MTA Pre-Regional Mathematical Olympiad (PRMO),2019
Date: August 11, 2019 Time: 10 AM to 1 PM
Number of Questions 30: Max Marks: 102
INSTRUCTIONS
1. Use of mobile phones, smartphones, ipads, calculators, programmable wrist watches is STRICTLY PROHIBITED. Only ordinary pens and pencils are allowed inside the examination hall.
2. The correction is done by machines through scanning. On the OMR Sheet, darken bubbles completely with a black pencil or a black or blue ball pen. Darken the bubbles completely, only after you are sure of your answer; else, erasing may lead to the OMR sheet getting damaged and the machine may not be able to read the answer.
3. The name, email address, and date of birth entered on the OMR sheet will be your login credentials for accessing your PRMO score.
4. Incompletely, incorrectly or carelessly filled information may disqualify your candidature.
5. Each question has a one or two digit number as answer. The first diagram below shows improper and proper way of darkening the bubbles with detailed instructions. The second diagram shows how to mark a 2-digit number and a 1-digit number.
6. The answer you write on OMR sheet is irrelevant. The darkened bubble will be cosidered as your final answer.
7. Questions 1 to 6 carry 2 marks each; questions 7 to 21 carry 3 marks each; questions 22 to 30 carry 5 marks each.
8. All questions are compulsory.
9. There are no negative marks.
10. Do all rough work in the space provided below for it. You also have blank pages at the end of the question paper to continue with rough work.
11. After the exam, you may take away the Candidate’s copy of the OMR sheet.
12. Preserve your copy of OMR sheet till the end of current olympiad season. You will need it later for verification purposes.
13. You may take away the question paper after the examination.
(EhdF EdfAEndf pE-tkA k a\Etm p¤ pr h{\)
1. From a square with sides of length 5, triangular pieces from the four corners are removed to form a regular octagon. Find the arearemovedto the nearest integer?
2. Letf(x) =x2+ax+b. If for all nonzero realx f
x+1
x
=f(x) +f 1
x
and the roots of f(x) = 0are integers, what is the value ofa2+b2?
3. Letx1be a positive real number and for every integer n≥1letxn+1= 1 +x1x2. . . xn−1xn. If x5= 43, what is the sum of digits of the largest prime factor ofx6?
4. An ant leaves the anthill for its morning exercise. It walks 4 feet east and then makes a 160◦ turn to the right and walks 4 more feet. It then makes another160◦ turn to the right and walks 4 more feet. If the ant continues this pattern until it reaches the anthill again, what is the distance in feet it would have walked?
5. Five persons wearing badges with numbers 1,2,3,4,5 are seated on 5 chairs around a cir- cular table. In how many ways can they be seated so that no two persons whose badges have consecutive numbers are seated next to each other? (Two arrangements obtained by rotation around the table are considered different.)
6. Let abc be a three digit number with nonzero digits such that a2+b2 =c2. What is the largest possible prime factor of abc?
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2
1. एक वग िजसक भुजाओं क ल बाई 5 है, उसके चार कोन से िऽभुजाकार टुकड़े काट कर एक नय मत अ भुज बनाया जाता है। कतना ेऽफल हटाया गया है, उसका मान सबसे कर बी पूणाक तक ात करो।
2. मान लो क f(x) =x2+ax+b है। य द सभी अशू य वाःत वक सं या x के लए f
( x+ 1
x )
=f(x) +f (1
x )
और f(x) = 0 के सभी हल पूणाक ह, तो a2+b2 का मान ा है?
3. मान लो क x1 एक धना मक वाःत वक सं या है और सभी n ≥ 1 पूूणाक के लए xn+1 = 1 +x1x2. . . xn−1xn है। अगर x5= 43 तो x6 के सबसे बड़े अभा य गुणनखंड के अंक (digits) का
योग ात करो।
4. एक चींट अपनी बांबी से सुबह के यायाम के लए नकलती है। वह 4 फुट पूरब क ओर चलती है, फर 160◦ दाएँ ओर मुड़ कर 4 फुट और चलती है। फर वह एक बार और 160◦ दाएँ ओर मुड़ कर 4 फुट चलती है। अगर चींट इसी बम म चलती रहती तो वा पस अपनी बांबी तक पहुंचने म उसने कुल
कतनी दूर (फुट म) चल होती?
5. पाँच ब े, िजनपर 1,2,3,4,5 लखा है, पहने हुए पाँच लोग एक गोल मेज के चार तरफ पाँच कुिसय पर बै ठे ह। वह ऐसी कतनी तरह से बैठ सकते ह, िजससे क कोई भी दो लोग िजनके ब े पर लखी
सं याएँ बमागत ह , वह अगल-बगल ना बैठे ह ? (एक बैठने का तर का जो कसी दूसरे तर के को घुमा
देने से मलता हो, उसे दूसरे तर के से भ माना जाएगा।)
6. मान लो क abc तीन अंक क ऐसी सं या है, िजसके अंक अशू य ह व a2+b2 =c2 है। abc का
सबसे बड़ा अभा य गुणनखंड ा संभव है?
रफ़ काय के लए जगह
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7. On a clock, there are two instants between 12 noon and 1 PM, when the hour hand and the minute hand are at right angles. The difference in minutes between these two instants is written asa+bc, wherea, b, care positive integers, withb < candb/cin the reduced form. What is the value ofa+b+c?
8. How many positive integersnare there such that3≤n≤100andx2n+x+ 1 is divisible by x2+x+ 1?
9. Let the rational numberp/qbe closest to but not equal to22/7 among all rational numbers with denominator <100. What is the value ofp−3q?
10. Let ABC be a triangle and letΩbe its circumcircle. The internal bisectors of angles A, B andC intersectΩat A1,B1, andC1, respectively, and the internal bisectors of anglesA1,B1
andC1of the triangleA1B1C1intersectΩatA2,B2 andC2, respectively. If the smallest angle of triangleABC is40◦, what is the magnitude of the smallest angle of triangleA2B2C2in degrees?
11. How many distinct trianglesABCare there, up to similarity, such that the magnitudes of anglesA,BandC in degrees are positive integers and satisfy
cosAcosB+ sinAsinBsinkC= 1 for some positive integerk, wherekC does not exceed360◦?
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3
7. एक घड़ी म दोपहर 12 बजे और दोपहर 1 बजे के बीच म दो बार ऐसा होता है जब घंटे क सूंई और मनट क सूंई एक दूसरे के ल ब होती है। इन दो समय के बीच म मनट म अंतर a+bc क तरह लख, जहाँ a, b, c धना मक पूणाक ह, b < c, व b/c भ का यूनतम प (reduced form या simplest form) है। a+b+c का मान ा है?
8. ऐसे कतने धना मक पूणाक n ह िजनके लए 3≤n≤100 व सं या x2n+x+ 1 सं या x2+x+ 1 से भा य है?
9. मान लो क p/q ऐसा भ है जो ऐसे भ िजनका हर (denominator) <100 हो और जो 22/7 से
अलग ह , उनम 22/7 के सबसे कर ब पड़ता है। तो p−3q का मान ा होगा?
10. मान लो क ABC एक िऽभुज है और Ω उसका ब हवृ है। कोण A, B व C के अ तःसम भाजक Ω से
बमशः A1, B1 व C1 म मलते ह और िऽभुज A1B1C1 के कोण A1, B1 व C1 के अ तःसम भाजक Ω से बमशः A2, B2, C2 म मलते ह। अगर िऽभुज ABC का सबसे छोटा कोण 40◦ है तो िऽभुज A2B2C2 के सबसे छोटे कोण का मान डमी (degree) म ा होगा?
11. ऐसे कतने अलग-अलग (मतलब असम प) िऽभुज ABC ह िजनम कोण A, B व C का डमी म मान धना मक पूणाक है, और जो
cosAcosB+sinAsinBsinkC = 1
समीकरण को कसी धना मक पूणाक k के लए संतु करते ह, जहाँ kC का मान 360◦ से यादा नह ं है?
रफ़ काय के लए जगह
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12. A natural numberk >1 is calledgoodif there exist natural numbers a1< a2<· · ·< ak
such that
√1 a1
+ 1
√a2
+. . .+ 1
√ak
= 1.
Letf(n)be the sum of the firstngood numbers,n≥1. Find the sum of all values ofnfor which f(n+ 5)/f(n)is an integer.
13. Each of the numbers x1, x2, . . . , x101 is ±1. What is the smallest positive value of X
1≤i<j≤101
xixj?
14. Find the smallest positive integer n≥10such thatn+ 6is a prime and 9n+ 7is a perfect square.
15. In how many ways can a pair of parallel diagonals of a regular polygon of 10 sides be selected?
16. A pen costs Rs. 13 and a note book costs Rs. 17. A school spends exactly Rs. 10000 in the year 2017-18 to buyxpens andy note books such thatxandy are as close as possible (i.e.,|x−y|is minimum). Next year, in 2018-19, the school spends a little more than Rs. 10000 and buysy pens andxnote books. How muchmoredid the school pay?
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12. कसी ूाकृितक सं या k >1 को हम अ छा कहगे अगर ऐसी ूाकृितक सं याएँ
a1< a2<· · ·< ak
मौजूद ह िजससे क
√1a1 + 1
√a2+· · ·+ 1
√ak = 1
हो। मान लो क n≥1 के लए f(n) पहल n अ छ सं याओं का योग है। ऐसी सभी सं याओं n का
योग ात करो िजनके लए f(n+ 5)/f(n) एक पूणाक है।
13. x1, x2, . . . , x101 म हर एक सं या ±1 है। ∑
1≤i<j≤101
xixj का यूनतम धना मक मान ा है?
14. ऐसा सबसे छोटा धना मक पूणाक n≥10 ात करो जहाँ n+ 6 अभा य हो और 9n+ 7 एक पूण वग हो।
15. नय मत दसभुज के वकण के ऐसे कतने जोड़े चुने जा सकते ह िजसम क दोन वकण समानांतर ह ? 16. एक पेन का मू य ॰ 13 है व एक कापी का मू य ॰ 17 है। एक ःकूल 2017-18 म x पेन और y का पयाँ खर दने म ठ क ॰ 10000 खच करता है, ऐसे क x व y िजतना हो सक उतना कर ब ह (माने क |x−y| यूनतम हो)। अगले साल, 2018-19 म, ःकूल ॰ 10000 से थोड़ा यादा खच करता
है, और y पेन व x का पयाँ खर दता है। ःकूल ने कतना यादा खच कया?
रफ़ काय के लए जगह
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17. Find the number of ordered triples(a, b, c)of positive integers such that30a+50b+70c≤343.
18. How many ordered pairs (a, b) of positive integers witha < band100≤a, b≤1000satisfy gcd(a, b) :lcm(a, b) = 1 : 495?
19. Let AB be a diameter of a circle and let C be a point on the segment AB such that AC :CB = 6 : 7. LetD be a point on the circle such that DC is perpendicular to AB. LetDE be the diameter through D. If [XY Z]denotes the area of the triangle XY Z, find[ABD]/[CDE]
to the nearest integer.
20. Consider the setEof all natural numbersnsuch that when divided by 11,12, 13, respec- tively, the remainders, in that order, are distinct prime numbers in an arithmetic progression.
IfN is the largest number inE, find the sum of digits ofN.
21. Consider the set E={5,6,7,8,9}. For any partition{A, B} ofE, with both AandB non- empty, consider the number obtained by adding the product of elements ofAto the product of elements of B. LetN be the largest prime number among these numbers. Find the sum of the digits ofN.
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17. धना मक पूणाक के ऐसे कतने बमवार समु य (a, b, c) ह िजनके लए 30a+ 50b+ 70c≤343 है?
18. धना मक पूणाक के ऐसे कतने बमवार जोड़े (a, b) ह जहाँ a < b व 100≤a, b≤1000 और िजनके
लए gcd(a, b) :lcm(a, b) = 1 : 495? (यहाँ gcd= म॰स॰ = मह म समापवतक, lcm= ल॰स॰ = लघु म समापव य।)
19. मान लो क AB एक वृ का यास है और मान लो क C रेखाखंड AB पर ऐसा बंदु है िजससे क AC:CB= 6 : 7 है। मान लो क D वृ पर एक ऐसा बंदु है क DC खंड AB पर लंब है। मान लो क DE बंदु D से गुजरता हुआ वृ का यास है। अगर [XY Z] से हमारा मतलब िऽभुज XY Z का ेऽफल है तो [ABD]/[CDE] का मान सबसे कर बी पूणाक तक ात करो।
20. मान लो क E ऐसी ूाकृितक सं याओं n का समु य है िज ह 11, 12, 13 से भाग देने पर मलने वाले
शेष ऐसी अलग-अलग अभा य सं याएँ ह जो इसी बम म समा तर ौेणी म ह। अगर N समु य E क सबसे ब सं या है तो N के अंक का योग ात करो।
21. समु य E={5,6,7,8,9} को लो। E के कसी भी वभाजन {A, B} के लए, जहाँ A और B दोन अ र ह, A के सदःय के गुणनफल का B के सदःय के गुणनफल से योग लेने पर मलने वाल सं या
को लो। N इन सभी सं याओं म सबसे ब ा अभा य है। N के अंक (digits) का योग ात करो।
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22. What is the greatest integer not exceeding the sumP1599 n=1
√1 n?
23. Let ABCD be a convex cyclic quadrilateral. Suppose P is a point in the plane of the quadrilateral such that the sum of its distances from the vertices ofABCDis the least. If
{P A, P B, P C, P D}={3,4,6,8}, what is the maximum possible area ofABCD?
24. A1×nrectangle (n≥1) is divided intonunit (1×1) squares. Each square of this rectangle is coloured red, blue or green. Let f(n)be the number of colourings of the rectangle in which there are an even number of red squares. What is the largest prime factor of f(9)/f(3)? (The number of red squares can be zero.)
25. A village has a circular wall around it, and the wall has four gates pointing north, south, east and west. A tree stands outside the village, 16 m north of the north gate, and it can bejust seen appearing on the horizon from a point 48 m east of the south gate. What is the diameter, in meters, of the wall that surrounds the village?
26. Positive integersx, y, zsatisfyxy+z= 160. Compute the smallest possible value ofx+yz.
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22. ऐसा सबसे बड़ा पूण ाक ात करो जो क योग ∑1599 n=1
√1n से बड़ा ना हो।
23. मान लो क ABCD एक उ ल (convex) चब य (cyclic) चतुभुज है। मान लो क P चतुभुज के तल म ऐसा बंदु है िजसक चतुभुज ABCD के शीष से दू रय का योग यूनतम है। अगर
{P A, P B, P C, P D}={3,4,6,8} तो ABCD का अ धकतम संभव ेऽफल कतना है?
24. एक 1×n आयत (n≥1) को n इकाई (1×1) वग म बाँट देते ह। इस आयत के हर वग को लाल, नीला या हरा रंग देते ह। मान लो क f(n) वह सं या है िजतने तर क से ऐसे रंग सकते ह क लाल रंग के आयत क सं या सम हो। f(9)/f(3) का सबसे बड़ ा अभा य गुणनखंड ा है? (लाल वग क सं या शू य हो सकती है।)
25. एक गा ँव के चार तरफ एक गोल द वार है िजसम पूरब, पि म, उ र व दि ण क तरफ चार ार ह।
गाँव के बाहर लगा एक पेड़ उ र ार के 16 मी॰ उ र म है और वह दि ण ार के 48 मी॰ पूरब िःथत ब दु से बस ि ितज पर उभरता हुआ थोड़ा सा दखाई देता है। गाँव को घेरती हुई द वार का मीटर म
यास ा है?
26. धना मक पूणाक x, y, z समीकरण xy+z= 160 को संतु करते ह। x+yz का यूनतम संभव मान
ात करो।
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27. We will say that a rearrangement of the letters of a word has no fixed letters if, when the rearrangement is placed directly below the word, no column has the same letter repeated.
For instance, H B R A T A is a rearrangement with no fixed letters of B H A R A T. How many distinguishable rearrangements with no fixed letters does B H A R A T have? (The twoAs are considered identical.)
28. Let ABC be a triangle with sides 51, 52, 53. LetΩ denote the incircle of 4ABC. Draw tangents to Ω which are parallel to the sides of ABC. Let r1, r2, r3 be the inradii of the three corner triangles so formed. Find the largest integer that does not exceedr1+r2+r3.
29. In a triangleABC, the medianAD(with D onBC) and the angle bisectorBE (withE on AC) are perpendicular to each other. IfAD= 7andBE= 9, find the integer nearest to the area of triangleABC.
30. Let E denote the set of all natural numbers n such that 3 < n < 100 and the set {1,2,3, . . . , n}can be partitioned in to 3 subsets with equal sums. Find the number of elements ofE.
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27. हम कहगे क कसी श द के अ र के बमचय म कोई िःथर अ र नह ं है अगर, जब हम बमचय को
श द के ठ क नीचे लख, तो कसी भी ःतंभ म एक ह अ र ऊपर नीचे दोन जगह नह ं होगा। जैसे क श द B H A R A T के बमचय H B R A T A म कोई िःथर अ र नह ं है। B H A R A T के अलग-अलग ऐसे कतने बमचय ह िजनम कोई िःथर अ र नह ं है? (यहाँ मानगे क दोन A म कोई भेद नह ं है।)
28. मान लो क ABC एक िऽभुज है िजसक भुजाओं का मान 51, 52, 53 है। मान लो क Ω िऽभुज
△ABC का अंतःवृ है। Ω के वह ःपशक बनाओ जो क ABC क भुजाओं के समानांतर ह। मान लो क कोन पर बने तीन िऽभुज का अंतः यास r1, r2, r3 है। ऐसा अ धकतम पूणाक कौनसा होगा जो
r1+r2+r3 के मान से यादा न हो?
29. एक िऽभुज ABC म मि यका AD (जहाँ D भुजा BC पर है) और कोण-सम भाजक BE (जहाँ E भुजा AC पर है) ल ब ह। अगर AD= 7 व BE= 9 तो ABC के ेऽफल के सबसे कर बी पूणाक का मान ात करो।
30. मान लो क E ऐसी ूाकृितक सं य n का समु य है िजनके लए 3 < n <100 और िजनके लए समु य {1,2,3, . . . , n} को ऐसे तीन उपसमु य म वभािजत कया जा सकता है िजनका योग बराबर है। E के सदःय क सं या ात करो।
रफ़ काय के लए जगह
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MTA-IAPT पूव- ेऽीय गिणत ओलि पयाड (PRMO), 2019
दनांक: अगःत 11, 2019 समय: 10:00 ूातः से 01:00 दोपहर
कुल ू : 30 अ धकतम अंक: 102
दशा नदश
1. मोबाइल फ़ोन, ःमाटफ़ोन, टै ेट-क यूटर, कैलकुलेटर, ूोमामेबल घड़ी आ द का ूयोग पूणतः विजत है।
केवल साधारण पेन व पिसल ह पर ा कि म ले जा सकते ह।
2. उ र क जाँच मशीन से होगी। OMR शीट पर बुलबुल को काल पिसल या फर नीले या काले पेन से पूर तरह भर। उ र सु नि त करने के बाद ह बुलबुल को भर; वरना मटाने पर OMR शीट ख़राब हो सकती है िजससे क मशीन उ र नह ं पढ़ पाएगी।
3. OMR शीट पर आपके ारा दए जाने वाले नाम, ईमेल-आईडी व ज मितिथ के ज़ रए लॉ गन करके आप PRMO का प रणाम देख सकगे।
4. अपूण/ग़लत या यान से नह ं भर गई जानकार क वजह से आप इस पर ा म अमा य घो षत हो सकते
ह।
5. हर ू का उ र 1 या 2 अंक क सं या है। पहले पृ के पहले चऽ म बुलबुले भरने के सह व ग़लत तर क़े, नदश के साथ दशाए गए ह। दूसरे चऽ म दशाया गया है क 1-अंक व 2-अंक क सं या को
कैसे चि हत करगे।
6. OMR शीट पर लखा गया उ र कसी काम का नह ं है। भरे हुए बुलबुले ह आपका उ र माने जाएँगे।
7. ू 1 से ू 6 तक हर सह उ र पर 2 अंक (marks) मलगे, ू 7 से ू 21 तक हर सह उ र पर 3 अंक (marks) मलगे व ू 22 से ू 30 तक हर सह उ र पर 5 अंक मलगे।
8. सभी ू अ नवाय ह।
9. कोई ऋणा मक अंक (negative marks) नह ं ह।
10. सभी रफ़ काय ू के नीचे द गई ख़ाल जगह म कर। आपके पास ू -पऽ के अंत म भी रफ़ काय के लए ख़ाल जगह है।
11. पर ा के बाद पर ािथय के लए चि हत OMR शीट क ूित आप ले जा सकते ह।
12. अपनी OMR शीट क ूित इस बार के ओलि पयाड ख़ म होने तक स भाल कर रख। इसक बाद म ज़ रत पड़ेगी।
13. पर ा के उपरांत आप अपना ू पऽ अपने साथ ले जा सकते ह।
