Tugas Individu Bahan Proyek Turunan

(1)

Nama : Wulan Ramadhany NIM : K1321079

A. Definisi Turunan

Turunan fungsi 𝑓 adalah fungsi lain 𝑓′ yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah : 𝑓^′(𝑐) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐) ℎ

Asalkan limit ini ada dan bukan merupakan ∞ 𝑎𝑡𝑎𝑢 − ∞. Jika limit ini memang ada, dikatakan bahwa 𝑓 terdiferensiasi di c. Pencarian turunan disebut diferensial.

B. Aturan Pencarian Turunan

1) Aturan konstanta dan pangkat (Teorema A)

Jika 𝒇(𝒙) = 𝒌, dengan 𝒌 suatu konstanta maka untuk sebarang 𝒙 , 𝒇^′(𝒙) = 𝟎

2) Aturan fungsi satuan (Teorema B) Jika 𝒇(𝒙) = 𝒙 maka

𝒇′(𝒙) = 𝟏

3) Aturan Pangkat (Teorema C)

Jika 𝒇(𝒙) = 𝒙^𝒏 dengan n bilangan bulat positif, maka 𝒇′(𝒙) = 𝒏𝒙^𝒏−𝟏

4) Aturan kelipatan konstanta (Teorema D)

Jika 𝒌 suatu konstantsa dan 𝒇 suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka (𝒌𝒇)^′(𝒙) = 𝒌. 𝒇′(𝒙)

5) Aturan jumlah (Teorema E)

Jika 𝒇 dan 𝒈 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (𝒇 + 𝒈)^′(𝒙) = 𝒇^′(𝒙) + 𝒈′(𝒙)

(2)

6) Aturan selisih (Teorema F)

Jika 𝒇 dan 𝒈 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (𝒇 − 𝒈)^′(𝒙) = 𝒇^′(𝒙) − 𝒈′(𝒙)

7) Aturan hasil kali (Teorema G)

Jika 𝒇 dan 𝒈 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (𝒇. 𝒈)^′(𝒙) = 𝒇(𝒙)𝒈′(𝒙) + 𝒈(𝒙)𝒇′(𝒙)

8) Aturan hasil kali (Teorema H)

Jika 𝒇 dan 𝒈 adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, dengan 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎, maka (𝒇

𝒈)

′

(𝒙) =𝒇^′(𝒙)𝒈(𝒙) − 𝒈′(𝒙)𝒇(𝒙) 𝒈^𝟐(𝒙)

9) Turunan Fungsi Trigonometri (Teorema A)

Jika fungsi 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝒅𝒂𝒏 𝒈(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 keduanya terdiferensiasikan, maka 𝒇^′(𝒔𝒊𝒏 𝒙) = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 dan 𝒈^′(𝒄𝒐𝒔 𝒙) = − 𝐬𝐢𝐧 𝒙

10) Aturan Rantai

Misalkan 𝒚 = 𝒇(𝒖) dan 𝒖 = 𝒈(𝒙). Jika 𝒈 terdiferensiasikan di 𝒙 dan 𝒇 terdiferensiasikan di 𝒖 = 𝒈(𝒙), maka fungsi komposit 𝒇𝒐𝒈, yang terdiferensiasikan oleh (𝒇𝒐𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙)), adalah terdiferensiasikan di 𝒙 dan

(𝒇𝒐𝒈)^′(𝒙) = 𝒇′(𝒈(𝒙))𝒈′(𝒙)

C. Turunan Tingkat Tinggi

Operasi diferensiasi mengambil sebuah fungsi 𝑓 dan menghasilkan sebuah fungsi baru 𝑓′. Jika 𝑓′ sekarang kita diferensiasikan, kita masih tetap menghasilkan fungsi lain, dinyatakan oleh 𝑓′′ dan disebut turunan kedua dari 𝑓. Pada gilirannya, dia boleh didiferensiasikan lagi, dengan demikian menghasilkan 𝑓′′′ yang disebut turunan ketiga dari 𝑓. Turunan keempat dinyatakan 𝑓⁽⁴⁾, turunan kelima dinyatakan 𝑓⁽⁵⁾ dan seterusnya.

(3)

Notasi Leibniz untuk turunan kedua dibaca turunan kedua dari y terhadap x