Modifikasi Statistik Uji-T pada Test Inferensia Mean Mereduksi Pengaruh Keasimetrikan Populasi Menggunakan
Ekspansi Cornish-Fisher
Joko Riyono
Staf.Pengajar Fakultas Teknologi Industri Universitas Trisakti Jakarta (Kampus A Jl.Kiyai Tapa No.1,Jakarta11440)
ABSTRACT
This article considers a procedure that reduces the effect of population skewness on the distribution of the variabel-t so that tests about the mean can be more correctly computed with a modification of the t variabel.A modification of the t variabel is obtained using the Cornish-Fisher expansion.
Key Words:Skewness,t variable,Cornish-Fisher expansion.
ABSTRAK
Paper ini membahas suatu prosedur yang mengurangi pengaruh kemiringan dari populasi pada distribusi student-t sehingga uji inferensi mean dapat terhitung lebih baik dengan suatu modifikasi variable student-t .Modifikasi dari variabel student-t diperoleh menggunakan ekspansi Cornish-Fisher.
Kata Kunci :Kemiringan ,Variabel student-t,Ekspansi Cornish-Fisher.
1. PENDAHULUAN
.Dalam Statistik inferensia mean satu populasi sering dipakai statistik :
( S Y
2/ n )
1/2T = − μ
untuk menguji hipotesa:
Ho : μ = μ0 versus satu dari tiga kemungkinan alternatif yaitu : (1) H1 = μ≠μ0
(2) H1 = μ > μ0
(3) H1 = μ < μ0
Dengan asumsi : (i) Yi berdistribusi indepeden (ii) Populasi berdistribusi normal
Hasil dalam teori statistik yang cukup baik dibuat oleh student (1908) bahwa T ∼ t(n-1) adalah distribusi student t dengan derajat kebebasan (n-1). Dengan asumsi di atas, dipunyai uji pada level α :
untuk Ho : μ = μ0 vs H1 : μ≠μ0 tolak Ho jika |TC|> tα/2
untuk Ho : μ = μ0 vs H1 : μ > μ0 tolak Ho jika TC > tα
untuk Ho : μ = μ0 vs H1 : μ < μ0 tolak Ho jika TC < - tα
dengan
( S Y
2/ n )
1/2TC − μ
o=
Tetapi jika asusmsi kedua tak terpenuhi yaitu populasi tidak berdistribusi normal , Cicchitelli (1989) dengan studi Monte Carlo mendapatkan bahwa kemiringan populasi mempengaruhi statistik T di atas sehingga kita tidak dapat mendekatinya dengan distribusi student t(n-1) apalagi jika ukuran sampel kecil.Johnson (1978) telah membuat modifikasi dari statistik T di atas untuk mengurangi pengaruh kemiringan populasi terhadap statistik T tersebut.Dalam tulisan ini akan dibahas modifikasi statistik T tersebut menggunakan ekspansi Cornish-Fisher.
2. EKSPANSI CORNISH-FISHER
Andaikan diberikan Y1,Y2, ... ,Yn adalah sampel random dari suatu distribusi G dengan mean μ, variansi σ2 dan μ3,μ4, ... masing-masing adalah momen central ketiga, keempat, ... dari G.
Untuk sebarang variabel random Y dengan distribusi G, bentuk ekspansi Cornish-Fisher diberikan dengan :
CF Y ( ) = μ + σξ + μ ( − + ) ...
σ
32ξ
2
6 1
(1.1) dimana ξ adalah variabel normal standar.Karena Var
( ) Y
= σ n
2dan
( ) ( ) ( )
μ μ μ
μ μ
3
3
3 1
3
3
3 3
2 1
1 1
Y E Y
n E Y
n E Y
n
i i
n
i i
n
= − = ⎧ −
⎨ ⎩
⎫ ⎬
⎭
= − =
=
=
∑
∑ ( )
Sehingga :
( ) CF Y
n n O n
= + + − + ⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ μ σ
−ξ μ
σ ξ
1 2
3 2
2
3 2
6 ( 1 )
. . . (1.2) Dari ekspansi di atas dapat dicatat bahwa kemiringan populasi μ3 adalah koefisien dari suku (ξ2-1) serta tampak dalam suku-suku lain tetapi dengan order yang lebih kecil. Kunci dalam mendapatkan modifikasi variabel T dalam pendekatan Johnson adalah mengeliminasi suku yang melibatkan μ3 dalam variabel T pembangun yang diberikan pada bagian bawah berikut:Diberikan variabel T pembangun
( ) ( )
TJ
Y Y
n S
n
=
− + + ⎧ − −
⎨ ⎩
⎫ ⎬
⎭
⎧ ⎨
⎩
⎫ ⎬
⎭
μ λ γ μ
2σ
2
2 1 2
. . .(1.3)
λ dalam TJ dipilih sehingga suku konstan dalam ekspansi Cornish-Fisher dari TJ berjumlah nol sehingga bias order yang lebih rendah tereleminasi γ dipilih sehingga koefesien dari suku ξ2 dalam ekspansi Cornish-Fisher dari TJ adalah nol (dengan demikian mengeliminasi pangaruh kemiringan order yang lebih rendah). Dapat ditunjukkan bahwa
γ μ
σ λ μ
=
34= σ
3
3 dan 2
2n
sebagai berikut :
Karena :
E s ( ) dan ( ) S
n
n n n
2 2 2 4
3
4= = + − 1
σ μ −
σ
var ( )
var
( ) S
n n n n n n
2 4
4
2
4 4
1 2 2
= + ⎛ − + + +
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ ≈ −
μ σ μ σ
...
sehingga ekspansi Cornish-Fisher dari
Y
dan S2, suku-suku lebih tinggi diabaikan adalah :( ) ( )
CF Y
n n
= μ + σ + −
ξ μ
σ
32ξ
2
6 1
CF(S2)=
σ μ σ
η
2 4
4 1
+ ⎡ −
2⎣⎢
⎤
⎦⎥
n
= + ⎡ −
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧
⎨ ⎪
⎩⎪
⎫
⎬ ⎪
⎭⎪
σ μ σ
σ η
2 4
4 4
1 2
1 n
dimana ξ dan η adalah variabel random normal standar. Gantikan nilai
Y
dan S2 dalam (1.3) dengan ekspansinya, maka dengan pengabaian suku O(n-1), ekspansi Cornish-Fisher dari TJ adalah :CF TJ
n n
( ) = + ⎛ −
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
ξ γσ μ
σ ξ
3 3
2
3
+ λ − − − −
σ
γσ μ
σ
μ σ
σ ξξ n
n n n
3 3
4 4
6 2
2*
dengan ξ dan ξ* variabel random normal standar yang independen.
Bukti :
( ) ( )
TJ Y Y
n S
= − + + − − ⎛ n
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢ ⎤
⎦ ⎥
⎧ ⎨
⎩
⎫ ⎬
⎭
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
−
μ λ γ μ
2σ
2 2 12Y − μ = σ n + n − n
ξ μ
σ ξ μ
σ
3 2
2 3
6 6
2( Y )
n n n
− μ = σ + +
ξ μ
σ ξ μ
σ
2
2
2 3
2 2 4
4 3
2 4
36 36
+ μ − −
σ ξ μ
σ ξ μ
σ ξ
3 3 3
2 2 4
2 3
3 n n 18 n 6 n n
.S
n n n
2 2
4 4 4
1 2
= 1 + ⎛ −
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
⎧
⎨ ⎪
⎩⎪
⎫
⎬ ⎪
⎭⎪
σ μ σ
σ η
S n
n
n n
n n
2 1 2
4 4 4
1 2
1 2
4 4 4
1 2
4 4 4
2
1
1 1 2
3 42
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ = + ⎛ −
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
⎧
⎨ ⎪
⎩⎪
⎫
⎬ ⎪
⎭⎪
= − ⎛ −
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ + −
+
⎧
⎨ ⎪
⎩⎪
⎫
⎬ ⎪
⎭⎪
− −
σ
μ σ
σ η
σ
μ σ
σ η μ σ
σ η
. ! ...
sehingga:
CF TJ
n n n n n n
n n n n n n
n
n ( )
. ! ...
= + + ⎛ + −
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
⎧ ⎨
⎩ + ⎛ −
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ + + − − ⎫
⎬ ⎭
− ⎛ −
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ + −
−
⎧
⎨ ⎪
⎩⎪
⎫
⎬ ⎪
⎭⎪
γμ
σ ξ γμ
σ ξ μ
σ
γσ γμ
σ ξ
σ γμ
σ ξ γμ
σ λ μ
σ
γσ σ
μ σ
σ η μ σ
σ η
3 2 2 4
4 3 3 3
2
2
3 2 2 4
2
3 3
2 2 4
3 2
2
4 4 4
1 2
4 4 4
2
36 3 6 18
6 36 6
1 1 2
3 42
CF TJ
n n n n n n n
( ) = + + ⎛ + −
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
⎧ ⎨
⎩ γμ +
σ ξ γμ
σ ξ μ
σ
γσ γμ
σ ξ
3 2
5
4 3
2
3 3
3
3 2
5 2
36 3 6 18
1
6 36 6
3 2
3 2
5
3
−
3⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ + + − − ⎫
⎬ ⎭ γμ
σ ξ γμ
σ λ
σ
μ σ
γσ
n n n
n
n n
1 1 2
3 42
4 4 4
1 2
4 4 4
− ⎛ −
2⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ + − −
⎧
⎨ ⎪
⎩⎪
⎫
⎬ ⎪
⎭⎪
μ σ
σ η μ σ
σ η
n . ! n ...
CF TJ
n n
n
n n
n ( ) = ⎛ +
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ + + − −
− ⎛ −
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ μ
σ
γσ ξ ξ λ
σ
μ σ
γσ
μ σ
σ ξ η
3 3
2 3
3
4 4 4
1 2
6 6
1 2
Tulis η = ρξ+ ξ* dimana ρ adalah kolerasi antara
X
dan S2 dan ξ* adalah variabel random normal independen terhadap ξ.ρ = μ σ μ
3{
2(
4− σ
4) }−12 sehingga :
( )
[ ]
CF TJ
n n
n
n n
n
( ) = + ⎛ +
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ + − −
− ⎛ −
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
−
+
⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
⎫
⎬ ⎪
⎭ ⎪
∗
ξ μ
σ
γσ ξ λ σ
μ σ
γσ
μ σ
σ ξ μ
σ μ σ
ξ ξ
3 3
2 3
3
4 4 4
1 2
3 2
4 4
1 2
6 6
1 2
CF TJ
n n n
n
n n
n
( ) = + ⎛ + −
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ + − −
− ⎛ −
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
∗ξ μ
σ
γσ μ
σ ξ λ
σ
μ σ
λσ
μ σ
σ ξξ
3 3
3 3
2 3
3
4 4 4
1 2
6 2 6
1 2
Dengan menyeleksi γ dan λ sehingga koefesien dari ξ2 adalah nol juga suku konstan berjumlah nol, ekspresi hasil akan mengurangi bias, didapat :
μ σ
γσ μ
σ μ
σ
γσ
γ μ
σ
3 3
3 3
3 3
3 4
6 2 0
3 0
3
n n n
n n
+ − =
− + =
=
dan
γ
σ
μ σ
γσ n
n n
−
3 3− =
6 0
λ σ
μ σ
μ σ λ
σ
μ σ
λ μ
σ n
n n
n
n
n
− − =
− =
=
3 3
3 3
3 3
3 2
6 3 0
2 0
2
Jadi
CF TJ ( )
n n
( ) = − ⎛ −
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
∗+
−ξ μ σ
σ ξξ
1 2
4 4 4
1 2
O
1( ) ( )
= ξ − 1 − ξξ
∗+
2 1
1 2
n K
uO n
-1 . . .(1.4)dan
TJ ( Y ) ( )
n Y S
= ⎧ − + + − n
⎨ ⎩
⎫ ⎬
⎭
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
−
μ μ
σ
μ
σ μ
3 2
3 4
2 2
1 2
6 3
...(1.5)Terlihat bahwa TJ yang diberikan oleh (1.5) tidak dapat dihitung dengan H : μ = μ0, karena μ3
dan σ2 biasanya tidak diketahui. Johnson menyarankan mengganti μ3 dan σ2 dengan estimasi
sampel
( )
μ $
33
1
= −
∑
=Y
in Y
in
dan variansi sampel S2. Ekspansi Cornish-Fisher masih (1.4) Untuk contoh penggunaannya uji hipotesis H0 : μ = μ0 melawan satu dari tiga alternatif kemungkinan, maka dipunyai uji level α sebagai berikut :
TT : untuk H0 :μ = μ0 vs H1 : μ ≠ μ0 ,
tolak H0 jika ⎢TJH⎢ > tα/2 . . . .(1.6) TU : untuk H0 : μ = μ0 vs H1 : μ > μ0 ,
tolak H0 jika TJH > tα . . . . (1.7) Tl : untuk H0 : μ = μ0 vs H1 : μ < μ0,
tolak H0 jika TJH < -tα . . . . (1.8)
dimana
( ) ( ) ( )
TJH
Y s n s Y
s n
n
= − + + −
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
μ
0μ
3 2μ
3 4μ
21 2
6 3
$ / ( ) $ / ( )
(1.9)
dan tα notasi bagian atas 100α titik persentil dari distribusi t dengan derajat bebas (n-1).
3. KESIMPULAN
Dari uraian di atas terlihat bahwa statistik:
( ) ( )
TJ Y
n Y S
= ⎧ − + + − n
⎨ ⎩
⎫ ⎬
⎭
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
−
μ μ
σ
μ
σ μ
3 2
3 4
2 2
1 2
6 3
yang diperoleh melalui statistik Tpembangun:
( ) ( )
TJ
Y Y
n S
n
=
− + + ⎧ − −
⎨ ⎩
⎫ ⎬
⎭
⎧ ⎨
⎩
⎫ ⎬
⎭
μ λ γ μ
2σ
2
2 1 2
Dengan menyeleksi γ dan λ
sehingga koefesien dari ξ2 & suku konstan pada ekspansi Cornish-Fisher nya berjumlah nol, ekspresi hasil akan mengurangi bias.
DAFTAR PUSTAKA
[1]. Benjamini,Y(1983),”Is T-Test Really Conservative whe the Parent Distribution is Long- Tailed”,J.Am.Statist.Assoc.,78,645-654.
[2]. Dudewicz,E.j&Mishra,S.N.(1988),Modern Mathematical Statistics,John Wiley& Sons.
[3]. Hall,P.(1992),The Bootstrap and Edgeworth Expansion,Spinger-Verlag Inc. New York.
[4]. Lehmann,E.L.(1983),Theory of Point Estimation,John Wiley & Sons.
[5]. Johnson,Norman J.(1978),”Modified t Test and Confidence Intervals for Asymmetrical Populations”,J.Am.Statist.Assoc.,73,536-544.
[6]. Wallace,DavidL.(1958),”Asymptotic Approximations to Distributions,” Annals of Mathematical Statistics,29,165-170.
