PELATIHAN ONLINE 2019 FISIKA – PAKET 1

PELATIHAN ONLINE 2019

FISIKA – PAKET 1

PELATIHAN ONLINE 2019 FISIKA – PAKET 1

DERET

Dalam matematika, deret merupakan penjumlahan secara terus menerus. Pada materi ini, kita akan belajar deret yang sangat membantu pada bidang fisika, seperti deret trigonometri, logaritma, dan seterusnya.

i. Deret sin 𝑥

sin 𝑥 = 𝑥 −𝑥³ 3! +𝑥⁵

5! −𝑥⁷ 7! +𝑥⁹

9! − ⋯ = ∑(−1)^𝑛𝑥^2𝑛+1 (2𝑛 + 1)!

∞

𝑛=0

ii. Deret cos 𝑥

cos 𝑥 = 1 −𝑥² 2! +𝑥⁴

4! −𝑥⁶ 6!+𝑥⁸

8! − ⋯ = ∑(−1)^𝑛𝑥^2𝑛 (2𝑛)!

∞

𝑛=0

iii. Deret 𝑒^𝛽𝑥

𝑒^𝛽𝑥 = 1 + 𝛽𝑥 +[𝛽𝑥]²

2! +[𝛽𝑥]³

3! +[𝛽𝑥]⁴

4! + ⋯ = ∑[𝛽𝑥]^𝑛 𝑛!

∞

𝑛=0

iv. Deret ln(1 + 𝑥)

ln[1 + 𝑥] = 𝑥 −𝑥² 2 +𝑥³

3 −𝑥⁴ 4 +𝑥⁵

5 −𝑥⁶

6 + ⋯ = ∑[−1]^𝑛+1𝑥^𝑛 𝑛

∞

𝑛=0

v. Deret ln(1 − 𝑥)

ln[1 − 𝑥] = −𝑥 −𝑥² 2 −𝑥³

3 −𝑥⁴ 4 −𝑥⁵

5 −𝑥⁶

6 − ⋯ = ∑ −𝑥^𝑛 𝑛

∞

𝑛=0

APROKSIMASI

Ilmu aproksimasi merupakan ilmu pendekatan, bahasa mudahnya ilmu kira-kira. Sesuatu yang terpenting dari aproksimasi adalah “mendekati” (similar, but not exactly equal). Isaac Newton, Bapak Fisika kita, mengembangkan ilmu aproksimasinya, mungkin bisa dibilang aproksimasi dari deret, yaitu Binomial Newton.

[1 + 𝑎𝑥]^𝑛 = 1 + 𝑛𝑎𝑥 +𝑛[𝑛 − 1]

2! (𝑎𝑥)²+𝑛[𝑛 − 1][𝑛 − 2]

3! (𝑎𝑥)³+ ⋯

Dengan ini, semua dapat disederhanakan dengan syarat 𝑥 haruslah bernilai kecil dan hasil aproksimasi harus menjadi pembilang (jika dalam bentu pecahan).

Contoh :

i. Tentukan aproksimasi sampai orde 𝑥

1

√2 + 3𝑥 1

√2 + 3𝑥 = (2 + 3𝑥)⁻¹² = 1

√2(1 +3 2𝑥)

−1 2

Kita mengetahui 𝑎 =³

2 dan 𝑛 = −¹

2

PELATIHAN ONLINE 2019 FISIKA – PAKET 1

1

√2(1 +3 2𝑥)

−1 2 ≈ 1

√2(1 −3 4𝑥) Maka,

1

√2 + 3𝑥≈ 1

√2(1 −3 4𝑥) ii. Tentukan aproksimasi sampai orde 𝑥²

1 4 + 2𝑥 + 7𝑥² Asumsikan 𝛾 ≡ 2𝑥 + 7𝑥²

1 4 + 𝛾 =1

4(1 +1 4𝛾)

−1

≈1

4(1 −1 4𝛾 + 2

2!(1 4𝛾)

2

)

=1

4(1 −1

4(2𝑥 + 7𝑥²) + 1

16(2𝑥 + 7𝑥²)²)

≈1

4(1 −1

4(2𝑥 + 7𝑥²) + 1

16(4𝑥²+ 28𝑥³+ 49𝑥⁴)) =1

4(1 −1

4(2𝑥 + 7𝑥²) + 1

16(4𝑥²)) 𝑥³, 𝑥⁴ ≈ 0 karena diminta hanya sampai orde 𝑥²

Maka,

1

4 + 2𝑥 + 7𝑥² ≈1 4−1

8𝑥 + 9 16𝑥² Aproksimasi pada Deret Tertentu

Jika 𝑥 sangatlah kecil, maka i. sin 𝑥 ≈ 𝑥

ii. cos 𝑥 ≈ 1 iii. tan 𝑥 ≈ 𝑥 iv. 𝑒^𝛽𝑥 ≈ 1 + 𝛽𝑥

v. ln(1 + 𝑥) ≈ 𝑥 vi. ln(1 + 𝑥) ≈ −𝑥

Asumsikan, orde 𝑥² dan diatasnya bernilai 0 LIMIT

Limit mempunyai tujuan untuk mengetahui apa yang terjadi pada fungsi 𝑓(𝑥) ketika 𝑥 semakin mendekati suatu konstanta c. Secara notasi, limit ditulis sebagai berikut.

lim𝑥→𝑐𝑓(𝑥) = 𝐿

Persamaan diatas memberi makna persamaan 𝑓(𝑥) saat 𝑥 mendekati suatu konstanta 𝑐 dan memiliki hasil 𝐿. Perlu diingat dan dipahami dari limit, medekati bukan berarti sama (similar,

PELATIHAN ONLINE 2019 FISIKA – PAKET 1

but not exactly equal). Sehingga, kita tidak bisa mengatakan bahwa 𝑓(𝑐) = 𝑓(𝑥 → 𝑐) karena 𝑥 sekedar mendekati suatu konstanta, bukan sama.

Sifat-Sifat Limit

1. Jawaban akhir harus terdefinisi (tidak boleh ⁰

0 atau ^∞

∞ ) 2. lim

𝑥→𝑐𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘 lim

𝑥→𝑐𝑓(𝑥), dimana 𝑘 merupaka suatu konstanta 3. lim

𝑥→𝑐(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) = lim

𝑥→𝑐𝑓(𝑥) ± lim

𝑥→𝑐𝑔(𝑥) 4. lim

𝑥→𝑐(𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥)) = lim

𝑥→𝑐𝑓(𝑥) × lim

𝑥→𝑐𝑔(𝑥) 5. lim

𝑥→𝑐 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= ^{lim𝑥→𝑐𝑓(𝑥)}

𝑥→𝑐lim𝑔(𝑥), dimana lim

𝑥→𝑐𝑔(𝑥) ≠ 0 6. lim

𝑥→𝑐(𝑓(𝑥))^𝑛 = (lim

𝑥→𝑐𝑓(𝑥))^𝑛 7. lim

𝑥→𝑐^𝑛√𝑓(𝑥)= √lim^𝑛 _𝑥→𝑐𝑓(𝑥), dimana lim

𝑥→𝑐𝑓(𝑥) > 0 ketika 𝑛 genap Metode Penyelesaian Limit

Subtitusi

Metode ini hanya sekedar subtitusi nilai konstanta pada suatu fungsi. Berikut merupakan contoh metode subtitusi.

lim𝑥→22𝑥 + 5 = 2(2) + 5 = 9 Pemfaktoran

Metode ini mungkin digunakan jika subtitusi tidak berhasil atau menghasilkan jawaban yang tidak terdefinisi. Berikut merupakan contoh metode pemfaktoran.

lim𝑥→1

𝑥²− 1 𝑥 − 1 = lim

𝑥→1

(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 𝑥 − 1 = lim

𝑥→1𝑥 + 1 = 2 Perkalian Akar Sekawan

Perkalian akar sekawan dapat dibilang merasionalkan penyebut digunakan saat fungsi berupa pecahan dan belum rasional. Berikut merupakan contoh merasionalkan fungsi.

lim𝑥→4

𝑥 − 4

√𝑥 − 2= lim

𝑥→4

𝑥 − 4

√𝑥 − 2×√𝑥 + 2

√𝑥 + 2= lim

𝑥→4√𝑥 + 2 = 4 L’Hopital’s Theorem

Nanti akan dijelaskan pada submateri differensial.

Sifat Istimewa Limit Trigonometri

𝑥→0lim sin 𝑥

𝑥 = 1 𝑑𝑎𝑛 lim

𝑥→0

tan 𝑥 𝑥 = 1

PELATIHAN ONLINE 2019 FISIKA – PAKET 1

DIFFERENSIAL

Differensial terhadap 𝑥 dari fungsi 𝑦(𝑥) merupakan gradient dari kurva 𝑦(𝑥) tersebut.

Berikut merupakan sifat-sifat dari differensial.

1. ^𝑑

𝑑𝑥(𝑥^𝑛) = 𝑛𝑥^𝑛−1 2. ^𝑑

𝑑𝑥(𝑘) = 0, dimana 𝑘 merupakan suatu konstanta

3. ^𝑑

𝑑𝑥(𝑘𝑥^𝑛) = 𝑘𝑛𝑥^𝑛−1, dimana 𝑘 adalah konstanta

4. ^𝑑

𝑑𝑥(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) = ^𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) ±

𝑑 𝑑𝑥𝑔(𝑥) 5. ^𝑑

𝑑𝑥(𝑢𝑣) = 𝑢 ^𝑑

𝑑𝑥𝑣 + 𝑣 ^𝑑

𝑑𝑥𝑢 6. ^𝑑

𝑑𝑥(𝑢𝑣𝑤) = 𝑢𝑣 ^𝑑

𝑑𝑥𝑤 + 𝑢𝑤 ^𝑑

𝑑𝑥𝑣 + 𝑤𝑣 ^𝑑

𝑑𝑥𝑢 7. ^𝑑

𝑑𝑥(^𝑢

𝑣) = ¹

𝑣²(𝑣 ^𝑑

𝑑𝑥𝑢 − 𝑢 ^𝑑

𝑑𝑥𝑣)

8. ^𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑔(𝑥)) = ^𝑑

𝑑𝑥𝑔(𝑥) ×

𝑑 𝑑𝑥𝑓(𝑥)|

𝑥=𝑔(𝑥)

9. ^𝑑

𝑑𝑥ln 𝑥 =¹

𝑥

10. ^𝑑

𝑑𝑥𝑒^𝑓(𝑥) = 𝑓^′(𝑥)𝑒^𝑓(𝑥) 11. ^𝑑

𝑑𝑥sin 𝑥 = cos 𝑥 12. ^𝑑

𝑑𝑥cos 𝑥 = − sin 𝑥 13. ^𝑑

𝑑𝑥tan 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐²𝑥 14. ^𝑑

𝑑𝑥cot 𝑥 = − 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐²𝑥 15. ^𝑑

𝑑𝑥sec 𝑥 = tan 𝑥 sec 𝑥 16. ^𝑑

𝑑𝑥csc 𝑥 = − csc 𝑥 cot 𝑥 Note : 𝑢, 𝑣, 𝑤 merupakan suatu fungsi 𝑥.

Selanjutnya, kalian bisa mencoba lebih banyak untuk menurunkan rumus-rumus tersebut.

Aturan Rantai

Aturan Rantai atau Chain Rule merupakan aturan untuk memanipulasi persamaan differensial. Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥). Maka,

𝑑

𝑑𝑥𝑦 = 𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑢) = 𝑑𝑓(𝑢) 𝑑𝑥 ×𝑑𝑢

𝑑𝑢= 𝑑𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 ×𝑑𝑢

𝑑𝑥 Contoh :

Carilah ^𝑑

𝑑𝑥sin 2𝑥. 𝑢 = 2𝑥 𝑑

𝑑𝑥sin 2𝑥 = 𝑑(sin 𝑢) 𝑑𝑥 ×𝑑𝑢

𝑑𝑢=𝑑(sin 𝑢) 𝑑𝑢 ×𝑑𝑢

𝑑𝑥 = 2 cos 2𝑥 Turunan Implisit

Turunan Implisit merupakan persamaan differensial pada suatu fungsi yang tidak hanya terikat pada satu variabel.

Contoh :

Carilah gradien dari fungsi tersebut. 𝑦³+ 7𝑦 = 4𝑥𝑦

PELATIHAN ONLINE 2019 FISIKA – PAKET 1

𝑑

𝑑𝑥(𝑦³+ 7𝑦) = 𝑑

𝑑𝑥(4𝑥𝑦) 𝑑

𝑑𝑥𝑦³×𝑑𝑦

𝑑𝑦+ 7𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4 (𝑦 + 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥) 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 4𝑦

3𝑦²+ 7 − 4𝑥 Teorema L’Hopital

Aturan ini hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus limit yang mempunyai hasi tidak tentu/tidak terdefinisi, yaitu ⁰

0 dan ^∞

∞. Pada limit, ketika kita menghitung persamaan limit dengan metode subtitusi dan menghasilkan jawaban seperti diatas, kita bisa menggunakan teorema ini.

𝑥→𝑐lim 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) ≡ 𝑓^′(𝑥); ^𝑑

𝑑𝑥𝑓^′(𝑥) = 𝑓^′′(𝑥) dan seterusnya.

𝑓(𝑐) 𝑔(𝑐) =0

0

Maka, kita bisa gunakan teorema diatas yang sangat berhubungan sekali dengan differensial lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)= lim

𝑥→𝑐

𝑓^′(𝑥)

𝑔^′(𝑥)= 𝑓^′(𝑐) 𝑔^′(𝑐)

Jika ternyata, 𝑔′(𝑥) masih bernilai 0, maka turunkan lagi persamaan terhadap 𝑥 sampai jawaban terdefinisi. Sehingga, teorema ini sangat fleksibel dan dapat terus diulang jika jawaban masih tidak terdefinisi.

𝑥→𝑐lim 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)= lim

𝑥→𝑐

𝑓^′(𝑥) 𝑔^′(𝑥)= lim

𝑥→𝑐

𝑓′′(𝑥)

𝑔′′(𝑥)= ⋯ 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑡𝑒𝑟𝑢𝑠𝑛𝑦𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑎𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑠𝑖 INTEGRAL

Integral secara general bermakan luasan dibawah kurva. Berikut merupakan sifat-sifatnya.

1. ∫ 𝑥^𝑛 𝑑𝑥 = ¹

𝑛+1𝑥^𝑛+1+ 𝑐 dimana 𝑛 ≠ −1 2. ∫_𝑥¹ 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝑐

3. ∫ 𝑒^𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒^𝑥+ 𝑐

4. ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑐 5. ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐

6. ∫(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 7. ∫ 𝑓_𝛼^{𝛽 ′}(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝛽) − 𝑓(𝛼)

Pada integral tak tentu, harus ada konstanta 𝑐, dimana 𝑐 merupakan kondisi awal kurva/kondisi batas. Sedangkan integral tentu, tidak dibutuhkan konstanta 𝑐.

PELATIHAN ONLINE 2019 FISIKA – PAKET 1

Jika terdapat sebuah fungsi 𝑦(𝑥) = 𝑥²+ 4𝑥 + 5. Turunan pertama terhadap 𝑥 dari fungsi tersebut adalah 𝑦^′(𝑥) = 2𝑥 + 4. Jika kalian integralkan fungsi 𝑦′(𝑥) terhadap 𝑥, kalian tidak akan dapat konstanta 5.

∫ 2𝑥 + 4 = 𝑥²+ 4𝑥

Maka dari itu, dibutuhkan konstanta 𝑐 dengan kondisi awal kurva. Berikut contoh soal yang sesuai dengan kondisi diatas.

Tentukan 𝑦(𝑥) jika 𝑦^′(𝑥) = 2𝑥 + 4 dan 𝑦(0) = 5

𝑦(𝑥) = ∫ 2𝑥 + 4 = 𝑥²+ 4𝑥 + 𝑐 𝑦(0) = 5 = 0²+ 4(0) + 𝑐

𝑐 = 5 Maka, didapatkan 𝑦(𝑥) = 𝑥²+ 4𝑥 + 5

Metode Penyelesaian Integral

 SUBTITUSI

Metode subtitusi digunakan untuk memanipulasi persamaan. Biasanya, lambang subtitusi yang digunakan 𝑢. Lebih baik, langsung saya contohkan saja.

Contoh:

1. Tentukan ∫ sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = sin 𝑥 𝑑𝑢

𝑑𝑥 = cos 𝑥

∫ sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 cos 𝑥 𝑑𝑢

cos 𝑥= ∫ 𝑢 𝑑𝑢 =𝑢²

2 + 𝑐 =𝑠𝑖𝑛²𝑥 2 + 𝑐

 Parsial

Metode parsial merupakan perkembangan ilmu integral, dimana metode ini berkerja secara efektif dengan membagi persamaan.

∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 Contoh :

1. Tentukan ∫ 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = sin 𝑥 𝑑𝑥

𝑣 = − cos 𝑥

∫ 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 cos 𝑥 − ∫(− cos 𝑥) 𝑑𝑥

= −𝑥 cos 𝑥 + ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥 + 𝑐

PELATIHAN ONLINE 2019 FISIKA – PAKET 1

Metode parsial dapat dilakukan berkali-kali sesuai kebutuhan.

 Subtitusi Trigonometri

Teknik ini digunakan dengan menggunakan identitas trigonometri sebagai variabel subtitusi.

Mungkin, bisa dikatakan analog dengan metode subtitusi biasa. Identitas yang mungkin perlu diingat adalah

1 + 𝑡𝑎𝑛²𝑥 = 𝑠𝑒𝑐²𝑥 1 + 𝑐𝑜𝑡²𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐²𝑥

𝑠𝑖𝑛²𝑥 + 𝑐𝑜𝑠²𝑥 = 1 Contoh :

1. Tentukan ∫_√1−𝑥^𝑥 ₂𝑑𝑥

𝑥 = sin 𝜃 𝑑𝑥 = cos 𝜃 𝑑𝜃

∫ 𝑥

√1 − 𝑥²𝑑𝑥 = ∫ sin 𝜃

√1 − 𝑠𝑖𝑛²𝜃cos 𝜃 𝑑𝜃 = ∫ sin 𝜃 𝑑𝜃 = − cos 𝜃 + 𝑐 cos 𝜃 = √1 − 𝑥²

Maka, sesuai persamaan diatas

∫ 𝑥

√1 − 𝑥²𝑑𝑥 = −√1 − 𝑥²+ 𝑐

 Pecahan Rasional

Teknik ini digunakan hanya untuk memanipulasi persamaan pecahan menjadi persamaan yang lebih mudah untuk dikerjakan.

1. ^{𝑝𝑥+𝑞}

(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)= ^𝐴

𝑥−𝑎+ ^𝐵

𝑥−𝑏 dimana 𝑎 ≠ 𝑏 2. _{(𝑥−𝑎)}^{𝑝𝑥+𝑞}₂ = ^𝐴

𝑥−𝑎+ ^𝑏

(𝑥−𝑎)²

3. ^{𝑝𝑥2+𝑞𝑥+𝑟}

(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)(𝑥−𝑐)= ^𝐴

𝑥−𝑎+ ^𝐵

𝑥−𝑏+ ^𝐶

𝑥−𝑐

4. ^{𝑝𝑥2+𝑞𝑥+𝑟}

(𝑥−𝑎)²(𝑥−𝑏)= ^𝐴

𝑥−𝑎+ ^𝐵

(𝑥−𝑎)²+ ^𝐶

𝑥−𝑏

5. ^𝑝𝑥

2+𝑞𝑥+𝑟

(𝑥−𝑎)(𝑥²+𝑏𝑥+𝑐)= ^𝐴

𝑥−𝑎+ ^{𝐵𝑥+𝐶}

𝑥²+𝑏𝑥+𝑐

Sebenarnya, masih banyak lagi yang bisa dicari. Namun, hal inipun juga digunakan saat dibutuhkan.

Contoh :

1. Tentukan ∫ ^3𝑥+11

𝑥²+8𝑥+15 𝑑𝑥 3𝑥 + 11

𝑥²+ 8𝑥 + 15= 3𝑥 + 11

(𝑥 + 3)(𝑥 + 5) = 𝐴

(𝑥 + 3)+ 𝐵

(𝑥 + 5)= 𝑥(𝐴 + 𝐵) + 5𝐴 + 3𝐵 (𝑥 + 3)(𝑥 + 5)

PELATIHAN ONLINE 2019 FISIKA – PAKET 1

Eliminasi….

𝐴 + 𝐵 = 3 5𝐴 + 3𝐵 = 11 Maka, didapatkan 𝐴 = 1 dan 𝐵 = 2

∫ 3𝑥 + 11

𝑥²+ 8𝑥 + 15 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥

𝑥 + 3+ ∫ 2 𝑑𝑥

𝑥 + 5= ln(𝑥 + 3) + 2 ln(𝑥 + 5) + 𝑐

PELATIHAN ONLINE 2019 FISIKA – PAKET 1

SOAL

1. Tentukan sampai orde 𝜃²

√ 𝜃

sin 𝜃− 1 a. ^𝜃2

18

b. ^𝜃2

6

c. ^𝜃2

12

d. ^𝜃2

3

e. 0

2. Jika ln(1 + 𝑥) ≈ 𝑥(1 + 𝑎𝑥)^𝑏, tentukan 𝑎 + 𝑏.

a. ⁴¹

30

b. ⁴³

30

c. ⁷

30

d. ¹³

30

e. ²⁴

30

3. Tentukan aproksimasi deret ini sampai orde 𝑥² 1

√1 + 𝑑𝑥²+ 2𝛽𝑥 a. 1 − 𝛽𝑥 −¹

2𝑥² b. 1 − 𝛽𝑥 − 𝑥² c. 1 − 𝛽𝑥 −³

2(𝑑 + 𝛽)𝑥² d. 1 − (𝛽 + 𝑑)𝑥 −¹

2𝑥² e. 1 − 𝛽𝑥 +¹

2(3𝑑 − 𝛽)𝑥² 4. Tentukan nilai lim

𝑥→0(sin 𝑥+sin 5𝑥 6𝑥 ) a. 2

b. 1 c. ¹

2

d. ¹

3

e. −1

PELATIHAN ONLINE 2019 FISIKA – PAKET 1

5. Tentukan nilai lim

𝑥→5

√𝑥+4−√14−𝑥 𝑥²−2𝑥−15

a. ¹

24

b. ¹

6

c. ⁵

24

d. ¹

4

e. ¹

3

6. Jika garis 𝑦 = 𝑏𝑥 + 1 memotong parabola 𝑦 = 𝑥²+ 𝑥 + 𝑎 di titik (1,0). Tentukan nilai limit lim𝑥→1

𝑥²+ 𝑥 + 𝑎 𝑏𝑥 + 1 a. 3

b. 1 c. 0 d. −1 e. −3

7. Tentukan nilai lim

𝑥→∞

ln 𝑥 𝑥

a. ∞ b. 1 c. 0 d. −1 e. −∞

8. Tentukan nilai lim

𝑥→1 cos(¹

2𝜋𝑥^𝑘) ln 𝑥

a. 𝜋𝑘² b. −¹

2𝜋𝑘 c. 0 d. √𝜋𝑘 e. −√2𝜋𝑘

9. Tentukan turunan kedua terhadap 𝑥 pada fungsi 𝑦(𝑥) = 𝑥⁵− 3𝑥⁴+ 13𝑥²− 9 a. 5𝑥⁴− 12𝑥³+ 26𝑥

b. 5𝑥³− 12𝑥²+ 26 c. 20𝑥³− 36𝑥²+ 26 d. 𝑥⁴− 12𝑥³+ 26𝑥 e. 5𝑥⁴− 12𝑥³− 20𝑥

PELATIHAN ONLINE 2019 FISIKA – PAKET 1

10. Tentukan turunan pertama terhadap 𝑥 pada fungsi 𝑦(𝑥) = (sin 𝑥 + sec 𝑥)³ a. 3(sin 𝑥 + sec 𝑥)²

b. cos 𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥 c. 3(sec 𝑥 tan 𝑥 − cos 𝑥)²

d. 3(sin 𝑥 + sec 𝑥)²(cos 𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥) e. 3(sin 𝑥 + sec 𝑥)²(cos 𝑥 sin 𝑥 − tan 𝑥)

11. Tentukan turunan pertama terhadap 𝑥 pada fungsi 𝑦(𝑥) = 2^𝑥2+8 a. 2^𝑥2+∗

b. (2𝑥)2^𝑥2+9 c. 2^𝑥2+8ln 2 d. 𝑥2^𝑥2+9ln 2 e. 𝑒^𝑥2^𝑥2+8ln 2

12. Diketahui terdapat sebuah fungsi non-linear 𝑦³+ 4𝑥²𝑦 =^2𝑥

𝑦 + 𝑦²𝑥. Tentukan ^𝑑𝑦

𝑑𝑥

a. ^{2𝑦−8𝑥𝑦}

3+𝑦⁴ 3𝑦⁴+4𝑥²𝑦²+2𝑥−2𝑥𝑦³

b. ^{2𝑦+𝑥𝑦3+𝑦4}

𝑦⁴+4𝑥²𝑦²+2𝑥+2𝑥𝑦³

c. ^{2𝑦−6𝑥𝑦2+2𝑦4}

3𝑦⁴+4𝑥²𝑦²+3−2𝑥𝑦³

d. ^{2−8𝑥𝑦}

3+𝑦⁴ 4𝑥²𝑦²−2𝑥−2𝑥𝑦³

e. ^{2𝑥𝑦+𝑦4}

3𝑦⁴−𝑥²𝑦²+2𝑥−2𝑥𝑦³

13. Tentukan turunan pertama terhadap 𝑥 pada fungsi 𝑦(𝑥) = log₄𝑓(𝑥) a. ¹

ln 4𝑓′(𝑥) × ¹

𝑓(𝑥)

b. ¹

ln 4 1 𝑓(𝑥)

c. ¹

ln 4𝑓′(𝑥) d. ¹

ln 4

e. ¹

ln 4𝑓(𝑥) × ¹

𝑓′(𝑥)

14. Untuk −^𝜋

8 < 𝛿 < ^𝜋

8. Tentukan hasil ∫ √1 − 𝑡𝑎𝑛²2𝛿 + 𝑡𝑎𝑛⁴2𝛿 − 𝑡𝑎𝑛⁶2𝛿 + ⋯ 𝑑𝛿 a. ¹

2tan 2𝛿 + 𝑐 b. ¹

2cos 2𝛿 + 𝑐 c. −¹

2cos 2𝛿 + 𝑐

PELATIHAN ONLINE 2019 FISIKA – PAKET 1

d. ¹

2sin 2𝛿 + 𝑐 e. −¹

2sin 2𝛿 + 𝑐 15. Tentukan hasil ∫ 4^𝑥 𝑑𝑥

a. 4^𝑥+ 𝑐 b. 4^𝑥ln 4 + 𝑐 c. ⁴

𝑥 ln 4+ 𝑐 d. ^{ln 4}

4^𝑥 + 𝑐 e. 𝑥 ln 4 + 𝑐

16. Tentukan hasil ∫ 𝑥²ln 𝑥 𝑑𝑥 a. ln 𝑥³+ 𝑐

b. 𝑥²ln 𝑥 + 2𝑥 + 𝑐 c. ¹

3𝑥³(ln 𝑥 −¹

3) + 𝑐 d. 3𝑥³(3 − ln 𝑥) + 𝑐 e. 3𝑥²ln 𝑥³+ 𝑐 17. Tentukan hasil ∫ 𝑐𝑜𝑠⁷𝜑 𝑑𝜑

a. 𝑥 + 2 𝑠𝑖𝑛³𝑥 +¹

5𝑠𝑖𝑛⁵𝑥 − 3 𝑠𝑖𝑛⁷𝑥 + 𝑐 b. ⁵

3𝑥 +⁴

3 𝑠𝑖𝑛³𝑥 −¹

5𝑠𝑖𝑛⁵𝑥 + 3 𝑠𝑖𝑛⁷𝑥 + 𝑐 c. 𝑥 − 5 𝑠𝑖𝑛³𝑥 + 𝑠𝑖𝑛⁵𝑥 − 𝑠𝑖𝑛⁷𝑥 + 𝑐 d. 7𝑥 + 𝑠𝑖𝑛³𝑥 −³

5𝑠𝑖𝑛⁵𝑥 −³

7 𝑠𝑖𝑛⁷𝑥 + 𝑐 e. 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛³𝑥 +³

5𝑠𝑖𝑛⁵𝑥 −¹

7 𝑠𝑖𝑛⁷𝑥 + 𝑐 18. Tentukan hasil ∫ cosec 𝑥 𝑑𝑥

a. ln(sec 𝑥 + tan 𝑥) + 𝑐

b. − ln(cosec 𝑥 + cotan 𝑥) + 𝑐 c. ln(sec 𝑥 − tan 𝑥) + 𝑐

d. − ln(sin 𝑥 + cotan 𝑥) + 𝑐 e. ln(sin 𝑥 + cos 𝑥) + 𝑐 19. Tentukan hasil ∫ arcsin 𝑥 𝑑𝑥

a. 𝑥√1 − 𝑥²+ arccos 𝑥 + 𝑐 b. √1 − 𝑥²arcsin 𝑥 + 𝑥 + 𝑐 c. 𝑥 arcsin 𝑥 + √1 − 𝑥²+ 𝑐

PELATIHAN ONLINE 2019 FISIKA – PAKET 1

d. 𝑥 sin 𝑥 + √1 + 𝑥²+ 𝑐 e. cos 𝑥 √1 + 𝑥²+ 𝑥 sin 𝑥 + 𝑐 20. Tentukan hasil ∫ ^9𝑥+8

4𝑥²+11𝑥+6 𝑑𝑥 a. 2 ln(4𝑥 + 3) − ln(𝑥 + 2) + 𝑐 b. ¹

4ln(4𝑥 + 3) + 2 ln(𝑥 + 2) + 𝑐 c. 4 ln(4𝑥 + 3) +³

4ln(𝑥 + 2) + 𝑐 d. ln(𝑥 + 2) − ln(4𝑥 + 3) + 𝑐 e. 3 ln(𝑥 + 2) − 4 ln(4𝑥 + 3) + 𝑐