خلاصه ی هفته یازدهم ١ زیرفضاهای متعامد orthogonal subspaces

٩٧ ﺰﯿﯾﺎﭘ ‐ (ﻊﯾﺎﻨﺻ ﺳﺪﻨﻬﻣ ﻪﺘﺷر نﺎﯾﻮﺠﺸﻧاد یاﺮﺑ) ﻄﺧ ﺮﺒﺟ ﺳﻮﻃ ﻦﯾﺪﻟاﺮﯿﺼﻧ ﻪﺟاﻮﺧ ﺘﻌﻨﺻ هﺎ ﺸﻧاد ( ﺿﺎﯾر هﺪ ﺸﻧاد) یﺮﻫﻮﺟ ﻦﯿﺴﺣ :ﻂﺳﻮﺗ ﺲﯾرﺪﺗ (ﮓﻧﺮﺘﺳا تﺮﺒﻠﯿﮔ) نآ یﺎﻫدﺮﺑرﺎﮐ و ﻄﺧ ﺮﺒﺟ :ﻊﺟﺮﻣ بﺎﺘﮐ

ﻢﻫدزﺎﯾ ﻪﺘﻔﻫ ی ﻪﺻﻼﺧ

orthogonal subspaces ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ یﺎﻫﺎﻀﻓﺮﯾز ١

ﺮ ﯾد ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ .ﺪﺷﺎﺑ دﻮﻤﻋU رادﺮﺑ ﺮﻫ ﺮﺑV رادﺮﺑ ﺮﻫ ﺮﮔا ﺪﻧﺪﻣﺎﻌﺘﻣU وV یﺎﻀﻓﺮﯾز ود:ﻒﯾﺮﻌﺗ

∀u∈U, v ∈V u^Tv = 0

:لﺎﺜﻣ ﺪﻨﭼ ﺪﺳر ﻣ ﺮﻈﻧ ﻪﺑ رﻮﻄﻨﯾا ﺳﺪﻨﻫ ظﺎﺤﻟ زا ؟ﺪﻧﺪﻣﺎﻌﺘﻣx−y−zیﺪﻌﺑ ﻪﺳ یﺎﻀﻓ ردx= 0وz = 0ﻪﺤﻔﺻ ود ﺎﯾآ

ﻞﻣﺎﺷ نﻮﭼ ﺪﻨﺘﺴﯿﻧ ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ ﺎﻀﻓﺮﯾز ود ﻦﯾا ﻢﯾدﺮﮐ ﻪﺋارا ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ یﺎﻫﺎﻀﻓﺮﯾز زا ﻪﮐ ﻔﯾﺮﻌﺗ ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ ،یﺮﺒﺟ ﺮﻈﻧ زا ﺎﻣا (ﺖﺳا ﺮﻔﺻ رادﺮﺑ ﺖﺳا دﻮﻤﻋ شدﻮﺧ ﺮﺑ ﻪﮐ یرادﺮﺑ ﺎﻬﻨﺗ) .ﺪﻨﺘﺴﻫ ﺮﻔﺻ ﺮﯿﻏ کﺮﺘﺸﻣ رادﺮﺑ ﺖﯾﺎﻬﻧ ﯽﺑ

.ﺪﻨﺘﺴﯿﻧ ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ یا ﻪﺤﻔﺻ ود ﭻﯿﻫ یﺪﻌﺑ ﻪﺳ یﺎﻀﻓ رد ﻪﮐ ﺪﯾد ﻢﯿﻫاﻮﺧ یدوﺰﺑ یﺮﯿ ﺑ ﺮﻈﻧ رد ﻂﺧ ود ﻦﯾا رد ﻪﮐ رادﺮﺑ ود ﺮﻫ .ﺪﻧﺪﻣﺎﻌﺘﻣ یﺪﻌﺑ ود یﺎﻀﻓ ردy =−¹₂xوy = 2xﻂﺧ ود ﺎﻣا

.ﺪﻧدﻮﻤﻋ ﻢﻫ ﺮﺑ

١

ﺳﺎﺳا یﺎﻫﺎﻀﻓﺮﯾز ﺪﻣﺎﻌﺗ ١ . ١

.ﺪﻧﺪﻣﺎﻌﺘﻣAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ چﻮﭘ یﺎﻀﻓ و یﺮﻄﺳ یﺎﻀﻓ:ﻪﯿﻀﻗ ﻪﻤﻫ .ﺪﯾﺮﯿ ﺑ ﺮﻈﻧ رد ار 2x+ 3y+ 5z = 0ﻪﺤﻔﺻ .ﻢﯾروآ ﻣ لﺎﺜﻣ ﯾ ،ﻢﯿﻨﮐ تﺎﺒﺛا ار ﻪﯿﻀﻗ ﻪﮑﻨﯾا زا ﻞﺒﻗ یﺮﻄﺳ یﺎﻀﻓ ﺪﯿﻨﮐ ﺖﻗد .ﺖﺳا دﻮﻤﻋ



2 3 5



رادﺮﺑ ﺮﺑ ﻪﮐ ﺖﺳا



x y z



ﻞﺜﻣ یﺎﻫرادﺮﺑ (چﻮﭘ یﺎﻀﻓ) ﻪﻟدﺎﻌﻣ ﻦﯾا یﺎﻬﺑاﻮﺟ

.ﺪﻧدﻮﻤﻋ رﻮﮐﺬﻣ ﻪﺤﻔﺻ ﺮﺑ ﻪﻤﻫ ﺎﻫرادﺮﺑ ﻦﯾا .ﺖﺳاc



2 3 5



ترﻮﺼﺑ ﻪﻃﻮﺑﺮﻣ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﺮ ﯾد ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ .ﺪﺷﺎﺑAچﻮﭘ یﺎﻀﻓ رد یرادﺮﺑxﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ:تﺎﺒﺛا

Ax=0

ﻨﻌﯾ .ﺪﻧﺪﻣﺎﻌﺘﻣuوxﻪﮐ ﻢﯿﻫد ﻣ نﺎﺸﻧ .ﺪﺷﺎﺑAیﺮﻄﺳ یﺎﻀﻓ رد یرادﺮﺑuﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ u^Tx= 0

ﻄﺧ ﺐﯿﮐﺮﺗ ترﻮﺼﺑ ناﻮﺗ ﻣ ارuﺮ ﯾد ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ ﺎﯾ .ﺖﺷﻮﻧAیﺎﻫﺮﻄﺳ زا ﻄﺧ ﯽﺒﯿﮐﺮﺗ ترﻮﺼﺑ ناﻮﺗ ﻣ ارu ﻪﮐ دراد دﻮﺟوzرادﺮﺑ ﺲﭘ .ﺖﺷﻮﻧA^T یﺎﻬﻧﻮﺘﺳ زا A^Tz=u

ﻪﺠﯿﺘﻧ رد z^TA=u^T

ﺲﭘ u^Tx= (z^TA)x=z^T(Ax) = z^T0= 0

.ﺪﻧﺪﻣﺎﻌﺘﻣA^T چﻮﭘ یﺎﻀﻓ وA ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓ:ﻪﯿﻀﻗ .دﻮﺷ ﻣ ﻪﺠﯿﺘﻧ ﻠﺒﻗ ﻪﯿﻀﻗ زا:تﺎﺒﺛا :ﻪﺘﮑﻧ ﺪﻨﭼ ارRⁿیﺎﻀﻓ رد رادﺮﺑ ﺮﻫ ﺮ ﯾد ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ .ﺪﻨﮐ ﻣ شا ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓ ﻪﺑ ﻞﯾﺪﺒﺗ ارRⁿیﺎﻀﻓA_m×n ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ •

.ﺪﻨﮐ ﻣ ﺖﺷﺎﮕﻧ ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓ رد رادﺮﺑ ﯾ ﻪﺑ نﻮﭼAx∈C(A)هﺎﮕﻧآx∈Rⁿﺮﮔا ﺲﭘ

Ax=A





 x₁ x₂ ...

x_n





=x₁







A₁







+x₂







A₂







+. . .+x_n







A_n







 → ﺎﻬﻧﻮﺘﺳ زا ﻄﺧ ﺐﯿﮐﺮﺗ

.ﺪﻧﻮﺷ ﻤﻧ ﺖﺷﺎﮕﻧ ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓ رد نﺎﺴ ﯾ یرادﺮﺑ ﻪﺑ یﺮﻄﺳ یﺎﻀﻓ رد توﺎﻔﺘﻣ رادﺮﺑ ود • ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد و ﺪﻨﺷﺎﺑ یﺮﻄﺳ یﺎﻀﻓ ردx^′_rوx_r رادﺮﺑ ود ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ:تﺎﺒﺛا

Axr =b, Ax^′_r =b ٢

ﺲﭘ A(x_r−x^′_r) = 0

ود ﻄﺧ ﺐﯿﮐﺮﺗ زا نﻮﭼ ﺖﺳا ﺰﯿﻧ یﺮﻄﺳ یﺎﻀﻓ رد رادﺮﺑ ﻦﯾا .ﺖﺳا چﻮﭘ یﺎﻀﻓ ردxr −x^′_r رادﺮﺑ ﺲﭘ ﺮﺑxr−x^′_rﺪﯾﺎﺑ ﺲﭘ ﺪﻧﺪﻣﺎﻌﺘﻣ چﻮﭘ یﺎﻀﻓ و یﺮﻄﺳ یﺎﻀﻓ نﻮﭼ .ﺖﺳا هﺪﻣآ ﺖﺳﺪﺑ یﺮﻄﺳ یﺎﻀﻓ رد رادﺮﺑ .ﺪﺷﺎﺑ دﻮﻤﻋ شدﻮﺧ x_r−x^′_r ⊥x_r−x^′_r

ﺲﭘ .ﺖﺳا ﺮﻔﺻ رادﺮﺑ ﺖﺳا دﻮﻤﻋ شدﻮﺧ ﺮﺑ ﻪﮐ یرادﺮﺑ ﺎﻬﻨﺗ x_r =x^′_r

.دﻮﺷ ﻤﻧ ﺖﺷﺎﮕﻧ ﭗﭼ چﻮﭘ یﺎﻀﻓ ﻪﺑAﻂﺳﻮﺗ یرادﺮﺑ ﭻﯿﻫ •

.ﺪﯾﺮﯿ ﺑ ﺮﻈﻧ رد ار ﺮﯾز ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ:لﺎﺜﻣ A=

[1 2 5 2 4 10

]

c



1 2 5



←ﺖﺳا ﻂﺧ ﯾ یﺮﻄﺳ یﺎﻀﻓ .ﺖﺳا لوا ﺮﻄﺳ زا ﯽﺒﯾﺮﺿ مود ﺮﻄﺳ .ﺖﺳا ﯾ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﻪﺒﺗر .ﺖﺳاx+ 2y+ 5z = 0ﻪﺤﻔﺻ نﺎﻤﻫ ﺰﯿﻧ چﻮﭘ یﺎﻀﻓ

٣

ار نآ و ﺪﻨﯾﻮﮔV ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ ﻞﻤ ﻣ ارV ﺎﺑ ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ یﺎﻫرادﺮﺑ مﺎﻤﺗ یﺎﻀﻓ ،ﺪﺷﺎﺑRⁿزا ﺎﻀﻓﺮﯾز ﯾV ﺮﮔا :ﻒﯾﺮﻌﺗ .ﺪﻨﻫد ﻣ ﺶﯾﺎﻤﻧV^⊥دﺎﻤﻧ ﺎﺑ ﻢﯾراد ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺖﺳاV ﺎﺑ ﺮﺑاﺮﺑ(V^⊥)^⊥ .ﺖﺳﺎﻀﻓﺮﯾز ﯾ ﺰﯿﻧV^⊥

dimV + dimV^⊥ =n

.ﺖﺳاN(A^T)ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ ﻞﻤ ﻣC(A)ﻦﯿﻨﭽﻤﻫ .ﺖﺳاN(A)ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ ﻞﻤ ﻣR(A):ﻪﯿﻀﻗ .ﺪﻨﺘﺴﻫ ﺰﯿﻧ ﻄﺧ ﻞﻘﺘﺴﻣ هﺎﮕﻧآ ،ﺪﻨﺷﺎﺑ ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ ود ﻪﺑ ودv₁, . . . ,v_kﺮﻔﺻ ﺮﯿﻏ یﺎﻫرادﺮﺑ ﺮﮔا ﺪﯿﻫد نﺎﺸﻧ:لاﻮﺳ .ﺖﺷﻮﻧv₂, . . . ,v_kزا ﻄﺧ ﯽﺒﯿﮐﺮﺗ ﺎﺑ ناﻮﺗ ﻣ ارv₁ ﺲﭘ .ﺪﻨﺷﺎﺒﻧ ﻄﺧ ﻞﻘﺘﺴﻣ ﺎﻫرادﺮﺑ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ:ﻞﺣ

v1 =α2v2+. . .+αkvk

.ﻢﯿﻨﮐ ﻣv₁^T رد بﺮﺿ ار ﻦﯿﻓﺮﻃ v₁^Tv₁ =α₂v₁^Tv₂+. . .+α_kv^T₁v_k

.ﺖﺳا ﺮﻔﺻ ﺖﺳار ﺖﻤﺳ فﺮﻃ ﺲﭘ ،ﺖﺳا دﻮﻤﻋ ﺎﻫرادﺮﺑ ﻪﯿﻘﺑ ﺮﺑv₁نﻮﭼ v₁^Tv₁ = 0

.ﺖﺳا ﺾﻗﺎﻨﺘﻣ ﻪﻠﺌﺴﻣ ضﺮﻓ ﺎﺑ ﻪﮐ ﺪﺷﺎﺑ ﺮﻔﺻ ﺪﯾﺎﺑv1 ﻪﮐ دﻮﺷ ﻣ ﻪﺠﯿﺘﻧ ﻦﯾا زا

تﺎﻌﺑﺮﻣ ﻦﯾﺮﺘﻤﮐ شور ﺎﺑ تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد ﯽﺒﯾﺮﻘﺗ ﻞﺣ ٢

دﻮﺟوAیﺎﻬﻧﻮﺘﺳ زا ﻄﺧ ﺐﯿﮐﺮﺗ ﭻﯿﻫ ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾا رد .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاﺪﻧ ﯽﺑاﻮﺟAx= bتﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .ﺪﯿﻨﯿﺒﺑ ار ﺮﯾز ﻞ ﺷ .ﺖﺳا هﺪﺷ ﻊﻗاوA ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓ زا جرﺎﺧbﺮ ﯾد ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ .ﺪﻨﮐ ﺪﯿﻟﻮﺗ ارbرادﺮﺑ ﻪﮐ دراﺪﻧ

۴

ﺪﯿﻗ ﻪﮐ ﺖﺳا ﻦﯾا ﺶﻫار ﯾ .ﻢﯿﻨﮐ اﺪﯿﭘ هﺎﮕﺘﺳد یاﺮﺑ ار ﻠﺣ هﺪﺷ رﻮﻃ ﺮﻫ ﻢﯾراد زﺎﯿﻧ ﻊﻗاﻮﻣ ﻀﻌﺑ ،دﻮﺟو ﻦﯾا ﺎﺑ ﺰﯿﻧ یﺮ ﯾد ﻞﺣ هار ﺎﻣا .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد باﻮﺟ هﺎﮕﺘﺳد ﺎﺗ ﻢﯿﻨﮐ ﺮﺘﻤﮐ ار ﺎﻬﺘﯾدوﺪﺤﻣ و ﻢﯿﻧﺰﺑ ار هﺎﮕﺘﺳد تﻻدﺎﻌﻣ زا ﻀﻌﺑ ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ ﻣ اﺪﯿﭘA ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓ رد ار یرادﺮﺑ ،ﻢﯿﻘﺘﺴﻣ ﻞﺣ یﺎﺟ ﻪﺑ ،ﻢﯿﻫد ﺮﯿﯿﻐﺗ ار هﺎﮕﺘﺳد ﻪﮑﻨﯾا نوﺪﺑ دراد دﻮﺟو ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓ رد رادﺮﺑ ﺮﻫ ﺪﯿﻨﮐ ﺖﻗد .ﺪﺷﺎﺑbﻪﺑ رادﺮﺑ ﻦﯾﺮﺘ ﯾدﺰﻧAxˆﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷادbﺎﺑ ار ﻪﻠﺻﺎﻓ ﻦﯾﺮﺘﻤﻛ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ،ﺮ ﯾد ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﻃﻮﺑﺮﻣ ﻄﺧ ﺐﯿﮐﺮﺗ ﺐﯾاﺮﺿzﻪﮐ ﻧﺎﻣز داد ﺶﯾﺎﻤﻧAz ترﻮﺼﺑ ناﻮﺗ ﻣ ارA ﻪﮐ دراد دﻮﺟوzهﺎﮕﻧآ .u∈C(A)

u=Az =z₁



a₁



+. . .+z_n



a_n





ﺐﯿﮐﺮﺗ ﻦﯾا ،ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻄﺧ ﻞﻘﺘﺴﻣA یﺎﻬﻧﻮﺘﺳ ﺮﮔا ﻪﮐ ﻢﯾﻮﺷ ﻣ روآدﺎﯾ) .ﺪﻨﺘﺴﻫAیﺎﻬﻧﻮﺘﺳa1, . . . ,an ﺎﺠﻨﯾا رد (.ﺖﺳا دﺮﻔﺑ ﺮﺼﺤﻨﻣ ﻄﺧ bﺎﺑ یا ﻪﻄﺑار ﻪﭼAxˆ رادﺮﺑ .ﺪﯾآ ﻣ ﺶﯿﭘ لاﻮﺳ ﺪﻨﭼ ،ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷادbﺎﺑ ار ﻪﻠﺻﺎﻓ ﻦﯾﺮﺘﻤﮐAxˆ ﻪﮑﻨﯾا ضﺮﻓ ﺎﺑ لﺎﺣ

.ﻢﯿﻫد ﻣ ﺦﺳﺎﭘ تﻻاﻮﺳ ﻦﯾا ﻪﺑ ﻪﻣادا رد ؟ﻢﯿﻨﮐ اﺪﯿﭘ ﻪﻧﻮ ﭼ ارAxˆ رادﺮﺑ ؟دراد

ﻂﺧ یور رادﺮﺑ ﺮﯾﻮﺼﺗ ١ . ٢

ﻪﮐ ﻄﺧ .ﺖﺳا ﻂﺧ ﯾA ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓ ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾا رد .دراد نﻮﺘﺳ ﯾ ﻂﻘﻓAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ ، ﮔدﺎﺳ یاﺮﺑ .درﺬﮔ ﻣa ﻧﻮﺘﺳ رادﺮﺑ زا

A =



a





،ﺮ ﯾد ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ .ﻢﯿﻨﮐ اﺪﯿﭘ ار درﺬﮔ ﻣ a زا ﻪﮐ ﻄﺧ یور b ﻪﺑ رادﺮﺑ ﻦﯾﺮﺘ ﯾدﺰﻧ ﻢﯿﻫاﻮﺧ ﻣ ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾا رد یورbﻢﺋﺎﻗ ﺮﯾﻮﺼﺗ ﻪﮐ ﺖﺳا ﻦﺷور ﺳﺪﻨﻫ ﺮﻈﻧ زا .ﺪﺷﺎﺑ ﻞﻗاﺪﺣ∥b−p∥ﻪ ﯾرﻮﻄﺑ ﻢﯿﻨﮐ اﺪﯿﭘ ارpرادﺮﺑ ﻢﯿﻫاﻮﺧ ﻣ ﻪﺘﺷاد ﺪﯾﺎﺑ ،درﺬﮔ ﻣ a زا ﻪﮐ ﺪﺷﺎﺑ ﻄﺧ یورb ﻢﺋﺎﻗ ﺮﯾﻮﺼﺗ pﺮﮔا ﻨﻌﯾ .ﺖﺳاb ﻪﺑ رادﺮﺑ ﻦﯾﺮﺘ ﯾدﺰﻧ رﻮﮐﺬﻣ ﻂﺧ ﻢﯿﺷﺎﺑ e=b−p ⇒ e⊥p

هﺎﮕﻧآ (ﻢﯾدﺮﮔ ﻣ ﺶﻟﺎﺒﻧد ﻪﮐ ﺖﺳا ﻟﻮﻬﺠﻣ ﺐﯾﺮﺿ نﺎﻤﻫxˆ)p= ˆxaﺮﮔا

۵

(b−xa)ˆ ⊥a

.ﺖﺳا ﺮﻔﺻ رادﺮﺑ ود ﻦﯾا ﻠﺧاد بﺮﺿ a^T(b−xa) = 0ˆ

ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ ندﺮﮐ هدﺎﺳ و ﯽﯾﺎﺠﺑﺎﺟ زا ﺪﻌﺑ ˆ

x= a^Tb a^Ta

ﺎﺑ ﺖﺳا ﺮﺑاﺮﺑ درﺬﮔ ﻣaزا ﻪﮐ ﻄﺧ یورbﺮﯾﻮﺼﺗ ﺲﭘ

p= ˆxa = a^Tb a^Taa .ﺪﯿﻨﮐ اﺪﯿﭘ ار درﺬﮔ ﻣa =

[2 1 ]

رادﺮﺑ زا ﻪﮐ ﻄﺧ یورb = [1

2 ]

رادﺮﺑ ﺮﯾﻮﺼﺗ :لﺎﺜﻣ :ﻞﺣ

p= ˆxa= a^Tb

a^Taa = 2×1 + 1×2 2×2 + 1×1a = 4

5a= 4 5

[2 1 ]

=





8 5 4 5





۶

ﺎﻀﻓﺮﯾز ﯾ یور رادﺮﺑ ﺮﯾﻮﺼﺗ ٣

ﻞﯿ ﺸﺗAیﺎﻬﻧﻮﺘﺳ .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد نﻮﺘﺳ ﺪﻧاﻮﺗ ﻣ هاﻮﺨﻟد داﺪﻌﺗ ﻪﺑAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ .ﻢﯾﺮﯿﮔ ﻣ ﺮﻈﻧ رد ار ﻠﮐ ﺖﻟﺎﺣ نﻮﻨﮐا ترﺎﺒﻋ ﻪﺑ .ﺪﺷﺎﺑ ﻞﻗاﺪﺣbﺎﺑ شا ﻪﻠﺻﺎﻓ ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ اﺪﯿﭘ ﺎﻀﻓﺮﯾز ﻦﯾا رد یرادﺮﺑ ﻢﯿﻫاﻮﺧ ﻣ ﺎﻣ و ﺪﻨﻫد ﻣ ار ﺎﻀﻓﺮﯾز ﯾ ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ اﺪﯿﭘ ارxˆ ﯾ ،ﺮ ﯾد

∥b−Axˆ∥

ﻪﺤﻔﺻ ﯾ ﺎﺑ ارA ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓ ﺮﮔا .ﺪﻨﺘﺴﻫ ﻄﺧ ﻞﻘﺘﺴﻣA یﺎﻬﻧﻮﺘﺳ ﻪﮐ ﻢﯾﺮﯿﮔ ﻣ ضﺮﻓ ﺎﺠﻨﯾا رد .دﻮﺷ ﻢﻤﯿﻨﯿﻣ ﺖﺳا رادﺮﺑ ﯾxˆﺎﺠﻨﯾا رد ﺪﯿﻨﮐ ﺖﻗد .ﺖﺳا رﻮﮐﺬﻣ ﻪﺤﻔﺻ یورbﻢﺋﺎﻗ ﺮﯾﻮﺼﺗ ،bﻪﺑ رادﺮﺑ ﻦﯾﺮﺘ ﯾدﺰﻧ ،ﻢﯿﻫد ﺶﯾﺎﻤﻧ .ﻢﯾراد لﻮﻬﺠﻣ ﯾ زا ﺶﯿﺑ نﻮﭼ e=b−p=b−Axˆ

.دﻮﺷ ﻣ ﻪﺠﯿﺘﻧ ﻻﺎﺑ ﻪﻄﺑار زا .دﻮﺷ ﻣ ﻪﺘﻔﮔ ﺎﻄﺧ ﺎﯾ ﻪﻠﺻﺎﻓ رادﺮﺑeﻪﺑ ﺎﺠﻨﯾا رد

∥e∥² =∥b−p∥² = (b₁−p₁)²+. . .+ (b_k−p_k)²

.دﻮﺷ ﻣ ﻪﺘﻔﮔ تﺎﻌﺑﺮﻣ ﻦﯾﺮﺘﻤﮐ شور ،شور ﻦﯾا ﻪﺑ ،ﻢﯿﻨﮐ ﻢﻤﯿﻨﯿﻣ ار∥e∥²ﻢﯿﻫاﻮﺧ ﻣ ﻪﮐ ﺎﺠﻧآ زا

دﻮﻤﻋA ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓ ﺮﺑ ﻪﮐ ﯽﯾﺎﻫرادﺮﺑ ﻪﮐ ﻢﯿﺘﻓﺮﮔ دﺎﯾ ﻠﺒﻗ سرد زا .ﺖﺳا دﻮﻤﻋA ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓ ﺮﺑeﺎﺠﻨﯾا رد ﻪﺠﯿﺘﻧ رد .ﺪﻧا هﺪﺷ ﻊﻗاوAﭗﭼ چﻮﭘ یﺎﻀﻓ رد ،ﺪﻨﺘﺴﻫ A^Te= 0

ﺲﭘ A^T(b−Ax) = 0ˆ

ﺎﺑ ﺖﺳا لدﺎﻌﻣ ﻪﮐ A^TAxˆ=A^Tb

ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ ضﺮﻓ ﻦﯾا ﺎﺑ ﺲﭘ .دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ ﺮﯾﺬﭘ نوراوA^TA،ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻄﺧ ﻞﻘﺘﺴﻣAیﺎﻬﻧﻮﺘﺳ ﺮﮔا ˆ

x= (A^TA)⁻¹A^Tb

٧

ﺎﺑ دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ ﺮﺑاﺮﺑbﺮﯾﻮﺼﺗ ﺲﭘ p=A(A^TA)⁻¹A^Tb

ﯽﺒﻟﺎﺟ یﺎﻬﯿﮔﮋﯾو ﺮﯾﻮﺼﺗ یﺎﻬﺴﯾﺮﺗﺎﻣ .ﺖﺳاprojection matrixﺮﯾﻮﺼﺗ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ عﻮﻧ ﯾA(A^TA)⁻¹A^T

،ﺪﺷ ﺮﯾﻮﺼﺗ ﺎﻀﻓﺮﯾز ﯾ رد یرادﺮﺑ ﺘﻗو نﻮﭼ .J² = J هﺎﮕﻧآ ﺪﺷﺎﺑ ﺮﯾﻮﺼﺗ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﯾJ ﺮﮔا لﺎﺜﻣ یاﺮﺑ .ﺪﻧراد .ﺪﻨﻫد ﻣ ﺖﺳﺪﺑ ار ﻠﺒﻗ ﺮﯾﻮﺼﺗ نﺎﻤﻫ یﺪﻌﺑ یﺎﻫﺮﯾﻮﺼﺗ J(Jb) = Jb

.ﺪﯾروآ ﺖﺳﺪﺑ ارA=



1 2 1 3 0 0



ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓ یورb =



4 5 6



رادﺮﺑ ﺮﯾﻮﺼﺗ :لﺎﺜﻣ .ﻢﯿﻨﮐ ﻣ بﺎﺴﺣ ارAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﺎﺑ ﺮﻇﺎﻨﺘﻣ ﺮﯾﻮﺼﺗ ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ:ﻞﺣ

A(A^TA)⁻¹A^T =



1 2 1 3 0 0



(

[1 1 0 2 3 0

] 1 2 1 3 0 0



)⁻¹[

1 1 0 2 3 0 ]

=

[ 3 −2 0

−1 1 0 ]

ﺎﺑ ﺖﺳا ﺮﺑاﺮﺑbﺮﯾﻮﺼﺗ p=

[ 3 −2 0

−1 1 0 ] 4

5 6



= [2

1 ]

صﺎﺧ ﺖﻟﺎﺣ ﺪﻨﭼ ﻢﻫ رﻮﻃ ﻦﯿﻤﻫ .ﺖﺳا شدﻮﺧ ﺮﺑ ﻖﺒﻄﻨﻣbﺮﯾﻮﺼﺗ ﺖﻟﺎﺣ ﻦﯾا رد .ﺖﺳا هﺪﺷ ﻊﻗاوA ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓ ردbرادﺮﺑ • ﺮﺑاﺮﺑbﺮﯾﻮﺼﺗ .b=Axﻪﮐ دراد دﻮﺟوxرادﺮﺑ ،ﺖﺳا هﺪﺷ ﻊﻗاوA ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓ ردbﻪﮐ ﺎﺠﻧآ زا .ﺖﺴﻫ

ﺎﺑ ﺖﺳا p=A(A^TA)⁻¹A^Tb =A(A^TA)⁻¹A^TAx=Ax=b

ﻢﯿﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ﺪﯾﺎﺑ ﺲﭘ .ﺖﺳا دﻮﻤﻋA ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓ ﺮﺑb • A^Tb=0

ﺎﺑ ﺖﺳا ﺮﺑاﺮﺑbﺮﯾﻮﺼﺗ p=A(A^TA)⁻¹A^Tb =A(A^TA)⁻¹0=0

ردbﻪﺠﯿﺘﻧ رد .ﺪﻫد ﻣ ﺶﺷﻮﭘ ار Rⁿﻞﮐ ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓ ﺲﭘ .ﺖﺳا ﺮﯾﺬﭘ نوراو و ﺖﺳا ﻌﺑﺮﻣAﺲﯾﺮﺗﺎﻣ • .ﺖﺳا لوا ﺖﻟﺎﺣ ﺪﻨﻧﺎﻣ .ﺖﺳا هﺪﺷ ﻊﻗاو ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓ

تﺎﻌﺑﺮﻣ ﻦﯾﺮﺘﻤﮐ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﻄﺧ شزاﺮﺑ ۴

رد ﻧاواﺮﻓ یﺎﻫدﺮﺑرﺎﮐ ﻪﻠﺌﺴﻣ ﻦﯾا .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد طﺎﻘﻧ یﺮﺳ ﯾ ﺎﺑ ار ﻪﻠﺻﺎﻓ ﻦﯾﺮﺘﻤﮐ ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ اﺪﯿﭘ ار ﻄﺧ ﻢﯿﻫاﻮﺧ ﻣ .ﺪﯿﻨﯿﺒﺑ ار ﺮﯾز ﻞ ﺷ .دﻮﺷ ﻣ ﻪﺘﻔﮔ ﻄﺧ نﻮﯿﺳﺮﮔر ﻪﻠﺌﺴﻣ ﻦﯾا ﻪﺑ رﺎﻣآ ﻢﻠﻋ رد .دراد ﺳﺪﻨﻬﻣ و مﻮﻠﻋ

٨

ﺎﺠﻨﯾا رد .ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد ار ﻪﻠﺻﺎﻓ ﻦﯾﺮﺘﻤﮐ هﺪﺷ هداد ﻪﻄﻘﻧ ﻪﺳ زا ﻪﮐ ﻢﯿﻨﮐ ﺺﺨﺸﻣ ارb=C+Dtﻂﺧ ﻢﯿﻫاﻮﺧ ﻣ نﺎﺸﻧ ﻞ ﺷ رد ﻪﮐ رﻮﻄﻧﺎﻤﻫ .ﻢﯾﺮﯿﮔ ﻣ ﺮﻈﻧ رد ﻂﺧ زا طﺎﻘﻧ ﻪﻠﺻﺎﻓ ﻊﺑﺮﻣ عﻮﻤﺠﻣ ار ﻞﮐ ﻪﻠﺻﺎﻓ .ﺪﻨﺘﺴﻫ لﻮﻬﺠﻣDوC ﻢﺋﺎﻗ ﻪﻠﺻﺎﻓ ﻪﮐ ﻠﺒﻗ ﺶﺨﺑ فﻼﺧ ﺮﺑ) ﻢﯾﺮﯿﮔ ﻣ ﺮﻈﻧ ردbرﻮﺤﻣ یﺎﺘﺳار رد یدﻮﻤﻋ ترﻮﺼﺑ ار ﻪﻠﺻﺎﻓ ﺖﺳا هﺪﺷ هداد .ﺪﺷﺎﺑ ﺮﯾز ترﻮﺼﺑ هﺪﺷ هداد طﺎﻘﻧ تﺎﺼﺘﺨﻣ ﺪﯿﻨﮐ ضﺮﻓ .(ﻢﯿﺘﻓﺮﮔ ﻣ ﺮﻈﻧ رد ﻂﺧ ﺮﺑ (b₁, t₁) = (1,−1) (b₂, t₂) = (1,1) (b₃, t₃) = (3,2)

هﺎﮕﻧآ (دراﺪﻧ دﻮﺟو ﻄﺧ ﻦﯿﻨﭼ ﻪﺘﺒﻟا ﻪﮐ) ﺪﻨﮐ رﻮﺒﻋ ﻪﻄﻘﻧ ﻪﺳ ﺮﻫ زا ﻪﮐ ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺷاد دﻮﺟو b = C+Dt ﻂﺧ ﺮﮔا .ﺖﺷاد ﺪﻫاﻮﺧDوCیاﺮﺑ باﻮﺟ ﯾ ﺮﯾز هﺎﮕﺘﺳد







C+Dt1 =b1

C+Dt2 =b2

C+Dt3 =b3

ﻢﯿﺴﯾﻮﻨﺑ ار هﺎﮕﺘﺳد ﺴﯾﺮﺗﺎﻣ ﻞ ﺷ ﻪﺑ ﺮﮔا



1 t₁ 1 t2

1 t₃



[ C D ]

=



b₁ b2

b₃





.ﺪﻨﮐ ﻢﻤﯿﻨﯿﻣ ار ﺮﯾز عﻮﻤﺠﻣ ﻪﮐ ﻢﯾدﺮﮔ ﻣDوC ﯾ لﺎﺒﻧد ﺎﻣ .دراﺪﻧ یداﺮﯾا .دراﺪﻧ باﻮﺟ هﺎﮕﺘﺳد ﻦﯾا ﻢﯿﻧاد ﻣ ﺎﻣا (b₁−C−t₁D)²+ (b₂−C−Dt₂)²+ (b₃−C−Dt₃)²

ﻦﯾا ﻞﺣ هﻮﯿﺷ ﻠﺒﻗ ﺶﺨﺑ زا .ﺖﺳا



1 t₁ 1 t₂ 1 t₃



ﺲﯾﺮﺗﺎﻣ ﻧﻮﺘﺳ یﺎﻀﻓ زاb=



b₁ b₂ b₃



رادﺮﺑ ﻪﻠﺻﺎﻓ نﺎﻤﻫ ﻦﯾا ﺐﺧ ﯾ ﺮﯾﻮﺼﺗ ندﺮﮐ اﺪﯿﭘ ﻪﻠﺌﺴﻣ ﻪﺑ ﻞﯾﺪﺒﺗ ( ﻄﺧ نﻮﯿﺳﺮﮔر ﺎﯾ ) ﻄﺧ شزاﺮﺑ ﻪﻠﺌﺴﻣ ﻪﮐ ﺪﯿﻨﯿﺑ ﻣ ﺲﭘ .ﻢﯿﻧاد ﻣ ار ﻪﻠﺌﺴﻣ

ﻢﯾراد ﺚﺤﺑ درﻮﻣ لﺎﺜﻣ رد .ﺪﺷ ﺎﻀﻓﺮﯾز ﯾ رد رادﺮﺑ

A=



1 t₁ 1 t₂ 1 t₃



=



1 −1 1 1 1 2



 b =



1 1 3



 ٩

.ﺪﯾآ ﻣ ﺖﺳﺪﺑ تﺎﺒﺳﺎﺤﻣ زا ﺪﻌﺑ .xˆ = [Cˆ

Dˆ ]

ﻢﯾراد ﺎﺠﻨﯾا رد [Cˆ

Dˆ ]

= [₉

74 7

]

.ﺖﺳاb= ⁹₇ +⁴₇tﻂﺧ ﺮﻈﻧ درﻮﻣ ﻪﻨﯿﻬﺑ ﻂﺧ ﺲﭘ

١٠