UKURAN PEMUSAT
AN DATA
F I S H K IAKN TARUTUNG
PENGERTIAN
• Ukuran pemusatan data atau tendensi sentral adalah ukuran dimana distribusi data mempunyai gejala atau
kecenderungan untuk memusat. Ukuran pemusatan suatu data atau skor dapat ditentukan berdasarkan nilai
harapan, estimasi dan prediksi terhadap nilai tertentu yang mewakili seluruh data.
• Ukuran ini dapat ditentukan pada data tunggal atau data berkelompok
Lanjutan …
Ukuran kecenderungan pusat atau ukuran
pemusatan data (tendensi sentral) terbagi atas :
Rataan Hitung (Mean)
Median
Modus
MEAN
Rata-rata hitung (Mean) merupakan nilai yang diperoleh dengan menjumlahkan semua nilai data dan membaginya dengan jumlah data.
Rata-rata hitung merupakan nilai yang menunjukkan pusat dari nilai data dan merupakan nilai yang dapat mewakili dari keputusan data.
MEDIAN
Median merupakan suatu nilai yang berada di tengah- tengah data, setelah data tersebut diurutkan. Atau dengan kata lain, median adalah titik tengah dari semua nilai data yang telah diurutkan dari nilai yang terkecil ke yang terbesar, atau sebaliknya dari yang terbesar ke yang terkecil.
MODUS
Modus merupakan salah satu ukuran pemusatan
di samping mean dan median. Modus adalah
suatu bilangan atau keterangan yang mempunyai
frekuensi tertinggi atau bilangan yang sering
muncul.
UNTUK APA KITA MENCARI MEAN, MEDIAN DAN MODUS?
Rata-rata hitung (mean), median dan modus adalah nilai yang digunakan untuk mewakili seperangkat data.
Ketiga nilai tersebut sering juga disebut dengan ukuran kecenderungan terpusat (measure of central tendency).
Sebab kecenderungan dari nilai-nilai tersebut memusat pada bagian tengah suatu perangkat data.
Pada analisis data biasanya fokus perhatian tidak
terletak pada keseluruhan data, tetapi terletak
hanya dimana data tersebut memusat. Oleh karena
itulah nilai-nilai rata-rata, median dan modus
sering digunakan untuk mewakili seperangkat data
dalam analisis statistik.
HUBUNGAN ANTARA MEAN, MEDIAN DAN MODUS
1. Jika rata-rata, median dan modus memiliki nilai yang sama, maka nilai rata-rata, median dan modus akan terletak pada satu titik dalam kurva distribusi frekuensi.
Kurva distribusi frekuensi tersebut akan berbentuk simetris
2. Jika rata-rata lebih besar dari median, dan median lebih besar dari modus, maka pada kurva distribusi frekuensi, nilai rata-rata akan terletak di sebelah kanan, sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di sebelah kiri. Kurva distribusi frekuensi yang terbentuk adalah menceng kanan atau kemencengan positif
HUBUNGAN ANTARA MEAN, MEDIAN DAN MODUS
3. Jika rata-rata lebih kecil dari median, dan median lebih kecil dari modus, maka pada kurva distribusi frekuensi, nilai rata- rata akan terletak di sebelah kiri, sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di sebelah kanan. Kurva distribusi frekuensi yang terbentuk adalah menceng kiri atau kemencengan negatif.
HUBUNGAN ANTARA MEAN, MEDIAN DAN MODUS
1. RATA-RATA HITUNG (MEAN)
1) Data Tunggal
Rata-rata hitung dari data tunggal dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan seluruh nilai dan membaginya dengan banyaknya data.
Rata-rata hitung dari data tunggal dirumuskan dengan:
�´ = �1+ � 2+ �� 3+ …+ �� atau �´ =
∑
�=1
� ��
�
Lanjutan….
Keterangan :
= rata-rata (baca : x bar)
= jumlah seluruh data
n = banyaknya data
•
Contoh
1. Hitunglah rataan dari data :
6, 5, 9, 7, 8, 8, 7, 6 !
Contoh
2. Sejumlah buku
diproduksi oleh sebuah mesin cetak selama
tujuh hari adalah sebagian berikut:
25.000, 20.000, 24.000, 15.000, 30.000, 35.000 dan 40.000. Berapa ribu rata-rata produksi per hari?
Jawab
Contoh
Nilai Tugas Statistik Pariwisata dari 52 orang
mahasiswa semester V Prodi FISHK IAKN Taurutung adalah sebagai berikut:
• Mahasiswa yang mendapat nilai 70 ada 5 orang, nilai 75 ada 15 orang, nilai 80 ada 12 orang, nilai 85 ada 10 orang, nilai 90 ada 6 orang, dan nilai 95 ada 4 orang. Tentukan nilai rata-ratanya!
Jawab
����� ����− ����( ´� )=(70 �5)+(75 �15 )+(80 �12)+(85 �10)+(90 �6 )+(95 �4 ) 5+15+12+10+6+4
¿ 350+1125+960+850+540 +360 52
¿ 4185 52
= 80,48
2. Rata-rata hitung dari data berkelompok
Data berkelompok adalah data yang disajikan dalam bentuk kelas- kelas interval. Setiap kelas biasanya memiliki panjang interval
yang sama.
Ada tiga cara menghitung rata-rata data berkelompok, yaitu :
• Menggunakan titik tengah,
• Menggunakan rata-rata sementara,
• Menggunakan kode (coding).
a) Menggunakan Titik Tengah
• Rumus yang digunakan :
�´ =
∑
�=1�
� � ��
∑
�=1�
� �
dengan :
Contoh 1:
Nilai Quiz mata kuliah
Statistik Pariwisata dari 50 orang mahasiswa FISHK IAKN Tarutung disajikan dalam tabel di samping.
Berdasarkan tabel di atas tentukan rata-ratanya!
Nilai Frekuensi
52 – 58 2
59 – 65 6
66 – 72 7
73 – 79 20
80 – 86 8
87 – 93 4
94 – 100 3
Jumlah 50
Jawab
Untuk mencari rata-rata hitung, kita pergunakan nilai tengah ()
•
Nilai
52 – 58 55 2 110
59 – 65 62 6 372
66 – 72 69 7 483
73 – 79 76 20 1520
80 – 86 83 8 664
87 – 93 90 4 360
94 – 100 97 3 291
Jumlah 50 3800
Nilai
52 – 58 55 2 110
59 – 65 62 6 372
66 – 72 69 7 483
73 – 79 76 20 1520
80 – 86 83 8 664
87 – 93 90 4 360
94 – 100 97 3 291
Jumlah 50 3800
b) Menggunakan simpangan rata-rata sementara
Selain menggunakan nilai titik tengah, rata-rata hitung dari data yang sudah dikelompokkan dapat dicari dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara. Sebelum menghitung rata-rata data berkelompok menggunakan simpangan rata-rata sementara, kita terlebih dahulu menetapkan rata-rata sementaranya .
•
�´ = ´��+
∑
� � ��∑
� �Keterangan :
Contoh 52 – 58 Nilai 55 2 - 14 - 28
59 – 65 62 6 - 7 - 42
66 – 72 69 7 0 0
73 – 79 76 20 7 140
80 – 86 83 8 14 112
87 – 93 90 4 21 84
94 – 100 97 3 28 84
Jumlah 50 350
Nilai
52 – 58 55 2 - 14 - 28
59 – 65 62 6 - 7 - 42
66 – 72 69 7 0 0
73 – 79 76 20 7 140
80 – 86 83 8 14 112
87 – 93 90 4 21 84
94 – 100 97 3 28 84
Jumlah 50 350
Dari contoh no. 1 di atas, kita dapat menentukan rata-rata sementara. Misalkan rata-rata sementara yang kita tetapkan adalah 69. Selanjutnya kita bisa menentukan rata- rata dengan membuat tabel penghitungan sebagai berikut :
Maka rata-ratanya adalah …
�´ = ´� �+
∑
� � ��∑
� �
lanjutan…
c) Menggunakan Kode (Coding)
Kata coding diartikan sebagai kode atau sandi.
Cara menenetukan rata-rata dengan menggunakan kode (coding) sama dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara. Sebelum menghitung rata-rata dengan cara coding, kita juga harus menetapkan rata-rata sementara. Namun rata-rata sementara yang kita tetapkan harus sama dengan salah satu nilai tengah salah satu kelas interval
Pada cara coding, pada tanda kelas diberi nilai = 0. Selanjutnya, tanda kelas yang kurang dari berturut-turut diberi nilai = –1, = –2 = –3, dan seterusnya, sedangkan tanda kelas yang lebihdari berturut-turut diberi nilai = 1, = 2, = 3, dan seterusnya
lanjutan…
Rumus yang kita gunakan untuk menentukan rata-rata dengan menggunakan kode (coding) adalah :
Keterangan :
Contoh
Dari contoh no. 1 di atas, kita dapat
menentukan rata-rata hitung dengan
menggunakan rata- rata sementara, sbb:
Nilai
52 – 58 55 2 -3 -6
59 – 65 62 6 -2 -12
66 – 72 69 7 -1 -7
73 – 79 76 20 0 0
80 – 86 83 8 1 8
87 – 93 90 4 2 8
94 – 100 97 3 3 9
Jumlah 50 0
Nilai
52 – 58 55 2 -3 -6
59 – 65 62 6 -2 -12
66 – 72 69 7 -1 -7
73 – 79 76 20 0 0
80 – 86 83 8 1 8
87 – 93 90 4 2 8
94 – 100 97 3 3 9
Jumlah 50 0
Lanjutan…
Maka rata-ratanya adalah :
3. Rata-rata Ukur (Geometris)
Rata-rata ukur (geometrik) adalah rata-rata yang diperoleh dengan mengalikan semua data dalam suatu kelompok sampel, kemudian diakarpangkatkan dengan banyaknya data sampel tersebut. Karena mengikuti proses akar pangkat, maka apabila terdapat unsur data yang bernilai negatif maka rata-rata ukur tidak bisa dilakukan.
Ada dua cara untuk menghitung rata-rata ukur yaitu dengan Cara Biasa dan Dengan Logaritma. Pada prinsipnya penghitungan kedua metode tersebut adalah sama. Perbedaannya adalah pada tingkat kesulitan pada proses penghitungannya.
a. Rata-rata Ukur pada data tunggal
Rata-rata ukur (geometris) dari sekumpulan angka adalah akar pangkat n dari perkalian angka-angka tersebut, dinyatakan dengan rumus:
•
atau
� =
�√ ∏�=�1 �
�
�=�
√
�1 . �2 . �3. ��Contoh
Tentukan rata-rata
geometris dari :
4, 9, 6!
Jawab
Contoh 2
Tentukan rata- rata geometris dari data :
3, 6, 9, 12!
Rumus rata-rata ukur (geometris) untuk data berkelompok adalah :
log ( �)=
∑�=1
�
� � . log (��)
∑�=1
�
� �
Keterangan :
k = banyaknya kelas
4. Rata-rata Geometri dari data yang dikelompokkan
Contoh :
Tentukan rata- rata ukur
(geometris) dari data pada contoh no. 1 di atas!
Nilai Frekuensi
52 – 58 2
59 – 65 6
66 – 72 7
73 – 79 20
80 – 86 8
87 – 93 4
94 – 100 3
Jumlah 50
Jawab
Berdasarkan tabel tersebut, hitunglah rata-rata geometrinya.
Nilai Log Log
52 – 58 2 55 1,7403 3,4806
59 – 65 6 62 1,7924 10,7544
66 – 72 7 69 1,8388 12,8716
73 – 79 20 76 1,8808 37,6160
80 – 86 8 83 1,9190 15,3520
87 – 93 4 90 1,9542 7,8168
94 – 100 3 97 1,9868 5,9601
Jumlah 50 93,8515
Nilai
52 – 58 2 55 1,7403 3,4806
59 – 65 6 62 1,7924 10,7544
66 – 72 7 69 1,8388 12,8716
73 – 79 20 76 1,8808 37,6160
80 – 86 8 83 1,9190 15,3520
87 – 93 4 90 1,9542 7,8168
94 – 100 3 97 1,9868 5,9601
Jumlah 50 93,8515
Lanjutan...
Rata-rata Harmonik (harmonic
everage)
Rata-rata harmonik (harmonic
average) adalah rata-rata yang dihitung
dengan cara mengubah semua data menjadi pecahan, dimana nilai data dijadikan
sebagai penyebut dan pembilangnya adalah satu, kemudian semua pecahan tersebut
dijumlahkan dan selanjutnya dijadikan sebagai pembagi jumlah data.
Rata-rata harmonik sering disebut juga dengan kebalikan dari
Rata-rata Hitung (Aritmatik).
Rata-rata harmonis dari data tunggal dirumuskan sebagai berikut :
•
atau
Contoh
Nilai ulangan
bahasa inggris 3 siswa adalah 90, 80, 70. Tentukan rata-rata
harmonisnya!
Jawab
Rata-rata Harmonis dari Data yang Dikelompokkan
Rumus untuk mencari rata-rata harmonis dari
data yang dikelompokkan adalah :
Contoh :
Tentukan rata-rata harmonis dari data yang
dikelompokkan
pada contoh no. 1 di atas!
Nilai Frekuensi
52 – 58 2
59 – 65 6
66 – 72 7
73 – 79 20
80 – 86 8
87 – 93 4
94 – 100 3
Jumlah 50
Jawab
Nilai
52 – 58 2 55 0,1361
59 – 65 6 62 0,0968
66 – 72 7 69 0,1014
73 – 79 20 76 0,2631
80 – 86 8 83 0,0964
87 – 93 4 90 0,0444
94 – 100 3 97 0,0309
Jumlah 50 0,6694
Nilai
52 – 58 2 55 0,1361
59 – 65 6 62 0,0968
66 – 72 7 69 0,1014
73 – 79 20 76 0,2631
80 – 86 8 83 0,0964
87 – 93 4 90 0,0444
94 – 100 3 97 0,0309
Jumlah 50 0,6694 Jadi, rata-rata harmonisnya 74,69
� = �
∑
�� ��
¿ 50 0,6694
= 74,69
