PROSES ACAK
Kuliah Statistik Dan Stokastik Teknik Fisika ITS
Konsep Proses Acak
◦ Proses acak / stokastik X(t) didefinisikan:
◦ Variabel acak yg berubah thd waktu: nilainya berubah thd waktu
◦ Fungsi waktu yg acak: kumpulan fungsi yg ditentukan utk setiap outcome
◦ X(t) pada t1 adalah variabel acak X(t1)
◦ Realisasi X(t) adalah sebuah fungsi waktu disebut sample function/path
◦ Ruang sampel-nya (dikenal sbg ensemble) adalah kumpulan fungsi waktu
◦ X(t) pd waktu yg berbeda dapat memiliki distribusi yg sangat berbeda
Contoh 1
Sebuah sinyal sinus X(t) = cos(t+) dengan adalah RV yg ditentukan oleh pelempaan koin:
= 0 jika muncul muka
= 1 jika muncul belakang
◦ X(t) adalah acak yg nilainya tdk dpt ditentukan sebelumnya
◦ X(t) bukan RV krn sebuah fungsi waktu bukan angka yg ditentukan oleh outcome eksperimen acak
◦ Ruang sampel = {x1(t), x2(t)} = {cos(t), -cos(t)} krn cos(t+) = - cos(t)
◦ Utk sembarang waktu t1, X(t1) adalah RV dua nilai yg paling mungkin: cos(t1) dan -cos(t1)
Contoh 2
Sebuah sinyal pulsa kotak dengan periode T, tinggi pulsa A, dan lebar pulsa W yang bebas dr periode ke peiode dan terdistribusi uniform sepanjang satu periode: W U(0,T)
◦ X(t) adalah acak krn nilainya tdk dpt ditentukan secara pasti sebelumnya
◦ X(t) bukan RV krn nilainya adalah fungsi waktu meskipun utk
sembarang t1, X(t1) adalah RV biner dng dua nilai yg mungkin: 0 atau A
◦ Ruang sampel adalah kumpulan fungsi waktu yg tak terbatas.
A
T 2T
0
…
Karakterisasi Proses Acak (1)
◦ Karena X(t1) adalah RV, maka:
◦ fungsi mean =
◦ fungsi mean square =
◦ fungsi variansi =
2X(t1) = E[X2(t1)] – [x(t1)]2
Karakterisasi Proses Acak (2)
◦ Terdapat joint PDF fX(t1),X(t2)(x1,x2) utk dua RV X(t1) dan X(t2), shg:
◦ fungsi autokorelasi =
Rx(t1,t2) = E[X(t1)X(t2)]
◦ fungsi autokovarian =
◦ koefisien korelasi =
Autokovarian = autokorelasi – (mean t1)(mean t2)
)}]
( )
( )}{
( )
( [{
E )
,
(t1 t2 X t1 x t1 X t2 x t2
Cx = − −
) ( ) (
2 1 2
2 1
1
2 1 2
1
2 1
) , ( )
, ( ) , (
) , ) (
, (
t x t x
x x
x
x C t t
t t C t t C
t t t C
t
= =
) ( ) ( )
, ( )
,
(t1 t2 R t1 t2 x t1 x t2
Cx = x −
Contoh 3
Tentukan nilai mean dan fungsi autokorelasi dari:
jika A dan ω konstan, sedangkan θ berdistribusi uniform pada interval (0,2π).
( ) t = A ( t + )
X cos
0 2π θ
f(θ)
a
2 1 1 2
.
2 1
0
=
=
→
=
a a d
a
( ) =1
− fx x dx
Fungsi kerapatan probabilitas dari θ adalah: f =21
0
sin 2 sin
sin 2
sin cos
2 cos 2 sin
0 sin
2 2 sin
02 2 sin
2 0 2 cos 2
0 2
cos 1
=
−
=
− +
=
+
− +
=
+
=
+
=
+
=
=−
=
t A t
t t
A t
t A t
A t
d A t
d t
A
d f
g
g E t
X E
+ +
=
+ +
=
+ +
=
=
cos 2 cos 1
2
cos 2 cos 1
2
cos 2 cos 1
2 1
, 2 1
t t
E A
t t
A E
t A
t A
E
t X t X E t
xx t R
− +
+ +
=
− +
+ +
=
−
− + +
+ +
+
=
2 cos 1
2 2 2
2 cos 1
2 2
2 cos 1
2 2 cos 1
2 2
2 cos 1
2 cos 1
2 2
t t A E
t t A E
t t t
t A E
t t
t t
A E
0
2 sin 1
2 sin 1
4 1
2 sin 1
4 2 sin
cos 1 4
2 cos sin 1
4 1
2 sin 1
2 4 sin 1
4 1
2 2 0
2 sin 1
2 1 2
1 2
0
2 2 cos 1
2 1
2
0 2
2 1 2
cos 1 2 2
cos 1
=
+
− +
=
+
− +
+ +
=
+
− +
+
=
+ +
=
+ +
=
+ +
= +
+
t t t
t
t t t
t t
t
t t t
t
t t
d t
t
d t
t t
t E
−
=
−
=
−
=
1 2
1 cos 2
2 2
1 cos 2
2 2 , 2
1
t xx t
R
t A t
t t
A E t
xx t R
Hubungan Definisi
dalam Ensemble dan Waktu
Sifat Fungsi Autokorelasi
1. fungsi genap, sehingga :
Bukti :
2. Apabila tdk
punya komponen periodik, maka
3.
Bukti:
4.
5. Bila x(t) periodik, maka juga periodik
dengan periode yang sama
Rxx
=Rxx − Rxx
−
=
+
−
=
+
=
=
=
Rxx
t xx t
R
t X t
X E
t X t X E
t X t X xx E
R
1 2
2 1
( )
=E X t
Rxx 0 2
=
−
=
= 0 2
Rxx
t xx t R
t X t X E t
X E
Rxx 0
Rxx
Rxx
lim→Rxx =X2
Rxx
Sifat Fungsi Korelasi Silang
1. fungsi ganjil Bukti :
Jadi bukan fungsi genap
2.
3. Jika : maka:
( ) RXY
−
=
+
−
=
+
=
+
=
RYX
t YX t
R
t X t
Y E
t Y t X XY E
R
−
RXY RXY
( )
0 0
RYY RXX
RXY
