Persamaan Tiga Momen (Clayperon) - Spada UNS

Untuk analisis struktur balok menerus statis tak tentu

P₁ P₂ P₃

α_A α_B

A B

Struktur statis tertentu yang ditumpu sendi A dan rol B memiliki putaran sudut (sudut belahan) sebesar α_A (ditumpuan A) dan α_B (ditumpuan B) ketika balok tersebut menerima beban luar P₁, P₂ dan P₃. Bisakah anda menentukan besarnya α_Adan α_B?

Pengaruh masing-masing gaya P terhadap putaran sudut dapat dihitung secara terpisah sehingga total putaran sudut yang terjadi akibat gaya P1, P2 dan P3 merupakan superposisi (gabungan) dari putaran sudut akibat masing-masing gaya P.

a. Putaran sudut (akibat beban)

Batang Batas2 Titik Awal M m

AC X=0→a A R_A.X r_A.X

CB X=0→b B R_B.X r_B.X

Rotasi A

EI dx

x r x

dx R EI

x r x

dx R EI

Mm

^a _{A A} ^b _{B B}

L

A ⁼



⁼



⁺



0 0

0

) ).(

( )

).(



(

R_B= P.a/L P

L

a b

A c B

A L B

R_A= P.b/L r_A= -1/L r_B= 1/L

1

L . EI . 6

) b L

.(

b .

P

^{2 2}

A

= −



Batang Batas2 Titik Awal M m

AC X=0→a A R_A.X r_A.X

CB X=0→b B R_B.X r_B.X

Rotasi B

EI dx

x r x

dx R EI

x r x

dx R EI

Mm

^a _{A A} ^b _{B B}

L

B ⁼



⁼



⁺



0 0

0

) ).(

( )

).(



(

R_B= P.a/L P

L

a b

A c B

A L B

R_A= P.b/L r_A= 1/L r_B= -1/L

1

L . EI . 6

) a L

.(

a .

P

^{2 2}

B

= −



b. Putaran sudut (akibat momen)

A L B

M₁ M₂

β_A β_B

Berapa putaran sudut β_A dan β_B akibat momen M₁ dan M₂? Putaran sudut β yang terjadi dapat dihitung secara terpisah oleh masing- masing momen M; sehingga total putaran sudut yang terjadi merupakan superposisi (gabungan) dari M₁ dan M₂.

Batang Batas2 Titik Awal M m

AB X=0→L A R_A.X r_A.X

Rotasi A & B





⁼

=

L

A L A

A

dx

EI

x r x

dx R EI Mm

0 0

) ).(



(

r_A= -1/L r_B= 1/L

A L B

1

R_B= M₁/L 1 R_A= -M₁/L

A L B

M₁

3EI .L

β

_A

= M

¹ r_A= 1/L r_B= -1/L

A L B





⁼

=

L

A L A

B

dx

EI

x r x

dx R EI Mm

0 0

) ).(



(

6EI .L β

_B

= M

¹

β_A β_B

Batang Batas2 Titik Awal M m

AB X=0→a A R_A.X r_A.X

Rotasi A & B





⁼

=

L

A L A

A

dx

EI

x r x

dx R EI Mm

0 0

) ).(



(

r_A= -1/L r_B= 1/L

A L B

1

R_B= M₁/L 1 R_A= -M₁/L

A L B

M₂

6EI .L

β

_A

= M

² r_A= 1/L r_B= -1/L

A L B





⁼

=

L

A L A

B

dx

EI

x r x

dx R EI Mm

0 0

) ).(



(

3EI .L β

_B

= M

²

β_A β_B

A L B

M₁ M₂

β_A β_B

Sehingga total putaran sudut yang terjadi menjadi:

6EI .L M 3EI

.L

β

_A

= M

¹

+

²

6EI .L M 3EI

.L

β

_B

= M

²

+

¹

Bidang momen dari balok menerus tersebut dapat diilustraikan pada Gambar (b). Ini berarti kita dapat memandang balok menerus tersebut merupakan superposisi dari balok AB, BC dan CD yang merupakan balok statis tertentu yang memikul beban masing-masing P₁, q₁ dan P₂ dengan balok yang sama yang memikul momen M₁&M₂, M₂&M₃, serta M₃.

P₁

A B C D

M₁ M₂ q1 M₃ P₂

(a)

(b)

Superposisinya diperlihatkan pada gambar diatas. Masing-masing balok statis tertentu tersebut mengalami putaran sudut pada tumpuannya baik akibat beban luar P₁, q₁ atau P₂ maupun akibat momen M₁&M₂, M₂&M₃ atau M₃. Mengingat pada tumpuan A, B dan C tersebut, balok harus tetap lurus (tidak ada belahan sudut), maka persamaan berikut harus berlaku:

α_A= β_A (Pers.1); α_B1 + α_B2 =β_B1 + β_B2 (Pers. 2); dan α_C1 + α_C2 =β_C1 + β_C2 (Pers.3)

Besarnya belahan sudut-sudut tersebut akibat beban luar dapat dicari!

(lihat tabel sebelumnya)

Besarnya belahan sudut-sudut tersebut akibat reaksi momen dapat dicari !

1 1 2 1

1 1

A 6EI

.L M 3EI

.L β = M +

2 2 3 2

2 2 1

1 2 1

1 1 B2

B1

6EI .L M 3EI

.L M 3EI

.L M 6EI

.L β M

β + = + + +

3 3 3 2

2 2 2

2 2 C2

C1

3EI .L M 3EI

.L M 6EI

.L β M

β + = + +

e. Persamaan Tiga Momen

Pers. 1, Pers. 2 dan Pers. 3 merupakan persamaan tiga momen (Clayperon).

Persamaan Clayperon ini dapat digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai M₁, M₂ dan M₃ dengan cara mensubstitusikan nilai sudut-sudut belahan ke dalam Pers.1, Pers.2 dan Pers. 3.

Dengan diketahuinya nilai-nilai M, maka reaksi-reaksi di tumpuan dapat diketahui dengan terlebih dahulu mencari reaksi dari free body diagram dengan persamaan kesetimbangan.

Dari reaksi free body diagram, maka reaksi total pada tumpuan dapat diketahui.

2m 2m 2m 3m P= 4t q= 2t/m

A B C

2m 2m 2m 3m

P= 4t q= 2t/m

A B C

(a)

(b)

2m 2m 2m 3m P= 4t q₁= 2t/m

A B C

(d)

2m 2m 2m 3m

P₁= 4t q= 2t/m

A B C

(c)

1m

P₂= 1t

q₂= 2t/m

1m

2 1

2

1 L

Z L

Y Z

Y + = ^B + ^B

2

3 L

Y =− Z^B ABCD konstruksi statis tak tentu, terjadi zetting (penurunan) ke atas sebesar Z pada tumpuan B. Akibatnya sudut di B bertambah besar sebesar (γ₁ + γ₂) sehingga di B terjadi sudut belahan positif sebesar :

Sementara itu di tumpuan C sudutnya bertambah kecil sebesar

Persamaan Tiga Momen pada kasus balok menerus

dengan penurunan perletakan

2 B 1

B

L Z L

Z +

2 2 C 2

2 B 1

1 B

EI 6

L . M EI

3 L . M EI

3 L .

M + +

α_B1 + α_B2 = β_B1 + β_B2 di titik B

α_C1 + α_C2 = β_C1 + β_C2 dititik C

=

Momen yang timbul akibat pergeseran tumpuan di B dapat dicari dengan persamaan tiga momen sbb:

−

^𝑍𝐵

𝐿₂

+0=

^{𝑀𝐵𝐿2}

6𝐸𝐼₂

+

^{𝑀𝑐𝐿2}

3𝐸𝐼₂

+

^{𝑀𝑐𝐿3}

3𝐸𝐼₃

2m 2m 2m 3m P= 4t q= 2t/m

A B C

2m 2m 2m 3m

P= 4t q= 2t/m

A B C

(a)

(b)

Gambar BMD dan SFD pada struktus balok menerus diatas apabila terjadi pergeseran tumpuan B ke bawah sebesar 2 cm.

2m 2m 2m 3m P₁= 4t q= 2t/m

A B C

2m 2m 2m 3m

P= 4t q₁= 2t/m

A B C

(c)

(d)

1m

P₂= 1t

q₂= 2t/m

1m Gambar BMD dan SFD pada struktus balok menerus diatas apabila terjadi pergeseran tumpuan B ke bawah sebesar 2 cm.

Persamaan Tiga Momen (balok menerus dengan dukungan pilar)

P₁ q

A B C

P₂

D

M_B1 M_B2 M_B3

M_C

P₁ q

A B C

P₂

D

α_A α_B1 α_B2 α_C

β_A β_B1 β_B2 β_C

β_B3 β_D

A B C

D

M_B1 M_B2

M_B3

M_C

Pada joint B berlaku persamaan berikut:

3 1

1 B B

B

 

 = +

EI L M EI

L

M

_{B B}

B

3 3

3 3 1

1

1

= +



3 2

2 B B

B

 

 = −

EI L M

EI L M EI

L

M

_{B c B}

B

3 6 3

3 3 2

2 2

2

= + −



= 0

 ^M

^B

^{0 = M}

^B1

^{+ M}

^B2

^{+ M}

^B3

(a)

(b)

(c) Pada persamaan simultan (a), (b) dan (c) diatas, nilai-nilai yang dicari adalah M_B1, M_B2 dan M_B3 . Sedangkan nilai-nilai α_B1 dan α_B2 dapat diperoleh dari persamaan sudut belahan akibat beban luar; L₁, L₂ dan L₃ diketahui dari soal; demikian pula M_c diperoleh dari P₂ x L₄

Setelah nilai momen di B diperoleh, maka reaksi tumpuan dapat dicari dengan diagram freebody. Total reaksi pada setiap tumpuan merupakan superposisi dari reaksi yang diperoleh dari diagram freebody.

P₁ q

A B C

P₂

D

M_B1 M_B2 M_B3

M_D

M_C

P₁ q

A B C

P₂

D

α_A α_B1 α_B2 α_C

β_A β_B1 β_B2

β_B3

β_C

β_D

A B C

D

M_B1 M_B2

M_B3 M_D

M_C

Pada joint B berlaku persamaan berikut:

3 1

1 B B

B  

 = +

EI L M

EI L M EI

L

M_{B D B}

B 3 6 3

3 3 3

1 1

1 = + +



3 2

2 B B

B  

 = −

EI L M EI

L M

EI L M EI

L

M_{B c B D}

B 3 6 3 6

3 3

3 2

2 2

2 = + − −



= 0



^{MB 0 = M B1 + M B2 + M B3}

(a)

(b)

(c)

Pada persamaan simultan (a), (b), (c) dan (d) diatas, nilai-nilai yang dicari adalah M_B1, M_B2, M_B3 dan M_D. Sedangkan nilai-nilai α_B1 dan α_B2 dapat diperoleh dari persamaan sudut belahan akibat beban luar; L₁, L₂ dan L₃ diketahui dari soal; demikian pula M_c diperoleh dari P₂ x L₄

Setelah nilai momen di B dan D diperoleh, maka reaksi tumpuan dapat dicari dengan diagram freebody. Total reaksi pada setiap tumpuan merupakan superposisi dari reaksi yang diperoleh dari diagram freebody.

Pada tumpuan D berlaku persamaan berikut:

D D



 =

EI L M EI

L

M_{B D}

6

0 = 3 ^{3 3} + ³ (d)

Persamaan Tiga Momen (balok menerus dengan dukungan pilar dan pergeseran perletakan)

P₁ q

A B

C P₂

D

M_B1 M_B2 M_B3

M_C

P₁ q

A B

C P₂

D

α_A α_B1 α_B2 α_C

β_A β_B1 β_B2 β_C

β_B3 β_D H_B

A B

C

D

M_B1 M_B2

M_B3

M_C

Pada joint B berlaku persamaan berikut:

3 1

3

1 B B

B

B

L

H  

 − = +

EI L M

EI L M

L

H

_{B B B}

B

3 3

3 3 1

1 3

1

− = +



3 2

3

2 B B

B

B

L

H  

 + = −

EI L M

EI L M EI

L M

L

H

_{B B c B}

B

3 6 3

3 3 2

2 2 3

2

+ = + −



= 0

 ^M

^B

^{0 = M}

^B1

^{+ M}

^B2

^{+ M}

^B3

(a)

(b)

(c) Pada persamaan simultan (a), (b) dan (c) diatas, nilai-nilai yang dicari adalah M_B1, M_B2 dan M_B3 . Sedangkan nilai-nilai α_B1 dan α_B2 dapat diperoleh dari persamaan sudut belahan akibat beban luar; H_B/L₃, L₁, L₂ dan L₃ diketahui dari soal; demikian pula M_c diperoleh dari P₂ x L₄

Setelah nilai momen di B diperoleh, maka reaksi tumpuan dapat dicari dengan diagram freebody. Total reaksi pada setiap tumpuan merupakan superposisi dari reaksi yang diperoleh dari diagram freebody.