PO1 3 [Compatibility Mode]

Penelitian Operasional I

Pertemuan Ke-3 Metoda Simpleks

Deskripsi

 Penyelesaian Model Program Linier dengan metoda simpleks sederhana

Capaian Pembelajaran

 Mahasiswa memahami konsep sistem persamaan ekivalen

 Mahasiswa mampu membangkitkan sistem persamaan ekivalen dari suatu sistem persamaan linear

 Mahasiswa mampu mendapatkan solusi optimal model programa liniear

menggunakan simpleks

Isi

 Pendahuluan

 Langkah dalam penyelesaian dengan simpleks

 Ilustrasi

 Latihan

Pendahuluan

 Perhitungan dengan metode simpleks dilakukan secara bertahap dan menurut aturan-aturan

tertentu, sehingga biasanya digunakan tabel- tabel yang sesuai dengan urutannya dalam jumlah yang cukup.

 Dalam menyelesaikan persoalan program linier dengan menggunakan metode simpleks, bentuk dasar yang digunakan haruslah bentuk standar, yaitu bentuk formulasi yang memiliki sifat-sifat

Pendahuluan (2)

1. Seluruh pembatas (constraint) harus berbentuk persamaan (bertanda =) dengan ruas kanan

yang non-negatif.

2. Seluruh variabel harus merupakan variabel non- negatif.

3. Fungsi tujuannya dapat berupa maksimasi atau minimasi.

Pendahuluan (3)

 Bentuk formulasi dari bahasa verbal pada pertemuan sebelumnya adalah bentuk

kanonik^.

Pendahuluan (4)

 Cara merubah bentuk kanonik menjadi bentuk standar yaitu:

1. Jika ruas kanan non-negatif dan kendalanya “≤”, maka bentuk standarnya menjadi “=” dan ruas kiri ditambah dengan variabel slack.

2. Jika ruas kanan non-negatif dan kendalanya “≥”, maka bentuk standarnya menjadi “=” dan ruas kiri dikurangi dengan variabel slack.

3. Jika ruas kanan non-negatif dan kendalanya “=”, maka bentuk standarnya menjadi “=” dan ruas kiri ditambah dengan variabel artifisial.

Langkah

1. Langkah Inisialisasi

 Temukan suatu solusi basis layak awal dengan basis B

 Bentuk tabel awal seperti berikut

Z x_B x_N RHS

Z 1 0 C_BB^-1N - C_N C_BB^-1b

xB 0 1 B^-1N B^-1b

Langkah (2)

2. Langkah Pokok

 Misalkan Z_k – C_k = maksimum {Z_j – C_j; j ∈ R}. Jika Z_k – C_k ≤ 0, maka STOP, dan solusi yang ada adalah optimal. Jika Z_k – C_k > 0, maka perhatikan y_k. Jika y_k

≤ 0, maka STOP, dan solusi optimal yang ada adalah tidak terbatas. Jika y_k > 0, tentukan indeks r sebagai berikut:











 >

= ≤ ≤ ;y 0

y Minimum b y

b

ik ik

i _

rk 1 r _

m i

Langkah (3)

 Perbaharui tabel dengan operasi pivoting pada kolom y_rk. Perbaharui nilai-nilai dari variabel-variabel basis dan non-basis di mana x_k memasuki basis dan x_Br

meninggalkan basis. Ulangi Langkah Pokok

Contoh Maksimasi

Memaksimumkan Z = 3X₁ + 5X₂ Kendala:

1) 2X₁ ≤ 8 2) 3X₂ ≤ 15

3) 6X₁ + 5X₂ ≤ 30 Langkah-langkah:

1. Mengubah fungsi tujuan

2. Mengubah fungsi kendala

Cont…

1. Menyusun Tabel simpleks, dimana deng an format lain bisa juga RHS ( Right Hand - Side) di ganti dengan bahasa Indonesia menjadi NK (Nilai Sebelah Kanan) dan ditambah kolom indeks yang digunakan untuk menentukan baris kunci (baris yang memiliki calon elemen basis).

Cont…

1. Memilih kolom kunci, Kolom kunci adalah kolom yang memuat elemen basis ditandai dengan mempunyai nilai pada baris Z yang bernilai negatif dengan angka terbesar.

Cont…

1. Menentukan baris kunci. Baris kunci adalah baris yang mempunyai index terkecil, dimana index tersebut dihitung dari hasil pembagian antara angka yang ada di RHS atau NK dengan angka yang ada pada kolom kunci. Perpotongan antara baris kunci dengan kolom kunci adalah elemen kunci atau elemen basis.

Cont…

1. Mengubah semua angka yang ada di baris kunci dengan angka kunci yang sudah terpilih, sehingga didapatkan tabel sebagai berikut.

Cont…

1. Mengubah semua angka yang ada di dalam kolom kunci dengan angka 0 kecuali angka kunci atau angka basis, dengan cara melakukan pengurangan dengan setiap angka di baris kunci setelah dikalikan dengan koefisien tertentu. Baris baru = baris lama – (koefisien angka kolom kunci x nilai baris baru kunci).

Cont…

Hasil baris baru tersebut diatas akan menggantikan baris lama dalam tabel yang lama, sehingga diperoleh tabel baru sebagai berikut:

Cont…

 Melanjutkan perbaikan-perbaikan

(langkah 3-6) sampai baris Z tidak ada nilai negatif.

Cont…

Diperoleh hasil: X₁ = 5/6 , X₂ = 5, Zmax = 27 ½

Contoh Minimasi

Minimasi Z = x1 + x2 – 4x3

Kendala x1 + x2 + 2x3 ≤ 9 x1 + x2 - x3 ≤ 2 -x1 + x2 + x3 ≤ 4 x1, x2, x3 ≥ 0

Tambahkan variabel-variabel slack x4, x5, dan x6 untuk mendapatkan bentuk standar.

Minimasi Z = x1 + x2 – 4x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6

Kendala x1 + x2 + 2x3 + x4 = 9

x1 + x2 - x3 + x5 = 2

Iterasi 1

Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 RHS

Z 1 -1 -1 4 0 0 0 0

x4 0 1 1 2 1 0 0 9

x5 0 1 1 -1 0 1 0 2

x6 0 -1 1 1 0 0 1 4

Iterasi 2

Z x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ RHS

Z 1 3 -5 0 0 0 -4 -16

x4 0 3 -1 0 1 0 -2 1

x5 0 0 2 0 0 1 1 6

x3 0 -1 1 1 0 0 1 4

Iterasi 3

Z x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ RHS

Z 1 0 -4 0 -1 0 -2 -17

x₁ 0 1 -1/3 0 1/3 0 -2/3 1/3

x₅ 0 0 2 0 0 1 1 6

x₃ 0 0 2/3 1 1/3 0 1/3 13/3

Latihan 1

 Luas daerah parkir 1.760 m². Luas rata – rata untuk mobil kecil 4 m² dan mobil

besar 20 m². Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp. 1.000,00/jam dan mobil besar Rp. 2.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, maka carilah

Latihan 2

 Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan

gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp. 8.000,00/kg dan pisang Rp. 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp. 1.200.000,00 dan

gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp. 9.200,00/kg dan pisang Rp. 7.000,00/kg, maka carilah solusi

Latihan 3

 Tanah seluas 10.000 m² akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk tipe A diperlukan 100 m² dan dan tipe B

diperlukan 75 m². Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 125 unit.

Keuntungan rumah tipe A adalah Rp.

6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp.

4.000.000,00/unit, maka carilah solusi

Referensi

Sumber bahan

 Taha, H. A., Operations Research: An Introduction, Macmillan Publishing Co, Inc., New York.