TUGAS KELOMPOK PEMBAHASAN SOAL KOMPUTASI PROSES

TUGAS KELOMPOK

PEMBAHASAN SOAL KOMPUTASI PROSES

Dosen Pengampu : Ir. Bambang Trisakti M.Si

KELOMPOK I

1. Siti Khofifah Br. Hutasuhut 220405033 2. Lisa Yuliati 220405036 3. Mutia Rahmadini Limbong 220405039 4. Nova Anggraini 220405078 5. Fahmi Syaifullah 220405081 6. Najla Fathiah 220405089

PROGRAM STUDI TEKNIK KIMIA FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

2024

SISTEM PERSAMAAN LINERAR

Tugas 1.1 (Latihan) 1.

Penyelesaian mathlab :

2.

Penyelesaian Mathlab :

No. 3

3.

Penyelesaian mathlab :

4.

Penyelesaian Mathlab :

Tugas 1.2

Carilah masalah Teknik Kimia yang menghasilkan model matematik “Sistem Persamaan Linier” dan selesaikan dengan bantuan Matlab

Jawab:

Kasus: Neraca Massa Linier Rangkaian Proses

Suatu bahan A akan dikonversi menjadi B dalam sebuah reaktor. Produk B keluar bersama reaktan A yang tidak bereaksi menuju pemisah sehingga reaktan A dapat dikembalikan ke reaktor. Gambar skema proses tersebut ditunjukkan pada gambar dibawah ini:

Produk berupa zat A murni dengan laju 150 kmol/jam. Kendala proses adalah:

1. 75% dari A dan 45% dari B di dalam alur 2 di daur ulang 2. Perbandingan mol A terhadap B di dalam alur 1 adalah 5:2 Penyelesaian:

Neraca masa pencampur

NA3 + 150 = NA1 atau -NA3 + NA1 = 150 NB3 = NB1 atau NB1 – NB3 = 0

Neraca masa reaktor

ΝA1 = ΝA2 + r atau NA1 – NA2 - r=0 -NB1 = NB2 + r atau -NB1 – NB2 – r = 0 (r= laju reaksi)

Neraca masa pemisah

NA2 = NA3 + NA4 atau NA2 – NA3 – NA4 = 0 NB2 = NB3 + NB4 atau NB2 – NB3 – NB4 = 0

Kendala-kendala

Porsi cabang: -0.75 NA2 + NA3 = 0 -0.45 NB2 + NB3 =0

Hubungan komposisi alur: 2NA1 - 5NB1 = 0

Terdapat 9 persamaan linier dengan 9 variabel: NA1, NB1, NA2, NB2, NA3, NB3, NA4, NB4, dan r.

Selanjutnya persamaan tersebut jika ditulis dalam bentuk matrik menjadi:

Penyelesaian matrik tersebut menggunakan Matlab adalah sebagai berikut:

clear; clc

A = [1 0 0 0 -1 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 -1 0 0 0; 1 0 -1 0 0 0 0 0 -1; 0 -1 0 1 0 0 0 0 -1; 0 0 1 0 -1 0 -1 0 0; 0 0 0 1 0 -1 0 -1 0; 0 0 -0.75 0 1 0 0 0 0; 0 0 0 -0.45 0 1 0 0 0; 2 -5 0 0 0 0 0 0 0];

b = [150 0 0 0 0 0 0 0 0];

x = A\b

Sumber:

Dr. Yulianto. 2020. Penerapan Komputasi Numerik Pada Teknik Kimia (Aplikasi System Persamaan Linier Menggunakan Matlab)

SISTEM PERSAMAAN TAK LINEAR

Tugas 1.3

1. f(x)=x³−6x²−27=0 Penyelesaian matlab :

2. f(x)=x⁴−10x³+35x²−50x+24=0 Penyelesaian matlab :

3. f(x)=x⁴+35x²−50x+24=0 Penyelesaian matlab :

4. f(x)=x⁴−10x³−50x+24=0 Penyelesaian matlab :

5. f(x)=x³−9x²+26x−24=0 Penyelesaian matlab :

6. f(x)=x⁵−20x⁴+155x³−540x²+1044x−720=0

Penyelesaian matlab :

Tugas 1.4

a). f(θ)=5

3cos(40)−5

2cos(θ)+11

6 −cos(40−θ)=0 Penyelesaian:

b). f(x)=x−cos(x)=0 Penyelesaian:

c). f(x)=e^x−2x−2=0 Penyelesaian:

Tugas 1.5 a .2x12

+3x22

−50=0 2x12

−x2−9=0

Penyelesaian

% tugas 1-5 (1)

% x = fsolve(Fx,x0) Clear: clc

F = @ (x) [2*x(1)^2 + 3*x(2)^2 – 50; 2*x(1)^2 – x(2) – 9];

X0 = [-5 -5];

Options = optimset(‘Display’, ‘iter’);

[x , fval] = fsolve(F,x0,options);

Norm of First-order Trust-region

Iteration Func-count f(x) step optimality radius 0 3 7741 2.42e+03 1 1 6 2805.441 1.27e+03 1 2 9 98.8532 1.88598 177 2.5 3 12 1.83034 0.69171 23.2 4.71 4 15 0.00281333 0.136941 0.908 4.71 5 18 9.25267e-09 0.0058317 0.00165 4.71 6 21 1.01774e-19 1.06145e-05 5.46e-09 4.71

x =

-1.6020 -3.8673 fval =

1.0e-09 * 0.2256 0.2256

b. x₂+x₁²¿⁴=0    5¿ 1−  x₁¿² =0

¿ Penyelesaian:

% tugas 1-5 (2)

% x = fsolve(Fx,x0) Clear; clc

F = @(x)[5*(x(2) + x(1)^2)^4; (1 - x(1))^2];

x0 = [-1 -1];

options = optimset('Display', 'iter');

[x,fval] = fsolve(F,x0,options) Norm of First-order Trust-region

Iteration Func-count f(x) step optimality radius 0 3 16 16 1 1 4 16 1 16 1 2 7 9.41246 0.25 10.3 0.25 3 10 5.72617 0.625 20 0.625 4 13 0.168998 0.625 0.55 0.625 5 16 0.0103401 0.351589 0.065 1.56 6 19 0.00064598 0.240779 0.00811 1.56

7 22 4.03725e-05 0.138126 0.00101 1.56 8 25 2.52331e-06 0.0712371 0.000127 1.56 9 28 1.57713e-07 0.0343103 1.58e-05 1.56 10 31 9.85769e-09 0.0155031 1.98e-06 1.56 11 34 6.16172e-10 0.00648362 2.47e-07 1.56

x =

0.9950 -1.0072 fval =

1.0e-04 * 0.0043 0.2482

(c) (¿x₃)=3.62882     x₁³+e^x2+sinh¿ x₂²−x₃¿⁴ =4.0

x₁²x₃+  ¿

x₁x₂x₃−x₃+x₁x₂  =5.0 Penyelesaian:

% Tugas 1-5 (3) % x = fsolve(Fx,x0) clear; clc

F = @(x)[x(1)^3 - exp(x(2)) + sinh(x(3)) - 3.62882; x(1)^2*x(3) + (x(2)^2 - x(3))^4 - 4.0;

x(1)*x(2)*x(3) - x(3) + x(1)*x(2) - 5.0];

x0 = [-1 -1 2];

options = optimset('Display', 'iter');

[x,fval] = fsolve(F,x0,options)

Norm of First-order Trust-region Iteration Func-count f(x) step optimality radius

0 4 18.8765 11.9 1

1 8 8.53077 1 33.1 1

2 12 0.206949 0.317248 3.37 1

3 16 0.00128917 0.104343 0.141 1

4 20 2.93518e-06 0.0130235 0.00974 1

5 24 2.08218e-11 0.000641152 2.59e-05 1

6 28 1.04324e-21 1.71147e-06 1.83e-10 1 x =

-1.2685 -1.6977 2.4673 fval =

1.0e-10 * -0.0125 0.3203 -0.0401

Tugas 1.6 Soal:

Carilah masalah Teknik Kimia yang menghasilkan model matematik “Sistem Persamaan Tak Linier” dan selesaikan dengan bantuan Matlab

Jawab :

Mencari temperatur untuk suatu harga Cp tertentu Diketahui sebuah persamaan kapasitas panas sebagai berikut :

Akan ditentukan temperatur pada saat Cp = 1 kJ/kg.K. Untuk itu, ubahlah persamaan di atas menjadi :

Penyelesaian :

Tahap 1 : membuat fungsi yang dapat mengevaluasi persamaan

Apabila fungsi ini diplot (fplot(‘fungsi’,[100 300]) akan diperoleh grafik sebagai berikut:

Gambar 1. Grafik Cp terhadap suhu

INTERPOLASI

Tugas 1.7

Tentukan nilai f(3.44) dari data berikut:

Penyelesaian:

INTEGRASI NUMERIK

Tugas 2.1

1.

∫

3,1 3,9 1

x dx

Penyelesaian matlab :

2.

∫

0 5

(

3x²+2

)

dx

Penyelesaian matlab :

3.

∫

0,1 1,0

e^xdx

Penyelesaian matlab :

4.

∫

1,5 2,5

¿x dx

Penyelesaian matlab :

5.

∫

0,2 1,2

tanx dx

Penyelesaian matlab :

Tugas 2.2 Soal

Carilah Persamaan Integrasi Ganda dan Tripel kemudian selesaikan dengan bantuan Matlab

Jawab :

Carilah persamaan integrasi ganda dan tripel kemudian selesaikan dengan bantuan Matlab

1.

∫

−1 1

∫

−1 1

e^x2sin(y)dydx ⁡

Penyelesaian mathlab:

clear; clc

F=@(x,y)exp(x.^2.*sin(y));

Q=dblquad(F,-1,1,-1,1)

%atau

dblquad(@(x, y) exp(x.^2 .* sin(y)), -1, 1, -1, 1) Hasil Program Matlab :

Sumber: https://math.stackexchange.com/questions/674501/computing-a-double- integral-using-matlab diakses pada 7 April 2024

2.

x

∫

0 6

∫

−1 3

(¿¿3−2xy)dxdydz

∫

−4 4

¿

Penyelesaian Matlab:

clear; clc

F=@(x,y,z)x.^3-2*x*y;

Q=triplequad(F,-1,3,0,6,-4,4) Hasil Program Matlab

Sumber: https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/evaluate- triple-integral-x3-2yz-dxdydz-analytically-using-matlab-s-symbolic-algebra-capabi- q30215113 diakses pada 7 April 2024

PERSAMAAN DIFFERNSIAL BIASA

Tugas 2.3

a). e^xdy

dx+x²y²=2 sin(3x). y(0)=5 Penyelesaian:

b). 3dy

dx+5y²=sinx , y(0)=2 Penyelesaian:

Tugas 2.4

1. Tentukan nilainA setelah 25 detik jika perbuhan nA mengikuti persamaan sbb:

dnA

dt = −0,1n2A

0,75−0,25n_A Pada ^{t=0→ n}A=0,01 Penyelesaian matlab :

2. Tentukan level tangki setelah 30 detik dH

dt = 1

147

(

50,0−14,0H

4

7

)

^{Pada t=0→ H=2}

Penyelesaian matlab :

SISTEM PERSAMAAN DIFFENENSIAL BIASA

Tugas 2.5

a. d y₁

dx =y₁y₂+1d y₂

dx =y₁y₂−1

Penyelesaian:

%Tugas 2-5(a) Clear; clc xs=[0 4];

y0=[0 1];

F=@(x,y)[y(1)*y(2)+1; y(1)*y(2)-1];

[x,y]=ode45(F,xs,y0) figure(1)

plot(x,y(:,1),'-o') figure(2) plot(x,y(:,2),'-x') x =

0 0.0001 0.0001 0.0002 0.0002 0.0005 0.0007 0.0010 0.0012 0.0025 0.0037 0.0050 0.0062

0.0125 0.0188 0.0251 0.0313 0.0627 0.0941 0.1255 0.1569 0.2569 0.3569 0.4569 0.5569 0.6569 0.7569 0.8569 0.9569 1.0569 1.1569 1.2569 1.3569 1.4569 1.5569 1.6569 1.7569 1.8569 1.9569 2.0569 2.1569 2.2569 2.3569

2.4569 2.5569 2.6270 2.6970 2.7670 2.8371 2.8914 2.9457 2.9999 3.0542 3.1085 3.1628 3.2171 3.2714 3.3240 3.3767 3.4294 3.4820 3.5358 3.5896 3.6435 3.6973 3.7548 3.8124 3.8699 3.9274 3.9456 3.9637 3.9819 4.0000

y =

0 1.0000 0.0001 0.9999 0.0001 0.9999 0.0002 0.9998 0.0002 0.9998 0.0005 0.9995 0.0007 0.9993 0.0010 0.9990 0.0012 0.9988 0.0025 0.9975 0.0037 0.9963 0.0050 0.9950 0.0062 0.9938 0.0126 0.9876 0.0190 0.9814 0.0254 0.9752 0.0318 0.9691 0.0647 0.9392 0.0984 0.9101 0.1331 0.8820 0.1686 0.8547 0.2870 0.7731 0.4126 0.6987 0.5443 0.6304 0.6808 0.5669 0.8210 0.5071

0.9636 0.4497 1.1072 0.3933 1.2501 0.3363 1.3906 0.2767 1.5263 0.2124 1.6544 0.1405 1.7715 0.0576 1.8732 -0.0406 1.9543 -0.1596 2.0086 -0.3053 2.0293 -0.4846 2.0100 -0.7039 1.9450 -0.9689 1.8327 -1.2812 1.6772 -1.6367 1.4877 -2.0262 1.2801 -2.4338 1.0709 -2.8430 0.8756 -3.2382 0.7538 -3.5002 0.6464 -3.7476 0.5544 -3.9796 0.4773 -4.1969 0.4267 -4.3560 0.3836 -4.5077 0.3472 -4.6526 0.3166 -4.7918 0.2908 -4.9262 0.2693 -5.0564 0.2513 -5.1829

0.2364 -5.3064 0.2240 -5.4241 0.2135 -5.5399 0.2046 -5.6541 0.1970 -5.7671 0.1901 -5.8816 0.1841 -5.9952 0.1789 -6.1080 0.1742 -6.2203 0.1696 -6.3400 0.1654 -6.4593 0.1617 -6.5781 0.1582 -6.6967 0.1571 -6.7341 0.1561 -6.7714 0.1550 -6.8087 0.1540 -6.8460

b. d y₁

dx =−100000y₁+0.1y₂d y₂

dx =−0.1y₁−0.1y₂ Penyelesaian:

%tugas 2-5 (b) clear; clc

xs = [0 0.00003];

y0 = [0.15 0.25];

F = @ (x, y) [-100000*y(1) + 0.1*y(2); -0.1*y(1)-0.1*y(2)];

[x, y] = ode45(F, xs, y0) figure (1)

plot (x,y(:,1),'-o') figure (2) plot (x,y(:,2),'-x') x =

1.0e-04 * 0 0.0050 0.0100 0.0151 0.0201 0.0276 0.0351 0.0426 0.0501 0.0576 0.0651 0.0726 0.0801 0.0876 0.0951 0.1026 0.1101 0.1176 0.1251 0.1326 0.1401

0.1476 0.1551 0.1626 0.1701 0.1776 0.1851 0.1926 0.2001 0.2076 0.2151 0.2226 0.2301 0.2376 0.2451 0.2526 0.2601 0.2676 0.2751 0.2826 0.2901 0.2926 0.2950 0.2975 0.3000 y =

0.1500 0.2500 0.1427 0.2500 0.1357 0.2500 0.1290 0.2500 0.1227 0.2500 0.1138 0.2500 0.1056 0.2500

0.0980 0.2500 0.0909 0.2500 0.0843 0.2500 0.0782 0.2500 0.0726 0.2500 0.0673 0.2500 0.0625 0.2500 0.0580 0.2500 0.0538 0.2500 0.0499 0.2500 0.0463 0.2500 0.0429 0.2500 0.0398 0.2500 0.0370 0.2500 0.0343 0.2500 0.0318 0.2500 0.0295 0.2500 0.0274 0.2500 0.0254 0.2500 0.0236 0.2500 0.0219 0.2500 0.0203 0.2500 0.0188 0.2500 0.0175 0.2500 0.0162 0.2500 0.0150 0.2500 0.0139 0.2500 0.0129 0.2500 0.0120 0.2500 0.0111 0.2500 0.0103 0.2500 0.0096 0.2500

0.0089 0.2500 0.0082 0.2500 0.0080 0.2500 0.0078 0.2500 0.0077 0.2500 0.0075 0.2500

c. d y₁

dx =−0.04y₁+y₂y₃d y₂

dx =0.04y₁−y₂y₃−3y₃²d y₃ dx =3y₂²

Penyelesaian:

%Tugas 2-5(c) clear; clc xs=[0 1];

y0=[0 1 2];

F=@(x,y) [-0.04*y(1)+y(2)*y(3); 0.04*y(1)-y(2)*y(3)-3*y(3)^2; 3*y(2)];

[x,y]=ode45(F,xs,y0) figure (1)

plot(x,y(:,1),'-o') figure (2) plot(x,y(:,2),'-x') figure (3) plot(x,y(:,3),'-o')

x =

0 0.0000 0.0001 0.0001 0.0001 0.0002 0.0004 0.0005 0.0006 0.0012 0.0019 0.0025 0.0031 0.0063 0.0094 0.0125 0.0157 0.0314 0.0471 0.0628 0.0785 0.1035 0.1285 0.1535 0.1785 0.2035 0.2285 0.2535 0.2785

0.3035 0.3285 0.3535 0.3785 0.4035 0.4285 0.4535 0.4785 0.5035 0.5285 0.5535 0.5785 0.6035 0.6285 0.6535 0.6785 0.7035 0.7285 0.7535 0.7785 0.8035 0.8285 0.8535 0.8785 0.9035 0.9285 0.9535 0.9785 0.9839 0.9892

0.9946 1.0000

y =

0 1.0000 2.0000 0.0001 0.9996 2.0001 0.0001 0.9993 2.0002 0.0002 0.9989 2.0002 0.0002 0.9986 2.0003 0.0005 0.9968 2.0007 0.0007 0.9951 2.0011 0.0010 0.9933 2.0014 0.0012 0.9916 2.0018 0.0024 0.9828 2.0037 0.0037 0.9740 2.0055 0.0049 0.9652 2.0073 0.0061 0.9563 2.0091 0.0120 0.9122 2.0179 0.0177 0.8681 2.0263 0.0231 0.8239 2.0343 0.0282 0.7796 2.0418 0.0498 0.5584 2.0734 0.0644 0.3391 2.0945 0.0720 0.1237 2.1054 0.0725 -0.0859 2.1062 0.0595 -0.4034 2.0877 0.0310 -0.6959 2.0463 -0.0108 -0.9591 1.9841

-0.0632 -1.1905 1.9033 -0.1230 -1.3891 1.8063 -0.1875 -1.5550 1.6957 -0.2536 -1.6896 1.5739 -0.3192 -1.7949 1.4430 -0.3819 -1.8740 1.3053 -0.4402 -1.9301 1.1625 -0.4929 -1.9666 1.0163 -0.5389 -1.9872 0.8679 -0.5779 -1.9956 0.7185 -0.6094 -1.9953 0.5688 -0.6334 -1.9897 0.4193 -0.6499 -1.9823 0.2704 -0.6589 -1.9763 0.1219 -0.6606 -1.9749 -0.0262 -0.6550 -1.9814 -0.1745 -0.6420 -1.9992 -0.3237 -0.6212 -2.0321 -0.4748 -0.5922 -2.0840 -0.6290 -0.5541 -2.1598 -0.7879 -0.5055 -2.2654 -0.9537 -0.4442 -2.4081 -1.1287 -0.3675 -2.5968 -1.3161 -0.2710 -2.8439 -1.5197 -0.1484 -3.1662 -1.7445 0.0097 -3.5868 -1.9972 0.2153 -4.1353 -2.2858 0.4891 -4.8592 -2.6216 0.8640 -5.8299 -3.0207 1.3980 -7.1629 -3.5067

2.1545 -8.9967 -4.1076 3.2904 -11.6332 -4.8734 5.1065 -15.6127 -5.8859 5.6285 -16.7190 -6.1467 6.2133 -17.9416 -6.4264 6.8704 -19.2969 -6.7268 7.6118 -20.8041 -7.0504

Tugas 2.6

Carilah kasus Teknik Kimia yang menghasilkan Persamaan Diferensial Orde n dan selesaikan dengan bantuan Matlab

Jawab :

Suatu fluida dengan densitas tetap mengalir ke dalam tangki besar yang kosong dan tak tentu pada 8 L/s. Sebuah kran dipasang untuk mengatur aliran keluar pada laju tetap 4 L/s.

Turunkan dan selesaikan persamaan diferensial yang menggambarkan proses ini sampai interval 50 detik.

Gambar 1. Aliran fluida pada tangka Penyelesaian :

Neraca massa:

Laju Akumulasi = input – Output

Karena densitas konstan, sehingga :

dalam liter per detik. Kondisi awal pada waktu t = 0, volume dalam tangki = 0. Berikut penyelesaian persamaan di atas dengan program MATLAB:

File fluida untuk fungsi utama:

File run fluida digunakan untuk mengeksekusi penyelesaian.

Grafik yang dihasilkan seperti gambar berikut:

Gambar 2. Plot Waktu terhadap Volume

Sumber : Rustamaji, H. 2017. PENGANTAR KOMPUTASI TEKNIK KIMIA DENGAN MATLAB DAN SIMULINK.

PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL

Tugas 1

Dengan menggunakan penghampiran selisih terhingga terpusat selesaikan persamaan differensial sbb:

d²y dx²=y+2 y(0)=y(1)=1

Rentang Integrasi= 0 s/d 1

Sertakan pula kurva x,y diagram kaertesiusnya Penyelesaian matlab :

clear; clc

%Diskretisasi terhadap x N=10;

dx=1/N;

x=0:dx:1

%Membuat matrik A

A=diag(-2*ones(N-1,1))+diag(ones(N-2,1),1)+diag(ones(N-2,1),-1)

%Membuat Vektor b

b=(1*[dx:dx:x(end)-dx]+2)*dx^2;

b=b'

b(1)=b(1)-1 b(end)=b(end)-1

%Menghitung nilai y y=A\b;

y=[1,y',1]'

%Membuat kurva x-y plot(x,y)

xlabel('x') ylabel('y')

Tugas 2

Suatu Fenomena difusi-konveksi dapat di deskripsikan dengan PDP berikut ini :

Jika harga λ = 25, selesaikan PDP diatas untuk rentang t = 0 s.d 5. Buat pula gambar 3-D θ, t, x pada koordinat kubus (kartesius)

Penyelesaian dengan Matlab :

Gambar 3-D θ,t,x pada Koordinat Kubus (Kartesius) dimana θ=T

Figure 1

Figure 2