Tutorial Bab Barisan dan Deret II ITB(2015-2016) 1. Periksa masing-masing deret apakah ia konvergen mutlak, konvergen bersyarat atau divergen
(a) P∞
n=1(−1)n+13n+42 (b) P∞
n=1(−1)n+1nen3
(c) P∞
n=1(−1)n+14n+3n
(d) P∞
n=1cos(nπ)3n!n (e) P∞
n=1
(−2)n
√
(n(n+2)
(f) P∞
n=1(−1)n 1
n√
n√ n
2. Tentukan himpunan kekonvergenan dari deret-deret berikut (a) x
1·2− x2
3·4+ x3
5·6− x4
7·8+ x5
9·10− · · · (b) 1 +x+ x2
√2 + x3
√3 + x4
√4 + x5
√5 +· · ·
(c)
∞
X
n=1
(−1)n+1(2x)n n!
(d)
∞
X
n=1
(3x+ 1)n n2n
3. Tentukanlah uraian deret pangkat dari fungsi-fungsi berikut, beserta himpunan kekonverge- nannya.
(a) f(x) = 1 3 + 2x (b) f(x) = x3
2−x3 (c) f(x) = e−x
1−x
(d) f(x) = Z x
0
tan−1t t dt (e) f(x) = ln
1 +x 1−x
(f) f(x) = x x2−3x+ 2 4. Misalkan diketahui bahwa deret P∞
n=1cnxn konvergen untuk x = −4 dan divergen untuk x= 6. Apa yang bisa dikatan tentang kekonvergenan/kedivergenan deret-deret berikut?
(a) P∞ n=1cn (b) P∞
n=1cn8n
(c) P∞
n=1cn(−3)n (d) P∞
n=1(−1)ncn9n
5. Tentukan jumlah dari deret-deret berikut dengan melihatnya sebagai suatu deret yang telah anda kenal
(a) x−x2+x3−x4+x5− · · · (b) 3x+ 9x2
2 + 27x3
3 + 81x4 4 +· · ·
(c) sinx+ sin2x+ sin3x+ sin4x+· · · (d) x2
3 + x4 6 +x6
9 + x8 12 +· · · 6. Tentukanlah uraian deret Maclaurin sampai suku ke-5 untuk fungsi
f(x) = cosx−1 + x22 x4 .
7. Tentukan uraian deret Taylor dalam (x+ 1) hingga suku (x+ 1)3 untuk fungsi f(x) = 2−x+ 3x2−x3.
8. Tentukanlah uraian deret Taylor dalam (x+ 1) untuk fungsi f(x) = 1 x.
9. Tentukanlah uraian deret Taylor hingga suku (x+ 1)3 untuk fungsi f(x) = 1
1 +x+x2 di sekitar a= 12.
10. Tentukanlah uraian deret Taylor sampai suku ke-3 untuk fungsi f(x) = 1
1 + sinx di sekitar a= 0.
1
Tutorial Bab Barisan dan Deret II ITB(2015-2016)
11. Tentukanlah n, yaitu derajat polinom Maclaurin untuk fungsi ex sehingga
|Rn(1)| ≤0,000005.
12. Tentukan polinom Maclaurin derajat 3 untuk fungsi g(x) = (1 +x)12 dan suatu batas bagi suku sisanya jika −0,5≤x≤0,5.
13. Gunakan deret pangkat untuk menghampiri nilai integral-integral berikut dengan kesalahan kurang dari 10−6.
(a) Z 1
0
xsin(x3)dx (b)
Z 1/2
0
tan−1x x dx
14. Gunakan deret pangkat untuk menghitung nilai limit berikut (a) lim
x→0
7 sinx e2x−1 (b) lim
θ→0
eθ−e−θ−2θ θ−sinθ
15. Diketahui deret bilangan berikut 1− 1
√2 + 1
√3 − 1
√4+ 1
√5 − 1
√6+· · · .
Jika Sn menyatakan jumlah parsial ke-n deret tersebut, tentukan n agar selisih Sn dengan jumlah deret tersebut kurang dari 0,001.
16. Tentukanlah uraian deret Maclaurin sampai suku ke-4 untuk fungsif(x) =xex dan gunakan hasil tersebut untuk mendapatkan suatu nilai hampiran bagi f(0,1).
17. Tentukanlah uraian deret Maclaurin sampai suku ke-4 untuk fungsi f(x) = sin2x dan suatu batas bagi suku sisanya jika
|x| ≤0,2 .
18. Buktikan Teorema Nicole Oresme berikut 1 + 1
2·2 + 1
4 ·3 +· · ·+ n
2n−1 +· · ·= 4 dengan melihat turunan dari kedua sisi persamaan
1
1−x = 1 +
∞
X
n=1
xn −1< x < 1
19. Gaya yang disebabkan gravitasi pada suatu objek dengan massa m dan pada ketinggian h di atas permukaan bumi adalah
F = mgR2 (R+h)2
denganR merupakan jari-jari bumi dan g percepatan gravitasi.
(a) Nyatakan F sebagai deret pangkat dalam h/R.
(b) Tunjukkan bawa jika kita menghampiri F dengan hanya menggunakan suku pertama deret di bagian (a), kita memperoleh ekspresi F ≈mg yang biasanya digunakan ketika h jauh lebih kecil dari R. Gunakan penaksir kesalahan untuk deret berayun untuk memperkirakan rentang nilai h yang bisa digunakan dalam approksimasi F ≈ mg sehingga kesalahan perhitungannya kurang dari satu persen (Gunakan F = 6400 km dan g = 9,8 ms−2 ).
2
