Oleh : Een Mardiyanti, M.Pd
MATRIKS
1. Pengertian Matriks
Matriks adalah : kumpulan bilangan ( atau unsur) yang disusun menurut baris dan kolom.
Bilangan bilangan yang tersusun tersebut disebut elemen – elemen atau komponen – komponen matriks.
Nama sebuah matriks dinyatakan dengan huruf kapital.
Banyak baris x banyak kolom dari suatu matriks disebut Ordo matriks atau ukuran matriks.
1. Perhatikan contoh berikut :
Kolom kolom kolom kolom 1 2 3 4
Matriks A tersebut terdiri dari 3 baris dan 4 kolom.
Matriks A tersebut disebut berordo 3 x 4, atau dapat ditulis dengan A(3 x 4)
=
7 4
6 3
6 5
0 2
4 5
2 1
A
3 2 1
baris
baris
baris
• Secara umum Matriks dapat dituliskan sebagai berikut :
Dalam hal ini a
ijdisebut elemen matriks pada baris ke I dan kolom ke j.
=
m n m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
Dalam hal ini aij disebut elemen matriks pada baris ke I dan kolom ke j.
Elemen matriks : aij
Susunan bilangan atau nilai aij {bilangan riil atau kompleks}
Ukuran matriks : Jumlah baris : m Jumlah kolom : n
Ordo atau ukuran matriks : m x n
Elemen-elemen diagonal : a11, a22,….,ann:
2. Beberapa Jenis Matriks Khusus
Matriks Nol ( 0 )
Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol.
Contoh 1 :
=
0 0
0 A 0
=
0 0
0 0
0 0
B
=
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0 0
0 C
Matriks Identitas/ matriks satuan ( I )
Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen – elemen pada diagonal utamanya bernilai satu.
Contoh 5 :
=
1 0
0 A 1
=
1 0
0
0 1
0
0 0
1
B
=
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0
0 1
C
3. OPERASI PADA MATRIKS
1. Penjumlahan dan Pengurangan dua matriks.
Dua buah matriks ( A dan B ) dapat dijumlahkan dan dikurangkan ababila
kedua matriks berordo sama ( berukuran
yang sama ).
Secara umum dapat dituliskan sbb :
Jadi A + B = +
A + B =
nm n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
=
nm n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
nm n
n
n n
b b
b
b b
b
b b
b
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
=
nm n
n
n n
b b
b
b b
b
b b
b B
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+ +
+
+ +
+
+ +
+
nm nm
n n
n n
n n
n n
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
...
...
...
...
...
...
...
2 2
1 1
2 2
22 22
21 21
1 1
12 12
11 11
Dan A – B dapat dinyatakan sbb :
A – B = -
A – B =
nm n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
nm n
n
n n
b b
b
b b
b
b b
b
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
−
−
−
−
−
−
−
−
−
nm nm
n n
n n
n n
n n
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
...
...
...
...
...
...
...
2 2
1 1
2 2
22 22
21 21
1 1
12 12
11 11
Contoh 8 :
Diketahui matriks : dan Tentukan : a. A + B
b. A - B Jawab : a.
=
8 7
4
3 2
A 9
=
0 1
2
1 6
B 3
+
=
+ 2 2 0
1 6
3 8
7 4
3 2
B 9 A
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) =
+ +
+
+ +
= +
+ 6 9 8
4 8
12 0
8 2
7 2
4
1 3
6 2
3 B 9
A
Jawab b.
−
=
− 2 2 0
1 6
3 8
7 4
3 2
B 9 A
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) = −
−
−
−
−
−
= −
− 2 5 8
2 4
6 0
8 2
7 2
4
1 3
6 2
3 B 9
A
SIFAT – SIFAT PADA
PENJUMLAHAN MATRIKS
1. Sifat komutatif : A + B = B + A
2. Sifat Asosiatif : (A + B)+C=A+(B+C) 3. Sifat identitas (0): A+0 = 0+A = A
4. Sifat lawan (-A) : A+(-A) = 0
SOAL
Diketahui :
Tentukanlah matriks berikut jika ada ? a. A + B b. A + C
c. C + D d. D + C e. A – B f. B – A g. C – D h. D - C
−
= −
=
=
=
8 7
11
; 4 1
3
2 1
21 17
15
13 12
; 10 9
6 4
5 2
1
D C
B A
• Jawab :
b) A + C tidak ada karena ordonya tidak sama.
= +
+ +
+
+ +
= +
+
= +
30 23
19
18 14
11
21 9
17 6
15 4
13 5
12 2
10 1
21 17
15
13 12
10 9
6 4
5 2
) 1
B A
B A a
−
= − +
− + +
+
−
= +
− + −
= +
7 10
13 3
) 8 ( 1
7 3
11 2
) 4 ( 1
8 7
11 4
1 3
2 ) 1
D C
D C
c
−
= − +
+
− +
+ +
= −
+
−
= − +
7 10
13 3
1 )
8 ( 3
7
2 11
1 4
1 3
2 1
8 7
11 ) 4
D C
C D
d
−
−
−
−
−
= −
−
−
−
−
−
−
= −
−
=
−
12 11
11
8 10
9
21 9
17 6
15 4
13 5
12 2
10 1
21 17
15
13 12
10 9
6 4
5 2
) 1
B A
B A e
=
−
−
−
−
−
−
= −
−
=
−
12 11
11
8 10
9
9 21 6
17 4
15
5 13 2
12 1
10 9
6 4
5 2
1 21
17 15
13 12
) 10
A B
A B
f
−
= −
−
−
−
−
−
−
= −
−
− −
=
−
9 4
9 5
) 8 ( 1 7
3
11 2
) 4 ( 1 8
7
11 4
1 3
2 ) 1
D C
D C
g
−
= −
−
−
−
−
−
−
= −
−
−
= −
−
9 4
9 5
1 )
8 ( 3
7
2 11
1 4
1 3
2 1
8 7
11 ) 4
C D
C D
h
2. Perkalian Skalar dengan matriks
Jika skalar dikalikan dengan matriks maka akan
diperoleh sebuah matriks yang elemen – elemenya merupakan perkalaian skalar tersebut dengan setiap elemen matriks.
Secara umum dapat dituliskan :
Jika
=
nm n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
Maka k x A dapat dituliskan sebagai berikut : K x A = k x
nm n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
=
nm n
n
n n
a k a
k a
k
a k a
k a
k
a k a
k a
k A
k
. ...
. .
...
...
...
...
. ...
. .
. ...
. .
.
2 1
2 22
21
1 12
11
Contoh 9:
Dikeahui :
Tentukanlah nilai dari 3A ? Jawab :
=
8 7
4
3 2
A 9
=
=
8 . 3 7
. 3 4
. 3
3 . 3 2
. 3 9
. 3 8
7 4
3 2
. 9 3 3 A
=
24 21
12
9 6
3 A 27
SIFAT – SIFAT PADA PERKALIAN SKALAR DENGAN MATRIKS :
1. kA = A.k ( sifat komutatif )
2. K(A + B ) = k.A + k.B ( Sifat distributif) 3. K(A – B ) = k.A – k.B (sifat distributif ) 4. K(lA) = (kl)A
5. (k+l)A = kA + lA 6. 1A = A
7. (-1)A = -A
• Contoh : 1. 2A = A.2
2. 3(A + B ) = 3.A + 3.B 3. 5(A – B ) = 5.A – 5.B dll
3. Perkalian Dua Matriks
Dua buah matriks ( A dan B ) dapat dikalikan ( A x B ) Jika banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B.
Misalnya : A(n,m) dan B(m,k) maka A x B dapat dikalikan.
Jika matriks A dan B dinyatakan dengan SBB :
=
nm n
n
m m
a a
a
a a
a
a a
a A
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
=
m k m
m
k k
b b
b
b b
b
b b
b B
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
Jadi A x B dapat dinyatakan sbb :
C = A x B = x
nm n
n
m m
a a
a
a a
a
a a
a
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
mk m
m
k k
b b
b
b b
b
b b
b
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
=
nk n
n
k k
c c
c
c c
c
c c
c C
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
maka :
C=AXB= X
c11 = a11 x b11 + a12 x b21 + …. + a1m x bm1 c12 = a11 x b12 + a12 x b22 + ….. + a1m x bm2 .
. .
c1k =a11 x b1k + a12 x b2k + ….+ a1m x bmk cij = ai1 x b1j + ai2 x b2j + …..+ aim x bmj
nm n
n
m m
a a
a
a a
a
a a
a
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
m k m
m
k k
b b
b
b b
b
b b
b
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
Contoh 10 :
Diketahui : dan
• Tentukanlah A x B = ? Jawab :
Dari soal diatas diketahui :
a11 = 1 , a12 = 2 ; a21 = 3 ; a22 = 4
b11 = 5 ; b12 = 6 ; b13 = 9 ; b21 = 7 ; b22 = 8 ; b23 = 0
=
4 3
2
A 1
=
0 8
7
9 6
B 5
=
=
23 22
21
13 12
11
0 8
7
9 6
. 5 4 3
2 1
c c
c
c c
AxB c
dimana :
a
11= 1 , a
12= 2 ; a
21= 3 ; a
22= 4
b11 = 5 ; b12 = 6 ; b13 = 9 ; b21 = 7 ; b22 = 8 ; b23 = 0 c11 = a11 x b11 + a12 x b21 =1.5 + 2.7 = 5 + 14 = 19 c12 = a11 x b12 + a12 x b22 = 1.6 + 2.8 = 6 + 16 = 22 c13 = a11 x b13 + a12 x b23 = 1.9 + 2.0 = 9 + 0 = 0
c21 = a21 x b11 + a22 x b21 = 3.5 + 4.7 = 15 + 28 = 43 c22 = a21 x b12 + a22 x b22 = 3.6 + 4.8 = 18 + 32 = 50 c23 = a21 x b13 + a22 x b23 = 3.9 + 4.0 = 27
Maka :
=
=
27 50
43
0 22
19 0
8 7
9 6
. 5 4
3
2
AxB 1
SIFAT – SIFAT PERKALIAN PADA MATRIKS
1. Perkalian pada matriks umumnya tidak komutatif.
2. Perkalian pada matriks bersifat Asosiatif.
3. Perkalian matriks bersifat Distributif.
Distribusi kiri : Distribusi kanan :
4. Dalam perkalian matriks yang hanya memuat matriks-matriks persegi dengan ordo yang
sama, terdapat sebuah matriks Identitas yakni matriks satuan I, yang bersifat :
A B
B
A • •
( A • B ) • C = A • ( B • C )
(B C) A B A C
A• + = • + •
A I
A A
I • = • =
(
B+C)
• A = B• A+C • ASIFAT TAMBAHAN PADA PERKALIAN MATRIKS
5. (a) Jika , belum tentu A = 0 atau B = 0
(b) Jika , belum tentu B = C
6. Jika p dan q adalah bilangan-bilangan real serta A dan B adalah matriks-matriks, maka berlaku :
7. Jika At dan Bt berturut-turut adalah transpos dari matriks A dan matriks B, maka berlaku hubungan :
= 0
•B A
C A B
A• = •
( ) ( ) ( )( pA • qB = pq A • B )
(
A• B)
t = Bt • Atsoal
• Diketahui matriks :
• Tentukanlah tiap hasil kali matriks ( jika mungkin) ?
• a. CA c. AC e. BC
• b. CB d. AB f. BA
−
= −
−
=
−
−
= 2 5 1
6 0
; 3
4 3
; 6
11
4 1
0 3
C x
B A
TRANSPOS MATRIKS
Pengertian Transpos Matriks
Transpos dari suatu matriks merupakan
pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris.
Transpos dari matriks A dinotasikan dengan AT atau At atau .
Jika matriks A dinyatakan dengan : A
=
nm n
n
m m
a a
a
a a
a
a a
a A
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
Maka tranpos dari matriks tersebut dinyatakan dengan :
AT =
Contoh 12:
Jika
Tentukanlah transpos dari matriks diatas ( AT) ?
=
8 7
4
3 2
A 9
m n n
n
m m
a a
a
a a
a
a a
a
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
12
1 21
11
Jawab :
maka AT =
Jika A = AT maka A disebut matriks Simetri.
Contoh 13 :
Jika , Tentukanlah AT ? Jawab :
AT =
Karena A = AT maka matriks A tersebut merupakan matriks simetris.
=
8 7 4
3 2 A 9
8 3
7 2
4 9
=
7 4 3
4 5 2
3 2 1 A
7 4 3
4 5 2
3 2 1
5. KESAMAAN MATRIKS
Defenisi :
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, Jika dan hanya jika kedua matriks itu mempunyai ordo yang sama dan elemen-lemen yang bersesuaian bernilai sama.
Diketahui : dan
Jika A = B maka sama
d c
b a
=
d c
b
A a
=
s r
q B p
s r
q p
Contoh 13 :
Diantara matriks-matriks berikut ini manakah yang sama ?
Jawab :
Karena ada elemen yang bersesuaian tidak sama maka matriks A tidak sama dengan matriks B ( )
= −
5 4
3
A 1
= − 5 1
4
B 3
= −
5 4
3 C 1
= −
5 4
3
A 1
= − 5 1
4 B 3
B
A
= −
5 4
3
A 1
= −
5 4
3 C 1
= − 5 1
4 B 3
Jadi karena semua elemen yang bersesuaian bernilai sama maka matriks A sama dengan matriks B ( A = B )
= −
5 4
3 C 1
Jadi karena ada elemen yang bersesuaian bernilai tidak
sama maka matriks A tidak sama dengan matriks B ( )
A B
DETERMINAN MATRIKS
Pengertian Determinan :
Determinan suatu matriks dinyatakan dengan Selisih Jumlah hasil kali antara diagonal utama dengan diagonal
sekundernya.
Jadi matriks yang memiliki nilai
determinan hanyalah matriks yang
berbentuk bujur sangkar.
Jika nilai determinan suatu matriks bernilai nol, maka matriks tersebut disebut
matriks Singuler.
Matriks singuler tidak memiliki invers / kebalikan.
Determinan suatu matriks A dinyatakan dengan det (A) atau
Untuk matriks yang berordo 2x2 :
Jika maka determinan dari matriks Tersebut dinyatakan dengan :
det (A) = (axd) – (bxc)
A
=
d c
b
A a
Contoh 14 :
Diketahui , Tentukan determinan A?
Jawab :
=
7 6
5 A 4
2 30
28 )
6 . 5 ( )
7 . 4 7 (
6
5
4 = − = − = −
=
A
Untuk matriks yang berordo 3x3 :
Jika maka determinannya
dinyatakan dengan :
(-) (-) (-) a b c a b A = d e f d e
g h i g h (+) (+) (+)
Dimana :
Det (A) = + (axexi) + (bxfxg) + (cxdxh) - (cxexg) - (axfxh) - (bxdxi) Det (A) = ((axexi)+(bxfxg)+(cxdxh))-((cxexg)+(axfxh)+(bxdxi))
=
i h
g
f e
d
c b
a A
Contoh 15 :
Diketahui ,Tentukan nilai determinannya ?
Jawab:
Det (A) = (2.2.3)+(1.1.5)+(4.4.1)-(4.2.5)-(2.1.1)-(1.4.3)
= 12+5+16-40-2-12
= -21
) ( ) ( )
(
1 5
3 1
5
2 4
1 2
4
1 2
4 1
2
) ( )
( )
(
+ +
+
=
−
−
− A
=
3 1 5
1 2 4
4 1 2 A
INVERES MATRIKS
1. Pengertian invers matriks.
Jika suatu matrik A dikalikan dengan
matriks B yang berordo sama sehingga diperoleh hasil perkaliannya merupakan matriks identitas, maka matriks B tersebut disebut invers dari matriks A.
Invers dari matriks A dapat dituliskan
dengan bentuk A
-1.Untuk matriks berordo 2x2
Jika matriks A dinyatakan dengan :
Maka invers dari matriks tersebut dinyatakan dengan :
=
d c
b A a
−
= −
−
a c
b d
A A
det
1 1
Contoh 16 :
Tentukanlah invers dari matriks : Jawab :
Det (A) = 4.3 – 2.5= 12 – 10 = 2
=
3 5
2 A 4
−
= −
−
= −
−
= −
−
2 1 4
5
2 3
2 1 det
1
2 5 2 3 1
a c
b d
A A
2. Dua Matriks saling Invers.
Defenisi :
Jika A dan B masing-masing adalah matriks persegi dan mempunyai ordo yang sama, serta berlaku hubungan
maka B adalah invers dari A dan A juga invers dari B, dengan demikian kedua vektor disebut saling Invers.
I A
B B
A • = • =
Contoh 17 :
Diketahui matriks - matriks : dan
Perlihatkanlah bahwa B adalah invers dari A dan A adalah invers dari B ?
Jawab :
Dari perhitungan diatas dapat dilihat bahwa
oleh karena itu dapat dikatakan bahwa matriks A invers dari B dan B juga invers dari A
=
4 7
5
A 9
−
= −
9 7
5 B 4
I B
A =
=
−
−
=
• 0 1
0 1 9
7
5 4
4 7
5 9
I A
B =
=
−
= −
• 0 1
0 1 4
7 5 9 9
7
5 4
I A
B B
A• = • =
SIFAT-SIFAT INVERS PADA MATRIKS
Jika A dan B adalah matriks persegi
berordo dua yang tak singuler, A
-1dan B
-1berturut-turut adalah invers dari A dan B maka berlaku :
( ) ( )
( ) ( )
1 1 11 1 1
−
− −
−
− −
•
=
•
•
=
•
B A
A B
ii
A B
B A
i
8. PERSAMAAN MATRIKS
Defenisi :
Jika A, B, dan X adalah matriks-matriks
persegi berordo dua, A adalah matriks tak- singuler dengan invers A
-1, maka
penyelesaian persamaan matriks :
1 1
−
−
•
=
=
•
•
=
=
•
A B
X atau
B A
X
dan
B A
X atau
B X
A
Contoh 18 :
Diketahui matriks-matriks : dan
Tentukanlah matriks X berordo (2x2) yang memenuhi persamaan
a) b) Jawab :
a) Untuk persamaan matriks
penyelesaiannya adalah :
=
5 7
2
A 3
=
3 2
1 B 5
B X
A • = X • A = B
( )
−
= −
=
−
=
= −
3 7
2 , 5
1 14
5 15 7
2
det A 3 sehingga A 1
B X
A • =
b) Untuk persamaan matriks , penyelesaiannya adalah :
B A
X • =
( ) ( )
( ) ( )
−
= −
+
− +
−
− +
−
= +
−
= −
•
=
−2 29
1 21
9 )
7 ( 6
) 35 (
) 6 ( 5 )
4 ( 25
3 2
1 5
3 7
2
1
5
X
B A
X
( ) ( )
( ) ( )
−
= −
+
−
− +
+
−
−
= +
−
−
=
•
=
−5 11
7 18
9 )
4 ( )
21 (
10
3 )
10 (
) 7 ( 25 3
7
2 5
3 2
1
1
5
X
A B
X
• Untuk mempelajari tentang invers matriks lebih lanjut, Anda harus memahami bagaimana cara
menentukan invers dari suatu matriks.
Contoh 19 :
Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier dua peubah berikut :
Jawab :
Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier itu, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut :
1) ubah sistem linier kebentuk matriks, 2) selesaikan secara matriks.
