2 BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Definisi Graf
Sebuah graf πΊπΊ didefinisikan sebagai pasangan terurut dua himpunan, yaitu himpunan hingga tak kosong ππ(πΊπΊ) yang elemen β elemennya disebut titik atau simpul (vertex) dan himpunan berhingga yang mungkin kosong πΈπΈ(πΊπΊ) yang dimana elemen-elemennya disebut sisi (edge) sedemikian hingga setiap elemen dalam πΈπΈ(πΊπΊ) merupakan pasangan tak berurutan dari titik β titik di ππ(πΊπΊ). Vertex adalah titik, sedangkan edge adalah segmen garis yang menghubungkan dua vertex. Sisi ππ = (π’π’,π£π£) dikatakan menghubungkan titik π’π’ dan π£π£. ππ(πΊπΊ) disebut himpunan titik dari graf πΊπΊ dan πΈπΈ(πΊπΊ) disebut himpunan sisi dari graf πΊπΊ (Suryanto. 1986).
Gambar 2. 1 Graf G
Dari Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa ππ(πΊπΊ) = {π£π£1, π£π£2, π£π£3, π£π£4, π£π£5} dan πΈπΈ(πΊπΊ) = {ππ1,ππ2,ππ3,ππ4,ππ5,ππ6,ππ7}. Sisi ππ= (π’π’,π£π£) dikatakan menghubungkan titik π’π’ dan π£π£, jika ππ= (π’π’,π£π£) merupakan sisi di graf πΊπΊ, maka π’π’ dan π£π£ disebut terhubung. Titik π£π£1 dan π£π£2, π£π£1 dan π£π£4,π£π£1 dan π£π£5, π£π£2 dan π£π£3, π£π£2 dan π£π£4, π£π£3 dan π£π£4, π£π£4 dan π£π£5 terhubung langsung, sedangkan titik π£π£1 dan π£π£3, π£π£2 dan π£π£5, π£π£3 dan π£π£5 tidak terhubung langsung.
3 2.2 Jenis-Jenis Graf
Graf dibagi menjadi beberapa jenis (kategori) sesuai dengan jenis pengelompokannya. Pengelompokan graf terbagi berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau gelang, berdasarkan jumlah simpul, atau berdasarkan orientasi arah sisi.
2.2.1 Jenis Graf Berdasarkan Sisi Ganda
Berdasarkan pengelompokan ada tidaknya sisi ganda atau gelang maka dibagi menjadi dua jenis, yaitu graf sederhana (simple graph) dan graf tak sederhana (unsimple graph).
1. Graf Sederhana (Simple Graph)
Graf sederhana adalah graf yang tidak mempunyai loop dan sisi rangkap.
Sisi rangkap dari suatu graf adalah jika dua titik yang dihubungkan oleh lebih dari satu sisi. Sedangkan yang disebut dengan loop adalah suatu sisi yang menghubungkan suatu titik dengan dirinya sendiri (Fatkhiyah, 2010).
2. Graf Tak Sederhana (Unsimple Graph)
Graf tak sederhana merupakan graf yang memiliki sisi ganda (multiple edges) dan/ atau gelang (loop). Graf tak sederhana dibedakan menjadi dua, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph).
a. Graf Ganda (Multigraph)
Graf ganda, yaitu graf yang mengandung sisi ganda. Sisi ganda menghubungkan satu simpul dengan dua atau lebih sisi, serta tidak mengandung gelang (loop). Selain itu, graf ganda juga dapat didefinisikan sebagai πΊπΊ = (ππ,πΈπΈ) yang terdiri dari himpunan tak kosong simpul dengan πΈπΈ adalah himpunan ganda (multiset) yang memuat sisi ganda seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.2 (Munir, 2010).
4 Gambar 2. 2 Graf Ganda (Multigraph)
b. Graf Semu (Pseudograph)
Graf semu, yaitu graf yang mengandung gelang (loop). Berbeda dengan graf ganda yang tidak boleh memiliki gelang (loop), graf semu dapat memiliki sisi ganda. Graf ini lebih umum dibandingkan dengan graf ganda karena dapat terhubung ke dirinya seperti pada Gambar 2.3 (Munir, 2010).
Gambar 2. 3 Graf Semu (Pseudograph)
2.2.2 Jenis Graf Berdasarkan Orientasi Arah
Sisi pada graf memiliki orientasi arah. Berdasarkan orientasi arah pada sisi tersebut, maka jenis graf dibagi menjadi dua, yaitu graf tak berarah (undirected graph) dan graf berarah (directed graph atau digraph).
1. Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Graf tak berarah, yaitu graf yang tidak memiliki orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan graf tidak diperhatikan seperti pada Gambar 2.4. Jadi, (π’π’, π£π£) = (π£π£, π’π’) merupakan pasangan sisi yang sama (Munir, 2010).
5 Gambar 2. 4 Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
2. Graf Berarah (Directed Graph atau Digraph)
Graf berarah, yaitu graf yang sisi-sisinya memiliki orientasi arah seperti pada Gambar 2.6. Sisi yang memiliki arah biasa disebut dengan busur (arc). Pada graf berarah, (π’π’, π£π£) dan (π£π£, π’π’) menyatakan dua busur yang berbeda, sehingga dapat ditulis (π’π’, π£π£) β (π£π£, π’π’). Pada busur (π’π’, π£π£) simpul π’π’ dinamakan simpul asal (initial vertex), sedangkan simpul π£π£ dinamakan simpul terminal (terminal vertex). Pada graf berarah diperbolehkan terdapat gelang (loop), sedangkan pada sisi ganda tidak diperbolehkan (Munir, 2010).
Gambar 2. 5 Graf Berarah (Digraph)
Definisi graf berarah dapat diperluas sehingga mencakup graf ganda berarah (directed multigraph). Pada graf ganda berarah, gelang (loop) serta sisi ganda diperbolehkan seperti pada Gambar 2.6 (Munir, 2010).
6 Gambar 2. 6 Graf Ganda Berarah (Directed Multigraph)
2.2.3 Jenis Graf Berdasarkan Jumlah Simpul
Diketahui bahwa suatu graf pasti terdiri dari paling sedikit satu simpul.
Berdasarkan jumlah simpulnya, maka graf dibedakan menjadi dua, yaitu graf berhingga dan graf tak berhingga (Miftahurrahmah, 2016).
1. Graf Berhingga
Graf berhingga, yaitu graf yang simpulnya terdiri dari ππ buah.
Dengan kata lain, simpul grafnya berhingga, yaitu ππ < β (Miftahurrahmah, 2016). Contoh graf berhingga ditunjukkan pada Gambar 2.7 dengan ππ = 10.
Gambar 2. 7 Graf Berhingga
7 2. Graf Tak Berhingga
Graf tak berhingga, yaitu graf yang jumlah simpulnya tak terhingga. Dengan kata lain, grafnya terdiri dari simpul berjumlah ππ = β (Miftahurrahmah, 2016).
Contoh graf tak berhingga ditunjukkan pada Gambar 2.8.
Gambar 2. 8 Graf Tak Berhingga
Selain itu, beberapa graf juga diberi penamaan serta pendefinisian berdasarkan klasifikasi graf khusus sederhana, diantaranya, yaitu graf siklik dan graf lintasan.
1. Graf Siklik (πΆπΆππ)
Graf siklik atau graf lingkaran merupakan graf dengan ππ simpul, di mana ππ β₯ 3, dengan masing-masing simpulnya berderajat dua. Graf siklik dengan ππ simpul dilambangkan dengan πΆπΆππ (Miftahurrahmah, 2016). Contoh graf siklik ditunjukkan pada Gambar 2.9.
Gambar 2.9 Graf Siklik
2. Graf Lintasan (ππππ)
Graf lintasan adalah suatu graf yang terdiri atas sebuah lintasan tunggal.
Graf lintasan dengan ππ verteks dilambangkan ππππ. Graf ππππ memiliki ππ-tepi dan dapat
πΆπΆ3 πΆπΆ4 πΆπΆ5
8 diperoleh dari graf siklus πΆπΆππ dengan menghapus sebuah sisi. Contoh graf lintasan ditunjukkan pada Gambar 2.10.
Gambar 2.10 Graf Lintasan
2.3 Fungsi
Misal π΄π΄ dan π΅π΅ merupakan suatu himpunan tak kosong, dimana fungsi dari π΄π΄ yang dipetakan ke π΅π΅ merelasikan tepat satu elemen di π΅π΅ ke setiap eleman di π΄π΄. Hal ini dapat dituliskan dengan ππ(ππ) = ππ, untuk semua elemen ππ β π΅π΅ yang dipasangkan oleh fungsi ππ ke ππ β π΄π΄. Fungsi ππ dari π΄π΄ ke π΅π΅ biasa dinotasikan dengan ππ: π΄π΄ β π΅π΅. Jika ππ merupakan fungsi yang memetakan π΄π΄ ke π΅π΅ maka π΄π΄ merupakan domain dari ππ dan π΅π΅ merupakan codomain dari ππ. Adapun daerah hasil dari ππ yang merupakan anggota himpunan dari elemen π΄π΄ disebut range (Rosen, 2012).
Fungsi dibedakan menjadi 3 jenis, yaitu fungsi pada (surjektif), fungsi satu- satu (injektif), dan fungsi satu-satu pada (bijektif). Dikatakan fungsi pada jika dan hanya jika setiap ππ β π΅π΅ terdapat ππ β π΄π΄ sehingga ππ(ππ) = ππ. Di dalam fungsi pada, elemen himpunan π΅π΅ merupakan bayangan dari satu atau lebih himpunan π΄π΄. Untuk fungsi yang dikatakan satu-satu jika dan hanya jika ππ(ππ) = ππ(ππ) sehingga ππ = ππ untuk setiap ππ, ππ β π΄π΄. Dengan kata lain, pada fungsi satu-satu himpunan π΄π΄ tidak memiliki bayangan yang sama. Sedangkan untuk fungsi satu-satu pada merupakan gabungan dari kedua jenis fungsi tersebut (Rosen, 2012).
2.4 Pelabelan Graf
Pelabelan graf merupakan suatu pemetaan bijektif yang memetakan setiap unsur pada graf (titik, sisi, maupun keduanya) ke dalam himpunan bilangan bulat positif tertentu. Bilangan positif yang merupakan nilai pemetaan pada setiap unsur di graf disebut label. Selain itu, juga terdapat istilah bobot yang merupakan jumlah
ππ1 ππ2 ππ3 ππ4
9 label yang terkait dengan elemen graf yang dinotasikan dengan π€π€. Pada pelabelan terdapat berbagai jenis pelabelan, yaitu pelabelan titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total (Baca dan Miller, 2008).
2.4.1 Pelabelan Titik (Vertex Labeling)
Suatu pelabelan pada graf dikatakan pelabelan titik jika pemetaan bijektif memetakan titik ke bilangan bulat positif (Baca dan Miller, 2008). Dengan kata lain, daerah asal (domain) dari pemetaan tersebut adalah titik. Contoh dari pelabelan titik dapat dilihat pada Gambar 2.11 sebagai berikut.
Gambar 2.11 Pelabelan Titik 2.4.2 Pelabelan Sisi (Edge Labeling)
Suatu pelabelan pada graf dikatakan pelabelan sisi jika pemetaan bijektif memetakan sisi ke bilangan bulat positif (Baca dan Miller, 2008). Dengan kata lain, daerah asal (domain) dari pemetaan tersebut adalah sisi. Contoh dari pelabelan sisi dapat dilihat pada Gambar 2.12 sebagai berikut.
Gambar 2. 12 Pelabelan Sisi
10 2.4.3 Pelabelan Total (Total Labeling)
Suatu pelabelan pada graf dikatakan pelabelan total jika pemetaan bijektif memetakan semua unsur baik titik maupun sisi ke bilangan bulat positif (Baca dan Miller, 2008). Dengan kata lain daerah asal (domain) dari pemetaan tersebut adalah titik dan sisi. Contoh dari pelabelan total dapat dilihat pada Gambar 2.13 sebagai berikut.
1 6 2
5 7
4 8 3 Gambar 2. 13 Pelabelan Total
2.5 Pelabelan Total Super (ππ,π π )-Sisi Ajaib
Pelabelan pelabelan dikatakan sebagai pelabelan ajaib jika ada fungsi bijektif dari unsur-unsur pada graf yang berupa titik, sisi, atau titik dan sisi sehingga dapat menghasilkan suatu konstanta k yang disebut dengan nilai ajaib (magic value).
Pelabelan ajaib yang ada di antaranya pelabelan total sisi-ajaib, pelabelan total super sisi ajaib, pelabelan total titik ajaib, dan pelabelan total super titik ajaib (Baca dan Miller, 2008).
Misalkan terdapat graf G merupakan graf dengan himpunan titik ππ (πΊπΊ) dan himpunan sisi πΈπΈ(πΊπΊ). Suatu pelabelan total sisi ajaib pada graf G dengan π£π£ titik dan ππ sisi adalah suatu fungsi bijektif ππ βΆ ππ (πΊπΊ) βͺ πΈπΈ(πΊπΊ) β {1, 2, 3,Β· Β· Β· ,π£π£ + ππ}
sedemikian sehingga fungsi ππ(π’π’) + ππ(π£π£) + ππ(π’π’π£π£) = ππ, untuk setiap π’π’π£π£ β πΈπΈ(πΊπΊ) dengan ππ konstanta. ππ dikatakan sebuah pelabelan total super sisi ajaib dari graf πΊπΊ jika ππ βΆ ππ (πΊπΊ) β {1, 2, 3,Β· Β· Β· ,π£π£}.
2.6 Pelabelan Total Super (ππ,π π )-Sisi Anti Ajaib
Pelabelan total (ππ,ππ)-sisi anti ajaib pertama kali diperkenalkan oleh Rinovia Simanjuntak, Mirka Miller, dan Francois Bertault pada tahun 2000.
11 Pelabelan total (ππ,ππ)-sisi anti ajaib pada graf πΊπΊ didefinisikan sebagai pemetaan satu-satu dan pada dari ππ(πΊπΊ)βπΈπΈ(πΊπΊ) pada {1,2, β¦ , |ππ| + |πΈπΈ|} dalam himpunan {ππ(π£π£) +ππ(π’π’π£π£) +ππ(π’π’)|π’π’π£π£ β πΈπΈ}, dimana π£π£ adalah jarak pada setiap ππ adalah {ππ,ππ+ππ, β¦ ,ππ+ (|ππ|β1)ππ} (Gallian, 2009).
Apabila semua sisi mempunyai bobot sisi berbeda dan himpunan bobot sisi dari semua sisi membentuk barisan artimatika dengan ππ adalah suku pertama dan ππ adalah beda maka disebut sebagai pelabelan total (ππ,ππ)-sisi anti ajaib.
Suatu pelabelan total (a, d)-sisi anti ajaib disebut super, ditulis pelabelan total super (a, d)-sisi anti ajaib jika sisi dari graf πΊπΊ tersebut diberi label {1, 2, . . . ,π£π£}
dan ππ(πΈπΈ(πΊπΊ)) = {π£π£ + 1,π£π£ + 2, . . . ,π£π£+ ππ}. Jika ππ = 0 maka suatu pelabelan total (ππ, 0)βsisianti ajaib tersebut juga merupakan pelabelan total sisi ajaib dengan ππ = ππ. Contoh dari pelabelan total super (ππ,ππ)-sisi anti ajaib dapat dilihat pada Gambar 2.14 sebagai berikut.
Gambar 2. 14 Pelabelan Total Sisi Anti Ajaib
Pada Gambar 2.14 dapat dilihat bahwa bobot dari semua sisi membentuk suatu barisan aritmatika dengan nilai 8,9,10 di mana ππ = 8 dan ππ = 1.
2.6 Graf Hasil Operasi Korona
Operasi korona dari dua graf, misalnya graf πΊπΊ dan π»π» didefinisikan sebagai graf yang diperoleh dengan mengambil sebuah graf πΊπΊ dan graf π»π» yang diduplikasi sebanyak |ππ (πΊπΊ)| yaitu π»π»ππ , dengan ππ = 1,2, β¦ , |ππ (πΊπΊ)|, kemudian menghubungkan titik ke-ππ dari πΊπΊ ke setiap titik di π»π»ππ (Mursyidah dan Rahmawati,
12 2017). Contoh dari graf hasil operasi korona adalah πΆπΆ3β¨ππ1 yang dapat dilihat pada Gambar 2.15 sebagai berikut.
Gambar 2.15 Konstruksi Graf Korona πΆπΆ3β ππ1 2.6.1 Sifat Komutatif Pada Graf Hasil Operasi Korona
Sifat komutatif merupakan sifat operasi hitung pada 2 buah bilangan yang memenuhi pertukaran letak antar bilangan. Sifat Graf korona tidak memiliki suatu sifat komutatif yang berarti hasil dari operasi graf korona tersebut tidak memiliki hasil yang sama.
a. Operasi korona pada graf
Misalkan terdapat operasi graf πΊπΊβ¨π»π», di mana πΊπΊ = π»π».
|ππ(πΊπΊ)| =ππ
|ππ(π»π»)| =ππ di mana ππ β ππ
Kemudian |ππ(πΊπΊβ¨π»π»)| =ππ+ππππ dan |ππ(π»π»β¨πΊπΊ)| =ππ+ππππ, karena ππ β ππ maka
πΆπΆ3
ππ1
πΆπΆ3β ππ1
13
|ππ(πΊπΊβ¨π»π»)|β |ππ(π»π»β¨πΊπΊ)|
Dapat disimpulkan bahwa πΊπΊβ¨π»π» β π»π»β¨πΊπΊ atau operasi korona tidak komutatif.
Sebagai contoh dapat dilihat hasil operasi ππ2β ππ3dan ππ3β ππ2 pada Gambar 2.16 dan Gambar 2.17 sebagai berikut.
Gambar 2.16 Graf ππ2β ππ3
Gambar 2.17 Graf ππ3β ππ2
Berdasarkan pada Gambar 2.16 dan Gambar 2.17 dapat dibuktikan bahwa graf hasil operasi korona tidak bersifat komutatif.
2.6.2 Operasi Korona Pada 3 Buah Graf
Pada subbab ini akan ditunjukkan operasi korona pada 3 buah graf. Contoh dari operasi korona pada 3 buah graf dapat dilihat pada Gambar 2.18 sebagai berikut.
14 Gambar 2.18 Graf ππ2β ππ2β ππ2
2.7 Penelitian Terdahulu
Pada sub bab ini akan ditunjukkan beberapa penelitian terdahulu dengan topik yang sama. Penilitian terdahulu akan menjadi acuan dalam mengerjakan penelitian saat ini. Berikut merupakan beberapa referensi mengenai penelitian terdahulu dalam penilitian ini.
Tabel 2.1 Penelitian Terdahulu No Nama, Tahun Publikasi, dan
Judul d Hasil
1 (Ira, 2011), Pelabelan Total Super (a, d)βSisi Antimagic Pada Graf Tangga (πππ‘π‘ππ)
ππ β€2 ππ β {0,1,2} ;ππ β₯2
2 (Yunika, 2015), Pelabelan Total Super (a, d)βSisi Antimagic Pada Graf Daun (ππππππ)
ππ β€2 ππ β {0,1,2} ;ππ β₯1
3 (Muafa, 2015), Pelabelan Total Super (a, d)βSisi
ππ β€2 ππ β {0,1,2} ;ππ β₯2, π π β₯3
15 Antimagic Pada
Graf Sisir (ππππ)
4 (Aprilia, 2015), Pelabelan Total Super (a, d)βSisi Antimagic Pada Graf Semi Parasut (ππππ2ππβ1)
ππ β€2 ππ β{0,1,2} ;ππ β₯1
5 (L. Syakdiyah, 2011), Pelabelan Total Super (a, d)βSisi Antimagic Pada Graf (ππππππππ)
ππ < 3 1. ππ β{0,1,2},ππ β₯3 ganjil
2. ππ β{1},ππ β₯2 dan ππ sembarang
6 (Ira, 2011), Pelabelan Total Super (a, d)βSisi Antimagic Pada Graf (πππππ‘π‘ππ)
ππ β€2 1. ππ β{0,1,2},ππ β₯3 ganjil ππ β₯2 2. ππ β{0,1,3},ππ β₯2
sembarang ππ β₯2 7 (Agnes, 2014),
Pelabelan Total Super (a, d)βSisi Antimagic Pada Graf οΏ½ππππππππ,πποΏ½
ππ < 3 ππ β{0,1,2}, ππ β₯2
ππ β₯2 dan genap ππ β₯3 dan ganjil 8 (Yunika, 2015),
Pelabelan Total Super (a, d)βSisi Antimagic Pada Graf (ππππππππ)
ππ < 3 ππ β{0, ,2},
ππ β₯1 dan n ganjil ππ β₯2 dan m ganjil ππ β₯3 untuk n ganjil dan ππ= 1 ππππππ 4
9 (Aprilia, 2015), Pelabelan Total Super (a, d)βSisi Antimagic Pada Graf (ππππππ2ππβ1)
ππ < 3 1. Jika ππ β{0,1,2} untuk ππ β₯2 dan ganjil 2. Jika ππ β{0,1,2} untuk
ππ β₯3,ππ β₯2 dan ππ ganjil
3. Jika ππ β{0,1,2} untuk ππ β₯2,
ππ= 1 ππππππ 4,ππ genap 10 (Saputra, Angga, 2016),
Pelabelan Total Super (a, d)βSisi Antimagic Pada Korona πΆπΆππβ¨ππ2
1. Pelabelan total super
οΏ½7ππ2 + 2,2οΏ½,οΏ½13ππβ12 + 3,0οΏ½,οΏ½11ππβ92 , 1οΏ½ untuk setiap ππ ganjil, ππ β₯3 pada graf tertutup
16 2. Pelabelan total super
οΏ½7ππππ+12 + 3,0οΏ½,οΏ½15ππππ+12 + 1,0οΏ½,οΏ½ππ(11ππβ9)2 β3,1οΏ½
untuk setiap ππ ππππππ ππ ganjil, ππ β₯ 3 pada graf gabungan saling lepas
