Modul Aljabar Linear dan Matriks

(1)

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Pertemuan : 5&6

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS :

1. Menjelaskan pengertian sistem persamaan linear serta solusi dari SPL

2. Menjelaskan cara merepesentasikan sistem persamaan linear ke dalam bentuk perkalian matriks

3. Menggunakan metode Eliminasi Gauss Naive, Gauss yang diperbaiki untuk mencari solusi dari SPL

4. Mengenali kondisi munculnya masalah pembagian dengan nol, galat pembulatan dan kondisi buruk

5. Menggunakan metode iterasi Jacobi dan iterasi Gauss-Seidel sebagai metode numerik untuk menghitung solusi SPL

Materi :

3.1 Solusi Sistem Persamaan Linear

Sistem Persamaan Linear (SPL) adalah gabungan dari beberapa persamaan linear yang akan diselesaikan secara simultan. Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang sering dimodelkan dengan menggunakan sistem persamaan linear diantaranya adalah penentuan besarnya kuat arus dari setiap aliran listrik dalam suatu jaringan listrik, menentukan banyaknya arus lalu lintas pada setiap perempatan jalan yang sedang diamati, menyelesaikan model ekonomi pertukaran barang dan lain-lain. Secara umum sistem persamaan linear didefinisikan dalam Definisi 1.

Definisi 1

Sebuah himpunan terhingga m buah persamaan linear dengan variabel x x¹, ,...,² x_n

disebut sistem persamaan linear dengan n variabel dituliskan sebagai

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

n n n n

m m mn n m

a x a x a x b

   

   

1 Suatu urutan bilangan-bilangan s s¹, , ,²  s_n_disebut himpunan penyelesaian sistem jika

1 1, 2 2,..., _n _n x



s x



s x



s

memenuhi setiap persamaan dalam sistem tersebut.

Persamaan 1 dapat dituliskan ke dalam bentuk perkalian matriks dan vektor. Persamaan ini dituliskan dalam bentuk persamaanatau 2

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n n

m m mn n m

a a a x b

     

     

     

     

     



     

 atau Ax b 2

dengan

11 12 1

21 22 2

1 2

n n

m m mn

a a a

A

a a a

 

 

 

 

 



   

 ,

1 2

n

x x x

x

  

 

  

 

 dan

1 2

m

b b b

b

  

 

  

 

 .

(2)

Di dalam menyelesaikan sistem persamaan linear ada tiga jenis solusi yang mungin ditemukan yaitu: SPL memiliki tepat satu solusi, SPL memiliki jumlah solusi tak terhingga atau tidak memiliki solusi. Representasi dari tiga jenis solusi SPL dalam geometri untuk dua persamaan dan dua variable ditunjukkan pada . (a) solusi dari sister persamaan linear tersebut adalah titik potong dari kedua garis dari kedua persamaan linear, (b) adalah saat jumlah solusi tak terhingga, hal ini terjadi ketika grafik dari kedua persamaan linear berimpit. Untuk (c) garis dari kedua persamaan linear sejajar sehingga tidak akan berpotongan atau dengan kata lain keadaan seperti ini sistem persamaan linear tidak memiliki solusi.

(a) (b)

(c)

Gambar 1 Kemungkinan Solusi dari Sistem Persamaan Linear

Khusus untuk pembahasan dalam metode numerik ini hanya dikhususkan untuk menentukan solusi dari SPL yang tepat satu solusi. Salah satu kondisi awal yang memungkinkan sebuah SPL memiliki tepat satu solusi adalah matriks A adalah matriks bujur sangkar. Untuk selanjutnya maka akan digunakan matriks A berukuran n x n. Apabila matriks A membentuk matriks segitiga atas dan nilai b diketahui maka dapat ditentukan nilai x yang memenuhi sistem persamaan linear tersebut.

Contoh 1

Perhatikan SPL berikut ini

11 12 13 1 1 11 1 12 2 13 3 1

22 23 2 2 22 2 23 3 2

33 3 3 33 3 3

0

0 0

a a a x b a x a x a x b

a a x b a x a x b

a x b a x b

  

     

         

     

      

     

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan mencari terlebih dahulu nilai x³ lalu x² dan terakhir x¹. Proses ini disebut dengan substitusi balik. Adapun nilai x³, x² dan x¹ adalah :

3 2 23 3 1 12 2 13 3

3 2 3

33 22 11

( )

, ,

b b a x b a x a x

x x x

a a a

  

  

Berdasarkan Contoh 1 ini maka solusi dari sebuah sistem persamaan linear untuk persamaan A´x=´b untuk

(3)

11 12 1

21 22 2

1 2

n n

n n nn

a a a

A

a a a

 

 

 

 

 



   

 ,

1 2

n

x x x

x

  

 

  

 

 dan

1 2

n

b b b

b

  

 

  

 

 .

adalah

, 1 1, 2,...,1 dan 0

n

k kj j

n j k

n k kk

nn kk

b a x

x b x k n n a

a a

 



 



   

3 Latihan 1

1. Dengan menggunakan persamaan 3, tuliskan rumus substitusi balik untuk x i_i, 1,2,3, 4 untuk A berukuran 4 x 4.

2. Tentukan solusi dari sistem persamaan linear berikut ini

1 2 3 1 2 4

2 3 2 3 4

3 3 4

a) 2 3 9 b) 3 4

3 7 5 7 2 2 3 13 13

x x x x x x

x x x x x

x x x

     

      

  

13 x4 13 3. Berikan sebuah contoh kapan substitusi balik tidak dapat dilakukan.

4. Berikut ini adalah script yang dapat digunakan untuk menghitung substitusi balik. Lengkapilah script tersebut, kemudian jalankan untuk soal yang diberikan pada no 2.

3.2

Eliminasi Gauss

Dalam menggunakan eliminasi Gauss maka setiap sistem persamaan linear akan diubah terlebih dahulu dengan menggunakan matriks yang diperluas atau matriks augmented. Cara membuat matriks yang diperluas adalah dengan menggabungkan matriks A berukuran n x n dengan vektor b berukuran 1 x n menjadi sebuah matriks baru berukuran n x (n+1).

function nilai=subbalik(A, b) /* menentukan nilai dari Ax=b

jika A adalah matriks segitiga atas A=matriks nxn ;b=ruas kanan */

//menghitung ukuran matriks A [m,n]=size________;

//menghitung x yang terakhir x(n)=______________;

//loop untuk menghitung x(k) for k = n-1:-1:1

jum=0;

for j = _________

jum=jum+A(k,j)*x(j);

end

x(k)=_________________;

end

//hasil disimpan ke parameter nilai nilai = x;

endfunction

(4)

Contoh 2

Diberikan sistem persamaan linear berikut ini

1 2 3

2 4 2 4

4 9 3 13

2 3 7 13

x x x

  

   

Maka matriks yang diperluasnya adalah

2 4 2 4

4 9 3 13

2 3 7 13

  

  

 

  

 

Metode eliminasi Gauss bekerja dengan menggunakan tiga aturan yang disebut dengan operasi baris elementer. Tiga aturan tersebut adalah:

1. Pertukaran baris

Dalam eliminasi Gauss dimungkinkan untuk mempertukarkan dua baris dan hasilnya tidak akan mempengaruhi nilai yang diperoleh. Contoh menukarkan baris ketiga dengan baris kedua

1 2 1 2 1 2 1 2

2 8 4 6 3 6 0 9

3 6 0 9 2 8 4 6

   

   

   

   

2. Penskalaan baris

Sebuah baris dapat dikalikan dengan sebuah bilangan real bukan nol dan hasilnya pun tidak akan mempengaruhi solusi yang akan dicari. Berikut adalah contoh perkalian baris kedua dengan ½.

1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 8 4 6 1 4 2 3

3 6 0 9 3 6 0 9

b

   

   

   



3. Penggantian baris

Sebuah baris dapat diganti dengan penjumlahan baris tersebut dengan kelipatan baris yang lain.

Baris kedua dapat diganti dengan hasil penghitungan 2b¹b² tanpa mempengaruhi solusi akhir dari SPL yang dicari.

2 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 8 4 6 0 4 2 2

3 6 0 9 3 6 0 9

b  b b

   

   

   



Secara umum persamaan yang digunakan untuk menghitung penggantian baris agar menghasilkan matriks segitiga atas disebut persamaan pivot. Elemen pivot adalah nilai-nilai pada diagonal utama. Baris yang ada dibawah elemen pivot harus diubah menjadi baris baru dimana semua elemen yang ada di bawah elemen pivot pada kolom pivoting harus bernilai 0. Caranya adalah dengan menggunakan persamaan 4.

, ,

1,2,...,( 1), 1,...,

i j

i j i

j j

baris a baris baris j n i j n

a

 

       

  4

Metode eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi matriks segitiga atas dengan menggunakan aturan operasi baris elementer. Ada dua jenis metode eliminiasi Gauss yaitu:

a. Eliminasi Gauss Naif

b. Eliminasi Gauss yang diperbaiki

Eliminasi Gauss Naif hanya menggunakan aturan penggantian baris saja, sedangkan eliminasi Gauss yang diperbaiki menggunakan semua aturan dari operasi baris elementer.

(5)

Contoh 3

Berikut ini adalah proses yang dilakukan untuk mengubah matriks menjadi matriks A menjadi segitiga atas dari Contoh 2. menggunakan Eliminasi Gauss Naif.

2 1 2 3 2 3

3 1 3

4 1

2 1

2 2

2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4

4 9 3 13 0 1 1 5 0 1 1 5

2 3 7 13 0 1 5 17 0 0 4 12

b b b b b b

b b b

   

       

 

  

        

      

     

      

     

 

Setelah diperoleh matriks berbentuk bujur sangkar maka selanjutnya dapat dihitung solusi dari SPL.

Hitunglah solusi SPL ini dengan menggunakan substitusi balik.

Latihan 2

1. Selesaikan sistem persamaan linear berikut ini dengan menggunakan Eliminasi Gauss Naif

1 2 3

2 11

2 16

3 2 11

x x x

  

  

  

1 2 4

1 2 3 4

3 4

2 1

3 2 3

2 3 4

x x x

x x x x

  

   

    

    

2. Lengkapi script berikut ini untuk menghitung Eliminasi Gauss Naif

3. Modifikasi script diatas sehingga dari M diperoleh matriks A dan b lalu gunakan fungsi substitusi balik untuk mendapatkan solusi dari SPL dan simpan hasilnya ke parameter sol.

Proses pada Eliminasi Gauss Naif akan berhasil selama elemen pivot ≠ 0. Apabila ada nilai elemen pivot

= 0 dapat diatasi dengan menggunakan strategi pivoting. Ada dua jenis strategi pivoting yaitu:

function sol=naivegauss(A, b) // Menggabungkan nilai A dan b

// A matriks nxn dan b vektor kolom nx1 M=[A b];

//Hitung ukuran baris matriks M //n = jumlah baris

[n,m]=size(M);

//Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain for j = ________

for i = _______

M(i,:)=-M(i,j)/_____*M(j,:)+______;

end end

//Simpan keluaran akhir matriks M ke parameter sol sol=M;

endfunction

(6)

Sebelum penghitungan baris baru, terlebih dahulu setiap kolom dari elemen pivot dicek terlebih dahulu dengan menggunakan aturan berikut ini:

^a^{i p}^, ^^max



â^{p p}^, ^,â^p^^1,^p ^,...âⁿ^^1,^p ^,â^{n p}^,



₅

,

ai p

adalah nilai maksimum dari kolom p lalu pertukarkan baris ke-i dengan baris ke-p. Untuk operasi pada kolom kedua dan kolom ketiga adalah sebagai berikut:

Dengan teknik ini akan menghindari munculnya elemen 0 pada proses operasi baris dalam eleminasi gauss naif. Apabila setelah dilakukan proses pivoting ternyata masih ada elemen pivot yang sama dengan 0 maka SPL tidak dapat diselesaikan atau singular.

b. Pivoting lengkap

Jika proses pivoting juga melibatkan pengecekan kolom dalam pencarian elemen terbesar lalu dipertukarkan maka cara ini disebut dengan pivoting lengkap. Detail dari proses pivoting lengkap tidak dibahas di mata kuliah ini dikarenakan proses pertukaran kolom akan mengubah urutan x sehingga akan menambah kerumitan dari program.

Latihan 3

1. Gunakan aturan pivoting sebagian untuk menyelesaikan masalah berikut ini

1 2 3

1 2

1 2 3

2 2

3 6 9

2 8 4 6

x x x

x x

x x x

  

 

  

2. Lengkapi script berikut ini dan cek prosesnya dengan memasukkan soal no 1, lalu modifikasi hingga dapat memunculkan hasil akhir dari SPL.

(7)

function sol=egauss(A, b)

// Menggabungkan nilai A dan b

// A matriks nxn dan b vektor kolom nx1 M=________;

//Hitung ukuran baris matriks M //n = jumlah baris

[n,m]=__________;

//Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain

for j =_______

//absolutkan kolom untuk mencari elemen pivoting kolom=abs(M(:,j));

//hitung nilai maksimum dari kolom ke j [nilai,ind]=max(kolom(j:____));

//update nilai ind agar sesuai dengan ukuran matriks m indeks=ind+j-1;

//Cek kondisi untuk menukar baris if ___________ then

M=tukar(M,indeks,j);

end

//lanjutkan dengan melakukan operasi baris for i = ________

M(i,:)=-M(i,j)/M(j,j)*M(j,:)+M(i,:);

end end

//Hasil akhir dari proses operasi baris sol=M;

endfunction

function hasil=tukar(M, indeks, j)

//fungsi untuk melakukan pertukaran baris sementara=M(j,:);

M(j,:)=___________;

M(indeks,:)=__________;

hasil=M;

endfunction