Menyelesaikan Persoalan Persamaan Differensial Biasa Metode Non Eksak dengan Menggunakan Aplikasi Maple

(1)

Lembar Kerja Praktikum Angkatan 2020 Semester III

Lembar Kegiatan Mahasiswa I. Tujuan Praktikum

Mahasiswa dapat menentukan solusi Persamaan Diferensial Biasa Metode non eksak dengan menggunakan aplikasi Maple.

Mahasiswa dapat menerapkan teknik-teknik penentuan solusi PDB dalam menyelsaikan berbagai masalah yang melibatkan PDB dalam kehidupan sehari-hari.

II. Materi

A. Solusi/Penyelesaian Persamaan Diferensial Biasa Orde 1 metode non eksak menggunakan Maple

Misalkan diberikan PDB orde 1 dalam bentuk

( )

^,

( )

^, ^{0 ... 1}

( )

M x y dy+N x y dx=

Persamaan differensial di atas dikatakan PDB Orde 1 non Eksak jika

(

^,

) (

^,

) ( )

^{... 2}

dM x y dN x y

dx  dy

Jika bentuk persamaan : M x y dy( , ) +N x y dx( , ) =0, apabila tidak memenuhi syarat eksak, maka persamaan tersebut bukan persamaan diffrensial eksak. Kita harus membuat persamaan diatas menjadi persamaan eksak. Kita harus membuat persamaan di atas menjadi persamaan eksak dengan cara mengalikan persamaan tersebut dengan factor integrasi U sehingga di peroleh : UM x y dx UN x y dy( , ) + ( , ) =0

Yang menyebabkan :

( ) ( )

(eksak)

...(1)

UM UN

y x

M U N U

U M U N

y y x x

 

=

+ = +

   

Materi : Menyelesaikan Persoalan Persamaan Differensial Biasa Metode Non Eksak dengan Menggunakan Aplikasi Maple

Praktikum : 6 Kelas : A

Tanggal : Jumat, 15 Oktober 2021

 

   

(2)

Selanjutnya akan dicari U dari :

a. Bila faktor integrasi hanya bergantung dari x

( ) U U, dan U 0...(2) U U x

x x y

  

= → = =

  

Dari persamaan 1 dan 2 diperoleh :

M N y x N dx

U e

 −

 

= 

b. Bila faktor integrasi hanya bergantung dari y

( ) U U, dan U 0...(3) U U y

y y x

  

= → = =

  

Dari persamaan 1 dan 2 diperoleh :

M N y x M dy

U e

 −

 

 −

=

c. Bila faktor integrasi hanya bergantung dari xy 𝑈 = 𝑈(𝑧) = (𝑥𝑦) → 𝜕𝑧

𝜕𝑥= 𝑦 dan ∂z

∂y= 𝑥

𝜕𝑈

𝜕𝑥 = 𝜕𝑈

𝜕𝑧∙𝜕𝑧

𝜕𝑥= 𝑈^′(𝑧) ∙ 𝑦

∂U

∂y =∂U

∂z ∙∂z

∂y= 𝑈′(𝑧) ∙ 𝑥

Dari persamaan 1 dan 2 diperoleh : 𝑈 (𝜕𝑀

𝜕𝑦 −𝜕𝑀

𝜕𝑥) = 𝑁𝑈^′(𝑧)𝑦 − 𝑀𝑈^′(𝑧)𝑥

= 𝑈^′(𝑧)(𝑁𝑦 − 𝑀𝑥) U′(z)

𝑈 = (𝜕𝑀

𝜕𝑦 −𝜕𝑀

𝜕𝑥) (𝑁𝑦 − 𝑀𝑥)

Langkah penyelesaian PDB Orde 1 non eksak :

1. Tentukan ^{M x y}

( )

^, ^dan^{N x y}

( )

^, , tentukan juga M dan N

y x

 

(3)

2. Pastikan PDB tersebut tidak memenuhi kriteria eksak, langkah ini dapat dicek menggunakan Maple yaitu dengan perintah odeadvisor(pd,[exact]);

(

^,

) (

^,

)

dM x y dN x y

dx  dy

3. Mencari faktor integrasi

( )

^,

( )

^, ⁰

I M x y dy +N x y dx=

4. Kalikan faktor integrasi terhadap persamaan yang diketahui sehingga membentuk persamaan baru.

( )

^,

( )

^, ⁰

I M x y dy + I N x y dx=

5. Cek persamaan baru dengan odeadvisor sehingga persamaan baru menjadi persamaan eksak.

6. Menentukan solusi umum dari persamaan baru yang terbentuk dengan menggunakan perintah pada maple dalam PD eksak.

➢ Kode Maple

Kode Maple Fungsi

Restart Kode untuk memulai block dokumen baru

with(DEtools) Package Maple untuk masalah persamaan diferensial diff(f,x) Melakukan diferensial fungsi f terhadap variabel x int(f,x) Melakukan integral fungsi f terhadap x

Dsolve Package untuk menyelesaikan persamaan diferensial simplify(f) Menampilkan bentuk fungsi f yang paling sederhana implicit(f) Menampilkan fungsi f secara implicit

Odeadvisor Package untuk mengecek jenis Persamaan Diferensial

(4)

Contoh :

1. Carilah solusi umum dari persamaan differensial non eksak berikut. (factor integrasi terhadap x)

(

⁵^x²⁻^y²

)

^dx⁺

^{( )}

²^{y dy}⁼⁰

2. Carilah solusi umum dari persamaan differensial non eksak berikut. (factor integrasi terhadap x)

(

⁵^x²⁻^y²

)

^dx⁺

^{( )}

²^{y dy}⁼⁰

Penyelesaian contoh 1 :

(5)

Penyelesaian Contoh 2:

(6)

Contoh :

Disediakan persamaan differensial 4ydx−4(x+6y dy²) =0 (faktor integrasi terhadap y) Tentukan solusi umumnya!

Penyelesaian :

a. Bukalah program maple lalu ketikkan kata “restart” lalu enter dan kemudia ketikkan “with(DEtools):” seperti gambar dibawah ini :

b. Kemudian ketikkan persamaan 4ydx−4(x+6y dy²) =0dengan menentukan M dan N nya terlebih dahulu. Pada persamaan ini didapatkan M =4ydan

4( 6 2)

N = − x+ y . Sehingga pada maple dituliskan “M:=(x,y)->4*y;N:=(x,y)->- 4*x-24*y^2;” dan ketikkan “pers:=M(x,y(x))+N(x,y(x))*diff(y(x),x);” sehingga didapatkan sebagai berikut :

c. Setelah itu untuk memeriksa persamaan tersebut eksak atau tidak, ketikkan

“odeadvisor(pers,[exact]);”

(7)

d. Jika tertera [NONE], maka artinya persamaan tersebut non eksak. Kita harus mengeksakannya dengan syarat “terhadap y‟, maka ketikkan perintah seperti dibawah ini untuk menentukan persamaan eksaknya

e. Kemudian untuk mendapatkan solusi umum, gunakan perintah “simplify” untuk mencari solusi umumya

(8)

Contoh Soal:

Disediakan persamaan diferensial 𝑦(5𝑥³𝑦²− 2)𝑑𝑥 + 𝑥(5𝑥²𝑦³− 2)𝑑𝑦 = 0. Tentukan solusi umumnya. Kerjakan dengan menggunakan program Maple! (terhadap xy)

Penyelesaian:

(9)

Latihan Soal

1. Carilah Solusi umum dari persamaan diferensial berikut (terhadap x).

a. ⁽⁴^xy⁺³^y² ⁻^{x dx}⁾ ⁺^{x x}

(

⁺²^{y dy}

)

⁼⁰

b. (x² −1)dx+(x dy²) =0

2. Kerjakan 2 soal dari 5 soal berikut. Carilah solusi umumnya (terhadap y) menggunakan maple!

a. (2+y dx) −xdy=0 b. y dx² +(xy−1)dy=0

c. (x+ +y 1)dx+x x( +3y+2)dy=0

d. ( ² ) 4 ³ ²4 0

2

x x

y e +xy dx+ ye + x y dy = e. 2y dx² = −(2x+3xy+2 )y dy

3. Disediakan persamaan diferensial (𝑥²𝑦 + 2𝑥𝑦²+ 2𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥³+ 2𝑥²𝑦 + 3𝑥)𝑑𝑦 = 0. Tentukan solusi umum dan solusi khususnya jika C1=20. Kerjakan dengan menggunakan program Maple! (terhadap xy)

Note : Total soal yang dikerjakan ada 5. Dikerjakan dan dikumpulkan dalam satu file maple ya ! Selamat mengerjakan^_^

Cecak apa yang bisa bikin bahagia? cecak napas melihat senyummu, hiyaa.. hiyaa..