BAHAN PROYEK KALKULUS
“NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM”
RAFLI KURNIAWAN K1321065
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SEBELAS MARET TAHUN AKADEMIK 2021/2022
NAMA : RAFLI KURNIAWAN NIM : K1321065
NILAI MAKSIMUM DAN NILAI MINIMUM
Definisi Nilai Maksimum dan Minimum
Misalkan S, daerah asal f, mengandung titik c. Kita katakan bahwa :
(i) f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S;
(ii) f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S;
(iii) f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum;
(iv) fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif.
Teorema A : Teorema Keberadaan Maks-Min
Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum di sana.
Teorema B : Teorema Titik Kritis
Misalkan f didefinisikan pada interval f yang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis; dengan kata lain, c adalah salah satu dari:
(i) titik ujung dari I;
(ii) titik stasioner dari f; yakni titik di mana f’(c) = 0; atau (iii) titik singular dari f; yakni titik di mana f’(c) tidak ada.
KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN Definisi Kemonotonan
Teorema A : Teorema Kemonotonan
Misalkan f kontinu pada interval I dan terdiferensial pada setiap titik dalam dari I.
(i) Jika f’(x) > 0 untuk semua titik-dalam I, maka f naik pada I.
(ii) Jika f’(x) < 0 untuk semua titik-dalam I, maka f turun pada I.
Definisi Kecekungan
Misalkan f terdiferensiasi pada interval terbuka I. Kita katakan bahwa f (dan grafiknya) cekung ke atas pada I jika f menaik pada I dan kita katakan bahwa f cekung ke bawah pada I jika f menurun pada I.
Teorema B : Teorema Kecekungan
Misalkan f terdiferensiasikan dua kali pada interval terbuka I.
(i) Jika f’’(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I.
(ii) Jika f’’(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke bawah pada I.
EKSTRIM LOKAL DAN EKSTRIM PADA INTERVAL TERBUKA Definisi
Misalkan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa :
(i) f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat interval (a, b) yang memuat c sedemikian rupa sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a, b) Ո S;
(ii) f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat interval (a, b) yang memuat c sedemikian rupa sehingga f(c) adalah nilai minimum f(a, b) Ո S;
(iii) f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal.
Teorema A : Uji Turunan Pertama
Misalkan f kontinu pada interval terbuka (a, b) yang memuat sebuah titik kritis c.
(i) Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f.
(ii) Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) > 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal f.
(iii) Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.
Teorema B : Uji Turunan Kedua
Misalkan f’ dan f” ada pada setiap titik interval terbuka (a, b) yang memuat c, dan misalkan f’(c) = 0.
(i) Jika f”(c) < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f.
(ii) Jika f”(c) > 0, maka f(c) adalah nilai minimum lokal f.
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN Soal :
Tentukan volume terbesar kotak terbuka yang dapat dibuat dari sepotong kertas karton berbentuk persegi dengan Panjang sisi 36 cm dengan membuang pada tiap pojoknya persegi kemudian dilipat ke atas masing-masing sisinya. Maka berapakah ukuran persegi agar diperoleh kotak dengan volume terbesar?
Penyelesaian:
36 cm (36 – 2x) cm Misalkan Panjang sisi persegi kecil adalah x cm (tinggi kotak) sehingga panjang dan lebar
kotak menjadi (36 – 2x) cm. Masalah menentukan ukuran persegi agar diperoleh kotak dengan 36cm
volume terbesar dapat dimodelkan dengan masalah mencari interval nilai x yang mungkin adalah 0 < x < 18
Nyatakan volume kotak (V) sebagai fungsi terhadap variable x V(x) = p x l x t
= (36 – 2x).(36 – 2x). x
= (1.296 – 144x + 4x2) . x
= 1.296x – 144x2 + 4x3
Volume kotak akan maksimum apabila V'(x) = 0 V'(x) = 0
V'(1.296x – 144x2 + 4x3) = 1.296– 288x + 12x2 (12x2 – 288x + 1.296 = 0) ⟹ (dibagi 12) x2 – 24x + 108 = 0 ( x – 18)( x – 6) = 0 x = 18 atau x = 6 Substitusikan ke persamaan: x = 18 V = 1.296x – 144x2 + 4x3
= 1.296(18) – 144(18)2 + 4(18)3 = 23.328 – 46.656 + 23.328 = 0 dan x = 4
V = 1.296x – 144x2 + 4x3 = 1.296(4) – 144(4)2 + 4(4)3 = 5.184 – 2.304 + 256 = 3.136
Jadi,volume terbesarnya adalah 3.316 cm3