Nama : Nur Fadillah Setyaningrum NIM : 165221005
Kelas : TI-A2
TUGAS 2 STATISTIKA DASAR
1. Akan diduga rataan pendapatan dari pelayan restoran di kota-kota besar di Jawa. Diambil sampel secara acak sebanyak 75 orang pelayan restoran, didapatkan rataan pendapatannya adalah Rp 130.000,- dengan simpangan baku Rp 20.000,- Tentukan:
a) 95% selang kepercayaan rataan pendapatan pelayan restoran di kota besar di Jawa b) 70% selang kepercayaan rataan pendapatan pelayan restoran di kota besar di Jawa Diketahui:
n = 75 𝑋̅ = 130.000 𝑠 = 20.000
Ditanya:
a) Confidence interval 95%?
b) Confidence interval 70%?
Jawab:
a) 𝐶 = 1 − 𝛼 95% = 1 − 𝛼
𝛼 = 1 − 95% = 5%
𝛼
2 = 5%
2 = 2,5% = 0,025 𝑍𝛼
2
= 𝑍0,025 = 1,96 (lihat tabel)
𝑋̅ − 𝑍𝛼 2
𝑠
√𝑛< 𝜇 < 𝑋̅ + 𝑍𝛼 2
𝑠
√𝑛
= (130.000) − (1,96)20.000
√75 < 𝜇 < (130.000) + (1,96)20.000
√75
= (130.000) − (1,96)(2.309,40) < 𝜇 < (130.000) + (1,96)(2.309,40)
= (130.000) − (4.526,42) < 𝜇 < (130.000) + (4.526,42)
= (125.473,58) < 𝜇 < (134.526,42)
= (125.474) < 𝜇 < (134.526)
Dugaan bahwa pendapatan dari pelayan restoran di kota-kota besar di Jawa pada interval (125.474) < 𝜇 < (134.526), akan benar 95% dari keseluruhan pelayan restoran jika pendugaan dilakukan berulang-ulang dengan cara yang sama.
b) 𝐶 = 1 − 𝛼 70% = 1 − 𝛼
𝛼 = 1 − 70% = 30%
𝛼
2 = 30%
2 = 15% = 0,15 𝑍𝛼
2
= 𝑍0,15 = 1,034 (lihat tabel)
𝑋̅ − 𝑍𝛼
2
𝑠
√𝑛< 𝜇 < 𝑋̅ + 𝑍𝛼
2
𝑠
√𝑛
= (130.000) − (1,034)20.000
√75 < 𝜇 < (130.000) + (1,034)20.000
√75
= (130.000) − (1,034)(2.309,40) < 𝜇 < (130.000) + (1,034)(2.309,40)
= (130.000) − (2.387,92) < 𝜇 < (130.000) + (2.387,92)
= (127.612,08) < 𝜇 < (132.387,92)
= (127.612) < 𝜇 < (132.388)
Dugaan bahwa pendapatan dari pelayan restoran di kota-kota besar di Jawa pada interval (127.612) < 𝜇 < (132.388), akan benar 70% dari keseluruhan pelayan restoran jika pendugaan dilakukan berulang-ulang dengan cara yang sama.
2. Dari suatu sampel acak 500 keluarga yang memiliki TV di sebuah kota kecil, ditemukan bahwa 340 memiliki TV berwarna. Carilah selang kepercayaan 95% bagi proporsi sesungguhnya dari keluarga yang memiliki TV berwarna di kota tersebut.
Diketahui:
N = 500 n = 340 𝑝̂ = 𝑛
𝑁= 340
500= 0,68
Ditanya: Confidence interval 95%?
Jawab:
𝐶 = 1 − 𝛼 95% = 1 − 𝛼
𝛼 = 1 − 95% = 5%
𝛼 2 = 5%
2 = 2,5% = 0,025 𝑍𝛼
2
= 𝑍0,025= 1,96 (lihat tabel)
𝑝̂ − 𝑍𝛼
2
√𝑝̂(1 − 𝑝̂)
𝑛 √𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1< 𝑃 < +𝑍𝛼
2
√𝑝̂(1 − 𝑝̂)
𝑛 √𝑁 − 𝑛 𝑁 − 1
= (0,68) − (1,96)√0,68(1−0,68)
340 √500−340
500−1 < 𝑃 < (0,68) + (1,96)√0,68(1−0,68)
340 √500−340
500−1
= (0,68) − (1,96)(0,0253)(0,57) < 𝑃 < (0,68) + (1,96)(0,0253)(0,57)
= (0,68) − (0,0283) < 𝑃 < (0,68) + (0,0283)
= (0,6517) < 𝑃 < (0,7083)
= (0,65) < 𝑃 < (0,71)
Proporsi keluarga yang memilki TV berwarna dengan selang kepercayaan 95% ada di antara interval (65%)<P<(71%).
3. Perusahaan A dan B yang saling bersaing dalam industri furniture saling mengklaim bahwa produknya yang lebih baik dalam hal ketahanannya (durabilitas). Untuk mengetahui kenyataannya, dilakukan pengujian pada 9 produk dari masing-masing perusahaan, dan diukur berapa bulan waktu masing-masing produk mulai mengalami kerusakan (usang).
Datanya adalah seperti tabel di bawah ini. Dugalah beda rata-rata ketahanan produk dari kedua perusahaan dengan selang kepercayaan 95%! (𝝈𝟏 𝟐 & 𝝈𝟐 𝟐 diasumsikan bernilai tidak sama)
A 30 70 90 30 40 20 40 80 50
B 20 40 50 70 20 50 40 60 10
Diketahui:
𝑛1 = 𝑛2 = 9 𝐶 = 95%
Ditanya: Beda rata-rata ketahanan produk dari kedua perusahaan dengan selang kepercayaan 95%?
Jawab:
𝑋1
̅̅̅ =∑X1
𝑛1 = 450 9 = 50 𝑋2
̅̅̅ = ∑X1
𝑛1 =360 9 = 40
No A B 𝐴2 𝐵2
1 30 20 900 400
2 70 40 4900 1600
3 90 50 8100 2500
4 30 70 900 4900
5 40 20 1600 400
6 20 50 400 2500
7 40 40 1600 1600
8 80 60 6400 3600
9 50 10 2500 100
∑ 450 360 27300 17600
𝑠12 = ∑𝑋12
𝑛 − 1− (∑X1)2
𝑛(𝑛 − 1)=27300
9 − 1 − 4502
9(9 − 1)= 3412,5 − 2812,5 = 600 𝑠22 = ∑𝑋22
𝑛 − 1− (∑X2)2
𝑛(𝑛 − 1)=17600
9 − 1 − 3602
9(9 − 1)= 2200 − 1800 = 400 𝐶 = 1 − 𝛼
95% = 1 − 𝛼
𝛼 = 1 − 95% = 5%
𝛼
2 = 5%
2 = 2,5% = 0,025 𝑑𝑓 =
(𝑠12 𝑛1+𝑠22
𝑛2) 2
[ (𝑠12
𝑛1) 2
𝑛1−1 ]
+ [
(𝑠22 𝑛2)
2
𝑛2−1 ]
=
(𝑠12 𝑛1+𝑠22
𝑛2) 2
[ (𝑠12
𝑛1) 2
𝑛1−1 ]
+ [
(𝑠22 𝑛2)
2
𝑛2−1 ]
= (
600 9 +4009 )2 [(
600 9 )2 9−1 +(
400 9 )2 9−1 ]
= 12345,68
555,6+246,91= 15,38 ≈ 15
𝑡𝛼
2,𝑑𝑓= 𝑡0,025,15= 2,131 (lihat tabel)
𝑠𝑋1−𝑋2 = √(𝑠12
𝑛1) + (𝑠22
𝑛2) = √(600
9 ) + (400
9 ) = √(1000
9 ) = 10,54 (𝑋̅̅̅ − 𝑋1 ̅̅̅) − 𝑡2 𝛼
2,𝑑𝑓𝑠𝑋1−𝑋2 < 𝜇1− 𝜇2 < (𝑋̅̅̅ − 𝑋1 ̅̅̅) + 𝑡2 𝛼
2,𝑑𝑓𝑠𝑋1−𝑋2
= (50 − 40) − (2,131)(10,54) < 𝜇1− 𝜇2 < (50 − 40) + (2,131)(10,54)
= (10) − (22,46) < 𝜇1− 𝜇2 < (10) + (22,46)
= (−12,46) < 𝜇1− 𝜇2 < (32,46)
= (−12,5) < 𝜇1− 𝜇2 < (32,5)
Pendugaan interval beda 2 rata-rata diperoleh sebagai berikut: (−12,5) < 𝜇1− 𝜇2 < (32,5)
Berdasarkan hasil pendugaan interval tersebut, memungkinkan selisih antara Perusahaan A dengan Perusahaan B adalah nol, sehingga tidak dapat disimpulkan bahwa ketahanan produk dari perusahaan yang satu lebih baik dari perusahaan yang lainnya.
