METODE CROSS METODE CROSS
(Metode Distribusi Momen) (Metode Distribusi Momen)
I. PENDAHULUAN I. PENDAHULUAN
Analisis struktur dengan metode distribusi momen pertama kali Analisis struktur dengan metode distribusi momen pertama kali diperkenalkan oleh Harry Cross pada tahun 1933 dalam bukunya yang berjudul diperkenalkan oleh Harry Cross pada tahun 1933 dalam bukunya yang berjudul
"Analysis of Continous Frames by Distributing Fixed-End Moments", dan
"Analysis of Continous Frames by Distributing Fixed-End Moments", dan disebarluaskan oleh ilmuan lainnya. Metode distribusi momen juga dikenal disebarluaskan oleh ilmuan lainnya. Metode distribusi momen juga dikenal sebagai metode Cross. Metode ini merupakan salah satu metode yang dipakai sebagai metode Cross. Metode ini merupakan salah satu metode yang dipakai untuk analisis struktur balok menerus dan portal statis tak tentu.
untuk analisis struktur balok menerus dan portal statis tak tentu.
Metode distribusi momen didasarkan pada anggapan sebagai
Metode distribusi momen didasarkan pada anggapan sebagai berikut:berikut:
1. Perubahan bentuk akibat gaya normal dan gaya geser diabaikan, 1. Perubahan bentuk akibat gaya normal dan gaya geser diabaikan,
sehingga panjang batang-batangnya tidak berubah.
sehingga panjang batang-batangnya tidak berubah.
2.
2. Semua titik simpul (buhSemua titik simpul (buhul) dianggap kaku sempuul) dianggap kaku sempuma.ma.
Dalam proses analisis, metode ini melakukan distribusi momen dan Dalam proses analisis, metode ini melakukan distribusi momen dan induksi (carry over) terhadap momen primer (Fixed End Moment) sebanyak induksi (carry over) terhadap momen primer (Fixed End Moment) sebanyak beberapa putaran (iterasi) guna mendapatkan keseimbangan di setiap titik beberapa putaran (iterasi) guna mendapatkan keseimbangan di setiap titik simpul. Hal ini dilakukan karena momen-momen primer yang bekerja di setiap simpul. Hal ini dilakukan karena momen-momen primer yang bekerja di setiap tumpuan maupun simpul suatu struktur tidak sama besarnya, sehingga simpul tumpuan maupun simpul suatu struktur tidak sama besarnya, sehingga simpul tidak seimbang. Untuk mendapatkan keseimbangan simpul melakukan tidak seimbang. Untuk mendapatkan keseimbangan simpul melakukan perputaran, sehingga momen-momen primer di tiap simpul melakukan distribusi perputaran, sehingga momen-momen primer di tiap simpul melakukan distribusi (pembagian) sampai jumlah momen primer di masing-masing simpul sama (pembagian) sampai jumlah momen primer di masing-masing simpul sama dengan nol. Proses distribusi dan induksi secara manual dapat dilakukan dengan nol. Proses distribusi dan induksi secara manual dapat dilakukan sebanyak empat putaran (iterasi), dan dianggap semua simpul sudah seimbang sebanyak empat putaran (iterasi), dan dianggap semua simpul sudah seimbang atau mendekati nol.
atau mendekati nol.
Momen primer adalah momen yang terjadi pada ujung batang sebagai Momen primer adalah momen yang terjadi pada ujung batang sebagai akibat dari beban-beban yang bekerja di sepanjang batang. Besarnya momen akibat dari beban-beban yang bekerja di sepanjang batang. Besarnya momen primer sama dengan momen jepit (momen reaksi) dengan tanda atau arah yang primer sama dengan momen jepit (momen reaksi) dengan tanda atau arah yang berlawanan. Dengan kata lain, momen jepit atau momen reaksi merupakan berlawanan. Dengan kata lain, momen jepit atau momen reaksi merupakan kebalikan dari momen primer.
kebalikan dari momen primer.
Momen primer biasanya digambarkan melengkung ke luar pada bagian Momen primer biasanya digambarkan melengkung ke luar pada bagian dalam ujung batang dengan arah tertentu sesuai dengan pembebanan. Arah dalam ujung batang dengan arah tertentu sesuai dengan pembebanan. Arah momen primer ditentukan berdasarkan kecenderungan melenturnya batang, momen primer ditentukan berdasarkan kecenderungan melenturnya batang, seolah-olah batang akan patah akibat momen yang bekerja di ujung batang.
seolah-olah batang akan patah akibat momen yang bekerja di ujung batang.
Dilain pihak, momen jepitan atau momen reaksi merupakan kebalikan dari Dilain pihak, momen jepitan atau momen reaksi merupakan kebalikan dari momen primer, disebut juga sebagai
momen primer, disebut juga sebagai momen perlawanan (Gambar1).momen perlawanan (Gambar1).
(Gambar 1 Momen Primer dan Momen Reaksi) (Gambar 1 Momen Primer dan Momen Reaksi)
2)
2) Faktor Faktor Distribusi Distribusi MomenMomen
Apabila struktur portal bekerja momen primer sebesar M' di simpul A Apabila struktur portal bekerja momen primer sebesar M' di simpul A (Gambar 2), maka di masing-masing ujung batang simpul A akan terjadi (Gambar 2), maka di masing-masing ujung batang simpul A akan terjadi distribusi momen sebesar MAB, MAC, dan MAD dengan arah berlawanan distribusi momen sebesar MAB, MAC, dan MAD dengan arah berlawanan dengan momen primer M'. Hal ini terjadi karena simpul A kaku sempurna, dengan momen primer M'. Hal ini terjadi karena simpul A kaku sempurna, sehingga batang-batang berputar menurut garis elastisnya guna mendapatkan sehingga batang-batang berputar menurut garis elastisnya guna mendapatkan keseimbangan.
keseimbangan.
Berapa besar faktor distribusi momen dan momen distribusi yang terjadi di Berapa besar faktor distribusi momen dan momen distribusi yang terjadi di ujung A untuk masing-masing batang? Untuk menyelidiki hal ini batang struktur ujung A untuk masing-masing batang? Untuk menyelidiki hal ini batang struktur dapat diselidiki berdasarkan gambar portal berikut ini.
dapat diselidiki berdasarkan gambar portal berikut ini.
(Gambar 2 Distribusi Momen) (Gambar 2 Distribusi Momen)
Jika diamati Gambar 2, pada batang AB terjadi rotasi (perputaran sudut) Jika diamati Gambar 2, pada batang AB terjadi rotasi (perputaran sudut) sebesar
sebesar θθA akibat pengaruh MAB, pada batang AB terjadi rotasi (perputaranA akibat pengaruh MAB, pada batang AB terjadi rotasi (perputaran sudut) sebesar
sudut) sebesar θθA akibat pengaruh MAC, dan pada batang AD terjadi rotasiA akibat pengaruh MAC, dan pada batang AD terjadi rotasi (perputaran sudut) sebesar
(perputaran sudut) sebesar θθA akibat pengaruh MAD. Jadi, keseimbanganA akibat pengaruh MAD. Jadi, keseimbangan simpul A, yaitu:
simpul A, yaitu:
M' = MAB + MAC + MAD M' = MAB + MAC + MAD
Apabila kAB, kAC, dan kAD merupakan faktor kekakuan masing-masing Apabila kAB, kAC, dan kAD merupakan faktor kekakuan masing-masing batang
batang AB, AB, AC, AC, dan dan AD, AD, maka: maka: MAB MAB = = kABkABθθAA MAC = kAC MAC = kACθθAA MAD = kAD MAD = kADθθAA Jadi:
Jadi: M' M' = (kAB = (kAB + + kAC + kAC + kAD)kAD)θθAA M =
M =∑∑kA .kA .θθAA θ
θA = M' /A = M' /∑∑kAkA Dengan
Dengan demikian, demikian, diperoleh: diperoleh: MAB MAB == MAC = MAC = MAD=
MAD=
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:
a)
a) Faktor distribusi (FD) adalah perbandingan Faktor distribusi (FD) adalah perbandingan kekakuan batang (k) dengankekakuan batang (k) dengan kekakuan batang total di titik simpul (
kekakuan batang total di titik simpul (∑∑k).k).
Jadi, faktor distribusi
Jadi, faktor distribusi FD = k FD = k //∑∑kk
b) Momen distribusi (MD) adalah hasil perkalian faktor distribusi dengan b) Momen distribusi (MD) adalah hasil perkalian faktor distribusi dengan
rnomen primer (M').
rnomen primer (M').
Jadi, momen primer MD= M’ . FD Jadi, momen primer MD= M’ . FD
Gambar 3 Batang AC Gambar 3 Batang AC
Batang prismatis AC dengan tumpuan jepit-jepit, bekerja momen distribusi Batang prismatis AC dengan tumpuan jepit-jepit, bekerja momen distribusi sebesar MAC di ujung A (simpul) dengan sudut kemiringan lendutan sebesar sebesar MAC di ujung A (simpul) dengan sudut kemiringan lendutan sebesarθθA.A.
Sedangkan, ujung B (tumpuan jepit) berhak menerima momen induksi sebesar Sedangkan, ujung B (tumpuan jepit) berhak menerima momen induksi sebesar MCA dengan arah yang sama.
MCA dengan arah yang sama. Dengan demikian, diperoleh persamaan:Dengan demikian, diperoleh persamaan:
θ
θA1 -A1 -θθA1 =A1 =θθA danA danθθC2 -C2 -θθC1 = 0C1 = 0
Akibat pengaruh memen distribusi MAC saja akan menimbulkan sudut Akibat pengaruh memen distribusi MAC saja akan menimbulkan sudut kemiringan lendutan pada kedua ujung batang sebesar:
kemiringan lendutan pada kedua ujung batang sebesar:
dan dan
Selanjutnya, pengaruh momen induksi MCA saja
Selanjutnya, pengaruh momen induksi MCA saja akan menimbulkanakan menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan pada kedua ujung batang sebesar:
rotasi dengan sudut kemiringan lendutan pada kedua ujung batang sebesar:
dan dan
Dengan demikian:
Dengan demikian: θθC2 -C2 -θθC1 = 0C1 = 0
Apabila
Apabila radian, radian, maka maka ::
Persamaan ini menunjukkan bahwa ujung A memberi induksi pada ujung Persamaan ini menunjukkan bahwa ujung A memberi induksi pada ujung C sebesar setengah momen distribusi (1/2 M) dengan arah yang sama.
C sebesar setengah momen distribusi (1/2 M) dengan arah yang sama.
Selanjutnya, nilai momen MAC telah menyebabkan terjadinya rotasi hingga Selanjutnya, nilai momen MAC telah menyebabkan terjadinya rotasi hingga membentuk sudut kemiringan lendutan di ujung A sebesar
membentuk sudut kemiringan lendutan di ujung A sebesar θθA. Nilai momen iniA. Nilai momen ini disebut sebagai kekakuan batang AC yang diberi notasi kAC. Dengan demikian, disebut sebagai kekakuan batang AC yang diberi notasi kAC. Dengan demikian, kekakuan batang AC (tumpuan jepit-jepit) dapat diketahui dengan rumus: kAC = kekakuan batang AC (tumpuan jepit-jepit) dapat diketahui dengan rumus: kAC = 4EI/LAC
4EI/LAC Batang AD:
Batang AD:
(Gambar 4 Batang AD) (Gambar 4 Batang AD)
Batang prismatis AD dengan tumpuan jepit-sendi, bekerja momen Batang prismatis AD dengan tumpuan jepit-sendi, bekerja momen distribusi sebesar MAD di ujung A (simpul) dengan sudut kemiringan lendutan distribusi sebesar MAD di ujung A (simpul) dengan sudut kemiringan lendutan sebesar
sebesarθθA. Sedangkan, ujung D tidak berhak menerima momen induksi karenaA. Sedangkan, ujung D tidak berhak menerima momen induksi karena jenis
jenis tumpuan tumpuan sendi sendi (momen (momen induksi induksi sama sama dengan dengan nol). nol). Dengan Dengan demikian,demikian, diperoleh persamaan;
diperoleh persamaan;θθA1 -A1 -θθA1 =A1 =θθAA
Akibat pengaruh memen distribusi MAD akan menimbulkan rotasi dengan Akibat pengaruh memen distribusi MAD akan menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan pada ujung batang A
sudut kemiringan lendutan pada ujung batang A sebesar:sebesar:
dimanadimanaθθA=1radian, Maka :A=1radian, Maka :
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:
1)
1) Kekakuan batang dKekakuan batang dengan tumpuan jepit-jepit engan tumpuan jepit-jepit : k = 4EI/L: k = 4EI/L 2)
2) Kekakuan batang dKekakuan batang dengan tumpuan jepit-sendi: k engan tumpuan jepit-sendi: k = 3EI/L= 3EI/L
III.
III. CONTOH CONTOH SOAL SOAL DAN DAN PENYELESAIAN PENYELESAIAN DENGAN DENGAN METODE METODE CROSSCROSS
Diketahui struktur seperti tampak pada gambar di bawah ini : Diketahui struktur seperti tampak pada gambar di bawah ini :
Diminta : Diminta :
1.
1. Hitung dan Hitung dan gambar bidang gambar bidang M dan M dan D dengan D dengan metode Cross metode Cross !!
2.
2. Hitung Hitung pula pula reaksi reaksi perletakan perletakan struktur struktur tersebut tersebut !!
Penyelesaian : Penyelesaian :
1)
1) a. a. Analisis Analisis Struktur Struktur Metode Metode CrossCross
Momen Momen PrimerPrimer
Faktor Faktor Kekakuan Kekakuan BalokBalok
Faktor Faktor Distribusi Distribusi BalokBalok
Tabel Tabel Distribusi Distribusi Momen Momen ( ( CROSS CROSS ))
= -0,826 Tm
= -0,826 Tm
MP1 dan MP2 masing-masing adalah momen di
MP1 dan MP2 masing-masing adalah momen di bawah beban P1 dan P2.bawah beban P1 dan P2.
Balok
Balok BC BC : : MP3 MP3 = = RBC.X RBC.X – – ½ ½ q.X2 q.X2 - - MBCMBC
= 10,549 x 2
= 10,549 x 2 – ½ .3.22 – 7,697– ½ .3.22 – 7,697
= 7,401 Tm
= 7,401 Tm
Bidang Bidang LintangLintang DAB = RA = 5,131T DAB = RA = 5,131T
DP3 = 10,549 – 3x2 – 6 = -1,451 T DP3 = 10,549 – 3x2 – 6 = -1,451 T DP1 = 5,131 – 6 = -0,869 T
DP1 = 5,131 – 6 = -0,869 T DCB = -1,451 – 3x2 = -7,451 T DCB = -1,451 – 3x2 = -7,451 T DP2 = -0,869 – 6 = -6,869 T DP2 = -0,869 – 6 = -6,869 T DCD = -7,451 + 10,451 = 3 T DCD = -7,451 + 10,451 = 3 T DBC = -6,869 +17,418 = 10,549 T DBC = -6,869 +17,418 = 10,549 T DD = 3 – 3.1 = 0 (OK)
DD = 3 – 3.1 = 0 (OK)
Gambar Bidang Momen dan Bidang Lintang : Gambar Bidang Momen dan Bidang Lintang :
