PERSAMAAN NONLINEAR
Pertemuan : 3&4
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS :
1. Menjelaskan pengertian akar dari suatu persamaan nonlinear.
2. Menunjukkan cara mengidentifikasi akar persamaan nonlinear dalam suatu interval 3. Menjelaskan teori dasar yang digunakan untuk membangun setiap metode numerik yang
digunakan dalam menghitung akar persamaan nonlinear.
4. Menggunakan metode tertutup dan metode terbuka untuk menghitung akar persamaan nonlinear.
5. Mengestimasi galat yang muncul akibat penggunaan metode numerik untuk menghitung akar persamaan nonlinear.
6. Membandingkan kelebihan dan kekurangan dari setiap metode numerik yang digunakan.
Materi :
2.1 Persamaan Linear dan Nonlinear
Didalam pemodelan banyak masalah yang digunakan dalam bidang teknik ataupun sains menggunakan persamaan nonlinear. Solusi dari persamaan nonliner disebut dengan akar penyelesaian. Berikut ini adalah beberapa contoh bentuk persamaan nonlinear
1. Persamaan Kuadrat
2 0 0
ax bx c a persamaan ini memiliki beberapa kemungkinan penyelesaian bisa memiliki akar tepat satu, memiliki dua akar ataupun tidak memiliki akar sama sekali. Jika memiliki akar maka persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan
2 4
2
b b ac
x a
2. Persamaan Polinomial
1
0 1 ... n1 n n n 0, n 0
a a x a x a x a Persamaan ini memiliki n akar.
3. Persamaan Trigonometri
sinx 1 0
Memiliki penyelesaian yang tak terhingga jumlahnya dengan bentuk penyelesaian 2 2 x k dimana kadalah suatu bilangan bulat.
4. Persamaan Eksponensial
2 x 0
x e
Persamaan ini tidak memiliki solusi karena nilai exakan selalu positif dan nilai x2 tidak pernah negatif.
Berdasarkan contoh yang diberikan jelas bahwa penyelesaian persamaan nonlinear tidak sesederhana persamaan linear. Hal ini disebabkan oleh beberapa hal yaitu:
1. Persamaan nonlinear memiliki bentuk yang beragam.
2. Tidak ada prosedur yang seragam dalam menyelesaikan persamaan nonlinear.
3. Keberadaan/eksistensi dari akar persamaan nonlinear sulit untuk dideteksi.
4. Jumlah akar nonlinear sulit untuk dipastikan.
5. Menentukan akar persamaan nonlinear tidak mudah didapatkan.
Dari alasan – alasan yang disampaikan maka untuk menyelesaikan persamaan nonlinear dapat dilakukan dengan menggunakan metode-metode numerik. Untuk memahami konsep penentuan akar secara numerik maka terlebih dahulu dijelaskan tentang syarat yang menjamin agar suatu persamaan memiliki akar.
2.2 Eksistensi Akar Persamaan Nonlinear
Secara umum persamaan nonlinear dapat didefinisikan menjadi ( ) 0
f x
dengan f x( ) adalah fungsi nonlinear. Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar 1 (a) dan (b). Gambar 1 (a) adalah fungsi yang memiliki akar. Akar dari fungsi f adalah perpotongan grafik f dengan sumbu x, sedangkan Gambar 1 (b) adalah f grafik yang tidak memiliki akar.
(a) (b)
Gambar 1 Keberadaan Akar dari Fungsi
Untuk memastikan bahwa sebuah fungsi nonlinear memiliki akar dalam suatu interval yang amati maka dapat ditentukan dengan mengecek tanda positif dan negatif dari nilai f x( ) pada kedua ujung interval. Andaikan fungsi nonlinear adalah fungsi yang kontinu pada interval [a,b]. Fungsi kontinu pada selang interval [a,b] adalah fungsi yang digambarkan tanpa terputus di interval [a,b]. Detail dari pengecekan akar dari sebuah fungsi yang kontinu diberikan oleh Teorema 1 berikut ini:
Teorema 1 Syarat cukup keberadaan akar
Misalkan sebuah fungsi f a b:[ , ]Rkontinu di selang [a,b]. Jika f a f b( ). ( ) 0 maka terdapat ( , )
c a b sehingga f c( ) 0 dan cadalah akar dari fungsi f x( ).
Teorema menjelaskan bahwa jika f a f b( ). ( ) 0 dipenuhi maka ini adalah syarat cukup untuk menjamin adanya akar dalam selang interval [a,b]. Jika f c( ) 0 dan cadalah akar dari fungsi f x( ) pada [a,b], belum tentu f a f b( ). ( ) 0 . Apabila f a f b( ). ( ) 0 tidak berarti fungsi tersebut tidak memiliki akar.
Secara umum dalam sebuah interval untuk fungsi yang kontinu bisa terjadi ada lebih dari satu buah akar atau tidak ada akar sama sekali. Gambar 2 dan Gambar 3 menunjukkan beberapa kondisi yang mungkin terjadi:
1. Jika f a f b( ). ( ) 0 maka terdapat akar sebanyak bilangan ganjil. Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar 2 berikut ini. Pada Gambar 2 (a) dan Gambar 2 (b) jelas bahwa nilai f a f b( ). ( ) 0 . Untuk Gambar 2 (a) terdapat satu akar yaitu c sedangkan pada Gambar 2 (b) terdapat tiga akar dari fungsi f yaitu c, d, e. Semua akar yang ada pada
Gambar 2 berjumlah ganjil.
(a) (b)
Gambar 2 Kurva yang Memiliki Akar Sejumlah Bilangan Ganjil
2. Jika f a f b( ). ( ) 0 maka terdapat akar sebanyak bilangan genap atau tidak ada akar sama sekali.
Gambar 3 (a) menunjukkan tidak ada akar dan Gambar 3 (b) menunjukkan terdapat dua akar pada
saat f a f b( ). ( ) 0 yaitu c dan d.
(a) (b) Gambar 3 Kurva yang Memiliki Akar Sejumlah Bilangan Genap
Berdasarkan cara menentukan akar dari persamaan nonlinear maka metode numerik untuk menentukan akan dari persamaan nonlinear dapat dibagi menjadi dua macam, yaitu:
1. Metode Tertutup
Metode tertutup adalah metode yang mensyaratkan agar untuk memulai perhitungan terlebih dahulu harus memastikan bahwa akar yang akan dicari berada diantara interval yang diambil sekurang-kurangnya satu akar. Dengan kata lain iterasi yang dilakukan selalu konvergen menuju akar. Metode tertutup ini sering dikenal dengan nama metode konvergen. Contoh metode tertutup adalah metode bagi dua dan metode regula falsi.
2. Metode Terbuka
Dalam metode terbuka, interval yang diambil tidak perlu mengandung akar. Namun metode ini memiliki kelemahan yaitu metode terbuka tidak dijamin bahwa akar yang dicari akan ditemukan, atau dengan kata lain metode terbuka terkadang dapat menemukan akar namun bisa juga tidak.
Contoh metode terbuka adalah metode Newton-Raphson, dan metode Secant.
2.3 Metode Bagi Dua
Metode ini adalah metode sederhana untuk mengaproksimasi akar dari persamaan nonlinear. Di awal proses perhitungan mensyaratkan agar interval yang diamati harus memuat akar yang akan dicari. Metode ini bekerja efektif jika interval yang diambil pendek/sempit. Untuk dapat mengecek bahwa interval yang dipilih memuat akar dapat dilakukan dengan cara berikut ini:
1. Membuat grafik fungsi di bidang XY dan melihat perpotongannya dengan sumbu X. Untuk memudahkan dapat digunakan paket program yang dapat menggambarkan grafik fungsi.
2. Mencetak nilai fungsi pada titik-titik absis yang berjarak tetap. Jika tanda fungsi berubah maka pasti terdapat akar dalam selang tersebut.
Langkah-langkah penyelesaian metode bagi dua:
1. Pilih selang [a,b] yang memuat akar 2. Bagi dua selang [a,b] sama besar 2
c a b
3. Selang terbagi dua yaitu : [a,c] dan [c,b]
4. Periksa nilai f a f c( ). ( ). Jika f a f c( ). ( ) 0 artinya dalam selang [a,c] memuat akar yang dicari, maka ganti b=c. Sebaliknya, untuk f a f c( ). ( ) 0 maka selang [c,b] yang memiliki akar, maka ganti a=c.
5. Gunakan kriteria untuk menghentikan iterasi. Jika kriteria belum dipenuhi maka lakukan kembali langkah ke-2 dengan interval [a,b] yang baru. Apabila kriteria telah dipenuhi maka keluar dari iterasi dan nilai c yang diperoleh adalah akar dari persamaan nonlinear yang dicari.
Berikut ini adalah kriteria yang bisa digunakan dalam pengecekan galat yaitu:
1. Menggunakan galat hampiran untuk nilai c yang dicari yaitu
baru lama
baru
c c
c 2. Mempertimbangkan nilai toleransi dari lebar interval [a,b], yaitu a b
dengan adalah nilai toleransi lebar interval yang mengurung akar.
3. Mengecek nilai f c( ). Jika nilai f c( )mendekati 0 maka dapat dipastikan bahwa c adalah akar dari fungsi f.
Selain kriteria yang disampaikan diatas, untuk menentukan akar dengan metode bagi dua bisa dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan jumlah N iterasi yang dibutuhkan setelah toleransi galat ditentukan.
Untuk menyelesaikan permasalahan ini diberikan terlebih dahulu Teorema 2 berikut Teorema 2
Misalkan persamaan linear f x( ) 0 memiliki akar dalam interval [a,b] dengan akar eksak adalah c. Jika (cn) adalah barisan aproksimasi yang diperoleh dengan metode bagi dua maka berlaku
n 2n
c c b a
untuk setiap n1 Bukti
Perhatikan Gambar 4 berikut ini
Gambar 4 Ilustrasi Metode Bagi Dua
Diketahui 2 2 1 1
1( )
b a 2 b a
3 3 2 2 2 1 1
1 1
( ) ( )
2 2
b a b a b a
4 4 3 3 2 2 2 3 1 1
1 1 1
( ) ( ) ( )
2 2 2
b a b a b a b a
:
1 1
1
1 ( )
n n 2n
b a b a
Karena
1( )
n 2 n n
c a b
maka diperoleh
1
1 1 1 1
( ) . ( ) ( )
2 2 2 2
n n n n n
c c b a b a b a
(qed)
Dari Teorema 2 menjelaskan bahwa semakin sempit interval [a,b] yang memuat akar maka semakin cepat barisan aproksimasi konvergen. Jika aproksimasi yang diinginkan kesalahannya tidak melebihi suatu toleransi epsilon maka
1 ( )
2n b a cn c
( ) ( )
( ) .2n b a 2 atau 2n n b a b a
log2 b a
n
Jadi untuk menentukan n iterasi minimal agar memenuhi toleransi galat yang diinginkan maka bisa digunakan persamaan
log2 b a
n
Dari persamaan
log2 b a
n
terlihat bahwa banyaknya iterasi ditentukan dari lebarnya selang yang dipilih dan tidak bergantung pada persamaan nonlinear yang akan dicari akarnya. Istilah akurasi merujuk pada tingkat ketelitian aproksimasi (tolerasi galat yang dipilih).
Contoh 1
Misalkan interval yang dipilih [1,2] dengan toleransi galat yang diinginkan adalah 0.0001, maka jumlah iterasi yang diperlukan dapat dihitung dari
2
log 2 1 13.29 14 0.0001
n Contoh 2
Perhatikan plotting grafik dari persamaan x35x210x 5 0Hitunglah aproksimasi akar dari persamaan x35x210x 5 0.
x f(x) -4. 51.
-3.9 50.731 -3.8 50.328 -3.7 49.797 -3.6 49.144 -3.5 48.375
-3.4 47.496 -3.3 46.513 -3.2 45.432 -3.1 44.259 -3. 43.
-2.9 41.661 -2.8 40.248
-2.7 38.767 x f(x) -2.6 37.224 -2.5 35.625 -2.4 33.976 -2.3 32.283 -2.2 30.552
-2.1 28.789 -2. 27.
-1.9 25.191 -1.8 23.368 -1.7 21.537 -1.6 19.704 -1.5 17.875
-1.4 16.056 -1.3 14.253 x f(x) -1.2 12.472 -1.1 10.719 -1. 9.
-0.9 7.321
-0.8 5.688 -0.7 4.107 -0.6 2.584 -0.5 1.125 -0.4 -0.264 -0.3 -1.577 -0.2 -2.808 -0.1 -3.951
0. -5.
0.1 -5.949 x f(x) 0.2 -6.792 0.3 -7.523 0.4 -8.136 0.5 -8.625 0.6 -8.984
0.7 -9.207 0.8 -9.288 0.9 -9.221 1. -9.
1.1 -8.619 1.2 -8.072 1.3 -7.353 1.4 -6.456
1.5 -5.375 x f(x) 1.6 -4.104 1.7 -2.637 1.8 -0.968 1.9 0.909 2. 3.
2.1 5.311
2.2 7.848 2.3 10.617 2.4 13.624 2.5 16.875 2.6 20.376 2.7 24.133 2.8 28.152 2.9 32.439
Pilihlah nilai a dan b yang akan digunakan. Jelaskan alasannya, kemudian gunakan tabel berikut ini untuk menghitung galat dari persamaan diatas. Pilihlah toleransi lebar selang, toleransi galat, dan nilai f c( ) yang akan digunakan untuk menentukan ketelitiannya.
a c b f(a) f(c) f(b) |a-b| Galat Relatif
Hampiran
Latihan 1
1. Berapa jumlah iterasi minimal yang diperlukan agar toleransi galat yang diinginkan adalah 0,0000025 jika [a,b] a = 0,4 dan b= 0,5.
2. Diberikan persamaan nonlinear sinx e x. Persamaan ini memiliki akar yang terletak pada interval [0,1], [3,4], [6,7]. Tentukan aproksimasi akar tersebut.
3. Buatlah fungsi pada Scilab untuk menentukan akar dari soal no 2 dengan melengkapi script scilab dibawah ini
2.4 Metode Regula Falsi
Dalam penggunaannya metode bagi dua selalu dapat menemukan akar, namun salah satu kelemahan metode ini adalah kecepatan konvergensinya sangat lambat. Salah satu metode terbuka yang memiliki konvergensi yang lebih cepat dari pada metode bagi dua adalah metode regula falsi. Metode ini memanfaatkan konsep gradien pada persamaan garis lurus. Perhatikan gambar Gambar 1 berikut ini:
function hasil= bagidua(a,b,tol) i = 1; galat(i)=10;
while galat(i) > tol do fa(i);fb(i);
i=i+1; ……
end
hasil=[a’ b’ c’ fa’ fc’ fa’ galat’];
endfunction
function nf = f(x)
nf = sin(x)-%e^(-x);
endfunction
Gambar 5 Metode Regula Falsi
Garis lurus yang menghubungkan titik A dan B memiliki gradien garis yang sama dengan gradien garis CB sehingga diperoleh persamaan :
Gradien garis AB = Gradien garis CB
( ) ( ) ( ) 0 f b f a f b
b a b c
( )( ) ( ) ( ) f b b a b c f b f a
Yang disederhanakan menjadi
( )( ) ( ) ( ) f b b a c b f b f a
Langkah-langkah penyelesaian metode regula falsi sama dengan metode bagi dua, perbedaannya hanya terletak pada nilai c yang digunakan. Berikut adalah algoritma dari metode regula falsi:
1. Pilih selang [a,b] yang memuat akar.
2. Hitung
( )( ) ( ) ( ) f b b a c b f b f a
3. Jika f(a).f(c)<0 maka b=c, jika tidak maka a=c.
4. Lakukan sampai nilai f(c)<toleransi epsilon maka c adalah akar yang dicari.
Latihan 2
1. Gunakan metode regula falsi untuk menyelesaikan soal pada Contoh 2 dan Latihan 2.
2. Buatlah pula script untuk menghitung akar dari soal no 2 pada Latihan 2 dengan menggunakan metode Regula Falsi.
2.5 Metode Newton Raphson
Metode Newton Raphson merupakan salah satu metode terbuka. Metode ini adalah metode yang paling sering digunakan. Salah satu alasannya metode ini banyak digunakan adalah metode ini hanya membutuhkan satu titik sebagai tebakan awal, apabila pencarian akar konvergen maka proses pencarian titiknya akan berlangsung dengan cepat dan implementasinya mudah.
Ada dua cara pendekatan dari penurunan metode Newton Raphson, yaitu:
1. Penurunan rumus secara geometri 2. Penurunan rumus dengan deret Taylor
Secara geometri penurunan rumus Newton Raphson dilakukan dengan menggunakan prinsip gradien dan garis singgung. Ditetapkan terlebih dahulu sebuah nilai awal, misalkan x0 adalah tebakan awal kemudian dicari sebuah garis singgung untuk yang melalui ( , ( ))x f x0 0 . Titik potong dari garis singgung tersebut dengan sumbu x akan menjadi nilai x1, selanjutnya dicari garis singgung dari ( , ( ))x f x1 1 . Perpotongan garis singgung ini dengan sumbu x akan menjadi nilai xi selanjutnya. Proses ini akan dilakukan
terus menerus hingga nilai xi semakin dekat dengan akar yang dicari. Detail dari proses ini ditunjukkan pada Gambar 6 berikut ini:
Gambar 6 Metode Newton Raphson
1 1
( ) 0 ( )
( )r r ( )r r
r r r r
f x f x
m f x y f x
x x x x x
Maka prosedur iterasi untuk menghitung fungsi nonlinear dengan metode Newton – Raphson adalah:
1
( ), '( ) 0 ( )
r
r r r
r
x x f x f x
f x
Dengan penurunan rumus deret Taylor yang diuraikan f x( r1) disekitar xradalah :
2 1
1 1 1
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
2
r r
r r r r r r r
x x
f x f x x x f x f t x t x Jika dipotong hingga suku ke – 2 maka diperoleh persamaan
1 1
( r ) ( ) (r r r) ( )r f x f x x x f x Karena f x( r1) 0 , maka diperoleh
1 1
0 ( ) ( ) ( ) ( ), '( ) 0
( )
r
r r r r r r r
r
f x x x f x x x f x f x
f x
Langkah-langkah untuk menggunakan metode Newton-Raphson
1. Tetapkan sebuah tebakan awal x0 dan toleransi galat yang diinginkan 2. Inisialisasi nilai galat.
3. Lakukan pengencekan nilai f x'( ) 0r , jika terpenuhi maka baru langkah ke-4 bisa dilakukan 4. Selama nilai galat > toleransi galat maka lakukan proses berikut
5. Hitung
1
( ), '( ) 0 ( )
r r r r
r
x x f x f x
f x
6. Hitung nilai galat yang baru, bisa menggunakan galat relatif hampiran
1 1
i i
i
x x
x
7. Bandingkan nilai galat dengan toleransi galat, jika syarat pada langkah 3 belum dipenuhi maka kembali ke langkah ke-4
8. Jika kriteria telah dipenuhi maka nilai xi yang terakhir adalah akar yang dicari.
Konvergensi Metode Newton-Raphson
Dikarenakan konvergensi dari Metode Newton-Raphson sangat bergantung pada pemilihan tebakan awal x0 maka sebaiknya sebelum dilakukan penghitungan dengan menggunakan metode Newton-Raphson terlebih dahulu harus diperiksa konvergensinya.
Ditinjau kembali persamaan xi1 pada metode Newton-Raphson
1
( ) ( )
r
r r
r
x x f x
f x
. Jika dimisalkan
1 ( )
xr g x maka ( ) ( )
( )
r r
r
g x x f x
f x
. Syarat agar sebuah barisan konvergen adalah jika g x( ) 1 . Oleh karena itu dihitung nilai g x( )
2
2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
( ) ( )
f x f x f x f x f x f x
g x f x f x
Maka kriteria konvergensi dari Metode Newton-Raphson adalah:
2( ). ( )
1, ( ) 0 ( )
f x f x f x f x
Nilai x adalah nilai tebakan awal yang akan digunakan.
Latihan 3
1. Gunakan metode Newton Raphson untuk menghitung akar dari Contoh 2 dan Latihan 2.
2. Buatlah pula script untuk menghitung akar dari soal no 2 pada Latihan 2 dengan metode Newton Raphson.
2.6 Metode Secant
Dalam menggunakan prosedur Newton-Raphson memerlukan perhitungan turunan fungsi f x( ), sedangkan tidak semua fungsi mudah dicarikan turunannya. Untuk itu dilakukan modifikasi metode Newton – Raphson dengan cara mengubah turunan ke bentuk yang ekivalen. Metode ini disebut dengan metode secant.
Perhatikan gambar berikut ini :
function hasil= nraphson(xo,tol) i = 1; galat(i)=1; x(i)=xo;
while galat(i) > tol do i=i+1;
end ……
hasil=[x galat’];
endfunction
function nf = f(x)
nf = sin(x)-%e^(-x);
endfunction
function nf = faksen(x) nf = cos(x)+%e^(-x);
endfunction
Gambar 7 Metode Secant
Dari Gambar 7 diperoleh gradien
1
1
( )r ( )r r
r r
f x f x
f x x x
. Persamaan ini disubstitusikan ke persamaan
sehingga diperoleh :
1
( ), '( ) 0 ( )
r r r r
r
x x f x f x
f x
Langkah-langkah untuk menggunakan metode Secant
1. Tetapkan sebuah tebakan awal x0, x1 dan toleransi galat yang diinginkan.
2. Inisialisasi nilai galat.
3. Selama nilai galat > toleransi galat maka lakukan proses berikut 4. Hitung
5. Hitung nilai galat yang baru, bisa menggunakan galat relatif hampiran
1 1
i i
i
x x
x
6. Bandingkan nilai galat dengan toleransi galat, jika syarat pada langkah 3 belum dipenuhi maka kembali ke langkah ke-4
7. Jika kriteria telah dipenuhi maka nilai xi yang terakhir adalah akar yang dicari.
Latihan 4
1. Gunakan metode Secant untuk menghitung akar dari Contoh 2 dan Latihan 2.
2. Buatlah pula script untuk menghitung akar dari soal no 2 pada Latihan 2 dengan metode Secant.
Kasus-kasus khusus yang mungkin ditemukan dalam penggunaan metode numerik dalam pencarian akar, diantaranya adalah:
1. Di dalam metode tertutup yaitu metode Bagi Dua dan Regula Falsi mungkin terjadi dalam sebuah interval terdapat lebih dari satu akar. Untuk mengatasi masalah ini maka bagi kembali interval menjadi interval yang hanya memiliki satu akar didalamnya.
2. Penggunaan nilai tebakan awal yang berbeda pada metode terbuka bisa menghasilkan akar yang berbeda dengan yang ingin dicari. Oleh karena itu penggambaran fungsi terlebih dahulu akan membantu dalam menentukan tebakan awal pada metode Newton-Raphson dan Secant.
3. Dalam interval terdapat akar ganda maka gunakan metode lain untuk mencari akar ganda.
4. Dalam interval terdapat nilai singularitas yaitu pada titik singular nilai fungsi tidak terdefinisi, maka metode numerik dari pencarian akar dari persamaan nonlinear tidak dapat digunakan.
1 1
1
( )( )
( ) ( )
r r r
r r
r r
f x x x
x x
f x f x
1 1
1
( )( )
( ) ( )
r r r
r r
r r
f x x x
x x
f x f x