2 BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Definisi Graf
Sebuah graf 𝐺𝐺 didefinisikan sebagai pasangan terurut dua himpunan, yaitu himpunan hingga tak kosong 𝑉𝑉(𝐺𝐺) yang elemen – elemennya disebut titik atau simpul (vertex) dan himpunan berhingga yang mungkin kosong 𝐸𝐸(𝐺𝐺) yang dimana elemen-elemennya disebut sisi (edge) sedemikian hingga setiap elemen dalam 𝐸𝐸(𝐺𝐺) merupakan pasangan tak berurutan dari titik – titik di 𝑉𝑉(𝐺𝐺). Vertex adalah titik, sedangkan edge adalah segmen garis yang menghubungkan dua vertex. Sisi 𝑒𝑒 = (𝑢𝑢,𝑣𝑣) dikatakan menghubungkan titik 𝑢𝑢 dan 𝑣𝑣. 𝑉𝑉(𝐺𝐺) disebut himpunan titik dari graf 𝐺𝐺 dan 𝐸𝐸(𝐺𝐺) disebut himpunan sisi dari graf 𝐺𝐺 (Suryanto. 1986).
Gambar 2. 1 Graf G
Dari Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa 𝑉𝑉(𝐺𝐺) = {𝑣𝑣1, 𝑣𝑣2, 𝑣𝑣3, 𝑣𝑣4, 𝑣𝑣5} dan 𝐸𝐸(𝐺𝐺) = {𝑒𝑒1,𝑒𝑒2,𝑒𝑒3,𝑒𝑒4,𝑒𝑒5,𝑒𝑒6,𝑒𝑒7}. Sisi 𝑒𝑒= (𝑢𝑢,𝑣𝑣) dikatakan menghubungkan titik 𝑢𝑢 dan 𝑣𝑣, jika 𝑒𝑒= (𝑢𝑢,𝑣𝑣) merupakan sisi di graf 𝐺𝐺, maka 𝑢𝑢 dan 𝑣𝑣 disebut terhubung. Titik 𝑣𝑣1 dan 𝑣𝑣2, 𝑣𝑣1 dan 𝑣𝑣4,𝑣𝑣1 dan 𝑣𝑣5, 𝑣𝑣2 dan 𝑣𝑣3, 𝑣𝑣2 dan 𝑣𝑣4, 𝑣𝑣3 dan 𝑣𝑣4, 𝑣𝑣4 dan 𝑣𝑣5 terhubung langsung, sedangkan titik 𝑣𝑣1 dan 𝑣𝑣3, 𝑣𝑣2 dan 𝑣𝑣5, 𝑣𝑣3 dan 𝑣𝑣5 tidak terhubung langsung.
3 2.2 Jenis-Jenis Graf
Graf dibagi menjadi beberapa jenis (kategori) sesuai dengan jenis pengelompokannya. Pengelompokan graf terbagi berdasarkan ada tidaknya sisi ganda atau gelang, berdasarkan jumlah simpul, atau berdasarkan orientasi arah sisi.
2.2.1 Jenis Graf Berdasarkan Sisi Ganda
Berdasarkan pengelompokan ada tidaknya sisi ganda atau gelang maka dibagi menjadi dua jenis, yaitu graf sederhana (simple graph) dan graf tak sederhana (unsimple graph).
1. Graf Sederhana (Simple Graph)
Graf sederhana adalah graf yang tidak mempunyai loop dan sisi rangkap.
Sisi rangkap dari suatu graf adalah jika dua titik yang dihubungkan oleh lebih dari satu sisi. Sedangkan yang disebut dengan loop adalah suatu sisi yang menghubungkan suatu titik dengan dirinya sendiri (Fatkhiyah, 2010).
2. Graf Tak Sederhana (Unsimple Graph)
Graf tak sederhana merupakan graf yang memiliki sisi ganda (multiple edges) dan/ atau gelang (loop). Graf tak sederhana dibedakan menjadi dua, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph).
a. Graf Ganda (Multigraph)
Graf ganda, yaitu graf yang mengandung sisi ganda. Sisi ganda menghubungkan satu simpul dengan dua atau lebih sisi, serta tidak mengandung gelang (loop). Selain itu, graf ganda juga dapat didefinisikan sebagai 𝐺𝐺 = (𝑉𝑉,𝐸𝐸) yang terdiri dari himpunan tak kosong simpul dengan 𝐸𝐸 adalah himpunan ganda (multiset) yang memuat sisi ganda seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.2 (Munir, 2010).
4 Gambar 2. 2 Graf Ganda (Multigraph)
b. Graf Semu (Pseudograph)
Graf semu, yaitu graf yang mengandung gelang (loop). Berbeda dengan graf ganda yang tidak boleh memiliki gelang (loop), graf semu dapat memiliki sisi ganda. Graf ini lebih umum dibandingkan dengan graf ganda karena dapat terhubung ke dirinya seperti pada Gambar 2.3 (Munir, 2010).
Gambar 2. 3 Graf Semu (Pseudograph)
2.2.2 Jenis Graf Berdasarkan Orientasi Arah
Sisi pada graf memiliki orientasi arah. Berdasarkan orientasi arah pada sisi tersebut, maka jenis graf dibagi menjadi dua, yaitu graf tak berarah (undirected graph) dan graf berarah (directed graph atau digraph).
1. Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Graf tak berarah, yaitu graf yang tidak memiliki orientasi arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan graf tidak diperhatikan seperti pada Gambar 2.4. Jadi, (𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = (𝑣𝑣, 𝑢𝑢) merupakan pasangan sisi yang sama (Munir, 2010).
5 Gambar 2. 4 Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
2. Graf Berarah (Directed Graph atau Digraph)
Graf berarah, yaitu graf yang sisi-sisinya memiliki orientasi arah seperti pada Gambar 2.6. Sisi yang memiliki arah biasa disebut dengan busur (arc). Pada graf berarah, (𝑢𝑢, 𝑣𝑣) dan (𝑣𝑣, 𝑢𝑢) menyatakan dua busur yang berbeda, sehingga dapat ditulis (𝑢𝑢, 𝑣𝑣) ≠ (𝑣𝑣, 𝑢𝑢). Pada busur (𝑢𝑢, 𝑣𝑣) simpul 𝑢𝑢 dinamakan simpul asal (initial vertex), sedangkan simpul 𝑣𝑣 dinamakan simpul terminal (terminal vertex). Pada graf berarah diperbolehkan terdapat gelang (loop), sedangkan pada sisi ganda tidak diperbolehkan (Munir, 2010).
Gambar 2. 5 Graf Berarah (Digraph)
Definisi graf berarah dapat diperluas sehingga mencakup graf ganda berarah (directed multigraph). Pada graf ganda berarah, gelang (loop) serta sisi ganda diperbolehkan seperti pada Gambar 2.6 (Munir, 2010).
6 Gambar 2. 6 Graf Ganda Berarah (Directed Multigraph)
2.2.3 Jenis Graf Berdasarkan Jumlah Simpul
Diketahui bahwa suatu graf pasti terdiri dari paling sedikit satu simpul.
Berdasarkan jumlah simpulnya, maka graf dibedakan menjadi dua, yaitu graf berhingga dan graf tak berhingga (Miftahurrahmah, 2016).
1. Graf Berhingga
Graf berhingga, yaitu graf yang simpulnya terdiri dari 𝑛𝑛 buah.
Dengan kata lain, simpul grafnya berhingga, yaitu 𝑛𝑛 < ∞ (Miftahurrahmah, 2016). Contoh graf berhingga ditunjukkan pada Gambar 2.7 dengan 𝑛𝑛 = 10.
Gambar 2. 7 Graf Berhingga
7 2. Graf Tak Berhingga
Graf tak berhingga, yaitu graf yang jumlah simpulnya tak terhingga. Dengan kata lain, grafnya terdiri dari simpul berjumlah 𝑛𝑛 = ∞ (Miftahurrahmah, 2016).
Contoh graf tak berhingga ditunjukkan pada Gambar 2.8.
Gambar 2. 8 Graf Tak Berhingga
Selain itu, beberapa graf juga diberi penamaan serta pendefinisian berdasarkan klasifikasi graf khusus sederhana, diantaranya, yaitu graf siklik dan graf lintasan.
1. Graf Siklik (𝐶𝐶𝑛𝑛)
Graf siklik atau graf lingkaran merupakan graf dengan 𝑛𝑛 simpul, di mana 𝑛𝑛 ≥ 3, dengan masing-masing simpulnya berderajat dua. Graf siklik dengan 𝑛𝑛 simpul dilambangkan dengan 𝐶𝐶𝑛𝑛 (Miftahurrahmah, 2016). Contoh graf siklik ditunjukkan pada Gambar 2.9.
Gambar 2.9 Graf Siklik
2. Graf Lintasan (𝑃𝑃𝑛𝑛)
Graf lintasan adalah suatu graf yang terdiri atas sebuah lintasan tunggal.
Graf lintasan dengan 𝑛𝑛 verteks dilambangkan 𝑃𝑃𝑛𝑛. Graf 𝑃𝑃𝑛𝑛 memiliki 𝑛𝑛-tepi dan dapat
𝐶𝐶3 𝐶𝐶4 𝐶𝐶5
8 diperoleh dari graf siklus 𝐶𝐶𝑛𝑛 dengan menghapus sebuah sisi. Contoh graf lintasan ditunjukkan pada Gambar 2.10.
Gambar 2.10 Graf Lintasan
2.3 Fungsi
Misal 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵 merupakan suatu himpunan tak kosong, dimana fungsi dari 𝐴𝐴 yang dipetakan ke 𝐵𝐵 merelasikan tepat satu elemen di 𝐵𝐵 ke setiap eleman di 𝐴𝐴. Hal ini dapat dituliskan dengan 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑏𝑏, untuk semua elemen 𝑏𝑏 ∈ 𝐵𝐵 yang dipasangkan oleh fungsi 𝑓𝑓 ke 𝑎𝑎 ∈ 𝐴𝐴. Fungsi 𝑓𝑓 dari 𝐴𝐴 ke 𝐵𝐵 biasa dinotasikan dengan 𝑓𝑓: 𝐴𝐴 → 𝐵𝐵. Jika 𝑓𝑓 merupakan fungsi yang memetakan 𝐴𝐴 ke 𝐵𝐵 maka 𝐴𝐴 merupakan domain dari 𝑓𝑓 dan 𝐵𝐵 merupakan codomain dari 𝑓𝑓. Adapun daerah hasil dari 𝑓𝑓 yang merupakan anggota himpunan dari elemen 𝐴𝐴 disebut range (Rosen, 2012).
Fungsi dibedakan menjadi 3 jenis, yaitu fungsi pada (surjektif), fungsi satu- satu (injektif), dan fungsi satu-satu pada (bijektif). Dikatakan fungsi pada jika dan hanya jika setiap 𝑏𝑏 ∈ 𝐵𝐵 terdapat 𝑎𝑎 ∈ 𝐴𝐴 sehingga 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑏𝑏. Di dalam fungsi pada, elemen himpunan 𝐵𝐵 merupakan bayangan dari satu atau lebih himpunan 𝐴𝐴. Untuk fungsi yang dikatakan satu-satu jika dan hanya jika 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑓𝑓(𝑏𝑏) sehingga 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 untuk setiap 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ 𝐴𝐴. Dengan kata lain, pada fungsi satu-satu himpunan 𝐴𝐴 tidak memiliki bayangan yang sama. Sedangkan untuk fungsi satu-satu pada merupakan gabungan dari kedua jenis fungsi tersebut (Rosen, 2012).
2.4 Pelabelan Graf
Pelabelan graf merupakan suatu pemetaan bijektif yang memetakan setiap unsur pada graf (titik, sisi, maupun keduanya) ke dalam himpunan bilangan bulat positif tertentu. Bilangan positif yang merupakan nilai pemetaan pada setiap unsur di graf disebut label. Selain itu, juga terdapat istilah bobot yang merupakan jumlah
𝑃𝑃1 𝑃𝑃2 𝑃𝑃3 𝑃𝑃4
9 label yang terkait dengan elemen graf yang dinotasikan dengan 𝑤𝑤. Pada pelabelan terdapat berbagai jenis pelabelan, yaitu pelabelan titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total (Baca dan Miller, 2008).
2.4.1 Pelabelan Titik (Vertex Labeling)
Suatu pelabelan pada graf dikatakan pelabelan titik jika pemetaan bijektif memetakan titik ke bilangan bulat positif (Baca dan Miller, 2008). Dengan kata lain, daerah asal (domain) dari pemetaan tersebut adalah titik. Contoh dari pelabelan titik dapat dilihat pada Gambar 2.11 sebagai berikut.
Gambar 2.11 Pelabelan Titik 2.4.2 Pelabelan Sisi (Edge Labeling)
Suatu pelabelan pada graf dikatakan pelabelan sisi jika pemetaan bijektif memetakan sisi ke bilangan bulat positif (Baca dan Miller, 2008). Dengan kata lain, daerah asal (domain) dari pemetaan tersebut adalah sisi. Contoh dari pelabelan sisi dapat dilihat pada Gambar 2.12 sebagai berikut.
Gambar 2. 12 Pelabelan Sisi
10 2.4.3 Pelabelan Total (Total Labeling)
Suatu pelabelan pada graf dikatakan pelabelan total jika pemetaan bijektif memetakan semua unsur baik titik maupun sisi ke bilangan bulat positif (Baca dan Miller, 2008). Dengan kata lain daerah asal (domain) dari pemetaan tersebut adalah titik dan sisi. Contoh dari pelabelan total dapat dilihat pada Gambar 2.13 sebagai berikut.
1 6 2
5 7
4 8 3 Gambar 2. 13 Pelabelan Total
2.5 Pelabelan Total Super (𝒂𝒂,𝒅𝒅)-Sisi Ajaib
Pelabelan pelabelan dikatakan sebagai pelabelan ajaib jika ada fungsi bijektif dari unsur-unsur pada graf yang berupa titik, sisi, atau titik dan sisi sehingga dapat menghasilkan suatu konstanta k yang disebut dengan nilai ajaib (magic value).
Pelabelan ajaib yang ada di antaranya pelabelan total sisi-ajaib, pelabelan total super sisi ajaib, pelabelan total titik ajaib, dan pelabelan total super titik ajaib (Baca dan Miller, 2008).
Misalkan terdapat graf G merupakan graf dengan himpunan titik 𝑉𝑉 (𝐺𝐺) dan himpunan sisi 𝐸𝐸(𝐺𝐺). Suatu pelabelan total sisi ajaib pada graf G dengan 𝑣𝑣 titik dan 𝑒𝑒 sisi adalah suatu fungsi bijektif 𝑓𝑓 ∶ 𝑉𝑉 (𝐺𝐺) ∪ 𝐸𝐸(𝐺𝐺) → {1, 2, 3,· · · ,𝑣𝑣 + 𝑒𝑒}
sedemikian sehingga fungsi 𝑓𝑓(𝑢𝑢) + 𝑓𝑓(𝑣𝑣) + 𝑓𝑓(𝑢𝑢𝑣𝑣) = 𝑘𝑘, untuk setiap 𝑢𝑢𝑣𝑣 ∈ 𝐸𝐸(𝐺𝐺) dengan 𝑘𝑘 konstanta. 𝑓𝑓 dikatakan sebuah pelabelan total super sisi ajaib dari graf 𝐺𝐺 jika 𝑓𝑓 ∶ 𝑉𝑉 (𝐺𝐺) → {1, 2, 3,· · · ,𝑣𝑣}.
2.6 Pelabelan Total Super (𝒂𝒂,𝒅𝒅)-Sisi Anti Ajaib
Pelabelan total (𝑎𝑎,𝑑𝑑)-sisi anti ajaib pertama kali diperkenalkan oleh Rinovia Simanjuntak, Mirka Miller, dan Francois Bertault pada tahun 2000.
11 Pelabelan total (𝑎𝑎,𝑑𝑑)-sisi anti ajaib pada graf 𝐺𝐺 didefinisikan sebagai pemetaan satu-satu dan pada dari 𝑉𝑉(𝐺𝐺)⋃𝐸𝐸(𝐺𝐺) pada {1,2, … , |𝑉𝑉| + |𝐸𝐸|} dalam himpunan {𝑓𝑓(𝑣𝑣) +𝑓𝑓(𝑢𝑢𝑣𝑣) +𝑓𝑓(𝑢𝑢)|𝑢𝑢𝑣𝑣 ∈ 𝐸𝐸}, dimana 𝑣𝑣 adalah jarak pada setiap 𝑉𝑉 adalah {𝑎𝑎,𝑎𝑎+𝑑𝑑, … ,𝑎𝑎+ (|𝑉𝑉|−1)𝑑𝑑} (Gallian, 2009).
Apabila semua sisi mempunyai bobot sisi berbeda dan himpunan bobot sisi dari semua sisi membentuk barisan artimatika dengan 𝑎𝑎 adalah suku pertama dan 𝑑𝑑 adalah beda maka disebut sebagai pelabelan total (𝑎𝑎,𝑑𝑑)-sisi anti ajaib.
Suatu pelabelan total (a, d)-sisi anti ajaib disebut super, ditulis pelabelan total super (a, d)-sisi anti ajaib jika sisi dari graf 𝐺𝐺 tersebut diberi label {1, 2, . . . ,𝑣𝑣}
dan 𝑓𝑓(𝐸𝐸(𝐺𝐺)) = {𝑣𝑣 + 1,𝑣𝑣 + 2, . . . ,𝑣𝑣+ 𝑒𝑒}. Jika 𝑑𝑑 = 0 maka suatu pelabelan total (𝑎𝑎, 0)−sisianti ajaib tersebut juga merupakan pelabelan total sisi ajaib dengan 𝑊𝑊 = 𝑎𝑎. Contoh dari pelabelan total super (𝑎𝑎,𝑑𝑑)-sisi anti ajaib dapat dilihat pada Gambar 2.14 sebagai berikut.
Gambar 2. 14 Pelabelan Total Sisi Anti Ajaib
Pada Gambar 2.14 dapat dilihat bahwa bobot dari semua sisi membentuk suatu barisan aritmatika dengan nilai 8,9,10 di mana 𝑎𝑎 = 8 dan 𝑑𝑑 = 1.
2.6 Graf Hasil Operasi Korona
Operasi korona dari dua graf, misalnya graf 𝐺𝐺 dan 𝐻𝐻 didefinisikan sebagai graf yang diperoleh dengan mengambil sebuah graf 𝐺𝐺 dan graf 𝐻𝐻 yang diduplikasi sebanyak |𝑉𝑉 (𝐺𝐺)| yaitu 𝐻𝐻𝑖𝑖 , dengan 𝑖𝑖 = 1,2, … , |𝑉𝑉 (𝐺𝐺)|, kemudian menghubungkan titik ke-𝑖𝑖 dari 𝐺𝐺 ke setiap titik di 𝐻𝐻𝑖𝑖 (Mursyidah dan Rahmawati,
12 2017). Contoh dari graf hasil operasi korona adalah 𝐶𝐶3⨀𝑃𝑃1 yang dapat dilihat pada Gambar 2.15 sebagai berikut.
Gambar 2.15 Konstruksi Graf Korona 𝐶𝐶3⊙ 𝑃𝑃1 2.6.1 Sifat Komutatif Pada Graf Hasil Operasi Korona
Sifat komutatif merupakan sifat operasi hitung pada 2 buah bilangan yang memenuhi pertukaran letak antar bilangan. Sifat Graf korona tidak memiliki suatu sifat komutatif yang berarti hasil dari operasi graf korona tersebut tidak memiliki hasil yang sama.
a. Operasi korona pada graf
Misalkan terdapat operasi graf 𝐺𝐺⨀𝐻𝐻, di mana 𝐺𝐺 = 𝐻𝐻.
|𝑉𝑉(𝐺𝐺)| =𝑚𝑚
|𝑉𝑉(𝐻𝐻)| =𝑛𝑛 di mana 𝑛𝑛 ≠ 𝑚𝑚
Kemudian |𝑉𝑉(𝐺𝐺⨀𝐻𝐻)| =𝑚𝑚+𝑚𝑚𝑛𝑛 dan |𝑉𝑉(𝐻𝐻⨀𝐺𝐺)| =𝑛𝑛+𝑚𝑚𝑛𝑛, karena 𝑛𝑛 ≠ 𝑚𝑚 maka
𝐶𝐶3
𝑃𝑃1
𝐶𝐶3⊙ 𝑃𝑃1
13
|𝑉𝑉(𝐺𝐺⨀𝐻𝐻)|≠ |𝑉𝑉(𝐻𝐻⨀𝐺𝐺)|
Dapat disimpulkan bahwa 𝐺𝐺⨀𝐻𝐻 ≠ 𝐻𝐻⨀𝐺𝐺 atau operasi korona tidak komutatif.
Sebagai contoh dapat dilihat hasil operasi 𝑃𝑃2⊙ 𝑃𝑃3dan 𝑃𝑃3⊙ 𝑃𝑃2 pada Gambar 2.16 dan Gambar 2.17 sebagai berikut.
Gambar 2.16 Graf 𝑃𝑃2⊙ 𝑃𝑃3
Gambar 2.17 Graf 𝑃𝑃3⊙ 𝑃𝑃2
Berdasarkan pada Gambar 2.16 dan Gambar 2.17 dapat dibuktikan bahwa graf hasil operasi korona tidak bersifat komutatif.
2.6.2 Operasi Korona Pada 3 Buah Graf
Pada subbab ini akan ditunjukkan operasi korona pada 3 buah graf. Contoh dari operasi korona pada 3 buah graf dapat dilihat pada Gambar 2.18 sebagai berikut.
14 Gambar 2.18 Graf 𝑃𝑃2⊙ 𝑃𝑃2⊙ 𝑃𝑃2
2.7 Penelitian Terdahulu
Pada sub bab ini akan ditunjukkan beberapa penelitian terdahulu dengan topik yang sama. Penilitian terdahulu akan menjadi acuan dalam mengerjakan penelitian saat ini. Berikut merupakan beberapa referensi mengenai penelitian terdahulu dalam penilitian ini.
Tabel 2.1 Penelitian Terdahulu No Nama, Tahun Publikasi, dan
Judul d Hasil
1 (Ira, 2011), Pelabelan Total Super (a, d)−Sisi Antimagic Pada Graf Tangga (𝑚𝑚𝑡𝑡𝑛𝑛)
𝑑𝑑 ≤2 𝑑𝑑 ∈ {0,1,2} ;𝑛𝑛 ≥2
2 (Yunika, 2015), Pelabelan Total Super (a, d)−Sisi Antimagic Pada Graf Daun (𝑚𝑚𝑔𝑔𝑛𝑛)
𝑑𝑑 ≤2 𝑑𝑑 ∈ {0,1,2} ;𝑛𝑛 ≥1
3 (Muafa, 2015), Pelabelan Total Super (a, d)−Sisi
𝑑𝑑 ≤2 𝑑𝑑 ∈ {0,1,2} ;𝑛𝑛 ≥2, 𝑠𝑠 ≥3
15 Antimagic Pada
Graf Sisir (𝑚𝑚𝑛𝑛)
4 (Aprilia, 2015), Pelabelan Total Super (a, d)−Sisi Antimagic Pada Graf Semi Parasut (𝑚𝑚𝑃𝑃2𝑛𝑛−1)
𝑑𝑑 ≤2 𝑑𝑑 ∈{0,1,2} ;𝑛𝑛 ≥1
5 (L. Syakdiyah, 2011), Pelabelan Total Super (a, d)−Sisi Antimagic Pada Graf (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑛𝑛)
𝑑𝑑 < 3 1. 𝑑𝑑 ∈{0,1,2},𝑚𝑚 ≥3 ganjil
2. 𝑑𝑑 ∈{1},𝑚𝑚 ≥2 dan 𝑚𝑚 sembarang
6 (Ira, 2011), Pelabelan Total Super (a, d)−Sisi Antimagic Pada Graf (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑡𝑡𝑛𝑛)
𝑑𝑑 ≤2 1. 𝑑𝑑 ∈{0,1,2},𝑚𝑚 ≥3 ganjil 𝑛𝑛 ≥2 2. 𝑑𝑑 ∈{0,1,3},𝑚𝑚 ≥2
sembarang 𝑛𝑛 ≥2 7 (Agnes, 2014),
Pelabelan Total Super (a, d)−Sisi Antimagic Pada Graf �𝑐𝑐𝑚𝑚𝑓𝑓𝑚𝑚,𝑛𝑛�
𝑑𝑑 < 3 𝑑𝑑 ∈{0,1,2}, 𝑛𝑛 ≥2
𝑚𝑚 ≥2 dan genap 𝑐𝑐 ≥3 dan ganjil 8 (Yunika, 2015),
Pelabelan Total Super (a, d)−Sisi Antimagic Pada Graf (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑔𝑔𝑛𝑛)
𝑑𝑑 < 3 𝑑𝑑 ∈{0, ,2},
𝑛𝑛 ≥1 dan n ganjil 𝑚𝑚 ≥2 dan m ganjil 𝑚𝑚 ≥3 untuk n ganjil dan 𝑚𝑚= 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4
9 (Aprilia, 2015), Pelabelan Total Super (a, d)−Sisi Antimagic Pada Graf (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑃𝑃2𝑛𝑛−1)
𝑑𝑑 < 3 1. Jika 𝑑𝑑 ∈{0,1,2} untuk 𝑛𝑛 ≥2 dan ganjil 2. Jika 𝑑𝑑 ∈{0,1,2} untuk
𝑚𝑚 ≥3,𝑛𝑛 ≥2 dan 𝑚𝑚 ganjil
3. Jika 𝑑𝑑 ∈{0,1,2} untuk 𝑛𝑛 ≥2,
𝑚𝑚= 1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑 4,𝑛𝑛 genap 10 (Saputra, Angga, 2016),
Pelabelan Total Super (a, d)−Sisi Antimagic Pada Korona 𝐶𝐶𝑛𝑛⨀𝑃𝑃2
1. Pelabelan total super
�7𝑛𝑛2 + 2,2�,�13𝑛𝑛−12 + 3,0�,�11𝑛𝑛−92 , 1� untuk setiap 𝑛𝑛 ganjil, 𝑛𝑛 ≥3 pada graf tertutup
16 2. Pelabelan total super
�7𝑚𝑚𝑛𝑛+12 + 3,0�,�15𝑚𝑚𝑛𝑛+12 + 1,0�,�𝑚𝑚(11𝑛𝑛−9)2 −3,1�
untuk setiap 𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑛𝑛 ganjil, 𝑛𝑛 ≥ 3 pada graf gabungan saling lepas
