PENGANTAR SISTEM DINAMIK - Repository UNG

PENGANTAR SISTEM DINAMIK

Semester Ganjil 2019-2020

Resmawan

Jurusan Matematika Universitas Negeri Gorontalo

Agustus 2019

4 Penondimensionalan

4. Penondimensionalan 4.1 De…nisi Penondimensionalan

4.1 De…nisi Penondimensionalan

De…nition

Penondimensionalan adalah suatu metode untuk menyederhanakan suatu persamaan banyak parameter menjadi persamaan dengan sedikit

parameter. Biasanya penondimensionalan mengelompokkkan beberapa parameter dengan sebuah parameter tunggal (Srogatz 1994).

Penondimensionalan dilakukan untuk menyederhanakan model dengan cara mengubah parameter model ke parameter baru tanpa dimensi.

Example

Lakukan perubahan pada model berikut untuk mendapatkan model baru tanpa dimensi.

dx

dt = ax bxy (16)

dy

dt = cy+dxy

Solution

Misal peubah baru tanpa dimensi, masing-masing adalah x dan y, x =x bx; y =y yb; dan t =t bt

dengan x,y,t adalah Peubah Tanpa Dimensi dan bx,by,bt Faktor Pengali.

Subtitusi variabel baru ke persamaan (16),diperoleh d(x bx)

d t bt = a(x bx) b(x bx) (y by) (17) d(y by)

d t bt = c(y by) +d(x bx) (y yb)

4. Penondimensionalan 4.2 Contoh Penondimensionalan

4.2 Contoh Penondimensionalan

Solution

Kalikan kedua ruas pada model (17),masing-masing dengan ^bt

b x dan

bt b

y,sehingga diperoleh d x

d t = a x bt b x bt y by d y

d t = c y bt+d x bx y bt

Selanjutnya, pilih masing-masingbt = ¹_a dan by = ^a_b, sehingga d x

d t = x x y d y

d t = ^c

a y+^d a x bx y

Solution

Dengan memilihbx = _d^a danα= ^c_a,maka diperoleh model tanpa dimensi

d x

d t = x x y (18)

d y

d t = αy+x y Problem

Lakukan analisis pada sistem nondimensional yang diperoleh pada persamaan (18)

4. Penondimensionalan 4.2 Contoh Penondimensionalan

4.2 Contoh Penondimensionalan

Example

Lakukan penondimensioanalan pada model berikut untuk mendapatkan model baru tanpa dimensi, kemudian analisis sistem nondimensional yang diperoleh.

1) ^dx

dt = ax bxy ex² dy

dt = cy+dxy 2) ^dS

dt = µN βS I

N µS

dI

dt = βS I

N ξI µI

dR

dt = ξI µR

Solution

1 Misal variabel tanpa dimensi x dan y dengan x = ^x_bx,y = ^y_yb,maka d x

dt = ¹ b x

dx dt

= ¹ b

x ax bxy ex²

= ¹ b

x abx x b bx x y yb ebx²x²

= a x b x bx y e by x², Pilihbx = ¹

b dan by = ¹ e

= a x x y x²

4. Penondimensionalan 4.2 Contoh Penondimensionalan

4.2 Contoh Penondimensionalan

Solution

1 Dengan cara sama diperoleh d y

dt = ¹ b y

dy dt

= ¹ b

y [ cby y+d bx x by y]

= ¹ b

y [ c y+d bx x y]

= c y+ ^d b x y

= cy+^d bxy

Solution

1 Dengan demikian diperoleh sistem tanpa dimensi dx

dt = a x x y x² d y

dt = cy+αxy dengan

α= ^d b

4. Penondimensionalan 4.3 Latihan 4

4.3 Latihan 4

Problem

Lakukan transformasi penondimensionalan pada model berikut untuk menghasilkan model tanpa dimensi. Tentukan titik tetap pada model yang terbentuk:

1) ^dS

dt = (1 α)µN βS I

N µS

dI

dt = βS I

N ξI µI

dR

dt = αµN+ξI µR 2) X = aX 1 X+Y

K

pXY X+Y +q

Y = bY 1 X+Y

K + ^pxy

x+y+q rY

5 Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz

5. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz 5.1 Pendahuluan

5.1 Pendahuluan

Misal diberikan Persamaan Karakteristik orde n

P(λ) =a0λⁿ+a1λ^{n 1}+a2λ^{n 2}+ +an 1λ+an (19) dengana_i,i =1,2...,n adalah konstanta real.

Tidak selamanya kita bertemu dengan persamaan karakteristik yang mudah dievaluasi akar-akar atau nilai eigennya.

Kriteria Routh-Hurwitz menunjukkan keberadaan akar-akar tak stabil pada persamaan polinomial orde n tanpa perlu menyelesaikannya.

Dalam hal ini ketabilan mutlak dapat diketahui dari koe…sien-koe…sien persamaan karaktristik.

Kriteria Hurwitz menekankan pada aspek determinan, sedangkan kriteria Routh pada aspek formulasi runtun (array).

Hurwitz yang dide…nisikan dari koe…sien-koe…sien persamaan karakteristik (19) sebagai berikut:

2 66 66 64

a₁ a₀ 0 0 0 0 0 0

a₃ a₂ a₁ a₀ 0 0 0 0

a5 a4 a3 a2 a1 a0 0 0

... ... ... ... ... ... ... ...

a_{2n 1} a_{2n 2} a_{2n 3} a_n+1 a_n

3 77 77 75

(20)

Berdasarkan matriks Hurwitz pada persamaan (20),dapat dievaluasi determinan dari sub-sub matriks sebagai berikut:

H₁ = [a₁], H₂ = ^{a1 a0}

a a , H₃ = 2 4

a1 a0 0 a₃ a₂ a₁

3 5,

5. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz 5.2 Kriteria Kestabilan Hurwitz

5.2 Kriteria Kestabilan Hurwitz

Theorem

Semua akar dari polinomial (19) adalah negatif atau memiliki bagian real negatif jika dan hanya jika determinan dari semua matriks Hurwitz adalah positif.

det(H_j)>0, j =1,2,3, ,n Example

Berikan analasis kestabilan pada sistem dengan persamaan karakteristik orde 4

λ⁴+8λ³+18λ²+16λ+5=0

Solution

Dide…nisikan Matriks Hurwitz ordo4 4 2

66 4

8 1 0 0

16 18 8 1

0 5 16 18

0 0 0 5

3 77 5

Dieavaluasi determinan sub matriks j^H1j = j⁸j=8>0,

j^H2j = ^{8 1}

16 18 =128>0,

5. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz 5.2 Kriteria Kestabilan Hurwitz

5.2 Kriteria Kestabilan Hurwitz

Solution

j^H3j =

8 1 0

16 18 8

0 5 16

=1728>0,

j^H4j =

8 1 0 0

16 18 8 1

0 5 16 18

0 0 0 5

=8640>0

Karena det(Hi)>0,i =1,2,3,4,maka sistem stabil.

koe…sien-koe…sienpersamaan karakteristik yang dituangkan ke dalam bentuk runtun (array), biasanya disebutRuntun-Routh(Routh Array).

Dide…nisikanRouth Array berdasarkan persamaan karateristik (19), dalam bentuk tabel berikut:

λⁿ a₀ a₂ a₄ a₆ 0 λ^{n 1} a1 a3 a5 a7 0 λ^{n 2} b₁ b₂ b₃ 0 0 λ^{n 3} c1 c2 c3 0 0 λ^{n 4} d₁ d₂ d₃ 0 0

... ... ... λ² e1 e2

λ¹ f₁

5. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz 5.3 Kriteria Kestabilan Routh

5.3 Kriteria Kestabilan Routh

Koe…sien pada baris pertama dan kedua diambil dari koe…sien persamaan karakteristik, sementara koe…sien pada baris ketiga dan seterusnya dapat dievaluasi mengikuti pola berikut:

b₁ = ^{a1a2 a0a3}

a₁ ; b₂ = ^{a1a4 a0a5}

a₁ ;b₃ = ^{a1a6 a0a7} a₁ c₁ = ^{b1a3 a1b2}

b₁ ; c₂ = ^{b1a5 a1b3} b₁ ; ...

dan seterusnya sampai semua koe…sien diperoleh membentuk matriks setengah piramida terbalik.

Dapat ditunjukkan bahwa Kriteria kestabilan Routh identik dengan kriteria kestabilan Hurwitz:

b1 = ^{a1a2 a0a3} a1

= j^H2j

j^H1j^{, c1}= ^{b1a3 a1b2} b1

= j^H3j j^H2j^, Kriteria Kestabilan:

1 Semua akar dari polinomial(19)adalah negatif atau memiliki bagian real negatif jika semua koo…sien dari kolom pertama tabel Routh bernilai positif .

2 Jika salah satu atau lebih dari koe…sien-koe…sien tersebut bernilai negatif, maka sistem tersebut tidak stabil.

3 Banyaknya perubahan tanda (dari positif ke negatif atau sebaliknya) pada kolom pertama menunjukkan banyaknya akar-akar positif dari persamaan karakteristik.

5. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz 5.3 Kriteria Kestabilan Routh

5.3 Kriteria Kestabilan Routh

Example

1 Tunjukkan bahwa contoh sebelumnya stabil dengan kriteria Routh

2 Lakukan analisis pada polinom berikut

3λ⁴+10λ³+5λ²+5λ+2=0

Solution

Dari persamaan karakteristik

3λ⁴+10λ³+5λ²+5λ+2=0 dapat dibuat tabel Routh Array

λ⁴ 3 5 2 λ³ 10 5 0 λ² b₁ b₂ 0 λ¹ c1 0 0 λ⁰ d₁ 0 0

5. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz 5.3 Kriteria Kestabilan Routh

5.3 Kriteria Kestabilan Routh

Solution

Evaluasi b₁,b₂,c₁,d₁ diperoleh b₁ = ^{10 5 3 5}

10 = ⁷

2, b₂ = ^{10 2 3 0}

10 =2

c1 =

7

2 5 10 2

7 2

= ⁵ 7, d1 =

5

7 2 ⁷₂ 0

5 7

=2 Terlihat pada kolom 1, terdapat dua kali perubahan tanda dari 2 ke ⁵₇ dan dari ⁵₇ ke 2, sehingga sistem tidak stabil

Example Sistem dinamik

a0s³+a1s²+a2s+a3 =0 dapat dianalisis dengan menggunakan tabel Routh

s³ a0 a2

s² a1 a3

s^{1 a1a2}_a^a0a3

1 0

s⁰ a₃ 0

Terlihat bahwa sistem akan stabil jika memenuhi syarat a1a2> a0a3

5. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz 5.5 Latihan 5

5.5 Latihan 5

Problem

1 Lakukan analisis dengan menggunakan kriteria kestabilan Hurwitz dan Kriteria Kestabilan Routh masing-masing pada sistem dengan bentuk polinomial berikut

a. s⁴+2s³+3s²+4s+5=0 b. a0s⁴+a1s³+a2s²+a3s+a4 =0

2 Identi…kasi kriteria yang harus dipenuhi agar sistem berikut stabil λ⁴+3λ³+3λ²+2λ+K =0

" Terima Kasih, Semoga Bermanfaat "