Nama : Friska Sabina Mahardini NIM - Spada UNS

Nama : Friska Sabina Mahardini NIM : K1321041

Bahan Makalah Turunan

TURUNAN

A. Definisi Turunan

Turunan fungai f adalah fungsi lain f’ yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah f’(c) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐) ℎ

asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau -∞

Jika limit ini memang ada, dikatakan bahwa f terdiferensiasi di c, pencarian turunan disebut diferensiasi.

Bentuk Ekuivalen

Jika x = a + h sehingga ketika h→ 0 berakibat x → c, maka turunan fungsi y = f(x) dititik c dinyatakan sebagai berikut “

f’(c) = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝑐

𝑓(𝑥)−𝑓(𝑐) 𝑥−𝑐

Berikut adalah contoh ilustrasi pencarian turunan - Contoh soal :

Misalkan f(x) = 13x – 6. Carilah f’(4) Penyelesaian :

f’(4) = lim

ℎ→0

𝑓(4+ℎ)−𝑓(4) ℎ = lim

ℎ→0

[13(4+ℎ)−6]−[13(4)−6]

ℎ = lim

ℎ→0 13ℎ

ℎ = 13

B. Aturan Pencarian Turunan

Turunan beroperasi pada f untuk menghasilkan f’. Symbol Dx digunakan untuk menunjukkan operasi pencarian turunan. Symbol Dx mengatakan bahwa kita menentukan turunan terhadap variable x. Dx adalah contoh operator, operator adalah fungsi yang masukannya fungsi dan keluarannya adalah fungsi lain.

• Aturan Fungsi konstanta

- Bukti aturan konstanta : f(x) = k

Maka, f’(x) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ = lim

ℎ→0 𝑘−𝑘

ℎ = 0 - Contoh soal aturan konstanta :

Cari turunan dari f(x) = 5 Maka f’(x) = 0

• Aturan fungsi satuan

- Bukti aturan fungsi satuan f’(x) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ = lim

ℎ→0 𝑥+ℎ−𝑥

ℎ = lim

ℎ→0 ℎ ℎ = 1

• Aturan pangkat

- Contoh soal aturan pangkat : Cari turunan dari f(x) = x⁴ Maka, f’(x) = 4.x^4-1= 4x³

• Aturan kelipatan konstanta

- Bukti :

Misalkan F(x) = k. f(X), maka F’(x) = 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ = 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

𝑘.𝑓(𝑥+ℎ)−𝑘.𝑓(𝑥)

ℎ

= 𝑙𝑖𝑚 𝑘

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ = k 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

= k . f(x)

- Contoh soal aturan kelipatan konstanta Cari turunan dari f(x) = -4x³

Dx (-4x³) = -4 Dx (x³) = -4. 3 x^3-1 = -12x²

• Aturan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi

- Bukti aturan jumlah

Misalkan F(x) = f(x) + g(x) maka F’(x) = 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

[𝑓(𝑥+ℎ)+𝑔(𝑥+ℎ)]

ℎ − [𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)]

ℎ = 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ + [𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)]

ℎ

= 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ + 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

[𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)]

ℎ

= f’(x) + g’(x) - Bukti aturan hasil kali

Misalkan F(x) = f(x) . g(x), maka F’(x) = 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

= 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑋) ℎ

= 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥)+ 𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑋) ℎ

= 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑋)

ℎ +𝑓(𝑥+ℎ)𝑔(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑋) ℎ

= 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0𝑓(𝑥 + ℎ) . 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)

ℎ + g(x) 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

= f(x)g’(x) + g(x)f(x) - Bukti aturan hasil bagi

Misalkan F(x) = f(x)/g(x), maka F’(x) = 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ

= 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0 𝑓(𝑥+ℎ) 𝑔(𝑥+ℎ)− ^𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) ℎ

= 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0

𝑔(𝑥)𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ)

ℎ . ¹

𝑔(𝑥)𝑔(𝑥+1)

= 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0[𝑔(𝑥)𝑓(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)𝑓(𝑥)+ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑓(𝑥+ℎ)

ℎ . ¹

𝑔(𝑥)𝑔(𝑥+1) ] = 𝑙𝑖𝑚

ℎ→0{[𝑔(𝑥)𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥+ℎ)−𝑔(𝑥)

ℎ ] ¹

𝑔(𝑥)𝑔(𝑥+1)}

= [g(x)f’(x)-f(x)g’(x)] _{𝑔(𝑥)𝑔(𝑥+1)}¹

Dengan menggunakan aturan pencarian turunan, dapat ditunjukkan bahwa fungsi polinomial dapat diturunkan di mana-mana dan fungsi rasional juga dapat diturunkan di mana-mana kecuali di titik-titik di mana penyebutnya bernilai nol.

Kita dapat menyatakan turunan dari f oleh :

Notasi ^𝑑

𝑑𝑥 juga bermakna sama seperti operator Dx.

- Contoh soal Cari turunan dari : a. F(x) = ^2𝑥+1

(𝑥)²+1

b. F(x) = x² + 3x c. ^𝑑

𝑑𝑥 (3𝑥−5)

𝑥²+7

d. 5x²+7x-6 penyelesaian : a. F(x) = ^2𝑥+1

(𝑥)²+1

Misalnya, f(x) = 2x + 1 maka f’(x) = 2 g(x) = x² + 1 maka g’(x) = 2x Sehingga, F’(x) = ^𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

(𝑔(𝑥))²

F’(x) = ^{2. ((𝑥)}

2 + 1)−(2𝑥 + 1) .2𝑥 (𝑥2 + 1)²

F’(x) = ^{2𝑥2+2−4𝑥2−2𝑥}

(𝑥² + 1)²

F’(x) = ^{−2𝑥2−2𝑥+2}

(𝑥² + 1)²

Jadi, turunan dari F(x) = ^2𝑥+1

(𝑥)²+1 adalah F’(x) = ^{−2𝑥2−2𝑥+2}

(𝑥² + 1)²

b. F(x) = x² + 3x

Misalnya, f(x) = x² maka f’(x) = 2x g(x) = 3x maka g’(x) = 3 F’(x) = f’(x) + g’(x)

F’(x) = 2x + 3

Jadi turunan dari F(x) = x² + 3x adalah F’(x) = 2x + 3 f’(x) atau Dx atau ^𝑑𝑦

𝑑𝑥

c. ^𝑑

𝑑𝑥 (3𝑥−5)

𝑥²+7 = ^(𝑥

2+7)^𝑑

𝑑𝑥 (3𝑥−5)−(3𝑥−5)^𝑑 𝑑𝑥 (𝑥²+7) (𝑥²+7)² = ^(𝑥2+7)(3)−(3𝑥−5)(𝑥)

(𝑥²+7)²

= ^−3𝑥

2+10𝑥+21 (𝑥²+7)²

d. Dx(5x²+7x-6) = Dx (5x² ) + Dx (7x) - Dx (6) = 10x + 7

C. Aturan Rantai Teorema aturan rantai

Misalkan y = f(u) dan u = g(x). jika g terdiferensiasikkan di x dan f terdiferensiasikan di u = g (x), maka fungsi komposit f o g, yang didefinisikan oleh (f o g)(x) = f(g(x)), adalah

terdiferensiasikan di x dan

(f o g)’(x) = f(g(x))g’(x) Yakni

xDx (f(g(x))) = f(g(x))g’(x) Atau

𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ^𝑑𝑦

𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥

- Bukti aturan rantai :

Kita misalkan bahwa y = f(u) dan u = g(x), bahwa g terdiferensiasikan di x dan bahwa f terdiferensiasikan di u = g(x). ketika x diberikan pertambahan ∆x, terdapat

pertambahan lagi yang berkorespondensi dalam u dan y yang diberikan oleh

∆u = g(x+∆x) – g(x)

∆𝑦 = f(g(x+∆x)) – f(g(x)) = f(u+∆𝑢) – f(u)

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑙𝑖𝑚

∆𝑥→0

∆𝑥

∆𝑦 = 𝑙𝑖𝑚

∆𝑥→0

∆𝑥

∆𝑦

∆𝑢

∆𝑥 = 𝑙𝑖𝑚

∆𝑥→0

∆𝑥

∆𝑦 . 𝑙𝑖𝑚

∆𝑥→0

∆𝑢

∆𝑥

Karena g terdiferensiasikan di x, maka g kontinu di sana, sehingga ∆x → 0 memaksa

∆u → 0. Karenanya,

𝑑𝑦 𝑑𝑥 = lim

∆u→0

∆𝑦

∆𝑢 . lim

∆x→0

∆𝑢

∆𝑥 = ^𝑑𝑦

𝑑𝑢 . ^𝑑𝑢

𝑑𝑥

- Berikut adalah contoh penerapan aturan rantai :

Jika y = (2x² – 4x + 1)⁶⁰ carilah Dxy Penyelesaian :

Kita pikirkan y sebagai pangkat ke-60 suatu fungsi x; yakni y = u⁶⁰ dan u = 2x² – 4x + 1

fungsi sebelah luar adalah f(u) = u⁶⁰ dan fungsi sebelah dalam adalah u = 2x² – 4x + 1.

Jadi,

Dxy = Dxf(g(x)) = f(u)g(x) = (60u⁵⁹ )(4x-4)

= 60(2x² – 4x + 1)⁵⁹ (4x-4)

D. Diferensial

Misalkan y = f(x) fungsi terdiferensiasi dari variable bebas x.

- ∆𝑥 adalah pertambahan sebarang dalam variable x - 𝑑𝑥 adalah diferensial variable bebas x dengan ∆𝑥

- ∆𝑦 adalah perubahan sebenarnya dalam variable y ketika x berubah dari x ke x +

∆𝑥, yaitu y = f(x+∆𝑥) – f(x)

- 𝑑𝑦 adalah diferensiak variable tak-bebas y, didefinisikan oleh dy = f’(x) dx Perhatikan bahwa 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥), pembagian kedua ruas dengan dx menghasilkan

F’(x) = ^𝑑𝑦

𝑑𝑥