1 Optimasi
Pemrograman Linier
Djoko Luknanto Staf Pengajar Jurusan Teknik Sipil FT UGM
24/08/2003 Jack la Motta 2
Contoh dari Isamuiki
$ 5.000
$ 3.000 Laba/batch
4 jam 12 jam 18 jam 0 jam
2 jam 2 jam 1 jam
0 jam 3 jam 1
2 3
Jam tersedia/minggu Produk 2
Produk 1 Pabrik
Jam produksi/batch
24/08/2003 Jack la Motta 3
Data yang dibutuhkan
xn ...
x2 x1 Tingkat kegiatan
cn ...
c2 c1
∆Z/unit kegiatan
bm amn ...
am2 am1 m
...
...
...
...
...
...
b2 a2n ...
a22 a21 2
b1 a1n ...
a12 a11 1
... n 2 1
Kegiatan
Jumlah sumberdaya
yang tersedia Pemakaian sumberdaya
per unit kegiatan Sumberdaya
24/08/2003 Jack la Motta 4
Formulasi
Memaksimumkan Z = c
1x
1+ c
2x
2+ ... + c
nx
nsedemikian rupa sehingga memenuhi kendala:
a
11x
1+ a
12x
2+ ... + a
1nx
n≤b
1a
21x
1+ a
22x
2+ ... + a
2nx
n≤b
2. . .
a
m1x
1+ a
m2x
2+ ... + a
mnx
n≤b
mdan x
1≥0, x
2≥0 , ... , x
n≥ 024/08/2003 Jack la Motta 5
Beberapa bentuk lain
• Meminimumkan bukan memaksimumkan fungsi tujuan:
Minimumkan Z= c1x1+ c2x2+ ... + cnxn
• Beberapa kendala menjadi lebih besar atau sama dengan:
ai1x1+ ai2x2+ ... + ainxn≥bi
• Beberapa kendala menjadi sama dengan:
ai1x1+ ai2x2+ ... + ainxn=bi
• Beberapa kendala non-negative tidak digunakan:
xjmempunyai nilai bebas untuk jtertentu.
24/08/2003 Jack la Motta 6
Terminologi model linier 1
• Solusi feasible: penyelesaian yang memenuhi semua kendala.
• Solusi tidak feasible: penyelesaian yang melanggar salah satu
kendala.
• Kawasan feasible: kumpulan
semua solusi feasible.
2
24/08/2003 Jack la Motta 7
Terminologi model linier 2
• Solusi optimal: solusi feasible yang mempunyai nilai fungsi tujuan paling favorable yaitu:
Nilai paling besar jika fungsi tujuannya harus dimaksimumkan, dan
Nilai paling kecil jika fungsi tujuannya harus diminimumkan.
24/08/2003 Jack la Motta 8
Terminologi model linier 3
• Pada banyak permasalahan optimasi biasanya terdapat hanya satu solusi optimal, namun beberapa permasalahan mungkin solusi optimalnya lebih dari satu.
• Kemungkinan yang lain adalah tidak terdapat solusi optimal karena:
tidak mempunyai solusi feasible
kendala menyebabkan nilai fungsi tujuan menjadi tidak berhingga pada arah yang favorable.
24/08/2003 Jack la Motta 9
Satu Solusi Optimal
• Maksimumkan Z= 3x1+ 5x2
dengan kendala x1≤4 2x2≤12 3x1+ 2x2≤18 danx1≥0, x2≥0
• Secara grafis diselesaikan dengan nilai
Z= 36 dan x1= 2
x2= 6 1
2 3 4 5 8 10 9
6 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1
x2
(2,6)
(4,3) 3x
1+5x2
=36
24/08/2003 Jack la Motta 10
Banyak Solusi Optimal
• Maksimumkan Z= 3x1+ 2x2
dengan kendala x1≤4 2x2≤12 3x1+ 2x2≤18 danx1≥0, x2≥0
• Secara grafis diselesaikan dengan nilai
Z= 18 untuk setiap (x1, x2) pada AB
1 2 3 4 5 8 10 9
6 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 x1
x2
A(2,6)
B(4,3) 3x
1+5x
2= 18
24/08/2003 Jack la Motta 11
Terminologi model linier 4
•
Solusi titik sudut feasible (STSF): sebuah penyelesaian yang terletak pada titik sudut kawasan feasible.
•
Hubungan antara solusi optimal dengan solusi titik sudut feasible:
jika sebuah program linier mempunyai solusi feasible dan kawasan feasible yang terbatas,
maka permasalahan ini pasti mempunyai STSF dan paling tidak satu solusi optimal, dan
STSF terbaik pasti sebuah solusi optimal.
jadi:
¾jika permasalahan mempunyai hanya satu solusi optimal, maka solusi tersebut pasti STSF
¾jika permasalahan mempunyai banyak solusi optimal, maka solusi tersebut dua diantaranya pasti STSF .
