PERAMALAN DAN EVALUASI KEBIJAKAN
A R I M A (METODE BOX JENKINS)
Pengertian
• ARIMA (autoregressive integrated moving average) dapat diartikan sebagai gabungan dua model, yaitu Model Autoregressive (AR) dan Moving Average (MA).
• Model ini tidak mempunyai suatu variabel yang berbeda sebagai variabel bebas, tetapi menggunakan informasi dalam bentuk time series yang sama untuk membentuk model, yang pada akhirnya sangat bermanfaat untuk peramalan.
• Model AR berbentuk hubungan antara variabel terikat Y dengan variabel bebas yang merupakan nilai Y pada waktu sebelumnya.
• Model MA menunjukkan ketergantungan variabel terikat Y terhadap nilai nilai residual pada waktu sebelumnya secara berurutan. Gabungan kedua model inilah yang sangat berguna dalam menganalisis time series, dengan sebutan ARIMA.
• Teknik Box-Jenkin digunakan untuk gerakan variabel- variabel ekonomi yang diteliti seperti pergerakan nilai tukar, harga saham dan inflasi yang seringkali sulit dijelaskan oleh teori-teori ekonomi
• Model ARIMA umumnya dituliskan dengan notasi ARIMA (p,d,q). p adalah derajat proses AR, d adalah orde pembedaan, dan q adalah derajat proses MA.
Adanya nilai pembedaan (d) pada model ARIMA
disebabkan aspek aspek AR dan MA hanya dapat
diterapkan pada data time series yang stasioner.
Model Dan Sifat Sifatnya
• Model model yang dapat menjelaskan pergerakan suatu data time series dengan cara menghubungkan data tersebut dengan : (i) data masa lalu(AR) dan/atau (ii) deviasi random saat ini dan masa lalu (MA). Secara spesifik yang akan dianalisis :
(a) Model MA sederhana untuk proses stasioner (b) Model AR sederhana untuk proses stasioner
(c) Model model campuran antara AR dan MA untuk proses stasioner
(d) Model integrasi antara AR dan MA untuk proses tidak stasioner
Model-model moving average
• Model MA mempunyai ordo (q), sehingga model tersebut biasanya dituliskan sebagai MA(q). Model MA ini menyatakan bahwa nilai prediksi variabel dependen Yt hanya dipengaruhi oleh nilai residual sebelumnya atau tiap-tiap observasi dibentuk dari rata-rata tertimbang deviasi (disturbance) q periode sebelumnya atau model MA tingkat pertama atau disingkat MA(1). Model MA(1) dapat ditulis dalam persamaan sebagai berikut :
Yt = α0 + α1et + α2et-1 (1)
Dimana : et = residual
et-1 = lag tingkat pertama residual
secara umum model MA dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan sebagai berikut :
Yt= α0 + α1et – α 2et-1 – α3et-2 – ...+ αqe1-q (2)
α0 , α1, α 2 , α3 , αq = parameter yang dapat bersifat positif dan negatif et-1 , et-2, e1-q = lag dari residual
q = tingkat/orde MA
Model autoregressive (AR)
• Model AR menunjukkan nilai prediksi variabel dependen Yt hanya merupakan fungsi linear dari sejumlah Yt aktual
sebelumnya. Misalnya nilai variabel dipenden Yt hanya dipengaruhi oleh nilai variabel tersebut satu periode
sebeumnya maka model ini disebut model autoregresive tingkat pertama: model ini dapat ditulis sebagai berikut :
Yt = β0+ β1Yt-1+et (3) Dimana :
Y = variabel dependen
Yt-1 = periode sebelumnya(Lag) dari Y
• Secara umum bentuk umum model Autoregressive (AR) dapat dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut :
Yt= β0+ β1Yt-1 + β2Yt-2 + ... βpYt-p +et (4)
Dimana :
Y = variabel dependen Yt-1 Yt-2 Yt-p = lag dari Y
et = residual p = tingkat AR
Residual dalam persamaan tersebut sebagaimana model OLS mempunyai karakteristik nilai rata rata 0, varian konstan dan tidak saling berhubungan.
Model AR menunjukkan bahwa nilai prediksi variabel Yt hanya merupakan fungsi linear dari sejumlah Yt aktual sebelumnya.
Model autoregressive – moving average (ARIMA)
• Seringkali perilaku suatu data time series dapat dijelaskan dengan baik melalui penggambungan antara model AR dan MA.
• Model gabungan ini disebut autoregressive – moving average (ARIMA). Misalnya nilai variabel dependen Yt dipengaruhi oleh lag pertama Yt dan lag pertama residual maka modelnya disebut dengan model ARIMA, yang dapat ditulis dalam bentuk persamaan sebagai berikut :
Y
t= β
0+ β
1Y
t-1+ β
2Y
t-2+ α
0e
t+ α
1e
t-1+ α
2e
t-2+ ..+ α
qe
t-qModel Autoregressive integrated moving avarage (ARIMA)
• Model AR, MA dan ARIMA sebelumnya mensyaratkan bahwa data time series yang diamati mempunyai sifat stasioner.
• Data time series dikatakan stasioner jika memenuhi 3 kriteria yaitu :jika mempunyai rata rata, varian dan kovarian yang
konstan.
• Namun dalam kenyataannya data time series seringkali tidak stasioner namun stasioner pada proses diferensi (difference).
• Proses diferensi adalah suatu proses mencari perbedaan
antara data satu periode dengan periode yang lainnya secara berurutan. Data yang dihasilkan disebut data diferensi tingkat pertama. Jika kita melakukan diferensi data tingkat pertama maka akan menghasilkan data diferensi tingkat kedua, dan seterusnya
Metodologi Box Jenkin
1. Identifikasi Model. Dalam langkah ini kita mencari nilai p,d dan q dengan menggunakan correlogram.
2. Estimasi parameter. Setelah mendapatkan nilai p dan q, maka selanjutnya kita mengamati parameter model ARIMA yang kita pilih pada l,ngkah pertama.estimasi parameter dapat dilakukan melalui metode kuadrat terkecil atau metode estimasi yang lain seperti maximum likelihood.
3. Uji diagnosis. Setelah mendapatkan estimator model ARIMA, akan dipilih model yang mampu menjelaskan data dengan baik. Caranya dengan melihat apakah residual bersifat random sehingga merupakan residual yang relatif kecil. Jika tidak maka kita harus kembali ke langkah pertama amemilih model yang lain.
4. Prediksi. Setelah mendapatkan model yang baik , maka selanjutnya model dapat digunakan untuk memprediksi.
Identifikasi model ARIMA
Uji stasioner melalui Correlogram.
Metode sederhana yang dapat digunakan untuk menguji apakah data stasioner atau tidak adalah dengan melihat correlogram melalui autocorrelation function ( ACF). ACF menjelaskan seberapa besar korelasi data yang berurutan dalam runtut waktu. ACF dengan demikian merupakan
perbandingan antara kovarian pada lag k dengan variannya.
ACF lag k (pk) dapat ditulis sebagai berikut:
Pk = γk / γ0
∑ (Yt-Ỹ)(Yt+k – Ỹ) Dimana γk = --- n
∑ (Yt – Ỹ)2
Dimana γ0 = --- n
