Slide: Integral Lipat Dua

Integral Lipat Dua

Integral Lipat Dua

Z=f(x,y)

x

y z

b

a

R

c d

x_k

y_k

1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d]

menjadi n bagian.

2. Pilih pada setiap sub interval pada [x_i, x_i-1] dan [y_i, y_i-1]

3. Bentuk jumlah Riemann.

4. Jika n →  (|P|→ 0) diperoleh limit jumlah Riemann.

) y , x ( _{k k}



= = n 

i n

i f xk yk Ak 1 1

) , (



= =



→ ⁿ 

i n

i k k k

n f x y A

1 1

) , ( lim

Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a  x  b, c  y  d}

) y , x ( _{k k}

Integral Lipat Dua

Definisi integral lipat dua :

Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang

terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R.



=

→ ⁿ 

k

k k

P f xk y A

0 1 ( , )

Jika lim ada, kita katakan f dapat diintegralkan pada R. Lebih lanjut



⁼



R R

dxdy )

y , x ( f dA

) y , x ( f



=

R

dA y x

f ( , )



→ = 

n

k

k k

P k

A y

x f

0 1

) , ( lim

yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan oleh :



=

R

dy dx ) y , x (

f



→ ⁿ=  

1 k

k k k

0 k

P f(x , y ) x y

lim atau

Arti Geometri Integral Lipat Dua

Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y)  0 pada persegpanjang R, maka



R

dA y

x

f( , ) menyatakan volume benda padat yang terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan di atas R.

Menghitung Integral Lipat Dua

Jika f(x,y)  0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu:

(i) Sejajar bidang XOZ

y

x

z ^{z= f(x,y)}

c a

b

d

a b

z

x

A(y)



=

b a

dx y

x f y

A ( ) ( , )

A(y)

Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan)



 ⁼

^d

c R

dy y

A A

d y x

f ( , ) ( )   ^



 



= 

d c

b a

dy dx

y x

f ( , ) ⁼  

^d

c b a

dy dx y

x

f ( , )

Maka



R

dA y

x

f ( , ) ⁼  

^d

c b a

dy dx y

x

f ( , )

Menghitung Integral Lipat Dua (lanjutan)

(ii) Sejajar bidang YOZ

y

x

z ^{z= f(x,y)}

c a

b

d

c d

z

y

A(x)



=

d c

dy y

x f x

A ( ) ( , )

A(x)

Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan)



 ⁼

^b

a R

dx x

A A

d y x

f ( , ) ( )   ^



 



= 

b a

d c

dx dy

y x

f ( , ) ⁼  

^b

a d c

dx dy y

x

f ( , )

Maka



R

dA y

x

f ( , ) ⁼  

^b

a d c

dy dx y

x

f ( , )

Contoh

1. Hitung integral lipat dua berikut ini :

_ (

⁺

)

R

dA y

x² 2 ² dimana R = {(x,y) | 0  x  6, 0  y  4}

Jawab:

( )



⁺

R

dA y

x² 2 ^{2 =}

_{ }

⁶

(

⁺

)

0 4 0

2

2 2y dy dx

x







 



 +

=

6

0 0

3 4 2

3

2 y dx y

x



^_^{ + }_^

= ⁶

0

2

3

4x 128 dx

0 3 6

3 128 3

4 x + x

= = 288 + 256 = 544

R

6 4

y

x

Contoh

( )



⁺

R

dA y

x² 2 ^{2 =}

_{ }

⁴

(

⁺

)

0 6 0

2

2 2y dx dy

x







 



 +

=

4

0 0

2 6

3 2

3

1 x xy dy

( )



⁺

=

4 0

12 2

72 y dy

0 3 4

4 72x + x

= = 288 + 256 = 544

Atau,

Contoh

2. Hitung integral lipat dua berikut ini :

 (

⁺

)

R

dA y

x sin

dimana R = {(x,y) | 0  x /2, 0  y  /2}

R

/2

/2

y

x

Jawab:

( )



⁺

R

dA y

x

sin

⁼ _{ }

^/2

( ⁺ )

0

2 /

0

sin

 

dy dx y

x

 _



 



 − +

=

^/2

0 0

2 /

) cos(

 

dy y

x

 ^ _ ^{ − } _ ^{ + } _ ^{ +} ( ) ^ _ ^

=

^/2

0

2 cos cos





dy y

y

2 /

0 2

/

0 sin 2

sin









 

 +

−

= y y

( )

²

sin 2 2 sin

sin  =



 

 + 

 −



 



= 

  

Latihan

 

⁺

1 0

1 0

2

. xy e 2 dy dx

a ^{x y}

  ( )

− 2 0

1 1

. xy 2dy dx b

 

₊

1 0

2 0

2 1

. dy dx

x c y

1. Hitung

2.

 ( )

R

dy dx y

x

f , untuk fungsi

a. f(x,y)= (x + 2y)² dengan R = [-1, 2] x [0, 2]

b. f(x,y)= x² + y² dengan R = [0, 1] x [0, 1]

c. f(x,y)= y³ cos²x dengan R = [-/2, ] x [1, 2]

Sifat Integral Lipat Dua

Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R 1.

 ( )

⁼

 ( )

R R

dA y

x f k

dA y

x f

k , ,

2.

 ( ( )

⁺

( ) )

⁼

 ( )

⁺

 ( )

R R

R

dA y

x g dA

y x f dA

y x g y

x

f , , , ,

3. Jika R = R₁ + R₂ , maka

( )  ( )  ( )



^{= +}

2 1

, ,

,

R R

R

dA y

x f dA

y x f dA

y x f

4. Jika f(x,y)  g(x,y), maka

( )  ( )



^

R R

dA y

x g dA

y x

f , ,

Integral Lipat Dua atas Daerah Sembarang

Ada dua tipe

 Tipe I

D = {(x,y) | a  x  b , p(x)  y  q(x) }

 Tipe II

D = {(x,y) | r(y)  x  s(y) , c  y  d }

Tipe I

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :

D

a b x

q(x)

p(x) y

 



^{= b}

a x q

x p D

dx dy y x f dA

y x f

) (

) (

) , ( )

, (

D={(x,y)| axb, p(x)yq(x)}

x

y

Tipe II

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :

 



^{= d}

c ) y ( s

) y ( r D

dy dx ) y , x ( f dA

) y , x ( f

D={(x,y)|r(y)xs(y), cyd}

x

y

D c

d

r (y) s (y)

x

Aturan Integrasi

 Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk D (daerah integrasi).

 Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan

dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.

 Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasi, selanjutnya kita

dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.

Contoh

1. Hitung

_ ( )

R

x dA e

y

2 ,R dibatasi x= y², y =1, sumbu y

x R

_ ( )

R

x dA e

y

2 ⁼

_{ }

¹

( )

0 0

2

2

y

x dx dy

e y



= ¹

0 0

2y e^{x y}2 dy

( )



⁻

= ¹

0

1 2y e^y2 dy

( )

x y

x = y²

1 1

R = {(x,y)| 0 x y², 0  y  1}

Contoh

Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu:

R

( )



R

x dA e

y

2 ⁼

_{ }

¹

( )

0 1

2

x

x dy dx

e y



=

1

0

2 1 dx y

e x

x



⁻

= ¹

0

dy xe

e^{x x}

(

^{ex − xex + ex}

)

¹₀

=

R = {(x,y)| 0 x 1, x  y  1}

y x

y

x = y²

1 1

2 )

1 1 (

2 − − + = −

= e e e

Contoh

 

⁴

0 2

2

. 2

2 e dy dx

x

y

Daerah integrasinya R = {(x,y)| 0 x 4, x/2  y  2}

Jawab:

x R

x y

y = x/2

4 2

Diubah urutan pengintegralannya, yaitu:

R = {(x,y)| 0 x 2y, 0  y  2}

Sehingga

 

4 0

2

2

2dy dx

e

x

y ⁼

 

²

0 2

0

2dx dy

e

y y



= ² e^y2 x ²₀^y dy

x=2y

Latihan

 

− 3

1 y 3

y

y

dx dy

e x .

1

³

 

2

0 0

dx dy x

sin

x cos y .

2



^{1 −}

0 1

x

y

dy dx

e .

5

²

 

⁴

0 1

.

3

6 e dx dy

y x



¹

₊

0 2

0

2

dy dx

1 x

. y 3

 

  2

+

0 2

0

dy dx ) y x

sin(

. 4

( )

 

^{2 −}

⁺

0

x 4

0

dx dy y

x .

7

2

 

2

0 0

dx dy x

cos

x sin y .

8 ^{ }



0

. sin

9 dy dx

y y

x

Integral lipat dalam koordinat kutub/polar

Hitung



⁺

D

y

x dA

e ^{2 2} , D={(x,y)|x²+y²4}

Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untuk diselesaikan.

Sistem Koordinat Kutub



r P(r,)

y Hubungan Kartesius – Kutub

x = r cos  x²+y²=r² y = r sin 

 = tan^-1(y/x)

2

2 y

x

r = +

Transformasi kartesius ke kutub

Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada persegipanjang kutub D D={(r, )| a  r  b,     }

? )

,

( =



D

dA y

x f

Sumbu Kutub

A_k ^r=b

r=a

=

=

D

A_k

r_k-1 r_k



Pandang satu partisi persegi panjang kutub A_k

Luas juring lingkaran dengan sudut pusat  adalah ½ r²

A_k = ½ r_k²  - ½ r_k-1² 

= ½ (r_k² - r_k-1²) 

= ½ (r_k + r_k-1) (r_k - r_k-1)

= r r 

Jika |P|→ 0, maka dA = r dr d (|P| panjang diagonal Ak)

Transformasi kartesius ke kutub

Sehingga



 ⁼

p

k D

D

d dr r

r r

f dA

y x

f ( , ) ( cos  , sin  ) 

1. Hitung



⁺

D

y

x dA

e ^{2 2} , D={(x,y)|x²+y²4}

Contoh:

2. Hitung



D

dA

y , D adalah daerah di kuadran I di dalam lingkaran x²+y²=4 dan di luar x²+y²=1

Contoh



⁺

D

y

x dA

e ^{2 2} .

1 dengan D = {(x,y)| x²+y² 4}

D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat (0,0) jari-jari 2.

D = {(r,)| 0  r  2, 0    2}

Sehingga



⁺

D

y

x dA

e ^{2 2 = 2}

 

^

^

0 2

0

2r dr d e^r

(

^{4 −1}

)

=



e



_^









= ^2 



0

2

0

2

2

1 e^r d





 



 −

= ^2



0 4

2 1 2

1 e d

2 2

x y

D ^r



Jawab.

Contoh



D

dA y

.

2 dengan D adalah persegipanjang kutub di kuadran I di dalam lingkaran x²+y²=4 di luar x²+y²=1

D = {(r,)| 1  r  2, 0    /2}

Sehingga



D

dA

y

⁼

 

^/2

0 2

1

sin

 r



r dr d





_^









= ^/2 

0

2

1

3 sin

3

 1





d r

( ) 

^/2

1 ^





1 2 x y

D

r 

Latihan

1. Hitung

 

^{1 − − −}

0 1

0

2 2

2

4

x

dx dy y

x

2. Hitung

 

−

−

+

1

1 1

0

2 2

2

) sin(

y

dy dx y

x

3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah

paraboloid z = x²+y² dan di dalam tabung x² + y² = 9 dengan menggunakan koordinat kutub.

D daerah sembarang/umum

1. D={(r, )| ₁()  r  ₂(),     }

2. D={(r, )| a  r  b, ₁(r)    ₂(r)}

r=₂()

r=₁()

=

=

D

r=b

r=a

=₂(r)

=₁(r)

D

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar

1 2

1

D={(r, )| 0  r  2 cos  ^,– /2    /2}

Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (1,0) dan berjari-jari 1

D

Jadi, (x – 1)² + y² = 1

x² – 2x + 1 + y² = 1 x² + y² = 2x

r² = 2r cos 

r² – 2r cos  =0 r (r – 2 cos  ⁾⁼⁰

r = 0 atau r = 2 cos 

Untuk batas  (dari gambar)  =– /2 → = /2 Sehingga,

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar

=/4

1 2 x

y

D

x = 1 → x = 2

y = 0 → y = 2x − x²

y² = 2x – x² x² + y² – 2x = 0 (x – 1)² + y² = 1 ini merupakan lingkaran pusat (1,0), jari-jari 1 Untuk batas r dihitung mulai

x = 1 r cos  = 1 r = sec 

Untuk batas  (dari gambar)  =0 → = /4 hingga r = 2 cos 

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar

D={(r, )| 0  r  2 sin  ^{,0 }  ^{ }}

1 1

2 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (0,1) dan berjari-jari 1

Jadi, x² + (y – 1)² = 1

x² + y² – 2y + 1 = 1 x² + y² = 2y

r² = 2r sin 

r² – 2r sin  =0 r (r – 2 sin  ⁾⁼⁰

r = 0 atau r = 2 sin 

Untuk batas  (dari gambar)  =0 → =  Sehingga,

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar

1

1

D={(r, ^{)| 0  r  sec}  ^{,0 }  ^ ^/4}

x = 0 → x = 1 y = 0 → y = x

Sehingga koordinat polarnya adalah Untuk batas r

x = 1 r cos  ^{= 1 r = sec} 

Untuk batas  (dari gambar)  =0 → = /4 D

Contoh

1. Hitung

 

^{2 −} ₊

1

x x 2

0

2 2

2

dydx y

x 1

Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y:

x = 1 → x = 2

y = 0 → y = 2x − x²

y² = 2x – x² x² + y² – 2x = 0 (x – 1)² + y² = 1

ini merupakan lingkaran dengan pusat (1,0), jari-jari 1

=/4

1 2 x

y

D

Koordinat polarnya adalah

D={(r, )| sec   r  2 cos  ,0    /4}

Contoh (Lanjutan)

 

⁻ ₊

2

1 2

0 2 2

2 1

x x

dx y dy

x ⁼

 

^/4

0

cos 2

sec

1.

 



 d dr r r

(

^2sin

^

^{− ln sec}

^

^{+ tan}

^ )

₀^{ /4}

=

( )



=

4 /

0

cos 2 sec

 

 d



r ⁼



^/4

(

⁻

)

0

sec cos

2

   ^d

Sehingga,

( ) ( ) ( )

(

^{2sin0 lnsec 0 tan 0}

)

tan 4 sec 4

4 ln sin

2  − − +





 



 

 + 



 



− 



 



=   

( )

Latihan

1. Hitung



^

S

d dr

r , S daerah dalam lingkaran r = 4 cos

dan di luar r = 2 2. Hitung



¹

0 1

2 x

dx dy x

3. Hitung



^{− −}

D

dA y

x^{2 2}

4 , D daerah kuadran I dari lingkaran x²+y²=1 antara y=0 dan y=x

(dengan koordinat kutub)