لماک یشهوژپ هلاقم رد خیرات ی تفا 21 / 22 / 12
ذپ خیرات ی شز 5 / 2 / 11
هئارا رد اس ی ت 03 / 6 /
11 15-21صص1 هرامش20هرود ،2011 رذآ
یعضو کیمانید لیلحت -
شور هب تاتسوریژ هراوهام کانبوشآ یرادم
فناپایل یامن و یچیر دلفینم هسدنه
یحطبا یدهم دیس
، 1
یتاداس نیسح دیس
2
هیرلااس نسح ،* 3
1 - ُاگكًاز ،هیًاىه یؾسٌْه یطتوز یَدكًاز ىاطْت ،یؾَع يیسلا طیصً ِخاَذ یتؼٌص
2 - ضایزاتؾا
ُاگكًاز ،هیًاىه یؾسٌْه
،یؾَع يیسلا طیصً ِخاَذ یتؼٌص ىاطْت
3 -
ُاگكًاز ،هیًاىه یؾسٌْه ضایزاتؾا
،فیطق یتؼٌص ىاطْت
* ،ىاطْت یتؿپسو 19919 - 43344 ، sadati@kntu.ac.ir
هدیکچ - ،ِلامه يیا ضز طیثأت
ناٌتَقآ هیهاٌیز ضز یضاسه توطح یًاضٍز
تحت ُضَحه ِؾ تاتؾٍطیغ ُضاَّاه طثا
ِتشاخ ىایزاطگ ضٍاتكگ یؾضطت
.تؾا ُسق توطح ضز تاتؾٍطیغ ُضاَّاه یضایض لسه
یؼضٍ
- یضاسه جاطرتؾا ىَتلیوّ ـٍض ِت سق
ت . ِ توطح ُسق ِلپَو تلازاؼه یگسیچیپ لیلز
یؼضٍ
- یضاسه ِثتطه فّاو ، ؾ یضایض لسه
تطؾ تاصتره ظؾَت تیطپز ِتفای ِؼؾَت لیسثت ظا ُزافتؾا ات نتؿی -
یاّطتهاضاپ یاطت طیٍسًآ یؼضٍ
-
یضاسه .تفطگ مادًا فرت ،لیسثت ظا ؽپ
ِت طَتطه ت ِتشاخ ىایزاطگ یاّضٍاتكگ ٍ یضاسه توطح ِ
تضَص مطت یاّ
قاكتغا ی يیًَتلیوّ ِلزاؼه ضز
سق طّاظ سً
. ؽپؾ
ٌّ ؼاؾا طت یچیض ءاٌحًا ضایؼه یه نتؿیؾ یقاكتغا تلازاؼه ضز بَقآ لیلحت ِت یًاویض یاّسلفیٌه ِؾس
لصاح حیاتً .زظازطپ
ٍ تفگق بشاخ ،فًاپایل یاوً طیزامه ضاٌو ضز یچیض ءاٌحًا ظا زاسذض
یه تاثثا نتؿیؾ ضز اض بَقآ ـٍض يیٌچوّ .سیاوً
اّ
ی یزسػ غعامه سًٌاه
دؾاپ ٍ یظاف ِحفص یاّطیؿه ،ُضاىًاَپ
ًاهظ یطؾ یاّ
،ی یچیض ءاٌحًا ـٍض حیاتً ٍ هیٌیلوٍطتیّ یگذاقٍز ت اض
یأ یه سی سٌو .
دیلک :ناگژاو
ُضاَّاه ،بَقآ
.فًاپایل یاوً ،یچیض ءاٌحًا ،یًاویض سلفیٌه ،تاتؾٍطیغ
Chaotic dynamics of spin-orbit motion in a gyrostat satellite using ricci method
S. M. Abtahi1, S. H. Sadati2*, H. Salarieh3
1- PhD. Student, Mech. Eng., K. N. Toosi Univ. of Tech., Tehran, Iran 2- Assist. Prof., Mech. Eng., K. N. Toosi Univ. of Tech., Tehran, Iran 3- Assist. Prof., Mech. Eng., Sharif Univ. of Tech., Tehran, Iran
* P.O.B. 43344-19919 Tehran, Iran. sadati@kntu.ac.ir
Abstract- Chaotic dynamics of spin-orbit motion of a triaxial gyrostat satellite under the gravity gradient perturbations is considered. The Hamiltonian approach is used for modeling of the coupled spin-orbit equations of motion. The complex Hamiltonian of the system is reduced via the extended Deprit canonical transformation. This reduction yields to the derivation of the perturbation form of the Hamiltonian which can be used in the Ricci curvature criterion based on the Riemannian manifold geometry for the analysis of chaos. The results obtained from Ricci method as well as the values from the Lyapunov exponent demonstrate the presence of a strange attractor and chaos phenomenon in the perturbed system. The simulation results based on the numerical methods such as Poincare' section, trajectories of phase portrait, and time series responses confirm the heteroclinic bifurcation and chaos in the system.
Keywords: Chaos, Gyrostat Satellite, Riemannian Manifold, Ricci Curvature, Lyapunov Exponent.
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
1 - همدقم
اَّاه خطچ زَخٍ ات تاتؾٍطیغ ُض ؽىػ یاّ
یلوؼلا ،ظاؾضاسیاپ1
تیضَهاه ضز ؼاؿح یاّ
زضَه
ُزافتؾا ضاطل یه زطیگ زاسذض .
بَقآ ُسیسپ یت ةخَه تاتؾٍطیغ ُضاَّاه ضز 2
ضز یوظً
دؾاپ
ّ یا ِت طَتطه نتؿیؾ
ُضاَّاه یه ق
َ لیلحت يیاطتاٌت .ز
ُضاَّاه ناٌتَقآ یغذ طیغ هیهاٌیز فیپ ضز تاتؾٍطیغ
ٍ یٌیت
یضٍطض بَقآ ظا یطیگَلخ تؾا
ادًآ ظا . ُضاَّاه نتؿیؾ ِو
یه یًَتلیوّ هیهاٌیز یاضاز تاتؾٍطیغ ،سقات
طیثأت یاّضٍاتكگ
یه یقاكتغا نتؿیؾ ىسق ناٌتَقآ ِت طدٌه سًاَت
ق
َ ز ظا .
ِلوخ طیثأت قاكتغا تا یلاوػا ی
یه ُضاَّاه طت ِفاضا ِت ىاَت
یضاسه توطح ىزطو ُضاَّاه یًاضٍز یغذ طیغ هیهاٌیز ِت
یه ِو زطو ُضاقا تاتؾٍطیغ اض نتؿیؾ ضز بَقآ لاوتحا سًاَت
سّز فیاعفا [
1 - 7 ] .
ت یًاضٍز توطح ضز اٌْت تاتؾٍطیغ ُضاَّاه نتؿیؾ ِ
لیلز
ؽىػ خطچ یاّظاؾ ضاسیاپ زَخٍ
یىیًاىه ضاتذاؾ ضز یلوؼلا ،ـا
ُسیچیپ هیهاٌیز ظا ضز .تؾا ضازضَذطت یا
ىزَوً ِفاضا تضَص
تلازاؼه ،ُضاَّاه یًاضٍز هیهاٌیز ِت یضاسه توطح هیهاٌیز
ُسیچیپ ضایؿت نتؿیؾ توطح ِت یضایض لسه لیلحت ٍ ُسق طت
لىكه ةتاطه طت
یه زَق ـٍض ظا ُزافتؾا يیاطتاٌت . فّاو یاّ
ِثتطه لسه یٍض یضایض عیلاًآ مادًا یاطت نتؿیؾ تلازاؼه3
ت یضٍطض ِ
یه طظً
.سؾض یاطت یًًَاو لیسثت ظا ضَظٌه يیا
تیطپز ُزافتؾا4
یه زَق
ًلاثل ِو هیهاٌیز یاطت
یًاضٍز یاّ
یلامتًا هیهاٌیز یاطت ادٌیا ضز ٍ زَت ُسق ُزافتؾا -
یًاضٍز
5
ُزاز ِؼؾَت یه
زَق [ 8 .]
لاؾ ضز فٍّػپ ،طیذا یاّ
یؾضطت ضز یزسؼته یاّ
ُسق مادًا یًاضٍز توطح ضز اٌْت ُضاَّاه ناٌتَقآ هیهاٌیز یؾضطت ِت اًْآ ظا هی چیّ ضز اها .تؾا طیثأت
یضاسه توطح تا
تلاامه يیا ضز .تؾا ُسكً ِتذازطپ ُضاَّاه یتَقآ هیهاٌیز طت ًاتسوػ ،ُضاَّاه یًَتلیوّ نتؿیؾ ضز بَقآ ُسیسپ لیلحت یاطت ز یضایض ـٍض ظا فىیٌله لاطگتًا كیل
ـٍض ضاٌو ضز6
یاّ
فًاپایل یاوً سًٌاه یزسػ یاّطیؿه ٍ ُضاىًاَپ غعامه یؾضطت ،7
فىیٌله ـٍض یطیگضاىت ىایه يیا ضز .تؾا ُسق ُزافتؾا یظاف
1. Reaction Wheels 2. Chaos
3. Reduction
4. Deprit Canonical Transformation 5. Spin-Orbit Motion
6. Melnikov Method 7. Lyapunov Exponents
تاضاسه كیلز لح سٌهظایً ناٌتَقآ هیهاٌیز لیلحت ضز هیٌیلوٍطتیّ
ضز تاتؾٍطیغ ُضاَّاه ُسیچیپ لسه یاطت ِو تؾا8
توطح یؼضٍ
- یضاسه یضاَقز ضاو سقا
[ 9 - 14 ] لیلحت هوو ات .
یه یچیض ـٍض ِت بَقآ ـٍض .زَوً فطعطت اض لىكه يیا ىاَت
یچیض ءاٌحًا یًاویض یاّسلفیٌه ِؾسٌّ ؼاؾا طت9
لیلحت ِت10
نتؿیؾ ضز بَقآ یضایض اّ
یًَتلیوّ ی یه
.زظازطپ
یچیض یلیلحت ـٍض ضز ،
یاضف ظا لیسثت هی یظاف
تاضاسه كیلز لح ِت ظایً ىٍست یؾسٌّ یاضف ِت یىیهاٌیز نتؿیؾ یه ُزافتؾا ضاسه ٍز ،لیسثت يیا ظا ُزافتؾا ات .زَق
ات نتؿیؾ یظاف تلاح یىیهاٌیز یاضف ضز نّ ِت هیزعً
هیظزَئغ اّ11
كثغٌه یؾسٌّ ظیحه ضز یًاویض سلفیٌه یٍض یی
یه نتؿیؾ ضز ،يیاطتاٌت .سًَق ،ناٌتَقآ یاّ
یگسیكو ٍ12
ی گزضَذات هیظزَئغ 13
ءاٌحًا ظؾَت یؾسٌّ یاضف ضز اّ
سلفیٌه طیؿفت لتال یًاویض یاّ
یه زَق ات ،ضَظٌه يیا یاطت .
یچیض طلاىؾا ماٌت یطتهاضاپ فیطؼت یاوً طیزامه ات ِؿیامه ضز14
یه فًاپایل تاثثا ٍ یؾضطت اض نتؿیؾ ضز بَقآ زَخٍ ىاَت
زطو
[ 15 - 20 .]
توطح ،ِلامه يیا ضز یؼضٍ
- یضاسه ِؾ تاتؾٍطیغ ُضاَّاه
خطچ زسػ ِؾ ُاطوّ ِت ةلص یلصا ًِست لهاق ُضَحه ؽىػ لسه ىَتلیوّ ـٍض ِت یلوؼلا یظاؾ
سق ِت ِخَت ات .
ات نتؿیؾ تلازاؼه ِثتطه فّاو ،نتؿیؾ تلازاؼه یگسیچیپ سیسخ یاّطیغته ظؾَت تیطپز ِتفای ِؼؾَت لیسثت ظا ُزافتؾا تطؾ - ط یٍسًآ توطح ضز 15
یؼضٍ
- اسه یض .تفطگ مادًا
ُاض ،یقاكتغا تضَص ِت نتؿیؾ يیًَتلیوّ تلازاؼه جاطرتؾا ضز بَقآ یؾضطت ضز یچیض یلیلحت ـٍض ظا ُزافتؾا یاطت اض یه ضاَوّ ُضاَّاه نتؿیؾ طَتطه یفٌه طیزامه .زظاؾ
ِت طلاىؾا
ضز ناٌتَقآ ضاتفض ،فًاپایل یاوً تثثه طیزامه ضاٌو ضز یچیض تاثثا اض نتؿیؾ یه
ٌو حیاتً ضاثتػا یؾضطت ضَظٌه ِت يیٌچوّ .س
تؾز ِت آ ـٍض ،یچیض یلیلحت ـٍض ظا ُسه ىَچوّ یزسػ یاّ
دؾاپ ٍ یظاف ِحفص یاّطیؿه ،ُضاىًاَپ غعامه یؾضطت یاّ
ِیثق ظا لصاح یًاهظ یطؾ ه نتؿیؾ یزسػ یظاؾ
ؤ بَقآ سی
یه نتؿیؾ ضز .سٌقات
8. Heteroclinic Orbits 9. Ricci Curvature Method
10. Riemannian Manifold Geometry 11. Geodesic
12. Stretching 13. Folding 14. Ricci Scalar
15. Serret-Andoyer Variables
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
2 - متسیس یضایر لدم ست لهاق تاتؾٍطیغ ُضاَّاه ضاتذاؾ ِؾ ُاطوّ ِت ةلص یلصا ًِ
ؽىػ خطچ خطچ .تؾا یلوؼلا
ؽىػ یاّ
ییاّضَتض ،یلوؼلا
ِو سٌتؿّ
نتؿیؾ ضز ِتؿت ضاسه یاّ
ظاؾضاسیاپ ىاٌَػ ِت
یه ُزافتؾا یلطتٌو
َق ضَحه یاتؾاض ضز اّضَتض ىزاز ضاطل ات .سً
ُضاَّاه لو یؾطٌیا ىاوه ضَؿًات ،تاتؾٍطیغ ُضاَّاه یلصا یطغل یه زَق .
لسه ضز ُسق ِلپَو هیهاٌیز یظاؾ یؼضٍ
- یضاسه ضز
سهاؼته تاصتره ُاگتؾز ِؾ ،ُضَحه ِؾ تاتؾٍطیغ ُضاَّاه لىق كتاغه 1
یؾطٌیا تاصتره ُاگتؾز ضز .تؾا ُسق ُزافتؾا
{ I, I, I} I X Y Z عوطه ،
ُاگتؾز كثغٌه يیهظ مطخ عوطه طت
ُزَت ضَحه ٍ XI
یضاْت لاستػا ضَحه ظا یه1
ُاگتؾز .زضصگ
یضاسه تاصتره { O, O, O}
O X Y Z
ِىی یاّضازطت ات
ˆ ˆ ˆ I,J,K
ِو
تاتؾٍطیغ ُضاَّاه مطخ عوطه طت ىآ عوطه ،تؾا غلاٍ
ضَحه XO
ه تثثه یاتؾاض ضز ضاسه ِحفص طت زَوػ
َ
ِیٍاظ نتٌه توطح یا
ضَحه ،یضاسه YO
ضَحه ٍ یضاسه توطح یاتؾاض طت ؼاوه ZO
يیهظ مطخ عوطه ٍ ُضاَّاه مطخ عوطه لصاٍ ظذ تْخ ضز
2
یه یًست تاصتره ُاگتؾز .سقات { B, B, B}
B X Y Z ِت لصته
ِىی یاّضازطت ات ُضاَّاه
ˆ ˆ ˆi,j,k
تذاٌق
ِ یه زَق ضز ىآ عوطه ِو
تاتؾٍطیغ ُضاَّاه مطخ عوطه زضاز ضاطل
ىآ سهاؼته یاّضَحه ٍ
تاتؾٍطیغ ُضاَّاه یلصا یاّضَحه طت كثغٌه یه
.سقات
طلٍا یایاٍظ ظؾَت ُضاَّاه یؼضٍ هیهاٌیز
, , ات
طت تْخ يیثه ِو ُسق ىایت هیؾلاو ةیت
ِیٍاظ یطیگ يیت یا
ُاگتؾز یضاسه هیهاٌیز .تؾا یًست ٍ یضاسه تاصتره یاّ
ىایزاطگ یقاكتغا یاّضٍاتكگ تحت یٍطیاز ضاسه ضز عیً ُضاَّاه یه مادًا يیهظ ِتشاخ
َق
،یضاسه توطح ضز .ز RO
يیت ِلصاف
ٍ يیهظ ٍ ُضاَّاه مطخ عوطه
O
لَح ُضاَّاه یا ِیٍاظ تػطؾ
ِغتاض تحت يیهظ d / d
O O t
ىآ ضز ِو تؾا
O
زاؼه ل
یه فیطؼت عوطه ظا جضاذ یلاهًَآ لىق ضز ِو زَق
1 فیاوً
تؾا ُسق ُزاز [
21 .]
لسه يیا ضز یولاْتؾا لهاَػ ظا ،یظاؾ
سًٌاه طیثأت یىیهاٌیزٍطیآ تا
ُطیغ ٍ طت نتؿیؾ یٍض ُضاَّاه
غ ی تاتؾٍط فطص طظً
تؾا ُسق .
ُضاَّاه یىیتاوٌیؾ لسه ،ُسق مادًا تایضطف ِت ِخَت ات ( تلازاؼه تضَص ِت تاتؾٍطیغ 1
- 3 یه تؾز ِت ) .سیآ
1. Vernal Equinox 2. Nadir
لکض
ُاگتؾز1 توطح تاصتره یاّ
یؼضٍ
- یضاسه ُضاَّاه
( 1 ) cos cos sin
x
( 2 )
sin cos cos
y
( 3 )
z sin
ِو ىآ ضز ِو
x
،
y
ٍ
z
ِیٍاظ تػطؾ یلصا ًِست یا
توطح هیتٌیؾ .تؾا یًست ُاگتؾز ضز ُضاَّاه یؼضٍ
- یضاسه
ؾا ات تاتؾٍطیغ ُضاَّاه ىَتلیوّ ـٍض ظا ُزافت
جاطرتؾا
یه ( يیػًاطگلا استتا ،ضَظٌه يیست .زَق نتؿیؾ )L
تضَص ِت
سق ِتقًَ لیؿًاتپ ٍ یكثٌخ یغطًا لضافت
ُ یكثٌخ یغطًا .
تؾٍطیغ ُضاَّاه یؼضٍ توطح ضز تا
- مطت لهاق یًاضٍز یاّ
یًاضٍز ٍ یلامتًا تضَص ِت
( ِلزاؼه 4 ) یه .سقات
( 4
Translation Rotation ) T T T
یكثٌخ یغطًا ِو
ُضاَّاه یضاسه توطح ت
ِ ِغتاض تضَص
( 5 یه ) سقات .
( 5 )
GB Gi
3
2 2
Translation
1
1 1
2 B i 2 g
T m V m V
ِو
mB
،ُضاَّاه یلصا ًِست مطخ
mg
ظا هی طّ مطخ
خطچ ؽىػ یاّ
،تؾا یلوؼلا
GB G T
V =V +(ω ×ρ)
ٍ
Gi G T i
V =V +(ω ×ρ )
ت ِ ةیتطت یلصا ًِست مطخ عوطه تػطؾ
ٍ ُضاَّاه كلغه تػطؾ
مطخ عوطه خطچ ظا هی طّ
یاّ
ؽىػ
ِو تؾا یلوؼلا ىآ ضز
ًِست مطخ عوطه يیت ِلصاف
ُضاَّاه یلصا
GB
ُضاَّاه لو مطخ عوطه ات ،تؾا G
i
ِلصاف
طچ ظا هی طّ مطخ عوطه يیت خ
ؽىػ یاّ
یلوؼلا
Gi
ات ،G
يیٌچوّ
VG
تاتؾٍطیغ ُضاَّاه لو مطخ عوطه تػطؾ لهاق
خطچ ٍ یلصا ًِست ؽىػ یاّ
ات طتاطت ِو تؾا یلوؼلا
2 2 2 2
G O O O
V R R ُزَت
ٍ
T
ِیٍاظ تػطؾ ضازطت لو یا
مطت لهاق تاتؾٍطیغ ُضاَّاه
ِیٍاظ تػطؾ یاّ
ٍ یًاضٍز یا
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
ُضاَّاه یضاسه
ِفلَه یاضاز ِو تؾا یاّ
ت ی ِ تلازاؼه تضَص
( 6 - 8 ) یه سقات .
( 6 ) co
s s
xx x Oco
( 7 cos sin )
yy y O
( 8 )
zz z Osin
،قَف تایضطف كثع یلامتًا توطح ِت طَتطه یكثٌخ یغطًا
ت ُضاَّاه ِ تضَص ( ِلزاؼه 9 ) یه ُزاؾ زَق .
2 Translation
2 2
2 2
2
2
1 1
( ) {(
2 2
(
)
(2 ) ) (
)}
g
O O
s g
s O
xx yy zz p yy zz
B
xx zz xx yy
R m r
m
m m
T m R
I
(9)
ىآ ضز ِو ms
ُضاَّاه لو مطخ تضَص ِت
s B 3 g
m m m
،
2 2
P g / s
I m r m
ٍ خطچ طّ مطخ عوطه يیت ِلصاف r
ؽىػ
ُضاَّاه یلصا ًِست مطخ عوطه ات یلوؼلا تؾا
. یغطًا
نّ ُضاَّاه یًاضٍز یكثٌخ تضَص ِت
( ِغتاض 10 ) ِثؾاحه
یه زَق .
( 10 )
2 2
Rotation
2 2 2 2
1 ( 3 ) ( 3 )
2
( 3 ) 1 ( )
2
( )
x w xx y w yy
z w zz w x y z
w xx x yy y zz z
T I I I I
I I I
I
،ىآ ضز ِو Ix
، Iy
ٍ Iz
یؾطٌیا ىاوه ُضاَّاه ةلص ًِست
فهطخ عوطه ِت تثؿً
، IW
خطچ ظا هی طّ یؾطٌیا ىاوه یاّ
ؽىػ تؾا ىاكهطخ عوطه ِت تثؿً یلوؼلا ات ضَحه ِؾ طّ ضز ِو
ُسق ضطف یٍاؿه نّ
سًا Ωx ٍ
، Ωy Ωz ٍ تػطؾ
ِیٍاظ یاّ
یا
خطچ ؽىػ یاّ
ُضاَّاه یلصا ًِست ِت تثؿً یلوؼلا سٌتؿّ
ِو
تؾا یًست ُاگتؾز یاّضَحه طت كثغٌه اًْآ ىاضٍز ضَحه .
( ظتاٍض عَوده ات 9
( ٍ ) 10 توطح یكثٌخ یغطًا ،) یؼضٍ
-
یضاسه تاتؾٍطیغ ُضاَّاه تضَص ِت
( ِلزاؼه 11 ىایت ) یه .زَق
( 11 )
2 2 ' 2 ' 2
' 2
2 2
2 2
x y
z
1 1
2 2
1 (Ω Ω Ω ) ( Ω Ω
2 Ω )
s O O x xx y yy
z zz P yy zz xx zz xx yy
W x y z W xx yy
O
zz
T m R I I
I I
I R
I
' ِو
Ii
تضَص ِت ( ِلزاؼه
12 ) فیطؼت یه .زَق
( 12 )
2
' 3 g (2 ); , ,
i W g B
s i
I I I m r m m i x y z
m
ادًآ ظا ،یكثٌخ یغطًا ِلزاؼه ضز مطت ِثتطه ِو
یاّ
O 2 ٍ
O
مطت طیاؾ ِت تثؿً
اّ
هچَو ضایؿت ِلزاؼه يیاطتاٌت ،تؾا طت
( 11 ) ضز یگزاؾ ضَظٌه ِت لیلحت ٍ تاثؾاحه
تضَص ِت
یقاكتغا یه ِتقًَ
زَق ت ظات ضاسه تلاح ضز . ِ
ا اظ ی تتاث طیامه
تػطؾ
ِیٍاظ یاّ
خطچ یا ؽىػ یاّ
یلوؼلا
، یغطًا ِلزاؼه
یه یكثٌخ .زَق
( 13 )
2 0( i, i) O 1( i, i) O 2( i) T T q q T q q T q
ىآ ضز ِو qi
توطح ضز نتؿیؾ ِتفای نیوؼت تاصتره اّ
یؼضٍ
- یضاسه ِصتره حٌپ لهاق ِو تؾا یه
ِؾ ِو سقات
ِصتره
, , ِصتره ٍز ٍ یًاضٍز توطح یاطت
O,RO
عیً
ات یضاسه توطح یاطت
ِحفص ضطف ِتفطگ طظً ضز ضاسه ىزَت یا
ٍ تؾا ُسق ( ظتاٍض ىآ ضز
14 - 16 .سًضاطلطت )
( 14 )
T 0
2 2 2 2 2
2
x
1 I
2
1 1 1
(Ω Ω
2 2 2
Ω ) ( Ω Ω Ω )
x y z x y z
s O O s O W x y
z W x y y z z
T
m R m R I
I
T 1
T
x y z
1 [I]
2
Ω Ω Ω
x y z
W
T C C C S S
I C C C S S
( 15 )
( 16 )
2
T
1 I
T 2 C C C S S
C C C S S
اوت ٍ لاات تلازاؼه ضز ِو یه
طگیز تلازاؼه
(.) sin(.)
ٍ S
(.) cos(.)
ؽیطتاه يیٌچوّ ،C
تضَص ِت I ( 17 یه ىایت ) .زَق
( 17 ) I
x P P
P y P
P P z
I I I I I I
I I I
ُضاَّاه یكًاطگ لیؿًاتپ یغطًا يیٌچوّ
طظً ضز ىٍست
مطت يتفطگ يیهظ ِتشاخ ىایزاطگ ِت طَتطه یاّ
تضَص ِت ِغتاض
( 18 یه فیطؼت ) .زَق
( 18 )
g
s O
U GMm R
ىآ ضز ِو ٍ فًاطگ یًاْخ تتاثG
یه يیهظ مطخ M .سقات
یغطًا تلازاؼه ِت ِخَت ات تلازاؼه ضز لیؿًاتپ ٍ یكثٌخ یاّ
( 11 ( ٍ ) 18 ،) لسه جاطرتؾا ضَظٌه ِت ىیهاٌیز
ی نتؿیؾ كثع
ىَتلیوّ ـٍض
، نتؿیؾ يیػًاطگلا استتا
ِغتاض تحت
L T Ug
یه ِثؾاحه زَق
ؽپؾ . نتٌهَه اّ
ِتفای نیوؼت ی
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
ه طّ یاطت نتؿیؾ طیغت
ت ظتاٍض هوو ِ (
19 ) تؾز ِت یه .سٌیآ
( 19 )
, , ,
O , RO
O O
L L L
P P P
L L
P P
R
توطح ضز نتؿیؾ يیًَتلیوّ ًاتیاًْ
یؼضٍ
- یضاسه ِت
تضَص ( ِلزاؼه 20 ) جاطرتؾا یه .زَق
( 20 )
O O
O O R
H PP P P R P L
ِثؾاحه ات نتٌهَه
( ظتاٍض كثع ِتفای نیوؼت یاّ
19 ضاطل ٍ )
( ِغتاض ضز ىزاز 20
نتؿیؾ يیًَتلیوّ ،) تضَص ِت
( ِلزاؼه 21 )
یه ُزاؾ
َق ز [ 22 ].
20 O 1 O 2 g
H T T T U )21( تاصتره ُاگتؾز یلصا یاّضَحه ظا ُزافتؾا ات
1, 2, 3
ِو یطغل ِت طدٌه یظاؾ
( ؽیطتاه 20
یه ) زَق يیًَتلیوّ ،
نتؿیؾ تػطؾ ةؿح طت اّ
ِتفای نیوؼت ی سیسخ تاصتره ضز
ت ِ اظا ی
x y z c t e
تضَص ِت
( ِلزاؼه 22
)
یه ِثؾاحه .زَق
2
n 0 ( 0) 1 ( 0) 2
H H H H )22( ىآ ضز ِو :
2 2 2 2
0 1 1 2 2 3 3
2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 2
s O
s
s O O
O
H I I I m R
m R GMm
R
(23)
)24(
2 2 2 2 2
2 1 Θ Ψ 2 Θ Ψ 3 Θ
1 1 1
2 2 2
H I C C I C S I S )25(
ِو
1
،
2
ٍ
3
تػطؾ اّ
ِیٍاظ ی یاّضَحه یاتؾاض ضز یا
ؽیطتاه یلصا
ٍ تؾا I I1
، I2
ٍ I3
ىاوه اّ
یؾطٌیا ی لو
ُضاَّاه یلصا یاّضَحه ضز ؽیطتاه ُػیٍ طیزامه لزاؼه ِو سًا
یه I
سیسخ تاصتره ِت لیسثت ظا ؽپ يیٌچوّ .سٌقات سیسخ طلٍا یایاٍظ ِػَوده Φ,Θ,Ψ
یاّضَحه یاتؾاض ضز
یلصا نتؿیؾ ِیلٍا طلٍا یایاٍظ يیعگیاخ I
, ,
یه يیٌچوّ .سًَق نتٌهَه
اّ
ؼاؾا طت اض ِتفای نیوؼت ی
سیسخ یاّطیغته Φ,Θ,Ψ
( ِغتاض تحت 19
ُزطو ِثؾاحه )
،
تػطؾ لح ات ؽپؾ ةؿح طت ِتفای نیوؼت یاّ
نتٌهَه یاّ
( ِلزاؼه يیًَتلیوّ ،ِتفای نیوؼت 22
ةؿح طت اٌْت ) نتٌهَه
یاّ
یقاكتغا مطف ضز ِتفای نیوؼت ( ِلزاؼه
26 ) یه ُزاؾ زَق .
( 26 )
n up 1 p1 2 p2
H H H H ىآ ضز ِو
:سًضاطلطت طیظ ظتاٍض
( 27 )
2 2 2 2
Ψ 2 Ψ Ψ
up Θ
3 2 1
2 2 2
Ψ Ψ
Ψ
Θ 1 2
Ψ Θ Ψ Ψ
Θ 1 2
tan
t
2 2 2 2
Θ ( )
2 2
a 1
( )
n 1
Θ
RO
s
s O
P P C S
H P
I m I I
GMm P C S
R C P I I
P P P S C
C I I
( 28 )
2 2 2 2 2
p1 1 Θ Ψ 2 Θ Ψ 3 Θ
1 1 1
2 2 2
H I C C I C S I S
( 29
0
)2 2 2
p2 Ψ Θ Ψ Θ Ψ Ψ
2
2 4
1 2
H P P S P P S S P S P P
2
1 0
2 ٍ
2 1 /m Rs O
یقاكتغا یاّطتهاضاپ
نتؿیؾ سٌتؿّ
ٍ مطت یقاكتغا یاّ
Hp1
ٍ
Hp2
ِت طَتطه
یه ُضاَّاه یضاسه توطح يیاطتاٌت .سٌقات
طیثأت یضاسه توطح
ٍ ُزَت عیچاً یًاضٍز هیهاٌیز ِت تثؿً
تضَص ِت مطت
یاّ
ىایت یقاكتغا یه
َق .ز
ُزاؾ ماوت زَخٍ ات یظاؾ
ِغتاض ضز ُسق مادًا یاّ
،یقاكتغا تلازاؼه مطف ِت يتقًَ ٍ نتؿیؾ يیًَتلیوّ
هیهاٌیز ىاٌچوّ
یؼضٍ
- یضاسه یزایظ یگسیچیپ ظا لیلحت ضز
ت( یغطًا ِلزاؼه سًٌاه یتوطح تتاَث زَخٍ .تؾا ضازضَذطت ِ
ٍ )نتؿیؾ ىزَت ضاتؿیاپ لیلز نتٌهَه
ِیٍاظ ضز( نتؿیؾ لو یا
نتؿیؾ ظات ضاسه
ٍ ىٍست یزٍض یلطتٌو )،
ِثتطه فّاو یاطت اض ُاض
ُزاؾ یضایض لیلحت ضَظٌه ِت نتؿیؾ ضاَوّ طت
یه .زظاؾ
3 - متسیس تلاداعم هبترم صهاک
ِت ِخَت ات ( ِلزاؼه كثع نتؿیؾ يیًَتلیوّ ِلزاؼه
26 طیغته ،)
ِدیتً ضز ،ُسكً زضاٍ يیًَتلیوّ ِغتاض ضز حیطص ضَغت
یتٍاٌت طیغته هی
ٍ ُزَت نتؿیؾ1
P
توطح تتاَث ظا یىی
یه بَؿحه نتؿیؾ ِدیتً ضز .زَق
ِثتطه فّاو ىاىها
2
یًًَاو لیسثت ظا ُزافتؾا ات ِو زضاز زَخٍ نتؿیؾ يیًَتلیوّ
توطح یاطت ُسق ُزاز ِؼؾَت تیطپز یؼضٍ
- یضاسه مادًا
یه تطؾ یاّطیغته ،فّاو ـٍض يیا ضز .زطیگ -
ؼاؾا طت طیٍسًآ
یه فیطؼت یٍطو ثلثه ظتاٍض
َق یًًَاو لیسثت ظا ُزافتؾا ات .ز
غته ،ِتفای نیوؼت تیطپز لهاق نتؿیؾ یضاسه ٍ یًاضٍز یاّطی
یاّطیغته نیسل
Φ Θ Ψ
Φ, Θ, Ψ, , , , , , ,
O O
O RO P P P P PR
ِت
س یسخ یاّطیغته ِت ةیتطت
g l
, , , , , ,
O O
O rO Ph P P P Pr
1. Cyclic Coordinate 2. Reduction
1 1 Θ Ψ 1 2 Θ Ψ 2 3 Θ 3
H I C C I C S I S
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
, , h g l
ظتاٍض ظؾَت ( ِلزاؼه
30 ) لیسثت یه [ زَق 8 .]
( 30 )
Φ , Θ Ψ , Ψ ,
O O, RO O
P P P P S S P P
P P P P
تطؾ یاّطیغته -
ِت طَتطه طیٍسًآ ِؼؾَت یًًَاو لیسثت
ُاگتؾز ةیتطت ُاطوّ ِت تیطپز ِتفای ٍ یؾطٌیا ،یًست یاّ
لىق ضز یًاضٍز توطح یاطت تتاث یىوو ُاگتؾز 2
فیاوً
طت ِو لیسثت يیا ِت طَتطه تلازاؼه يیٌچوّ .تؾا ُسق ُزاز یٍطو ثلثه ضز زَخَه ظتاٍض ؼاؾا تؾز ِتABC
یه ،سٌیآ ِت
تضَص ( تلازاؼه 31
- 33 ) یه [ سٌقات 23 .]
( 31
)
cos Θ cos I cos J sin( )sin( )cos( )I J g
( 32 )
cos Ψ cos Φ cos
sin Φ sin( ) cos( )
l h g
h g I
( 33 )
cos Φ cos Ψ cos
sin(Ψ )sin( ) cos( )
h l g
l g J
ضز ِو ( ظتاٍض 31 - 33 یاّطتهاضاپ ،) ٍ I
تضَص ِت J ِلزاؼه
( 34 یه فیطؼت ) .زَق
( 34
)
cos h , cos l
g g
P P
I J
P P
( تلازاؼه یٌیعگیاخ ات 31
( ات ) 34 يیًَتلیوّ ِلزاؼه ضز )
( 26 نتؿیؾ ِتفای فّاو يیًَتلیوّ ،) تضَص ِت
( ِلزاؼه 35 )
یه ِثؾاحه .زَق
' ' ' '
n up 1 p1 2 p2
H H H H )35( ىآ ضز ِو
'
Hup
،
'
Hp1
ٍ
'
Hp2
تضَص ِت ( تلازاؼه
36 -
38 یه ِثؾاحه )
َق
ً .س
( 36 )
2 2
' l 2 2
up 3
2 2
1 2
1( )
2 2 2
rO s
g l
s O
l l
P GMm
H P P P
I m r
S C
I I
' 2 2 2 2 2
p1 3 3 I 3 3 1
2 2
2I 2J 1 2 1
2 2
1 1
[ ( )
2 2
( )(
]
)
J I J g
I J g I J l J
I g
H I I C C I S S C I I
S S I I S S C C S C I S I C S
(37)
( 38
)O
' 2 2 2
p2 λ 2 2
2 2
1 1
2 O J I 2 I J g l
l I J I g l I I j
H P P S S S C S C
P S S S S S S S S
ِتفای فّاو يیًَتلیوّ ؼاؾا طت توطح یًًَاو تلازاؼه ( تلازاؼه ظؾَت 39
یه تؾز ِت ) .سٌیآ
لکض 2 تطؾ یاّطیغته -
تیطپز ِتفای ِؼؾَت لیسثت ضز طیٍسًآ [
8 ]
' '
q gg
q n, P n N
q
H H
P q
)39( ِو ،ِتفای نیوؼت تاصتره اّq Pq
اّ
نتٌهَه اّ
نیوؼت ی
ٍ ِتفای Ngg
[ تؾا طیظ ِغتاض تحت ِتشاخ ىایزاطگ ضٍاتكگ 21
.]
2
3 2 2 3 1 2
3
1 2 2
3 ˆ ˆ
N [ i j
2
ˆk]
gg O
I I S C I I S C R
I I S C
(40)
زَخَه یاّطیغته ( ِغتاض ضز
40 ) تیطپز لیسثت ظؾَت سیات
تطؾ تاصتره ِت ِتفای ِؼؾَت -
لیسثت طیٍسًآ
َق تلاح ضز .ز
( تلازاؼه كتاغه ،یقاكتغاطیغ 39
طتهاضاپ ٍز )
ٍ
O
تتاث
ِدیتً ضز ٍ ُزَت نتٌهَه
یاّ
P
O ٍ P نتؿیؾ توطح تتاَث
یه نتؿیؾ ،قَف لیسثت ات ِدیتً ضز .سٌقات 5
ِت یزاظآ ِخضز
نتؿیؾ هی 3
یضاسه ٍ یؼضٍ هیهاٌیز لهاق یزاظآ ِخضز
یه لیسثت ُضاَّاه .زَق
4 - یچیر ینامیر ءانحنا شور لیلحت ِت یًاویض یاّسلفیٌه ِؾسٌّ ظا ُزافتؾا ات فرت يیا ضز
ییؾسٌّ ٍ ییضایض ضَغت یًَتلیوّ نتؿیؾ ضز بَقآ ِیتذازطپ
یه زَق ـٍض ِیت تثیؿً َُیق يیا تیعه . ایّ
كییلز ییلیلحت ی
ًایصَصذ .تؾا ىآ زطتضاو یگزاؾ فىیٌله لاطگتًا سًٌاه بَقآ ضز تاتیؾٍطیغ ُضاَّایه ُسییچیپ نتیؿیؾ زضَیه ضز عَضَه يیا یؼضٍ توطح -
طتكیت یًاضٍز ىایاوً
یه
َق ز .
ت ،ـٍض يیا ضز ِ
یایضف ضز نتیؿیؾ یضاسییاپ ییؾضطت یاخ
[ Downloaded from mme.modares.ac.ir on 2022-10-31 ]
