BAHAN PROYEK :
PENERAPAN NILAI MAKSIMUM DAN NILAI MINIMUM
1. Definisi Nilai Maksimum dan Nilai Minimum
Nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi merupakan nilai terbesar dan terkecil fungsi tersebut dalam suatu interval tertuttup tertentu. Jika interval terbuka menggunakan tanda ketaksamaan (> atau <) tanpa ‘sama dengan’, maka dalam
interval tertutup tanda ketaksamaan yang digunakan (≥ atau ≤) dengan ‘sama dengan’.
Dalam menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi pada kurva tertutup tertentu belum tentu nilai maksimum atau minimumnya merupakan nilai stasionernya.
Misal 𝑆 daerah asal 𝑓 yang memuat titik 𝑐. kita katakan bahwa :
• 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum pada 𝑆 jika 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑐), ∀𝑥 ∈ 𝑆
• 𝑓(𝑐) adalah nilai minimum pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑆
• 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim pada 𝑆 jika 𝑓(𝑐) adalah nilai maksimum atau nilai minimum
• fungsi yang ingin kita maksimalkan atau minimalkan adalah fungsi objektif
2. Teorema-Teorema Nilai Maksimum dan Nilai Minimum
• Teorema : (Eksistenti Nilai Maks-Min)
Jika f kontinu pada suatu selang tutup maka f mencapai nilai maksimum dan minimum pada selang itu.
• Teorema : (Titik Kritis)
Misal 𝑓 didefinisikan pada selang 𝐼 yang memuat titik 𝑐. Jika 𝑓(𝑐) adalah nilai ekstrim maka 𝑐 haruslah suatu titik kritis yakni berupa salah satu dari;
i. Titik ujung dari 𝐼
ii. Titik stasioner dari 𝑓 (𝑓’(𝑐) = 0) iii. Titik singular dari 𝑓 (𝑓’(𝑐) 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎)
3. Contoh Soal Nilai Maksimum dan Nilai Minimum dan Pembahasannya Sebuah peluru ditembakkna ke atas, dalam waktu t detik tinggi peluru dapat
dirumuskan dengan ℎ(𝑡) = 400𝑡 − 5𝑡2 dala msatuan meter. Tentukanlah nilai t agar tinggi peluru maksimum dan tentukanlah nilai h maksimum tersebut!
Jawab :
ℎ(𝑡) = 400𝑡 − 5𝑡2 ℎ′(𝑡) = 400 − 10𝑡
agar h maksimumn maka ℎ’(𝑡) = 0 ℎ’(𝑡) = 0
400 − 10𝑡 = 0 𝑡 = 40
Nilai h maksimum apabila 𝑡 = 40, maka ℎ(40) = 400.40 − 5(40)2
ℎ(40) = 16000 − 9000 = 7000