POHON
PERTEMUAN 14
1
TUJUAN :
MHS MEMAHAMI KONSEP DAN PENERAPAN DARI STRUKTUR POHON
Pokok Bahasan
definisi
pohon merentang
algoritma pohon merentang minimum
Aritmatika pohon merentang minimum
latihan soal
2
POHON
Tipe yang sangat penting dari graf di TIF adalah pohon:
Real Tree
3
POHON
Real Abstract
Tree Tree
4
transformation
DEFINISI
Graf tak-berarah terhubung yang tidak mempunyai sirkuit Pohon (tree)
5
pohon pohon bukan pohon
bukan pohon
a b
c d
e f
a b
c d
e f
a b
c d
e f
a b
c d
e f
6
POHON MERENTANG (SPANNING TREE)
7
8
Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah pohon merentang.
Graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai k buah
hutan merentang yang disebut hutan merentang ( spanning
forest).
APLIKASI POHON MERENTANG
9
POHON MERENTANG MINIMUM
10
11
Algoritma Prim
Langkah 1: ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum, masukkan ke dalam T.
Langkah 2: pilih sisi (u, v) yang mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul di T, tetapi (u, v) tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan (u, v) ke dalam T.
Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 2 kali.
12
procedure Prim(input G : graf, output T : pohon)
{ Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung- berbobot G.
Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V= n Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’)
} Deklarasi
i, p, q, u, v : integer Algoritma
Cari sisi (p,q) dari E yang berbobot terkecil T {(p,q)}
for i1 to n-2 do
Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil namun bersisian dengan simpul di T
T T {(u,v)}
endfor
13
Contoh:
1 2
3 4
5
6
10 50
45 30
20 15
35
55 25
40
14
Langkah Sisi Bobot Pohon rentang
1 (1, 2) 10 1 10 2
2 (2, 6) 25
1 2
6 10
25
3 (3, 6) 15 1
3
6 10
15 25
4 (4, 6) 20 1 2
3 4
6 10
20 15
25
5 (3, 5) 35 1 2
3 4
5
6 10 45
20 15
35
55 25
15
Pohon merentang minimum yang dihasilkan:
Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
1 2
3 4
5
6 10 45
20 15
35
55 25
Pohon merentang yang dihasilkan tidak selalu unik meskipun bobotnya tetap sama.
Hal ini terjadi jika ada beberapa sisi yang akan dipilih berbobot sama.
16
17
Contoh:
Tiga buah pohon merentang minimumnya:
a b c d
e f g h
i j k l
3 2
4 2 3
5 4
4 2
4
a b c d
e f h
i j k l
3 2
4 2 3
5 3 4
4 2
4
a b c d
e f g h
i j k l
3 4 2
4 2 3
5 3 4
2 3 4
Bobotnya sama yaitu = 36
a b c d
e f g
h
i j k l
3
5
6
5 3 5 4
4 2
4 4
4 2
6 2 3
4
18
19
procedure Kruskal(input G : graf, output T : pohon)
{ Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung – berbobot G.
Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V= n Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’)
} Deklarasi
i, p, q, u, v : integer Algoritma
( Asumsi: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari bobot kecil ke bobot besar)
T {}
while jumlah sisi T < n-1 do
Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil if (u,v) tidak membentuk siklus di T then
T T {(u,v)}
endif endfor
20
Contoh:
1 2
3 4
5
6
10 50
45 30
20 15
35
55 25
40
21 Sisi-sisi diurut menaik:
Sisi (1,2) (3,6) (4,6) (2,6) (1,4) (3,5) (2,5) (1,5) (2,3) (5,6)
Bobot 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
Langkah Sisi Bobot Hutan merentang
1 (1, 2) 10
2 (3, 6) 15
3 (4, 6) 20
0 1 2 3 4 5 6
1 2
1 2 3
6
4 5
1 2 3
6 4
5
4 (2, 6) 25
1 2 3
4
5
22
Pohon merentang minimum yang dihasilkan:
Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105
4 (2, 6) 25
1 2 3
4
5
5 (1, 4) 30 ditolak
6 (3, 5) 35
1 2
3
6 4
5
1 2
3 4
5
6 10 45
20 15
35
55 25
DAFTAR PUSTAKA
Doer Allan, Kenneth Levasseur, Applied
Discrete Structures for Computer Science, Science Research Associates, Inc.
Toronti,1985
Kolman, Bernard, Robert C.Busby,Sharon Ross, Discrete Mathematical
Structures,Prentice Hall,1987
Munir, Rinaldi, Matematika Diskrit, Edisi kedua,Penerbit Informatika Bandung,2001
Rosen,Kenneth H.,Discreete Mathematics and Its Application, The Random House
Birkhauser Mathematics Series NewYork,1987
23
WEB SITE
http://syssci.atu.edu/math/faculty/fina n/main2.pdf
http://www1.cs.columbia.edu/~zeph/320 3s04/lectures.html
http://www.informatika.org/~rinaldi/Mat dis/matdis.htm
24