sampai pada suatu keputusan, sangat penting untuk menentukan hubungan antara derajat keanggotaan himpunan fuzzy dan derajat kebenaran proposisi fuzzy. Hubungan ini juga penting untuk mengembangkan konsep tambahan yang diperlukan untuk logika fuzzy, seperti kualifikasi, bilangan, dan probabilitas fuzzy.
LOGIKA FUZZYLOGIKA FUZZY
L OGIKA DENGAN N ILAI K EBENARAN B ERAGAM
Seperti yang kita ketahui, semua proposisi dalam logika klasik hanya memiliki 2 nilai kebenaran, yaitu true/. Logika dengan nilai kebenaran yang berbeda merupakan pengembangan dari logika klasik dengan memasukkan nilai antara antara 0 dan 1, kemudian antara 0 dan ½ dan ½ dan 1, dan seterusnya sesuai dengan situasi masalah yang dihadapi. Tujuan memasukkan nilai rata-rata ini adalah untuk memberikan nilai kebenaran suatu proposisi yang nilainya bisa setengah benar atau setengah salah, misalnya: Tadi pagi ada kecelakaan pesawat di Bandara Sukarno-Hatta. Merupakan pernyataan yang nilainya benar ½ benar atau ½ salah.
Pengaruh memiliki nilai kebenaran ½ memunculkan 5 tabel kebenaran yang ditulis oleh para ahli, yaitu Lukasiewicz, Bochvar, Kleene, Heyting dan Reichenbach, seperti terlihat pada tabel di atas. Logika fuzzy telah banyak digunakan dalam berbagai bidang khususnya layanan komputer dan teknik komputer, selain itu juga digunakan untuk membantu manusia mengambil keputusan yang tidak dapat dijawab hanya dengan Ya atau Tidak saja, seperti Fuzzy Inference System, Fuzzy Clustering, Fuzzy Databases, Fuzzy Pemrograman Linier, Masalah Transportasi Fuzzy Integer dan sebagainya.
S OAL - SOAL
P ENDAHULUAN
RELASI KLASIKRELASI KLASIK
P EMAPARAN R ELASI
- Pemaparan Koordinat
- Pemaparan Matrik
- Pemetaan
- Graph Berarah
Hubungan dapat digambarkan melalui suatu matriks, yaitu dengan nilai 1 jika terdapat hubungan antara 2 elemen pada pasangan terurut, atau O jika tidak terdapat hubungan antara 2 elemen pada pasangan terurut. Dalam suatu relasi, anggota himpunan pertama dapat diasosiasikan dengan lebih dari satu anggota himpunan kedua. Relasi biner adalah relasi yang tidak ada anggota himpunan pertama yang berasosiasi dengan lebih dari satu anggota himpunan kedua.
Garis berarah antar lingkaran menggambarkan hubungan antar anggota himpunan, sehingga pasangan anggota himpunan termasuk dalam hubungan tersebut.
O PERASI DALAM R ELASI BINARY
- Inverse Relasi (R 1 )
- Komposisi Relasi
Komposisi relasi adalah operasi penggabungan 2 relasi biner yang cocok dan membuat relasi biner baru.
E KIVALEN , K OMPATIBEL DAN O RDERING R ELASI
- Relasi Ekivalen
Perhatikan;
Relasi Kompatibel
Poset (Partially Orderet Set)
Dengan kata lain Lattice ialah beg di mana setiap 2 elemennya mempunyai lub dan glb setiap satu (single).
S OAL
D EFINISI F UNGSI
FUNGSIFUNGSI
- M ACAM - MACAM F UNGSI
- Fungsi satu-satu
- Fungsi pada
- Fungsi konstan
- Fungsi Invers
- K OMPOSISI F UNGSI
- F UNGSI K ARAKTERISTIK
- A PLIKASI A LJABAR B OOLE DALAM J ARINGAN S WITCHING
Fungsi H #→$ dikatakan sebagai fungsi satu-dengan-satu jika dan hanya jika setiap elemen set A mempunyai bayang-bayang ganjil pada elemen set B. Fungsi dikatakan fungsi jika dan hanya jika setiap elemen set B muncul sebagai bayangan sekurang-kurangnya satu elemen set A. Fungsi H #→$ dikatakan sebagai fungsi malar jika dan hanya jika terdapat hanya satu elemen set B iaitu bayang semua unsur set A.
Asumsikan bahwa fungsi f dan g pada bilangan real R# didefinisikan oleh. a) Buktikan bahwa H Z( ) adalah fungsi satu-ke-satu dan.
ALJABAR BOOLEALJABAR BOOLE
A PLIKASI A LJABAR B OOLE PADA R ANGKAIAN L OGIK (G ATE )
NOT AND (NAND)
NOT OR (NOR)
- A PLIKASI A LJABAR B OOLE DALAM O PERASI K ELIPATAN P ERSEKUTUAN K ECIL (KPK) DAN
- M INIMAL DNF (D ISJUNCTIVE N ORMAL F ORM )
- Dengan Teori Include dan Konsensus
- Peta Karnaugh
- P ENDAHULUAN
Dnf minimal adalah ekspresi Boolean yang ada dalam bentuk minimal, di mana istilah tidak ada satu sama lain. Ekspresi Boolean minimal adalah ekspresi Boolean (E) di mana semua produk dasar setidaknya dnf (tidak ada yang disertakan di yang lain). Istilah ekspresi Boolean minimal disebut implikan utama (RK) dari ekspresi Boolean (B) yang memenuhi properti. dan tidak ada produk inti lainnya yang menyertakan 2K. Jadi ekspresi Boolean minimal sama dengan jumlah implikan utamanya.
Ini adalah peta ekspresi logis yang dapat digunakan untuk menemukan implikasi utama dan ekspresi logis minimal. Gambarlah gerbang logika yang diwakili oleh ekspresi Boolean di bawah ini, kemudian sederhanakan dan gambarlah bentuk sederhananya. A.
TEORI GRAPHTEORI GRAPH
- M ACAM - MACAM G RAPH
- K ONEKSITAS
- B ERKAITAN DENGAN J ARAK
- D ERAJAT /D EGREE SUATU T ITIK
- T ITIK P OTONG G RAPH (C UT P OINT )
- U KURAN SECARA G RAFIKAL
- M ATRIK G RAPH
Graf jamak adalah graf yang memiliki satu atau lebih pasang sisi rangkap yang menghubungkan 2 simpulnya. Graf yang dapat dilalui adalah graf yang semua sisinya dapat dilintasi satu kali, atau graf yang dapat digambar tanpa mengangkat pensil. Graf Euler adalah graf yang semua sisinya dapat dilalui satu kali dan memiliki lintasan tertutup, artinya titik awalnya sama dengan titik akhirnya.
Grafik Hamiltonian adalah grafik yang semua titiknya dapat dilewati satu kali dan masing-masing memiliki lintasan tertutup, yang berarti titik awalnya sama dengan titik akhirnya. Pusat grafik adalah titik-titik yang nilai eksentrisitasnya sama dengan nilai jari-jarinya.
Cara mengisi elemen-elemen matrik
- L ABELED D IGRAPH
- D ERAJAT T ITIK PADA D IAGRAPH
- G RAPH B IDANG (P LANAR G RAPH )
- P EWARNA P ETA
Sisi-sisi suatu graf juga dapat diberi arah untuk menggambarkan logika sistem berarah, graf semacam itu disebut digraf, sisi berarah sering disebut arcus. Graf adalah graf planar jika sisi-sisinya terletak pada bidang lurus dan tidak berpotongan satu sama lain kecuali di titik-titik. Dua titik yang dihubungkan oleh satu atau lebih sisi tidak boleh memiliki warna yang sama (pewarnaan titik).
Dua sisi atau lebih yang bertemu pada satu titik tidak boleh berwarna sama (pewarnaan sisi). Saat mewarnai peta, gunakan warna optimal, artinya warna kedua diterapkan setelah warna pertama tidak dapat digunakan lagi, begitu seterusnya hingga semua titik/tepi/daerah diwarnai.
Mewarnai titik
Mewarnai rusuk
P OHON /T REE
- Pohom Berurut Berakar (Orderd Rootes Tree)
Pada grafik di bawah ini, titik-titik mewakili mis. kota dan tepinya mewakili jaringan jalan raya yang akan dibangun dengan bobot/label yang mewakili jadwal biaya antar kota dan kemudian untuk mencari biaya minimum jadwal pembangunan jalan yang menghubungkan semua kota diperlukan pohon merentang minimum. Pohon merentang minimal, menggambarkan jaringan jalan raya yang menghubungkan 9 kota dengan biaya minimum pohon berakar. Pusat gravitasi pohon di atas adalah 16, karena 16 adalah bobot minimum semua titik.
Bentuk awalan adalah cara penulisan pernyataan aritmatika dengan menempatkan simbol operator di depan argumen, dimulai dari akar, ke cabang kiri, ke cabang kiri, dan seterusnya sampai selesai kemudian pindah ke kanan cabang. Hasil kajian panjang jalan tol yang akan dibangun tercantum dalam tabel berikut: ..berarti jalan tol tidak mungkin dibangun karena alasan geografis.
P ENDAHULUAN
MESIN MATEMATIKAMESIN MATEMATIKA
F INITE S TATE A UTOMATA (FSA)
- Menggambarkan FA dengan Digraph
- Menggambarkan FA dengan definisi Formal 5-Tuple
- Menggambarkan FA dengan Tabel State
- Non-Deterministik Finite Automata (NFA)
Seperti yang telah dibahas pada bab 8 bahwa graf adalah himpunan titik dan rusuk, maka menggambar FA dengan di-graf berarti menggambar FA dengan titik dan rusuk berarah. Bagaimana cara membuat FA dengan digraf sebagai model matematis untuk soal check bit ini. Karena hanya ada dua state, transisi yang mungkin adalah transisi ke state lain atau ke state itu sendiri.
Data pertama 0, Jadi ke data Jadi kedua 0, Jadi ke data Jadi ketiga 1, Jadi ke S1 Data keempat 0, S1 ke S1 Data kelima 0, S1 ke S1 Data Keenam 1, S1 lompat ke Jadi data ketujuh 0, Jadi lompat ke kedelapan Jadi Data 0, Jadi lompat ke kesembilan Jadi Data 1, Jadi lompat ke S1. Mendeskripsikan FA dengan tabel status adalah membuat matriks FA, di mana baris mewakili transisi status dengan input berbeda dan kolom mewakili transisi status dengan satu input.
Latihan
Semua aturan yang berlaku pada finite automata deterministic atau sering disebut finite automata juga berlaku pada finite automata non-deterministic, bedanya NFA memungkinkan adanya kemungkinan lebih dari satu transisi untuk setiap input yang kita berikan pada suatu state. Gambar ulang FA dalam bentuk definisi formal di bawah ini dengan digraf dan tabel status. Jelaskan keadaan hingga dengan semua input yang mungkin pada mesin jaja dengan:. diagram, tabel keadaan dan definisi formal.
Gambarlah dengan diagram, tabel keadaan, dan definisi formal mesin telepon koin automata keadaan terbatas dengan semua input yang mungkin terjadi. lalu masukkan koin dan tidak ada uang kembali. dengan diagram, tabel keadaan dan definisi formal) 7. Semua aturan yang berlaku pada finite automata deterministic atau sering disebut finite automata juga berlaku pada finite automata non-deterministic, bedanya NFA memperbolehkan lebih dari satu transisi per setiap masukan yang kita berikan kepada suatu negara.
Difinisi
Perhatikan NFA diatas, dalam keadaan So, jika mendapatkan input 0, maka fungsi transisi bisa ke S1 atau S2.
