65
PREDIKSI HARGA MINYAK DUNIA DENGAN METODE AUTOREGRESSIVE FRACTIONALLY INTEGRATED MOVING
AVERAGE (ARFIMA)
1Dimas Kevin Natanael, 2Diah Safitri, 3Suparti
1,2,3Departemen Statistika FSM Universitas Diponegoro
Email : [email protected]
ABSTRACT
Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average (ARFIMA) model is a development of the ARIMA model. The advantage of the ARFIMA method is the non-integer differentiation value so that it can overcome long memory effect that cannot be solve with the usual ARIMA method. Non-integer differential values can be estimated with a binomial expansion approach which is an infinite weighted sum of past values to solve the long memory effect that arises. Some of the advantages of using the ARFIMA model iscapable of modeling high changes in the long term (long term persistence), be able to explain long- term and short-term correlation structures at the same time, to provide models with simple parameters (parsimony) for data with memory long term and short term.Data of world oil price contain long memory effect, then used ARFIMA method to get the best model. The best model obtained is the ARMA([1,7]; 0) model with the differential value is 0,48937, then the model can be written into ARFIMA ([1,7]; d; 1). The best model chosen has an MSE value of 0,44 and a MAPE value of 3,32%.
Keywords : Sea Passengers, ARIMA Box-Jenkins, Calendar Variation, ARIMAX
PENDAHULUAN
Indonesia merupakan negara yang berlimpah akan berbagai jenis Sumber Daya Alam seperti batu bara, tembaga, nikel, pasir besi, biji timah, dan lainnya, tak terkecuali minyak mentah dan gas bumi.Kementerian Energi dan Sumber Daya Mineral Republik Produksi minyak mentah Indonesia kini semakin menurun.
Kondisi yang bertolak belakang antara kinerja produksi dan konsumsi minyak ini membuat Indonesia mengalami defisit, yaitu sekitar 800 ribu barel per hari pada tahun 2006 menjadi sekitar 690 ribu barel per hari pada tahun 2015. Penurunan tersebut disebabkan oleh penurunan produksi sumur – sumur produksi minyak bumi yang umumnya sudah tua sedangkan produksi sumur baru masih relatif terbatas [14].
Dalam rangka memenuhi kebutuhan konsumsi bahan bakar maka dilakukan kegiatan import. Meskipun demikian masalah kembali muncul kaitannya dengan harga minyak import. Harga minyak import sering mengalami fluktuasi yang mengakibatkan harga sering berubah – ubah, sehingga diperlukan prediksi harga minyak yang akurat. Prediksi ini dibutuhkan sebagai bahan informasi yang kaitannya dengan perkiraan harga bahan bakar di masa yang akan datang. Data harga minyaksendiri merupakan salah satu data runtun waktu yang dapat diprediksi nilainya untuk beberapa tahap kedepan.
Adakalanya suatu data runtun waktu menunjukkan pola memori jangka panjang (long memory), ini terlihat dari nilai-nilai autokorelasi pada plot ACF yang turun secara lambat untuk jarak waktu (lag) yang semakin meningkat dan hasil perhitungan dari statistik Husrt (H)
66 yang terletak dalam interval 0,5 >H >1.
Identifikasi ini mengindikasikan bahwa nilai dari koefisien pembedabernilai pecahan, sehingga model yang paling cocok adalah model ARFIMA (Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average) [1].
Granger (1980) adalah orang yang pertama kali memperkenalkan model Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average (ARFIMA) [5].
Kemudian oleh Hosking (1981) dilakukan pengkajian terhadap sifat – sifat long memory dari modelARFIMA. Model ARFIMA dapat menjelaskan deretberkala jangka pendek (short memory) maupun deret berkala jangka panjang (long memory). Metode ARFIMA ini dapat mengatasi kelemahan pada model ARIMA.
ARIMA hanya dapat menjelaskan runtun waku jangka pendek, sedangkan ARFIMA dapat menjelaskan baik jangka pendek maupun jangka panjang [7].
Dalam penelitian ini akan dilakukan pemodelan data harga minyak dunia (basket price) dengan menggunakan pendekatan deret berkala memori jangka panjang ARFIMA. Nilai diferensiasi dapat diestimasi dengan metode Geweke and Porter-Hudak (GPH) dan Exact Maximum Likelihood (EML).Dengan menggunakan metode Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average (ARFIMA), harga minyak dunia beberapa tahap ke depan dapat diprediksi berdasarkan data harga minyak dunia dari periode sebelumnya. Hal iniyang melatar belakangi penulis dalam melakukan penelitian dengan judul “Prediksi Harga Minyak Dunia dengan Metode Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average (ARFIMA)”.
Tahapan untuk pemodelan ARFIMA adalah pertama identifikasi model dengan plot ACF dn PACF. Kedua, estimasi parameter pembeda(d) menggunakan metode Geweke Porter Hudak (GPH). Ketiga, estimasi parameter menggunakan metode Exact Maximum
Likelihood (EML). Terakhir, uji signfikansi parameter dan verifikasi residual model yang terdiri dari uji indepensi residual menggunakan uji Ljung Box, dan uji homogenitas residual menggunakan uji Lagrange Multiplier.
METODE PENELITIAN
Sumber Data dan Variabel Penelitian Jenis data yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah jenis data sekunder yaitu data tentangharga minyak dunia (basket price) yang diperoleh dari [17]. Data yang diambil adalah data harian dari bulan Oktober tahun 2015 sampai April tahun 2017. Data diolah dengan menggunakan beberapa sofware seperti R Command, E-views, Minitab, dan Microsoft excel.
Metode Analisis
Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian ini, ditempuh langkah-langkah sebagai berikut.
1. Membuat plot time series data harga minyak bumi untuk mengetahui apakah data tersebut sudah stasioner atau belum.
2. Melakukan transformasi jika ada data yang tidak stasioner dalam variansi.
3. Membuat plot ACF dan PACF data yang telah ditransformasi untuk mengetahui adanya ketergantungan jangka panjang.
4. Melakukan perhitungan Hurst Exponent dengan metode rescaled range statistics (R/S) untuk melihat efek long memory.
5. Melakukan estimasi nilai d dengan metode Geweke and Porter-Hudak.
6. Membuat plot PACF dn ACF dengan menggunakan data yang telah dilakukan diferensi.
7. Melakukan pemodelan dengan metode ARFIMA.
67 8. Melakukan uji asumsi untuk melihat
apakah residual memenuhi asumsi white noise, kesamaan varian dan berdistribusi normal.
9. Model yang telah memenuhi semua asumsi akan dibandingkan berdasarkan nilai MSE yang terkecil.
10. Membuat ramalan harga minyak dunia untuk 10 tahap ke depan dengan menggunakan model ARFIMA terbaik yang diperoleh.
11. Evaluasi kriteria model dilihat dari nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE).
HASIL PENELITIAN Uji Stasioneritas Data
Gambar 1. Box Plot Transformation
Gambar 2. Trend Analysis Plot
Berdasarkan OutputGambar 1 dan Gambar 2,dapat disimpulkan bahwa data belum stasioner dalam mean maupun dalam varian. Nilai dari rounded value adalah 2. Hal ini menunjukan data belum stasioner dalam varian dan perlu
dilakukan transformasi. Sesuai dengan hasil nilai rounded value yang diperoleh, transformasi yang digunakan adalah dengan cara mencari nilai kuadrat dari data yang digunakan.Lalu, pada uji Augmented Dickey Fuller, kedua return saham tersebut mempunyai nilai pvalue sebesar 0,6950 sehingga belum stasioner dalam mean secara uji formal.
Pengujian Pola Long Memory
Gambar 3. Plot Autocorrelaion Function
Berdasarkan Output Gambar 3 dapat dilihat bahwa lag yang muncul turun lambat secara hiperbolik. Secara visual dapat dikatakan bahwa data mengandung efek memory jangka panjang. Namun meskipun secara visual terpenuhi, perlu dilakukan pengujian secara formal.
Selain dilakukan secara visual, identifikasi efek memorijangka panjang juga perlu dilakukan secara formal.
Identifikasi model secara formal dapat dilihat melalui perhitungan nilai Hurst Exponent (H). Digunakan metode rescaled range statistics (R/S) dengan langkah – langkah sebagai berikut:
1. Menghitung nilai rata-rata data (mean)
𝜇 =1
𝑛∑𝑛𝑖=1𝑋𝑖 =217091.31
400 = 42,72
2. Menghitung rata-rata tertimbang dari masing-masing data
𝑌1 = 𝑋1− 𝜇 = 44,48 − 42,72 = 1,76
𝑌2 = 𝑋2− 𝜇 = 43,82
− 42,72
= 1,10
68
⋮ 𝑌400= 𝑋400− 𝜇
= 51,9
− 42,72
= 9,18
3. Menghitung simpangan kumulatif data
𝑍1 = ∑𝑡𝑖=1𝑌𝑖 = 𝑌1 = 1,76
𝑍2 = ∑ 𝑌𝑖
𝑡
𝑖=1
= 𝑌1+ 𝑌2
= 1,76 + (1,10)
= 2,86
⋮
𝑍400 = ∑𝑡𝑖=1𝑌𝑖 =𝑌1+ 𝑌2+
⋯ + 𝑌400= 1,76 + 1,10 +
⋯ + 9,18 =1,76 4. Menghitung rentangan data
𝑅1 = max(𝑍1) − min(𝑍1)
= 1,76 − 1,76
= 0 𝑅2 = max(𝑍1, 𝑍2)
− min(𝑍1, 𝑍2)
= 2,86 − 1,76
= 1,10
⋮ 𝑅400
= max(𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍400)
− min(𝑍1, 𝑍2, … , 𝑍400)
= 1171,30
5. Menghitung standar deviasi dari masing-masing data
𝑆1 = √1
𝑡∑(𝑋𝑖− 𝜇)2
𝑡
𝑖=1
= 1,76
𝑆2 = √1
𝑡∑(𝑋𝑖 − 𝜇)2
𝑡
𝑖=1
= 2,02
⋮
𝑆400= √1
𝑡∑(𝑋𝑖 − 𝜇)2
𝑡
𝑖=1
= 0,09
6. Menghitung rescaled range statistics (R/S)
(𝑅/𝑆)1 = 𝑅1
𝑆1 = 0
1,76= 0 (𝑅/𝑆)2 =𝑅2
𝑆2 = 1,10
2,02= 0,54
⋮ (𝑅/𝑆)400= 𝑅400
𝑆400 =
1171,30
0,09 =13339,70
7. Menghitung nilai log rescaled range statistics (R/S)
𝑌1 = log[(𝑅/𝑆)1] = 1 𝑌2 = log[(𝑅/𝑆)2] = −0,61
⋮
𝑌400 = log[(𝑅/𝑆)400] = 9,45 8. Menghitung nilai log waktu dari
data pengamatan 𝑋1 = log(1) = 0 𝑋2 = log(2) = 0,7
⋮ 𝑋400 = log(400) = 5,99
9. Kemudian dapat dilakukan perhitungan nilai Hurst Exponent(H)
𝐻
=∑𝑛𝑡=1(𝑋𝑡− 𝜇𝑥𝑡)(𝑌𝑡− 𝜇𝑌𝑡)
∑𝑛𝑡=1(𝑋𝑡− 𝜇𝑥𝑡)2
= 0,8
Estimasi Parameter Pembeda (d) Setelah sebelumnya sudah diketahui bahwa data mengandung efek long memory, maka digunakan metode ARFIMA dalam proses peramalannya.
metodeARFIMA menggunakan nilai parameter pembeda (d) dalam bentuk pecahan. Maka dari itu perlu digunakan metode khusus dalam penentuan nilai parameter pembedanya. Metode yang digunakan untuk menentukan nilai d adalah metode Geweke Porter-Hudak (GPH).
69 Dalam proses perhitungan nilai d digunakan bantuan software R. Package yang digunakan dalam software R ketika mencari estimasi nilai d dengan metode GPH adalahfraccdiff. Berdasarkan perhitungan dengan software R (lampiran 2)diperoleh estimasi nilai d sebesar 1,086094.
Identifikasi Model
Gambar 4.Autocorelaion Function
Gambar 5.Partial Autocorrelation Function
Setelah melihat hasil dari identifikasi model pada Gambar 4 dan Gambar 5, dapat diambil kesimpulan bahwa model yang mungkin adalah:
1. ARFIMA (1; d;0) 7. ARFIMA (1; d; 1) 2. ARFIMA ([7]; d; 0) 8. ARFIMA ([7]; d;
1) 3.ARFIMA ([1,7]; d;
0)
9. ARFIMA ([1,7];
d; 1)
4. ARFIMA (0; d; 1) 10. ARFIMA (1;
d;[7])
5. ARFIMA (0; d;[7]) 11. ARFIMA (1; d;
[1,7]) 6. ARFIMA (0;
d;[1,7])
12. ARFIMA ([1,7];
d; [1,7])
Pemilihan Model Terbaik
Dari beberapa model awal yang telah dilakukan pengujian asumsi, kita dapat menentukan model mana yang terbaik untuk digunakan dalam proses peramalan nantinya. Hasil pengujian dapat dilihat dalam Tabel 3:
Peramalan
Setelah beberapa pengujian sebelumnya, kemudian dapat diperoleh kesimpulan bahwa model terbaik yaitu model ARFIMA([1,7]; d; 0) yang dapat dituliskan persamaannya,
ɸ(𝐵)(1 − B)𝑑𝑍𝑡 = 𝑎𝑡 (1 − ɸ1𝐵 − ɸ7𝐵7)(1 − B)0,48937𝑍𝑡
= 𝑎𝑡
(𝑍𝑡− ɸ1𝑍𝑡−1− ɸ7𝑍𝑡−7)(1 − B)0,48937
= 𝑎𝑡
(𝑍𝑡− ɸ1𝑍𝑡−1− ɸ7𝑍𝑡−7)
= 𝑎𝑡
(1 − B)0,48937 𝑍𝑡 = ɸ1𝑍𝑡−1+ ɸ7𝑍𝑡−7+ 𝑎𝑡
(1 − B)0,48937 𝑍𝑡 = 0,751𝑍𝑡−1+ 0,130467𝑍𝑡−7
+ 𝑎𝑡
(1 − B)0,48937
dengan(1 − B)0,48937 dapat didekati dengan ekspansi binomial
(1 − B)0,48937= 1 − 0,48937𝐵
−1
20,48937(1
− 0,48937)𝐵2
−1
60,48937(1
− 0,48937)(2
− 0,48937)𝐵3− ⋯
= 1 − 0,48937𝐵
− 0,12494𝐵2
− 0,06291𝐵3− ⋯
Setelah diperoleh model terbaik, maka model tersebut dapat digunakan untuk melakukan proses peramalan. Peramalan yang akan dilakukan sebanyak 10 tahap kedepan. Data yang di modelkan sebelumnya telah dilakukan transformasi dalam bentuk pangkat dua, maka setelah
70 diperoleh hasil peramalan harus dikembalikan kembali ke bentuk asli dari data dengan cara melakukan akar pada data hasil peramalan. Data hasil peramalan yang telah dikembalikan disajikan pada Tabel 4.
Tabel 3. Tabel Hasil Uji Asumsi
Model Signifikansi
Parameter
Independensi Residual
Kesamaan
Varian MSE 1. ARFIMA
(1;d ; 0) Parameter Signifikan Independensi Tidak
Terpenuhi Varian Sama 0,044 2. ARFIMA
(7;d ; 0) Parameter Signifikan Independensi Tidak Terpenuhi
Varian Tidak
Sama 0,067
3. ARFIMA
([1,7]; d ; 0) Parameter Signifikan
Independensi
Terpenuhi Varian Sama 0,044 4. ARFIMA
(0;d ; 1) Parameter Tidak Signifikan
Independensi Tidak Terpenuhi
Varian Tidak
Sama 0,185
5. ARFIMA
(0; d ; 7) Parameter Tidak Signifikan
Independensi Tidak Terpenuhi
Varian Tidak
Sama 0,151
6. ARFIMA (0; d ; [1,7])
Parameter Tidak Signifikan
Independensi Tidak Terpenuhi
Varian Tidak
Sama 2,071
7. ARFIMA (1; d ; 1)
ParameterTidak Signifikan
IndependensiTidak Terpenuhi
Varian Tidak
Sama 0,044
8. ARFIMA
(7; d ; 1) Parameter Signifikan Independensi Tidak
Terpenuhi Varian Sama 0,053 9. ARFIMA
([1,7]; d ; 1)
ParameterTidak Signifikan
Independensi Terpenuhi
Varian Tidak
Sama 0,045
10. ARFIMA (1;d ; 7)
Parameter Tidak Signifikan
Independensi Tidak
Terpenuhi Varian Sama 0,045 11. ARFIMA
(1; d ; [1,7])
Parameter Tidak Signifikan
Independensi
Terpenuhi Varian Sama 0,045 12. ARFIMA
([1,7]; d ; [1,7])
Parameter Tidak Signifikan
Independensi Terpenuhi
Varian Tidak
Sama 0,045
71
Tabel 4. Peramalan dengan model ARFIMA([1,7]; d; 0)
Periode Tanggal Nilai Ramalan
Interval
Kepercayaan Data Aktual Batas
atas
Batas bawah
401 4/20/2017 52.29 64.20 35.36 50.49 402 4/21/2017 51.47 62.89 32.89 50.01 403 4/24/2017 51.05 62.72 32.56 49.66 404 4/25/2017 50.42 62.44 32.03 49.22 405 4/26/2017 49.87 62.06 31.26 49.65 406 4/27/2017 49.72 62.54 32.19 48.9 407 4/28/2017 49.28 61.73 30.56 49.33 408 5/1/2017 48.82 62.17 31.43 49.19 409 5/2/2017 48.87 61.99 31.08 49.02 410 5/3/2017 48.8 61.86 30.81 48.38
Dalam proses peramalan ini diperoleh nilai MSE dan MAPE yang ditampilkan pada Tabel 5.
Tabel 5. Tabel nilai MSE dan MAPE
Model MSE MAPE
ARFIMA([1,7]; d; 0) 0,044 3,23%
Berdasarkan Tabel 5 dapat dilihat bahwa model ARFIMA([1,7]; d; 0) adalah model dengan kinerja peramalan yang terbaik karena mempunyai nilai MAPE terkecil. Jika dibandingkan dengan tabel kriteria pengukuran MAPE, model ini masuk dalam kriteria kemampuan peramalan sangat baik karena nilai MAPE yang diperoleh kurang dari 10%.
KESIMPULAN
Berdasarkan analisis dan pembahaan data harian harga minyak mentah dunia dari periode Oktober 2015 hingga April 2017 yang telah dijelaskan sebleumnya, dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Hasil pemeriksaan terhadap data menunjukan bahwa terdapat long memory effect yang ditunjukan dengan plot ACF yang turun lambat secara hiperbolik dan nilai Hurst sebesar 0,8.
2. Nilai d yang diperoleh dari hasil estimasi dengan metode Geweke Porter-Hudak (GPH) sebesar 1,08609
3. Hanya ada satu model yang memenuhi uji diagnostik dari dua belas model yang diujikan. Model tersebut adalah model ARFIMA([1,7]; d; 0) dengan nilai estimasi d dengan metode Exact Maximum Likelihood diperoleh sebesar 0,48937.
4. Nilai MSE yang diperoleh dari model ARFIMA([1,7]; d; 0) sebesar 0,044 dan nilai MAPE dari model ARFIMA([1,7]; d; 0) sebesar 3,23%.
5. Model ARFIMA([1,7]; d; 0)dapat dituliskan persamaannya,
𝑍𝑡 = 0,751𝑍𝑡−1+ 0,130467𝑍𝑡−7
+ 𝑎𝑡
(1 − B)0,48937
DAFTAR PUSTAKA
[1] Cahyandari, R., dan Erviana, R. 2015.
Peramalan Kurs Jual Uang Kertas Mata Uang Singapore Dollar (SGD) terhadap Rupiah Menggunakan ModelARFIMA (Autoregressive Fractionally Integrated Moving Average) .Kubik Volume 1, Nomor 1
[2] Caraka, R. E., Yasin, H., dan Wawan, S. 2016. MODEL LONG MEMORY DALAM MEMPREDIKSI SUHU.
Sekolah Tinggi Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (STMKG)
72 [3] Chatfield, C. 2000. Time Series
Forecasting. Boca Raton, Florida:
CRC Press
[4] Cryer, J. D., dan Kung, S.C. 2008.
Time Series Analysis With Applications in R 2nd edition. Springer Science+Business Media, LLC
[5] Granger, C. W. J. 1980. LONG MEMORY RELATIONSHIPS AND
THEAGGREGATION OF
DYNAMIC MODELS. Journal of Econometrics 14.University Of California: North-Hollland Publishing Company
[6] Halimi, R., Anggraeni, W., dan Tyasnurita R. 2013. Pembuatan Aplikasi Peramalan Jumlah Permintaan Produk dengan Metode Time Series Exponential Smoothing HOLTS Winterr di PT. TELEKOMUNIKASI Indonesia Tbk. ITS: JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1
[7] Hosking,J. R. M. 1981. Fractional Differencing. Biometrika, Vol.68 Page 165-176
[8] Idris, S., Goejantoro, R., dan Yuki, N.N. 2014. Pemodelan Dan Peramalan Indeks Harga Perdagangan Besar (IHPB) Dengan Menggunakan ARFIMA (Studi Kasus : IHPB Provinsi Kalimantan Timur bulan Januari 2002
– Desember 2006 dan Januari 2009 - September 2013). Jurnal EKSPONENSIAL Volume 5, Nomor 2 [9] Montgomery, D. C., Cheryl, L. J., dan
Kulahci, M. 2008. Introduction to time series analysis and forecasting.
Hoboken, N.J.: Wiley-Interscience.
[10] Ooms, M. and J. A. Doornik. 1999.
Inference and forecasting for fractional autoregressive integrated moving average models, with an application to US and UK inflation. Discussion Paper EI 9947/A, Econometric Institute, Erasmus University Rotterdam.
[11] Rosadi, D. 2012. Ekonometrika &
Analisis Runtun Waktu Terapan dengan Eviews. Andi : Yogyakarta [12] Soejoeti, Z. 1987. Materi Pokok
Analisis Runtun Waktu. Jakarta.:
Karunika
[13] Wei, W. W. S. 2006. Time Series Analysis, Univariate and Multivariate Methods. Canada.: Addison Wesley Publishing Company
[14] Kementerian Energi dan Sumber Daya Mineral Republik Indonesia.
2017. http://www.esdm.go.id diakses pada 17 Oktober 2017 pukul 20.00 WIB.
