RUANG HASIL KALI DALAM

(1)

Kania Evita Dewi

(2)

• Hasil kali titik atau skalar dari dua buah vektor dan yang dinyatakan

Definisi

• Hasil Kali Titik





  



 v u v cos , 0 u

Perhatikan bahwa adalah sebuah skalar dan bukan vektor

u

v

u Didefinisikan sebagai hasil-kali antara besar Vektor-vektor dan dan cosinus θ antara keduanya.^u

v

v u 

(3)

Hukum-hukum berikut berlaku:

• Hasil Kali Titik

         

lurus tegak

saling ,

maka 0

, dan 0

. 7

dan Jika

. 6

0 .

5

1 .

4 . 3

. 2

. 1

2 3 2

2 2

1 2

3 3 2

2 1

1

3 2

1 3

2 1

v u v

u v

u

u u

v u v

u v

u

k v j

v i

v v

k u j

u i

u u

i k k

j j

i

k k j

j i

i

k v u v

k u v

u k v

u k

w u v

u w

v u

u v v

u











































































(4)

• Misal Contoh

• Hasil Kali Titik

k j

i

u  2 3 5 ^• _dan v  2i 3 j Tentukan

v u a . 

b. Tentukan sudut yang terbentuk antara vektor

u dan v

c. Tentukan nilai dengan menggunakan sudut yang

u  v

diperoleh dinomor b.

(5)

• Hasil kali silang dari Definisi

• Hasil Kali Silang atau Vektor

u

dan

v

^• adalah sebuah vektor

w  u  v

Besarnya

u  v

didefinisikan sebahai hasil kali antara besarnya

v

u dan

dan sinus sudut θ antara keduanya. Arah vektor

v u

w  

tegaklurus pada bidang yang memuat

u dan v

Sedemikian rupa sehingga

u , v , dan w

Membentuk sebuah sistem tangan kanan.

(6)

Definisi dalam bentuk matematika

• Hasil Kali Dalam

 







 













2 1

3 1

3 2

sin

v v

u u

v v

u u

v v

u u

x v

u v

u 

dimana

x

Adalah vektor satuan yang menunjukan arah dari

u  v

(7)

Berlaku hukum-hukum berikut:

• Hasil Kali Silang

 

       

v dan u

sisi dengan

genjang jajaran

luas dengan

sama u

Besar .

8 u

maka ,

dan Jika

. 7

, ,

. 6

0 .

5 . 4

. 3

. 2

0 sin

sehingga 0

v , u dan jika

, 0 .

1

3 2

1

3 2

1

3 2

1 3

2 1

v

v v

v

u u

u

k j

i v

k v j v i v v

k u j u i u u

i k j j k

i k j

i

k k j

j i

i

k v u v

k u

v u

k v

u k

w u

v u w

v u

u v v

u

v u







































































 

(8)

• Misalkan Contoh

• Hasil Kali Silang









































2 4 1 ,

1 3 2

v u

• Tentukan:

v v u

d

u v u

c

v u

b

v u

a







.

(9)

• Hasil kali dalam dinotasikan <. , .> adalah fungsi yang mengaitkan setiap vektor di ruang vektor V dengan suatu bilangan riil dan memenuhi aksioma berikut. Misalkan V adalah ruang vektor, ,α suatu skalar, maka berlaku:

Definisi

• Ruang Hasil Kali Dalam

V w

v

u , , 

0 0

, dan 0

, : s positifita .

4

, ,

: s homogenita .

3

, ,

, :

aditivitas .

2

, ,

: simetris

. 1



















u u

u

v u v

u

w v w

u w

v u

u v v

u



Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam

(10)

• Misal Contoh

• Ruang Hasil Kali Dalam

 

 



 

2 1

u

u u

_dan





 



 

2 1

v

v v

adalah vektor-vektor pada R².

Tunjukkan bahwa ruang berikut merupakan ruang hasil kali dalam

2 2 2

2

2 2 1

1

2 2 1

,

1

.

3 2

, .

v u v

u v

u b

v u v

u v

u a









(11)

• Jika

Sifat-sifat

• Ruang Hasil Kali Dalam

w v

u , ,

adalah vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam rill dan k sebarang skalar, maka:

w u v

u w

v u e

w v w

u w

v u

d

v u k v

k u c

w u v

u w

v u b

v v

a

, ,

, .

, ,

, .

, ,

.

, ,

, .

0 , ,

0 .





















(12)

• Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka norma (panjang) vektor dinyatakan oleh

Panjang dan Sudut diruang Hasil Kali Dalam

• Ruang Hail Kali Dalam

u

2 2

1 12

...

, u u u u

_n

u

u     

• Jarak antara 2 vektor dan dinyatakan oleh dan

u v



₁ ₁

 

² ₂ ₂



²

^...  

²

, v u v u v u v u

_n

v

_n

u

d         

• Jika θ adalah sudut antara dan , maka

u v





  , , 0  

cos u v

v

u

(13)

• Misal

Contoh panjang dan sudut

• Ruang Hasil Kali Dalam

• Misal





 



  0

u 1

_dan





 



  1

v 0

_dan

u , v  2 u

₁

v

₁

 3 u

₂

v

₂ _maka



 .

, .

.

c

v u d b

u

a

(14)

Dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor dan Dinamakan ortogonal jika .

Selanjutnya, jika ortogonal terhadap setiap vektor pada himpunan W, maka kita katakan bahwa ortogonal terhadap W.

Definis ortogonal

• Ruang Hasil Kali Dalam

u v

0 , v  u

u

(15)

• Tentukanlah apakah vektor yang diberikan pada bagian berikut ortogonal terhadap hasil kali dalam.

Contoh

• Ruang Hasil Kali Dalam















 





























































































9 2 1 2 ,

1 5 3

2 .

3

1 1 1 ,

1 1 1 .

2

1 3 2 ,

4 2 1 .

1

v u

(16)

• Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan ortogonal jika semua pasang vektor-vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norma 1 dinamakan ortonormal.

Basis Ortonormal

• Ruang Hasil Kali Dalam

(17)

Tentukan himpunan vektor dibawah ini yang merupakan himpungan ortonormal.

Contoh

• Ruang Hasil Kali Dalam

























 







































































 

















 



 



 





3 23 23 1

,

3 32 13 2

,

3 13 32 2

. 2

12 1 , 2 21 1 .

2 102

1 ,

3 31 13 1

, 2 102 1 2 .

, 0 0 . 1

d b

c a

(18)

• Jika

Teorema

• Ruang Hasil Kali Dalam

 v v v

n



S 

₁

,

₂

,...,

Adalah basis ortonormal untuk ruang hasil Kali dalam V, dan adalah sebarang vektor dalam V, maka

u

n n

v v u v

v u v

v u

u  ,

₁ ₁

 ,

₂ ₂

 ...  ,

(19)

• Misalkan W adalah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasil kali dalam V

a. Jika adalah suatu basis ortonormal untuk W, dan adalah sebarang vektor dalam V maka

b. Jika adalah suatu basis ortogonal untuk W dan adalah sebarang vektor dalam V maka

Teorema

• Ruang Hasil Kali Dalam



v₁,v₂,...,vn

 u

n n

W

u u v v u v v u v v

proy  ,

₁ ₁

 ,

₂ ₂

 ...  ,

n n

n

W

v

v v v u

v v u u

proy

₂ ₂ ₂

2 2 2 1

1

,

, ...

,   





v₁,v₂,...,vn

 u

(20)

• Jika

Komponen u yang ortogonal terhadap W

• Ruang Hasil Kali Dalam

w

1

u proy

u 

_w



u proy

u

w

₁

 

_W

maka

dimana w¹Adalah komponen u yang ortogonal terhadap W

(21)

• W adalah subruang yang dibangun oleh Contoh

• Ruang Hasil Kali Dalam

 

v1,v2 Vektor-vektor ortonormal, misal

















 0 1 0 v1

















 5 135

4

v2

a. Tentukan proyeksi ortogonal dari pada W

















 1 1 1 u

b. Tentukan komponen yang ortogonal terhadap W

















 1 1 1 u

(22)

• Metode Gram-Schimdt adalah metode yang digunakan untuk mengubah himpunan vektor yang bebas linier menjadi himpunan vektor ortogonal.

Proses Gram Schimdt

• Ruang Hasil Kali Dalam

• Misalkan diketahui adalah himpunan vektor yang bebas linier, maka U dapat diubah menjadi himpunan

yang ortogonal dengan cara:



u u un



U  ₁, ₂,...,

 s s s

n



S 

₁

,

₂

,...,

(23)

Proses Gram-Schimdt

• Ruang Hasil Kali Dalam

2 1 1

1 2 2

2 2 2 1

1 1

2 2 2

2 3 2 1

1 1 3 3

3 3

3

2 1 1

1 2 2

2 2

2 1

... , ,

. , 5

. 4

, . ,

3 . , 2

. 1

1 2

1 1



 

























 n

n n n n

n n

n W

n n

W W

s s s s u

s s s u

s s u u

u proy

u s

s s s s u

s s u u

u proy u

s

s s

s u u

u proy u

s

u s

n



(24)

• Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan basis ke dalam basis ortonormal.

• Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mentransformasikan basis kedalam basis ortonormal

Contoh

• Ruang Hasil Kali Dalam

 

u1,u2



 





 



 



 



 



 



 





 

5 , 3

0 . 1

2 , 2

3

.u₁ 1 u₂ b u₁ u₂

a



u1,u2,u3

















































































































1 4 0 ,

2 7 3 ,

0 0 1 .

1 2 1 ,

0 1 1 ,

1 1 1

. ₁ ₃ ₁ ₃

2

2 u bu u u

u u

a

(25)