لماک یشهوژپ هلاقم رد خیرات ی تفا 21 / 7 / 11
ذپ خیرات ی شز 7 / 1 / 11
هئارا رد اس ی ت 33 / 2 /
12 26-14 صص5 هرامش13 هرود ،1312 دادزم
یسررب یاپ ترارح لاقتنا یلیلحت
یا یتیاده ان
هناوتسا رد نراقتم یاه
یتیزوپماک هب
اهریغتم یزاسادج شور
دمحم یناهیک نسح
1
،*
یئولد یریما نیما
2
1 - سبیـًاد ،دٍشّبؿ یشؼٌك ُبگـًاد ،هیًبىه یػذٌْه دٍشّبؿ
2 -
َدـًاد ی هیًبىه یػذٌْه یاششود دٍشّبؿ ،دٍشّبؿ یشؼٌك ُبگـًاد ،
* دٍشّبؿ
، قٍذٌك یشؼد 3619995161
هدیکچ -
ٍد رساشح لبمشًا ِلئؼه شضبح ِؼلبغه سد یذؼث
بً
ذٌچ یشیصَذهبو ًِاَشػا هی سد ىسبمشه
ِث ِیلا یػسشث یلیلحس رسَك ؿ
ظیاشؿ .زػا ُذ
یلو سد ُذؿ ِشفشگ شظًسد یصشه یه ِو دساد ساشل يىوه )یغخ( زلبح يیشس
مضیًبىه یهبوس ذًاَس ثبخ یبّ
ِ .دشیگ شثسد اس غـؼـس ٍ زیاذّ ،ییبخ
ُذؿ ُذیچید ًِاَشػا سٍد ِث یلخـه ِیٍاص زحس فبیلا ذًا
، ث یشیصَذهبو داَه غٌخ ٍ فبیلا ِیٍاص ِو یَحً ِث
ِ یه ُذؿ ِشفس سبو ث ِیلا ذًاَس
ِیلا ِ
نوبح رلادبؼه .ذٌو شییغس شث
زیاذّ
هیدٍشسَسسٍا بّشیغشه یصبػاذخ كیلد ؽٍس صا ُدبفشػا بث غذػ ٍ ُذیدشگ جاشخشػا
، ِیلا شّ سد بهد غیصَس یشػ
ث
ِ صشه سد رساشح سبؿ ٍ بهد یگشػَید ظیاشؿ یساشلشث يیٌچوّ ٍ ًِاَشػا یًٍشیث ٍ یلخاد یلو یصشه ظیاشؿ لبوػا بث .زػا ُذهآ زػد شّ يیث
ِیلا صا زفخ بّ
، ث یاشث لمشؼه رلادبؼه ُبگشػد ِػ
ِ
ُذؿ ِشخبػ بهد یشػ لَْده تیاشض ىدسٍآ زػد .ذًا
ٍ ذهبؼشه غثاَس ظثاٍس صا ُدبفشػا بث
عبهَس نشیسَگلا
ُبگشػد يیا ، ؿ لح رلادبؼه یبّ
غثاٍس ٍ ُذ ی
شیثبس .زػا ُذیدشگ ِئاسا لَْده تیاشض ِجػبحه یاشث یلیلحس ٍ یشـگصبث د
یبّششهاسب
،یحاشع
ِیلا غٌخ ٍ فبیلا ِیٍاص بهد غیصَس یٍس بّ
، ،ُذیچید یصشه ظیاشؿ لهبؿ یلوػ لبثه ٍد صا ُدبفشػا بث یػسشث
ِؼیبمه ٍ ذؿ .زػا ُ
دیلک ناگشاو :
ِیسَف لیذجس ،عبهَس نشیسَگلا ،یشیصَذهبو ًِاَشػا ، ىسبمشهبً رساشح لبمشًا ،یلیلحس لح
Analytical investigation of asymmetric steady heat
conduction in a composite cylinder using the separation of variables method
M. H. Kayhani1*, A. Amiri Delouei2
1- Assoc. Prof., Mech. Eng., Shahrood Univ. of Thechnology, Shahrood, Iran 2- PhD Student, Mech. Eng., Shahrood Univ. of Thechnology, Shahrood, Iran
*P.O.B. 3619995161 Shahrood, [email protected]
Abstract- In this study, 2D Asymmetric heat transfer in multi-layer composite cylinder is investigated, analytically.
The boundary conditions are the most linear general boundary conditions which can cover all the heat transfer mechanisms consists of convection, conduction and radiation. The fibers are wounded around the cylinder. The angle of fibers and composite materials can be changed layer by layer. The governing equation of orthotropic conduction has been extracted and temperature distribution series have been obtained using the separation of variables method. In order to find the unknown series’ coefficients, three independent set of equations have been constructed by applying the boundary conditions inside/outside of cylinder and temperature/heat flux continuity between the layers. These set of equations have been solved using the orthogonal function relations and Thomas algorithm to find the recursive relation for unknown coefficients. The effect of design parameter, fiber angle and layers’ materials, have been investigated via two functional examples.
Keywords: Analytical Solution, Asymmetric heat transfer, composite cylinder, Thomas Algorithm, Fourier Transformation
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
1 - همدقم
سد
ِّد
ِث یشیصَذهبو داَه شیخا یبّ
ِظحلاه لثبل سَع سد یا
ِشفشگ ساشل ِخَس دسَه یػذٌْه فلشخه یبّدشثسبو شها يیا .ذًا
ِث لیلد
ِفبضا ،یىیضیف ىَگبًَگ فاَخ تیوشس زیضه ىذؿ
شح ٍ یىیًبىه
ِیلا داَه .زػا داَه يیا سد یسسا یشیصَذهبو ٍ ِیلا
ٌِیهص سد ُدششؼگ یبّدشثسبو یاساد غیبٌك شیظً ىَگبًَگ یبّ
[بضفاَّ
1 - 3 ىصبخه ،]
، لذجه یسساشح یبّ
ُشد ، بّ
[ 4 - 7 ٍ ]
ُشیغ
یه لئبؼه ِث يشخادشد يیاشثبٌث .ذٌؿبث يیا ِث طَثشه فلشخه
ثحث ِلوخ صا داَه ىآ سد رساشح لبمشًا
ِث یسٍشض بّ
شظً
یه لیلحس يیا .ذػس یبّذٌیاشف ِث طَثشه لئبؼه سد ییبهد یبّ
زیصَذهبو ذیلَس [بّ
8 - 10 ؾٌس یػسشث ٍ ] سد ییبهد یبّ
ًِاَشػا [بّ
11 - 13 سادسَخشث ییاضؼث زیوّا صا ] یه
،ذٌؿبث بها
ِث ششوو ًِبفػبشه زػا ُذؿ ِشخادشد عَضَه يیا
ُصَح يیا سد .
مبدًا یبّسبو شثوا لح رسَك ِث ُذؿ
ُدَث یدذػ یبّ
ذًا
[ 14 - 18
ُذؿ ِئاسا یلیلحس رسَك ِث یدٍذؼه دساَه بٌْس ٍ ] .ذًا
لح مبدًا یذؼثٍد یلیلحس یبّ
یه اس ثحث يیا سد ُذؿ ِث ىاَس
چ لح :دَوً نیؼمس ؾخث ذٌ
ِئاسا یبّ
ربلشخه سد ُذؿ
يیضسسبو [
19 - 21 لیلحس ،]
مبدًا یبّ
ربلشخه سد ُذؿ
ًِاَشػا یبشػاس سد یا rz
[ 22 - 24 یبشػاس ٍ ]
r [ 25 ]
مبدًا یبّسبو ٍ [یٍشو ربلشخه سد ُذؿ
26 .]
[زلبػ 19
، 20 شح لبمشًا ] زیصَذهبو سد یذؼثٍد رسا
اس بّ
ِث یلیلحس رسَك .زػا ُدَوً یػسشث
ربلشخه سد لح يیا
.زػا ُذؿ ِئاسا يگوّ یصشه ظیاشؿ زحس ٍ يیضسسبو یخبح
ؿ ی خ [ىاسبىوّ ٍ 21
] ی ه ػلاَهشف ی ىَ
س ی ضب ی اشث ی ه ی ىاذ بهد
زلبح سد بد
یب ذٌچ مبؼخا سد لا
ی
ِ ذٌچ ٍ ذؼث ی ث
ِ
ُدسٍآ زػد ،ذًا
ىآ
ُدَوً ربجثا بّ
دبمه ِو ذًا ی
ش
ٍ ی
ُظ
، اشث ی شلبح ی لا ِو ی
ِ بّ
ذؿبث يگوّ
، مح ی م ی لبح سد زػا ی
اشث ِو ی حٍشسَسسٍا زلبح
ای ي دبمه ی ش ه ی هََّه ذًٌاَس ی
.ذٌؿبث [ىاسبىوّ ٍ یًبْیو 22
ٍ ]
ىاسبىوّ ٍ یئَلد یشیها [
23
ِث ] ؼه تیسشس ئ
رساشح لبمشًا ِل
ىسبمشه
ٍ بیبد1
بیبدبً
زحس اس یصشه ظیاشؿ
ِث یجیوشس
ًبگاذخ سَع ِ
ُدَوً یػسشث يیا .ذًا
ح ل
ِث بّ
یبشػاس سد ٍ یذؼثٍد رسَك
rz ئؼه يیٌچوّ .زػا ُذؿ مبدًا بیبدبً رساشح لبمشًا ِل
سد
يید يیف یبّ
[ىاسبىوّ ٍ یًبْیو ظػَس ًلاجل ضیً یشیصَذهبو 24
]
ٍ ُذؿ مبدًا ىسبمشه زلبح سد ضیً لح يیا .زػا ِشفشیزد مبدًا يیف يید فبخ یصشه ظیاشؿ ٍ یًبْیو .زػا ُذیدشگ لبوػا بّ
1. Axi-symmetric
[ىاسبىوّ
25 ؼه يیٌچوّ ] ئ
ربلشخه سد رساشح لبمشًا ِل
ًِاَشػا ىسبمشهبً زلبح سد یا فبخ یصشه ظیاشؿ زحس اس2
ُدَوً یػسشث يیخ .ذًا
[ىاسبىوّ ٍ 26
] یاشث یلیلحس لح هی
ِیلا داَه سد رساشح لبمشًا یػسشث
ِیلا بث یا یٍشو یبّ
لىؿ ٍ
نّ
ِئاسا ضوشه
ُداد لح يیا .ذًا مٍد ٍ لٍا عًَ یصشه ظیاشؿ یاشث
.زػا زثبث ِیلا شّ سد داَه فاَخ ٍ زػا ُذؿ ِئاسا يگوّ
رساشح لبمشًا یاشث كیلد یلیلحس لح هی شضبح سبو سد
ًِاَشػا ربلشخه سد یذؼثٍد یبشػاس ٍ یا
r ُذؿ ِئاسا
ىبوّ .زػا لىؿ سد ِو ًَِگ
1 ُذّبـه یه ؼه ِػذٌّ ،دَؿ ِلئ
ِث ِیلاذٌچ ًِاَشػا هی رسَك یه
ذؿبث ِیٍاص زحس فبیلا ِو
ُاَخلد
ُذؿ ُذیچید ىآ سٍد ِث ِیلا شّ سد
ِیلا غٌخ .ذًا بّ
یه ِو زػا یسبیشخا ششهاسبد ٍد فبیلا ِیٍاص ٍ ِیلا ِث ِیلا ذًاَس
شظًسد ییبهد یصشه ظیاشؿ .ذٌو شییغس یلو ،ُذؿ ِشفشگ
يیشس
یه ِو زػا يىوه یغخ یصشه ظیاشؿ
ِث اس ىآ ىاَس رسَك
ثبخ ،زیاذّ صا یجیوشس
ِ سد غـؼـس ٍ ییبخ یلخاد ٍ یًٍشیث ِیلا
سد زیصَذهبو [زفشگ شظً
27 ٌِیهص سد ییبّسبو ًلاجل ِچ شگا .]
رساشح لبمشًا ىاسبىوّ ٍ یًبْیو ظػَس ىسبمشهبً
[ 25 رسَك ]
زػا ِشفشگ
، لح يیا بها فبخ یصشه ظیاشؿ زحس بٌْس ًلاٍا بّ
ُذؿ ِئاسا یذیؿسَخ غـؼـس ظیاشؿ شیبػ ِث نیوؼس لثبل ٍ ذًا
لهبؿ یشیصَذهبو ُدبه فاَخ شییغس ثحث ًبیًبث ٍ ذٌشؼیً یصشه
ِیلا یهبوس ٍ ُذـً حشغه ِیلا شّ سد غیشسبه ٍ فبیلا بّ
نّ
ُذؿ لح غٌخ .ذًا
شضبح سبو سد
، ث ٍُلاػ زػا ُذؿ یؼػ ش
ُدبػ یصشه ظیاشؿ ِث نیوؼس لثبل ٍ یلو یصشه ظیاشؿ ثحث ،شس
سد شثَه یبّششهاسبد بس ددشگ ِفبضا ضیً ِیلا شّ سد فاَخ شییغس لهبو داَه يیا یسساشح یحاشع .ددشگ شس
لکش 1
ِػذٌّ
ِیلا ٍ
ًِاَشػا ِث طَثشه یذٌث
2. Asymmetric
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
یاشث نوبح ِلدبؼه اذشثا زیاذّ
هیدٍشسَسسٍا سد1
صا هی شّ
ِیلا
ًِاَشػا ربلشخه سد بّ
ؽٍس .زػا ُذیدشگ جاشخشػا یا
لبوػا یئضخ لیؼًاشفید ِلدبؼه يیا یٍس شث بّشیغشه یصبػاذخ
ٍد ىآ لكبح ِو ُذیدشگ ٍد ِجسشه یلَوؼه ِلدبؼه
یبّبشػاس سد
.زػا یغیحه ٍ یػبؼؿ هیدَیشد یصشه ظیاشؿ صا ُظیٍ شیدبمه
یبشػاس سد ث
ِ زػد
ُذهآ ِیلا شّ سد بهد غیصَس یشػ ٍ
ِهادا سد .زػا ُذؿ قخـه
، سد یلو یصشه ظیاشؿ ِث ِخَس بث
سد رساشح سبؿ ٍ بهد یگشػَید ظیاشؿ ،ًِاَشػا جسبخ ٍ لخاد
ِیلا يیث صشه ،ِیسَف یشػ تیاشض ِث طَثشه ظثاٍس يیٌچوّ ٍ بّ
لَْده تیاشض ِجػبحه یاشث ًِبگاذخ رلادبؼه ُبگشػد ِػ
ِیسَف یشػ
ُذؿ لیىـس
ُبگشػد يیا .زػا رلادبؼه یبّ
ِث حٌد رسَك ث یاشث عبهَس نشیسَگلا صا ٍ ُدَث یشغل
ِ زػد
ِث لَْده تیاشض ىدسٍآ ُشْث یشـگصبث ٍ یلیلحس غثاَس رسَك
ُدشث لبثه ٍد صا ُدبفشػا بث لكبح لح حیبشً بْشًا سد .نیا
ذهبو ِلَل ٍد لهبؿ یدشثسبو
َ یاشؿ زحس ِیلاذٌچ یشیص یصشه ظ
شییغس ِث طَثشه راشثا .زػا ُذیدشگ یػسشث شیغشه ٍ ُذیچید یحاشع یبّششهاسبد
، صَذهبو غٌخ ٍ فبیلا ِیٍاص شییغس لهبؿ زی
ِث بهد غیصَس یٍس ،ِیلا شّ سد .زػا ُذؿ ثحث لیضفس
2 - هواوتسا رد تیاده یتیزوپماک یاه
یبدًآ صا ی داَه صا یششگسضث ِشػد ِث كلؼشه یشیصَذهبو داَه ِو
یه حٍشسَسسٍا داَه ىاٌَػ زحس يیا سد رساشح لبمشًا ،ذٌؿبث
يیًاَل صا یؼثبس ضیً داَه شث نوبح
حٍشسَسسٍا داَه یه
ِغثاس .ذؿبث
ظیحه سد رساشح سبؿ ِجػبحه یاشث ِیسَف حٍشسَسسٍا یبّ
سد
ًِاَشػا ربلشخه ُبگشػد
ِث یا
َك یه شیص رس ذؿبث
[ 28 :]
( 1 )
11 12 13
21 22 23
31 32 33
r 1
z
T
q k k k r
q k k k T
q k k k r
T z
ِغثاس يیا سد ِو ،یسساشح سبؿ q
kij
رساشح لبمشًا تیشض
ٍ یشیاذّ
یشیاذّ رساشح لبمشًا تیاشض یهبوس ِشجلا .زػبهد T
یفشؼه [ذٌشؼیً شگیذىی صا لمشؼه ِغثاس يیا سد ُذؿ 29
، 30 .]
ِث سَظٌه لبمشًا یػسشث سد رساشح
داَه يیا
، ربلشخه نشؼیػ ٍد
1. Orthotropic
،یػشف ربلشخه نشؼیػ ٍ یلكا ربلشخه نشؼیػ ،رٍبفشه [ددشگ فیشؼس یشؼیبث 31
يیا به ِث یػشف ربلشخه نشؼیػ .]
ٍ زثبث ربْخ سد اس یسساشح فاَخ بس داد ذّاَخ اس ىبىها ربلشخه ُبگشػد یفشع صا .نیٌو یػسشث دشف ِث شلحٌه یلكا
یه لا ِث ِیلا ذًاَس ِث ِشؼثاٍ ِیلاشّ سد ىآ زْخ ٍ ذٌو شییغس ِی
زْخ يیاشثبٌث .دَث ذّاَخ فبیلا یشیگ
،
ُبگشػد ربلشخه یبّ
یه زیصَذهبو صا ِیلا شّ سد یلكا ٍ یػشف
ِیٍاص فاشحًا ذًٌاَس یا
ِث ُصاذًا
i
لىؿ .ذٌؿبث ِشؿاد 1
هس زیٌیول هی ِػذٌّ
ِیلا
ىبـً اس یشیصَذهبو یه
ِیٍاص .ذّد
ِث ظخ يیث ِیٍاص رسَك
( فبیلا زْخ سد ُشیاد شث عبوه سد ُشیاد شث عبوه ظخ ٍ )L
زْخ ( یه فیشؼس )t یطشًا یبمث ىًَبل صا ُدبفشػا بث .دَؿ
ىبولا هی سد
ًِاَشػا ُبگشػد یٍس ؾخشچ سَؼًبس لبوػا ٍ یا
زیٌیول هی سد یلو رساشح لبمشًا ِلدبؼه ،یلكا ربلشخه ا یشیصَذهبو
ًِاَشػ
ِث یػشف ربلشخه تؼح شث یا شیص رسَك
دَث ذّاَخ [
22 - 25 :]
( 2 )
22
2
2 2
11 22 2 2
2
2 2
22 2
2
11 22
1 ( )
( cos ( ) sin ( )) 1
(sin ( ) cos ( )) sin(2 )( )1
p
T T
c k r
t r r r
k k T
r k T
z k k T
r z
ِو ا سد ی ي
ِغثاس k11
ٍ k22
اشض ی ت اذّ رساشح لبمشًا ی
ش سد ی
ِث یلكا ربْخ دَوػ یبشػاس ٍ فبیلا یبشػاس بث شظبٌشه تیسشس
یه فبیلا شث يیٌچوّ .ذٌؿبث
ٍ cp
ٍ یلبگچشگًبیبوً تیسشس ِث
یه زثبث سبـف سد ُظیٍ ییبهشگ زیفشظ .ذٌؿبث
ِىٌیا ِث ِخَس بث
سد بیبد ٍ یذؼثٍد رساشح لبمشًا ثحث ِث شضبح ِلبمه سد ربْخ
r ( ِلدبؼه ،زخادشد نیّاَخ 2
ِث )
ُدبػ شیص لىؿ یصبػ
[ذیدشگ ذّاَخ 25
:]
( 3 )
2 2
2 2 2 2
1 1
0
i
T T T
r r
r r
( 4
)
cos
2 11 22
sin
2 22 ii i
k
k k
( ِلدبؼه سد ِو زؿاد ِخَس یشؼیبث 3
تیشض ،) صا یؼثبس
ِیلا شّ سد فبیلا یشیگساشل ِیٍاص شث ٍُلاػ يیاشثبٌث ؛زػا
ُذیچید شس ىدَوً
ِغثاس ( 3 لبمشًا ِلدبؼه بس ذیدشگ ذّاَخ ثػبث ،)
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
ِغثاس یساشلشث یاشث ِدیشًسد .ذیبوً شییغس ِیلا ِث ِیلا رساشح
ِیلا يیث
ٍ بهد یگشػَید رلادبؼه لبوػا ،فلشخه یبّ
یگشػَید
شح سبؿ
ِث یسٍشض ِیلا ٍد يیث صشه سد رسا یه شظً
ِچًبٌچ .ذػس
rri
سٍبده ِیلا ٍد يیث صشه ٍ i
1 i
لىؿ( ذؿبث 1
،)
َثشه ظثاٍس
ِث رساشح سبؿ ٍ بهد یگشػَید ِث ط شیص رسَك
:دَث ذٌّاَخ ( 5
)( )i i, (i1 ) i, T r T r
( 6
i T( )i
ri, i 1 T(i1 )
ri, )k k
r r
یلو سد یصشه ظیاشؿ شضبح ِلبمه سد )یغخ( زلبح يیشس
ثسبو سد ِو زػا ُذؿ ِشفشگ شظًسد يىوه دش
ىَگبًَگ یبّ
یه لىؿ ِث ذًاَس لهبؿ یسساشح یصشه ظیاشؿ فلشخه یبّ
ثبخ ،زیاذّ
ِ ىآ تیوشس بی ٍ غـؼـس ،ییبخ بّ
لىؿ .دَؿ ُدبػ
ِث یػبؼؿ زْخ سد یصشه ظیاشؿ یلو [زػا شیص رسَك
27 :]
( 7
0 )
1 0 1 0
( , )
( , ) T r ( )
a T r b f
r
( 8
2 2 )
( , )
( , ) l ( )
l l
n
n n
a T r b T r f
r
ِو
1( ) f ٍ
2( ) f یه .ذٌؿبث یّاَخلد غثبس شّ ذًٌاَس تیاشض
a1
ٍ
a2
ثبخ رساشح لبمشًا تیشض ِثبـه یدبؼثا
ِ یٌؼی( ییبخ
W m K2
ٍ ) تیاشض b1
ٍ b2
لبمشًا تیشض ِثبـه یدبؼثا
یٌؼی( یشیاذّ رساشح .ذًساد )W mK
3 - یلک یزرم طیارش تحت یلیلحت لح
زوؼل يیا سد
، یبهد غیصَس یاشث كیلد یلیلحس لح هی
زیٌیول سد ىسبمشهبً
ًِاَشػا یبّ
ُذیدشگ ِئاسا یشیصَذهبو یا
یطشًا ِلدبؼه .زػا (
س ِغثا 1 )
ِئاسا یلجل ؾخث سد ُذؿ ی
ه
د ِلدبؼه ی ؼًاشف ی ل ئضخ ربمشـه بث ی
ِجسشه
ٍد سد ِو زػا سبو
ؽٍس صا شضبح ُدبفشػا ىآ لح یاشث بّشیغشه یصبػاذخ یلیلحس
سَظٌه يیا یاشث .زػا ُذؿ
ِث بهد غیصَس ، لكبح رسَك
ٍد ةشض
لمشؼه غثبس ( )
ٍ R r
ف لبمشًا ِلدبؼه ٍ ُذؿ مش
ِث رساشح یه یصبػاذخ شیص ِلدبؼه ٍد رسَك
:دَؿ
( 9
2 2 )
n 0 r FrF F
( 10
2 2 )
n 0 G G
ؼه ُظیٍ شیدبمه ئ
،ِل
n
زْخ سد یصشه ظیاشؿ لبوػا صا ،بّ
یػبؼؿ یه جاشخشػا
( ِلدبؼه یلو ةاَخ .ذًدشگ 10
ِث ) رسَك
یه شیص :ذؿبث (
11
Ancos
n
Bnsin
n
)
ؼه یَملح ِػذٌّ ِث ِخَس بث ئ
ِل يگوّ یصشه ظیاشؿ ٍ
رساشح سبؿ ٍ بهد یگشػَید :نیساد
( 12
0 2
0 2 ) G G ( 13
0
2
0
2 )G G
( ِلدبؼه لح صا 11
)،
سد بث یفشؼه یصشه ظیاشؿ يشفشگ شظً
ُذؿ
ظػَس س اٍ
( ظث 8 )
ٍ ( 9 ) ؼه ُظیٍ شیدبمه ، ئ
ث ِل
ِ زػد :ذهآ ذٌّاَخ
( 14 ) , 0,1,2,...
n
n n
( ِلدبؼه 9 یه یبخ یشلیٍا رلادبؼه ِشػد سد ) ِو دشیگ
یه شیص یهَوػ ةاَخ یاساد :ذٌؿبث
( 15
)1
23 4
0
ln 0
n n
C r C r n
R r C r C n
یذؼثٍد یبهد غیصَس ًبشیبًْ
ِیلا صا هی شّ سد بّ
ِث رسَك
لكبح ةشض
ٍد غثبس لمشؼه ( )
ٍ R r
قخـه ذّاَخ ؿ :ذ
( 16 )
0 0
0
1 1
0 0
1
2 2
0 0
( , ) ( ) ( ) ln( )
( ( ) ( ) ) cos( )
( ( ) ( ) ) sin( )
i i
i i
i i
i
n n
i i
n n
n
n n
i i
n n
T r R r a r b
r
r r
a b n
r r
r r
a b n
r r
( ِلدبؼه سد 16
) ، غیًَشیص غیًَلابث ٍ بّ
i یبّ
شگًبـً
لَْده زثاَث ٍ ُدَث ِیلا شّ ُسبوؿ
i
a0
i ،
b0
i ،
an
i ،
bn
،
i
cn
i ٍ
dn
تیاشض ،مشفك ِلوخ( ِیسَف یشػ تیاشض
یه )یػٌَیػ تیاشض ٍ یػٌَیؼو
ِث .ذٌؿبث يییؼس سَظٌه
لَْده تیاشض
، یػبؼؿ زْخ سد یلو یغخ یصشه ظیاشؿ صا
لادبؼه(
ر 7 ٍ 8 ) صشه سد رساشح سبؿ ٍ بهد یگشػَید يیٌچوّ ٍ
ِیلا يیث لادبؼه( بّ
ر 5 ٍ 6 .دَوً نیّاَخ ُدبفشػا )
- ِلدبؼه( ًِاَشػا لخاد یصشه طشؿ لبوػا 7
:)
( 17 )
1 (1)
1
0 0 1 0
0
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 0 0
1 1 1 1 1 1
1 2 1 2 2 2
0 0
( ) cos
( ) sin
n n n n
n
n n n n
f b a a b
r
b b
a a a b a b n
r r
b b
a a a b a b n
r r
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
- ِلدبؼه( ًِاَشػا جسبخ یصشه طشؿ لبوػا 8
:)
( 18 )
( ) 1
1 0 1 0
0 0
1 1 1 1
0 0
1
1 1
1
0 0
1 1
1
0 0
1 2 1 2
0 0
1 0
( ) ( ln( ) )
( ( ) ( )
( )
( ) ) cos
( ( ) ( )
(
l l
l
nl l nl l
nl l
l
nl l
l
nl l nl l
l
n n
nl n
nl
n n
n n
nl nl
n n
n
n nl n
n n
n nl n
n n
n n
n n
nl nl
n n
nl n
r b
f a a a b
r r r
r r
a a a b
r r
b n r r r a
b n r
b n
r r
r r
a a a b
r r
b n r r
1 2 0
1 1
2
0 0
)
( ) )sin
nl l
nl l
l
n n n n nl n
n n
r a
b n r
b n
r r
- ِیلا ٍد يیث صشه سد بهد یگشػَید طشؿ لبوػا ٍ i
1 i
ِلدبؼه(
5 :)
1
1
( ) 1 ( 1)
0 0 0 0
0 0
1
1 1 1
0 0 0
1
1
1 2 2
0 0 0
0 ln( ) ln( )
(( ) ( ) ( )
( ) ) cos( ) (( ) ( )
i i i
i i i
i i i i
i i
n n n
i i i
i i i
n n n
n
n n n
i i i
i i i
n n n
r r
a b a b
r r
r r r
a b a
r r r
r r r
b n a b
r r r
( 19
)1 1 1 1
2 2
0 0
( ) i ( ) i )sin
n n
i i
i i
n n
r r
a b n
r r
- ِیلا ٍد يیث صشه سد رساشح سبؿ یگشػَید طشؿ لبوػا ٍ i
1 i
( ِلدبؼه 6 :)
1
1
1 1
0 0
1 1
1 1
0 0
1
1 1 1
1
1 0
1 1 1
1
1 0
0
( ( ) ( )
( )
( ) ) cos
i i
i
i
i i
i i
i i
n n
i i i i i i
n n
i i
n
n
i i i
n i
n
i i i
n i
k k
a a
r r
r r
n n
k a k b
r r
r
k n a
r r
k n b n
r
( 20 )
1
1 1
2 2
0 0
1 1 1
2
1 0
( ( ) ( )
( )
i i
i
n n
i i i i i i
n n
i i
n
i i i
n i
r r
n n
k a k b
r r
r
k n a
r
1 1 1 2 1
1 0
( ) i )sin
n
i i i
n i
n r
k b n
r
لبح
، بث ٍ ِیسَف یشػ تیاشض یاشث دَخَه ظثاٍس صا ُدبفشػا
تسشه ( ظثاٍس ىدَوً
17 ( بس ) 20 شث ) ،مشفك رلاوخ تؼح
زوػ سد ُذؿ ُداد ىبـً غثاَس ِث طَثشه یػٌَیػ ٍ یػٌَیؼو غثاَس( رلادبؼه صا هی شّ خچ
1( ) f ٍ
2( ) f زثبث غثبس ٍ
)شفك
، ث لَْده زثاَث
ِ سد بث .ذهآ ذٌّاَخ زػد يشفشگ شظً
( ِلدبؼه 17 :نیساد )
( 21
1 (1) 0 )
1
0 1 0 0
0
b a a b F
r
( 22
1 1 0 )
1 1
1 1 1 1 1
0 0
( b ) n ( b ) n n
a a a b F
r r
( 23
1 1 0 )
1 1
1 2 1 2 2
0 0
( b ) n ( b ) n n
a a a b F
r r
( ِلدبؼه صا ِثبـه سَع ِث 18
یه ِدیشً يیٌچ ) :ِو دَؿ
( 24
( ) )
1
1 0 1 0 0
0 0
( ln( nl) ) nl nl nl
nl
r b
a a a b F
r r r
( 25 )
1 1
1 1
0 0 0
1 1
1 1 1
0 0 0
( ( ) ( ) )
( ( ) ( ) )
nl nl l
l
nl nl l l
l
n n
nl nl n
n n
n n
n n
nl nl
n n
n
r b n r
a a
r r r
r b n r
a b F
r r r
( 26 )
1
1
1 2
0 0 0
1 1
1 2 2
0 0 0
( ( ) ( ) )
( ( ) ( ) )
nl nl l
l
nl nl l l
l
n n
nl nl n
n n
n n
n n
nl nl
n n
n
r b n r
a a
r r r
r b n r
a b F
r r r
ِث ِخَس بث
ُداد ربحیضَس ىبیبوً غثاَس ،ُذؿ
زوػ سد ُذؿ
( رلادبؼه زػاس 21
) ( بس 26 یه لكبح شیص ظثاٍس صا ) :ذًَؿ
( 27
)2
0j 1 2 0 j , 0, l
F
f d j n( 28
)
2
1jn 1 0 j cos , 0, l
F
f n d j n( 29
)
2
1jn 1 0 j sin , 0, l
F
f n d j n[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
